曲线积分曲面积分的对称性

龙源期刊网
第二类曲线和曲面积分的对称性
作者：武燕张丽李靖
来源：《中国教育技术装备》2008年第18期
摘要为了简化计算，详细讨论第二类曲线、曲面积分的对称性，根据对称性进行积分计算，并应用例子进行分析计算。

关键词第二类曲线积分；第二类曲面积分；对称性
中图分类号 O172.2 文献标识码 B 文章编号 1671-489X（2008）18-0033-02
1 前言
在学习重积分中第一类曲线、曲面积分（即对弧长的曲线积分，对面积的曲面积分）时[1]，经常用到对称性[2]，它可以大大减少运算量，简化计算。

因此，一些学生在计算第二类曲线、曲面积分时，也类比地使用对称性，结果造成错误。

事实上第二类曲线、曲面积分的对称性与第一类曲线、曲面积分的对称性有区别，为了正确应用这一对称性，分析如下。

的证明相仿， 只要注意到定理 ３ 中△ｘｉ＝－ △ｘｉ′， 定理 ４ 中△ｙｉ＝－ △ｙｉ′， 定理 ５ 中△ｘｉ＝△ｘｉ′， △ｙｉ＝△ｙｉ′即可， 详细证明从略．
定 理 ３ 设 Ｐ（ｘ，ｙ）在 光 滑 或 分 段 光 滑 的 有 向 平
面曲线 Ｌ 上可积， Ｌ 关于直线 ｙ＝ｂ 对称．若Ｐ（ｘ，ｙ）关于
收稿日期： ２００７－ ０６－ １２ 作者简介： 程希旺， 男， 江苏淮阴人， 淮阴师范学院讲师， 硕士， 主要从事基础数学研究．
７２
程希旺·对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用
点， 则
ｎ
! # ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）△ｓｉ＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）△ｓｉ′］
Ｌ
!→０ ｉ ＝ １
文［１］－ ［４］将 对 称 区 间 上 奇（偶）函 数 的 定 积 分 计 算公式推广到曲线积分和曲面积分的计算上， 得到 了利用积分弧段与积分曲面的对称性和被积函数的 奇偶性计算曲线积分与曲面积分的方法， 使得一些 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分 的 计 算 得 到 简 化 ， 但 文［１］－ ［４］ 的结论只适用于积分弧段与积分曲面关于坐标轴或 坐标面对称的情形．本文将文［１］－ ［４］的结果进一步推 广， 得到一些更为一般性的结果， 将这些结果应用于 某些曲线积分与曲面积分的计算将十分方便． １ 预备知识
ｎ
# ＝ｌｉｍ ［ｆ（!ｉ， "ｉ）＋ｆ（!ｉ′， "ｉ′）］△ｓｉ !→０ ｉ ＝ １
当ｆ（ｘ，ｙ）关于直线 ｌ 为奇函数时， ｆ（!ｉ′， "ｉ′）＝－ ｆ（!ｉ， "ｉ）， 有
!ｆ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０； 当ｆ（ｘ，ｙ）关 于 直 线 ｌ 为 偶 函 数 时 ， ｆ（!ｉ′， Ｌ

曲线积分与曲面积分的对称性及其应用
赵莉莉
【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(42)2
【摘要】通过曲线积分到定积分的转换,以及曲面积分到二重积分的转换,系统地梳理了各类曲线积分与曲面积分的对称性,给出了各类曲线积分与曲面积分对称性的数学原理,并通过具体实例展示了这些对称性在简化曲线积分与曲面积分计算中的作用。

【总页数】10页(P6-15)
【作者】赵莉莉
【作者单位】云南大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用
2.对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用
3.对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用
4.奇偶性对称性在曲线积分和曲面积分中的应用
5.对称性在曲线积分和曲面积分中的应用
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

』 ｐ（，） ０（） Ｐｘ ） ｙ或 ｘ的偶 函数， Ｐ（ ，）ｓ ２ Ｐ ｘ ｙ出＝ ； 若 （ｙ是 （ ） ２ ， 则』 ｘｙ ｄ ＝ ｆ
（ ｙ ｄ， 中 ￡ 为 Ｌ在 上 （ 右 ） 平 面 的部 分 。 ，）ｓ 其 ． 或 半
由 论３ 结 ， 』
戈 Ｙ ＋１
｝ ＝ ｌ 一ｆ ２ ＿
【 ｙｗｏｄ 】ｕ ，ｉｔｇａ ｐ ； ｒ ｃ ｔｇａ ｔｐ ； ｍｍｅ ｙ Ｋｅ ｒｓ ｃｎｅ ｎｅ ｌｙ ｅ２ｓ ｆ ｅｉ ｅ ｌｙ ｅ２ｓ ｒ ｔ ｕａ ｎ ｒ ｙ ｔ ｒ
０ 引 言 ．
众 所 周 知 ， 用 积 分 区 域 的 对 称 性 和 被 积 函数 的奇 偶 性 可 简 化 定 利 积 分 、 积 分 以 及 第 一 类 曲 线 积 分 和 第 一 类 曲 面 积分 的 计 算 ， 几 乎 重 但 是 所 有 的 高 等 数 学 教 材 中 都 没 有 提 及 第 二 类 曲线 积 分 和 第 二 类 曲 面
１计 算 第 二 类 曲线 积 分 的 对 称 性 方 法 ．
大 家 知 道 ， 于 第 一 类 曲 线 积 分 有 这 样 的 结 论 ： 果 分 段 光 滑 的 对 如
』 粤
：，以 ０ 』 所 挚
＝
Ｙ ＋ｌ
另 外 ， 题 中的 积 分 区 域 Ｌ和 被 积 本 平面 曲线 Ｌ 于 ｘ或 Ｙ轴对称， 关 （ ） 那么（ 若 Ｐ ，是 ｙ或 ｘ的奇函数， 函数 关 于 变 量 ｘ Ｙ都 具 有 轮 换 对 称 性 ， １ ） （ｙ （ ） ｘ） 则 、
ｕ ｅｕ ｏ ｅｕ ｉｎ ｎ ｘ ｍｐｅ ｌ ｉｅ ． ｙ ｓｍｍｅ ｙ ｓｍｅｔ ｕ ｌｓ ｍ ｒｂ ｅ ａｃ ｌ ｅｂ ｏｍ ｌ ｅｈ ｄ ａ ｅｅ ｓ ｙ ｓｌｅ ． ｓｆ ｌ ｎ ｌｓ ｓａ ｄ ｅ ａ ｌｓ ＇ ｇｖ ｎ Ｂ ｙ ｃ ｏ ａｅ ｔ 。 ｏ ｏ ｂ ｅｏ ｅｐ ｏ ｌ ｔ ｃ ｌ ａ ｙ ｎ ｒ ａ ｔｏ ｓ ｎ ｂ ａ ｉ ｖ ｄ ｒ ｒ ｍｓ ｏ ｕ ｔ ｍ ｃ ｌ ｏ