《计算数论》复习提纲PPT教学课件

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数论初步PPT课件

04 素数与合数
素数的定义与性质
素数的定义
素数是大于1的自然数，且只能被 1和它自身整除的数。
素数的性质
素数是无穷多的，最小的素数是2，所有偶数（除了2）都不是素数，任何素数的因数都只有两个。
合数的定义与性质
合数的定义
合数是除了1和它自身以外，还有其他整数能够整除的整数。
合数的性质
合数一定是大于2的偶数或大于3的奇数，最小的合数是4，合数的因数除了1和它自身外，至少还有一个其他的因数。
素数的分布与猜想
素数的分布
素数在自然数中的分布比较稀疏，它们的出现似乎有一定的规律性，但尚未被完全证明。
素数的猜想
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想是关于素数的两个著名数学猜想，至今仍未被解决。哥德巴赫猜想是猜想任何一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和；孪生素数猜想是猜想存在无穷多对相邻素数，它们之间的距离不超过一个给定的常数。
代数数域的构建
代数数域的定义
代数数域是具有某种代数结构的域，通常是由有理数域通过添加代数数得到的。
代数数域的构建方法
通过添加代数数，可以得到不同的代数数域，如添加二次方程的根可以得到二次数域，添加更高级的方程的根可以得到更高级的代数数域。
代数数域的性质
代数数域具有一些重要的性质，如封闭性、完备性等，这些性质对于研究代数数论和数学其他分支都有重要的意义。
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05 代数数论基础
代数数论简介
代数数论的定义
代数数论是数学的一个重要分支，主要研究代数数域和代数整数环的理论。
代数数论的发展历程
代数数论的基本概念
代数数论涉及到许多基本概念，如代数数域、代数整数环、素数、分解整环等。

第一讲计算与数论

第一讲：计算与数论*本讲提纲*1. 分数、繁分数、小数的根本计算2. 数列与数表的计算问题3. 分数与整数的裂项4. 数论局部〔整除★、质数与合数、余数★〕5.进位制与取整计算局部：一、分数、小数的根本计算知识点：运算律的应用；凑整法；添去括号；定义新运算。

1、请直接写出答案。

〔1〕31－51= 〔2〕1.25×32×0.8= 〔3〕43×4÷4×43= 2.计算下面各题，写出计算过程。

11÷[116×(43＋61)] 76×20+16×71－71×10 [19.08＋〔3.2－0.299÷0.23〕]×0.25 43÷[53＋52×〔1－83〕] 2006÷200720062006＋2008124112161311481161814121+++++++ 4.6×183+8.4÷118－183×5 (595－1＋394)×〔7.6÷54＋252×1.25〕规定〔3〕＝1×2×3 〔4〕＝2×3×4 〔5〕＝3×4×5 …〔10〕＝8×9×10如果 1112021(22)⨯－＝（）（），那么□是_______________。

规定a ⊕b=a+(a+1)+(a+2)+…+〔a+b-1〕,(a,b 均为自然数,b ＞a).如果x ⊕10=65,那么x=。

二、数列、数表的计算知识点：等差数列；等比数列；1.计算：20081+20082+20083+20084+…+20082006+20082007 2.计算：20041+20042－20043－20044＋20045＋20046－20047－20048＋20049＋200410－……－20041999－20042000＋20042001＋200420023.计算：1+2+4+8+16+32+……+10244.下面是按规律排列的三角形数阵：（1）此数阵第12行所有数的总和是多少？（2）此数阵第2022行左起第二个数是多少？5.把正整数依次排成以下数阵：求（1）第20行第10列是哪个数？（2）第10行第20列是哪个数？三、分数裂项、整数裂项1、计算：7215614213012011216121+++++++ 2、计算：11111144771010131316++++⨯⨯⨯⨯⨯ 3、计算：)25231751531311(25⨯++⨯+⨯+⨯⨯ 4、计算：1311241192097167512538314⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 5、计算：20142013433221⨯+⨯+⨯+⨯ 四、比拟与估算1、把0．66，66．6％，0．67，32 用“<〞连接起来 2、比拟以下5个数，从小到大排列：1，••24.0，73，1.667，35 3、求数11010102101011010010 +++=a 的整数局部。

《计算数论复习提纲》课件

信息科学
计算数论在信息科学中也有着广泛的应用，如数据加密、信息隐藏、数字水印等领域。
计算数论的发展历程
古代数学时期
01
古代数学家就开始研究与计算数论相关的内容，如欧几里得算
法用于求两个整数的最大公约数。
近代数学时期
02
随着数学的发展，越来越多的数学家开始关注计算数论，如费
马小定理、欧拉定理等。
计算机技术发展时期
分治算法与快速排序
分治算法
分治算法是一种将问题分解为若干个子问题，递归地解决子问题，并将子问题的解合并为原问题的解的算法。快速排序是分治算法的典型例子，通过选择一个基准元素，将数组分为两部分，小于和大于基准的元素，然后递归地对这两部分进行排序。
快速排序
快速排序是一种高效的排序算法，其平均时间复杂度为O(nlogn)。快速排序的基本思
数字签名应用
数字签名广泛应用于电子政务、电子商务和网络安全等领域。例如，在电子投票中，数字签名可以确保投票的匿名性和不可篡改性。
密码学中的数论应用
数论在密码学中的应用
数论作为数学的一个分支，为密码学提供了丰富的理论基础和工具。例如，基于数论的Diffie-Hellman密钥交换协议实现了安全通信的前提条件——双方在不安全的通道上协商出一个安全的密钥。
03
计算数论在密码学、计算机科学、信息科学等领域有着广泛的应用。
计算数论的应用领域
1 2 3
密码学
计算数论提供了许多加密算法和哈希函数的基础，如RSA算法、Diffie-Hellman密钥交换协议等。
计算机科学
计算数论在计算机科学中有着广泛的应用，如计算机图形学、计算机密码学、计算机算法设计等领域。

数学竞赛第三章数论ppt课件

2024/7/24
第三章数论
7
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
3．1 整数的奇偶性和整除性
二、整数的整除性例题
例10. 设p是大于5的素数，求证：240|p4-1.
例11. p≥5是素数，且2p+1也是素数，证明： 4p+1必是合数。
3．2 同余
一、同余的定义和性质
性质
反复利用（4）（5），可以对多个（模相同的）同余式建立加、减和乘
法的运算公式。特别地，由（5）易推出：
若 a b(modm) ，则 an bn (mod m) ；但是同余式的消去律一般并不成立，即从
未必能推出
。正确的结果是：
（6）若
，则 a b(mod m ) ，由此可以推出：
费马（Fermat）大定理（当n＞2时，xn＋yn＝zn没有
非平凡的整数解），历经300余年，已由英国数学家安
德鲁 ·维尔斯（A.Wiles ）证明。
数书九章——大衍类
2024/7/24
第三章数论
17
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
13
为了规范事业单位聘用关系，建立和完善适应社会主义市场经济体制的事业单位工作人员聘用制度，保障用人单位和职工的合法权益
3．2 同余
一、同余的定义和性质
例题
例1.今天是星期四，则101000天后是星期几？例2.证明：993993+991991能被1984整除.

小学数学六年级下册数论之数论综合六年级小升初讲课上课PPT教学课件

例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习1：有一些长6厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体木块，如果用这些木块组成一个正方体，则至少需要这种木块（）块。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：用长为45厘米、宽为30厘米的一批瓷砖，铺成一个正方形，至少需要瓷砖的块数为（）。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习2：某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
4、位值原理技巧：
数论基础
例题1：如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
例题2：某班学生不超过60人，在一次数学测验中，分数不低于90分的人数占1/7,得80～89分的人数占1/2，得70～79分得人数占1/3.那么得70分以下的有________人。
例题3： a、b、c为三个自然数，且a>b>c，它们除以13的余数分别是2，9，11，那么（a+b+c）(a-b)(b-c)除以13的余数是_______
例题1：在1～100这100个自然数中，所有不能被8整除的数的和是多少？
练习1：有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.

人教A版高中数学选修4-6初等数论初步第一讲1.1.整除的概念和性质教学课件 (共17张PPT)

明朝未及，我只有过好每一个今天，唯一的今天。
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环

基础数论ppt课件

ay2 + bx2 - [a / b] * by2; – 也就是ax1 + by1 == ay2+ b(x2 - [a / b] *y2); – 根据恒等定理得：x1 = 精选ppt2015年信息学夏令营2015年信息学夏令营 y2; y1 = x2 - [a / b] *
11 扩展欧几里得
– void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
(x2,y2)，则有 – ax1 + by1 = ax2 + by2 = gcd(a, b) – 变形可以得到a(x1 – x2) = b(y2 – y1) – 两边同时除以gcd(a, b) – 得到a’(x1 – x2) = b’(y2 – y1) – 因为(a’,b’)=1，所以(x1-x2)一定是b’的倍
–int gcd(int a, int b) –{ – if (!b) return a; – return gcd(b, a % b); –}
精选ppt2015年信息学夏令营2015年信息学夏令营
7 扩展欧几里得
–
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8 扩展欧几里得
– 解决这个问题之前，我们首先来学习扩展欧几里得算法。
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15 扩展欧几里得
–
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16 唯一分解定理
– 任何一个大于1的自然数N，如果N不为质数，
则N可以唯一分解成有限个质数的乘积。
– 这个定理用处大大的——分解质因数。可以用质数乘积的形式表示一些大数字，处理一类和约数有关的问题。

六年级下册数学人教版《数论》课件

5
.
用“<”连接起来：___-_0_._6_2__7_<__6_._2_5%8< <0.625<_6;5%
解析： 5 0.625 6.25%=0.0625 65%=0.6
8
5
.
-0.627<0.0625<0.6250<.625 <0.65
5
.
-0.627<6.25%<8 <0.625 <65%
小结：根据题目要求，应把 5 ，6.25%，65%化成小数后再 8
3、化为小数法等。
②
5, 10
5 6
,
3 25
,这138几, 12个45 分数中，不能化成有限小数的有_________；
1 ，5，3 ，3 ，25 2 6 25 18 14
分数能化成有限小数的特点：最简分数中分母只含有质因数 2 或 5
【定义新运算】
【易学点拨】
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
【因数与倍数】
例题6：①360共有__2__4______个因数。
解析 360 = 2×2×2×3×3×5 解题思路与步骤
23 ×32 ×51 因数个数为：
（3+1）×（2+1）×（1+1）=24
第一步：将因数分解质因数第二步：相同的质因数的个数加1相乘
的积
②A÷5＝B（A、B都是不等于0的自然数），那么
小数：1、整数部分按照整数的读法读 2、小数点读点 3、小数部分依次读出每一个数位上的数字
整数中0的读法：（1）每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个零或连续几个0都只读一个零。（2）要读一个零，要有一个0不能写在每级的末尾，或连续几个 0不能写在每级的末尾；（3）要读两个零，要有两个0不能写在每级的末尾，且不能相邻，或连续几个0不能写在每级的末尾要有两个不能相邻。

计算理论基础课件_Introduction

计算表格
程序 Let me see
一个一般的计算过程
图灵机：现代计算机的理论模型
两端无限长的纸带
与现代计算机相同之处：程序与数据混合在一起，由控制器控制执行
控制器（读写或计算）
与现代计算机不同：内存无限大！没有考虑输入与输出！（所有信息都在子带上）
图灵对可计算的定义：

被求解问题需要形式化；必须设计一个算法；算法需要有合理的复杂度（空间与时间复杂度）
可计算工具不只是计算机

recursive function(Godel-Herbrand,1934) λ-Calculus(Church-Kleene,1932-1934) Turing machine(Alan Turing 1936)
已经证明：如上三种计算工具功能是等效的！
为什么只是图灵机成为现代计算机理论基础
乔姆斯基（ Chomsky ）对语言的分类
第五章 Undecidability
第六章第七章 Computational Complexity NP-completeness
主要了解理论计算机科学的如下基本问题

Automata (第二章：Finite-state Machine, 第三章：Pushdown Automata, 第四章：Turing Machines) Computability (第五章: Undecidability) Complexity (第六章: Computational; 第七章 : NP-completeness) Mathematic Preliminaries (第一章 : Sets, Relations and Language)

《数整除复习》课件

感。
下一步学习计划
深入学习数论中的其他概念和定理，如质数、合数、最大公约数等。
尝试解决一些复杂的数学问题，以提高自己的数学素养和解题能力。
通过阅读相关书籍和论文，了解整除在数学和其他领域的应用。
2023-2026
END
THANKS
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REPORTING
综合练习题
总结词
整合知识、提升思维
详细描述
综合练习题是最具挑战性的题目，通常涉及多个知识点和解题技巧的整合运用。这些题目旨在提高学生的思维能力和解决问题的能力，帮助他们将零散的知识点整合起来，形
成完整的数学知识体系。
PART 05
总结与回顾
本章重点回顾
01
02
03
整除的定义
如果一个数a除以另一个数b得到的结果是整数，那么我们说a能被b整除。
。
在几何中，整除的概念可以应用于解决一些与图形和空间有关的问题。例如，当我们需要计算一个图形的周长或面积时，我们可以使用整除的方法来得到精
确的结果。
在日常生活中的应用
整除的概念在日常生活中也具有广泛的应用。例如，当我们需要将一个物品分成若干等份时，我们可以使用整除的方法来计算每份的数量。
在商业中，整除的概念可以应用于计算折扣、优惠和促销活动。例如，当我们需要计算商品的原价和折扣价格之间的差额时，我们可以使用整除的方法来得到精确的结果。
在计算机科学中的应用
在计算机科学中，整除的概念也具有广泛的应用。例如，当我们需要编写一个程序来处理整数时，我们可以使用整除的方法来计算两个整数之间的商和余数。
在加密学中，整除的概念可以应用于一些加密算法的实现。例如，RSA算法中就使用了整除的概念来生成公钥和私钥。

小学数学六年级总复习《知识点整理》完整ppt课件

■运用小数的性质,可以在小数末尾添上0. 3.5=3.50
■也可以把小数化简（去掉小数末尾的0） 3.500=3.5
完整版课件
33
小数点位置移动引起小数大小的变化
★小数点向右移动一位，原来的数就扩大10倍；小数点向右移动两位，原来的数就扩大100倍；小数点向右移动三位，原来的数就扩大1000 倍……
11
小数的分类
(1).按小数位数是有限还是无限分
小数
有限小数无限小数
纯循环小数无限循环小数
混循环小数
无限不循环小数
(2).按小数的整数部分是否为0分
纯小数
小数
带小数(混小数)
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12
循环小数
循环节从小数部分第. 一位开始的叫
纯循环小数.如 0.5
的叫循混环循节环不小是数从.小如数7.2部3分8 .第. 一位开始
完整版课件
13
分数的意义和分数单位
单位“1”----一个物体,一个计量单位或是许多物体组成的一个整体,都可以用自然数1来表示,通常我们把它叫做单位“1”
分数---- 把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数,叫做分数.
分数单位---- 把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数.
完整版课件
37
时间
1、常用单位
年、月、日、时、分、秒
2、单位换算
1年=365天平年
一年=366天闰年
一、三、五、七、八、十、十二是大月大月有31 天
四、六、九、十一是小月小月小月有30天
平年2月有28天闰年2月有29天
1天= 24小时
1小时=60分
1分=60秒

数论ppt

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在1849年，阿尔方·波利尼亚克提出了一般的猜想：对所有自然数k，存在无穷多个素数对（p, p + 2k）。k = 1的情况就是孪生素数猜想；k=2 (即间隔为4) 的素数对被称为 cousin prime ；而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime (不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。)
VIP专享文档下载特权自VIP生效起每月发放一次，每次发放的特权有效期为1个月，发放数量由您购买的VIP类型决定。
每月专享9次VIP专享文档下载特权，自VIP生效起每月发放一次，持续有效不清零。自动续费，前往我的账号 -我的设置随时取消。
服务特权
共享文档下特权
VIP用户有效期内可使用共享文档下载特权下载任意下载券标价的文档（不含付费文档和VIP专享文档），每下载一篇共享文
方程 xn yn zn (n 3) 无非0整数解
经过8年的努力，英国数学家安德鲁·怀尔斯终于在1995年完成了该定理的证明。
3、四色问题
“任何一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2， 3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。

数论专题复习讲义

数论专题复习讲义介绍数论是研究整数及其性质的数学分支。

它在加密算法、密码学、计算机科学等领域中发挥着重要作用。

本文档将为你提供一个数论专题的复讲义，帮助你回顾数论的基本概念和常见应用。

1. 质数1.1 定义质数是指只能被1和自身整除的整数。

常见的质数有2、3、5、7等。

1.2 判断方法判断一个数是否为质数，可以使用试除法。

即从2开始逐个除以小于该数的数，若都不能整除，则该数为质数。

2. 最大公约数与最小公倍数2.1 最大公约数最大公约数是指两个或多个整数公有的约数中最大的那个。

可以使用辗转相除法来求解。

2.2 最小公倍数最小公倍数是指两个或多个整数的公共倍数中最小的那个。

可以通过最大公约数来求解，使用以下公式：最小公倍数 = (数1 * 数2) / 最大公约数(数1, 数2)3. 模运算模运算，又称为取余运算，是指在整数除法中求得的余数。

有以下性质：- (a + b) % m = (a % m + b % m) % m- (a * b) % m = ((a % m) * (b % m)) % m模运算在密码学中广泛应用，特别是在数据加密和解密的过程中。

4. 素数定理素数定理是指当自然数趋向无穷大时，素数的数量大约等于自然数的对数。

这个定理在分析质数的分布和素数的性质时提供了重要的参考。

5. 快速幂算法快速幂算法是一种用于计算指数幂的高效算法。

它可以在较短的时间内计算出较大的幂，同时避免了重复计算的问题。

6. RSA加密算法RSA加密算法是一种常见的非对称加密算法，基于质因数分解的困难性。

它在信息安全和网络通信等领域得到广泛应用。

7. 练题1. 请判断以下数是否为质数：11、27、37。

2. 求以下数的最大公约数和最小公倍数：24和36、15和25。

3. 将10^9对7取模的结果求出。

以上内容是本次数论专题复习讲义的核心内容，希望能对你的复习有所帮助。

祝你学习顺利！。

矿产

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

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证：设q是2P-1的质因数，由于2P-1为奇数，
∴ q≠2， ∴ （2，q）=1。由条件q| 2P-1, 即2P≡1（mod q）
又∵ （q,2）=1，2q-1≡1（mod q）设i是使得2x≡1（mod p）成立最小正整数，即i是
2模p的阶。
若1<i<p，则有i|p，则与p为素数矛盾，∴ i=p,
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PPT文档·教学课件
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2020/10/16
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例6 解同余方程28x≡21(mod 35)
解：∵ （28,35）=7|21， ∴ 原同余方程有解，且有7个解原同余方程等价于4x≡3(mod 5) 而且4x≡3(mod 5)解为x≡2(mod 5) ∴ 原同余方程解为2，7，12，17，22，27，
31（mod 35）
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例7 设p=4n+3是素数，试证当q=2p+1也是素数时，梅素数Mp不是素数
证：∵ q=8n+7,
24n32q2 1q 21(mqo ) d
∴ q |Mp，∴ Mp不是素数。
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例9 若p和q=4p+1均为奇素数，则2是模q的一个原根。
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连分数(ch5)
连分数的定义和性质：
连分数、简单连分数的概念、性质每一个简单连分数都是一个实数
实数表示为连分数：
任一无理数都可表为无限简单连分数，有理数的连分数表示法
循环连分数：
二次代数数都是循环连分数二次方根的连分数
最佳渐近分数
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有限域(ch6)
故-1是模2n+1的平方剩余，即 1 1. 2n 1
其中2n+1是奇素数。所以 2n11(mo 4)d
故 2n0(mo4，)d n0(m 。 o2d )
所以n是偶数，记n=2h,便有2n+1=4h+1.这样便证明了整数的所有奇素因数必形如4h+1。又由于两个4h+1形式的数的乘积仍
2020/10/16
有限域 GF(pm)的结构、组成、运算
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素性检测(ch8)
确定性算法
试除法利用n-1、n+1的因子分解的素性检验
概率算法
Miller-Rabin算法 Lehmann算法 Solovay-Strassen
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大整数因子分解算法（ch9）
通用整数因子分解方法：理论基础
为4h+1 形式的数，故 x2 1形式的数的奇因数必为
4h+1形式的数。
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例5 解同余方程
解：d=(12,30)=6, 查表ind2=24, 6|24，有解且本题有6个解，
12indx=ind2(30) 即indx≡4(mod 5) ∴ indx≡2,7,12,17,22,27(mod 30) 查模31指标表， ∴ x≡9,17,8,22,14,23(mod 31)
送的消息m=6时，求A发送的带签名的保密信息。 2.设用户A选取p=11和q=7作为模数为N=pq的RSA公钥体
制的两个素数，选取eA=7作为公开密钥。请给出用户A的秘密密钥，并验证3是不是用户A对报文摘要5的签名。
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q 1
例2：设素数p>2，则2P-1的质因数一定是 2pk+1形。
剩余类环
同余方程的求解方法
线性同余方程的求解高次同余方程的求解
同余方程组的求解方法原根和指数缩系应用
2020/10/16
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二次剩余（ch3）
二次剩余的概念模为奇素数的平方剩余与平方非剩余勒让德符号雅可比符号重点：二次同余方程有解的判断与求解
2020/10/16
连分数方法（CFRAC），二次筛法（QS） *数域筛法（NFS）
专门用途的因子分解方法
“rho”方法 “p-1”方法
2020/10/16பைடு நூலகம்
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数论在密码学上的应用(ch10)
公钥密码
RSA机制 Elgamal机制
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9
习题
2020/10/16
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习题（续）
1.设用户A的公开参数为(NA=55，eA=23)，用户B的公开参数为(NB=33，eB=13)，用户A应用RSA算法向用户B传
《》复习提纲
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整数的因子分解(ch1)
1.整数的唯一分解定理 2.欧几里德算法
最大公因子的求法最大公因子的整数线性表示模n的逆元一元线性同余方程的求法
Mersenne素数 Fermat素数
2020/10/16
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同余（ch2）
同余，简化了数论中的许多问题. 同余的基本性质
∴ p|q-1 又∵ q-1为偶数，2|q-1, ∴ 2p|q-1,q-1=2pk,即q=2pk+1
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例4 设x为整数，证明形如x2 1的整数的所有奇因都有4h+1的形式（其中h为整数）
证明：设2n+1是整数x2 1的任一奇素因数，于是有
x210(m2o n d 1),即 x21(m2o n d1).