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对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系, 小到分子原子.根据对称性, 我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化. 本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题, 主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性, 从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法. 另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算. 积分的计算是高等数学教学的难点, 在积分计算时, 许多问题用“正规” 的方法解决，反而把计算复杂化, 而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷, 达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性•在积分计算中，根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果•下面我将从积分对称性的定理及结论，再结合相关的实例进行具体探讨•本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性，平行于坐标面的平面等的对称性定义•二、相关的定义定义1：设平面区域为D ,若点(x, y) • D= (2a-x,y),则D关于直线x = a对称,对称点(x,y)与(2a - x,y)是关于x = a的对称点•若点(x, y) € D = (x,2b-y)-D(x, y),则D关于直线y二b对称，称点(x, y)与(x,2b - y)是关于y = b的对称(显然当a =0,b = 0对D关于y , x轴对称).定义2:设平面区域为D ,若点(x, y) • D = (y—a,x-a),则D y二x，a对称，称点(x, y)与(y - a, x - a)是关于y 二x • a 的对称点.若点(x, y) • D = (a - y,a - x)-D，贝U D关于直线y 对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.空间对称区域.定义3: (1)若对-(x, y, z^ 1,点(x,y,-z)・1 ,则称空间区域门关于xoy面对称;利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标面的对称性.⑵ 若对P(x, y, z)匕0 ,二点(x, y,—z)匕O ,则称空间区域0关于z轴对称；利用相同的方法，可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对_(x, y, z^ 1 1, -J点(-x,-y,-z) • 11,则称空间区域门关于坐标原点对称.⑷ 若对一(x, y,z) •门，T点(y,乙x),(z, x, 1 1 ,则称空间区域门关于x, y, z具有轮换对称性.定义4:若函数f(x)在区间- a,a上连续且有f(x-a) = f(x • a),则f(x)关于x二a对称当且仅当a = 0时f (-x)二f (x),则f (x)为偶函数.若f (a - x) =-f (a x),则f(x)为关于a,0中心对称.当且仅当a=0时有f(_x)-_f(x)则f(x)为奇函数.若f (x -a) = f (x • a)且f (a -x) = - f (a x)则f (x)既关于x = a对称，又关于a,0 中心对称.定义5 若n元函数f(X i,X2，…，X n)三f (X i,X i 1,…，X n,X i,…，x：丄)，(i =1,2，…,n ), 则称n元函数f (X i,X2，…，X n)关于X i,X2，…，X n具有轮换对称性•定义6：若- p(X i,X2, ,X n) D n R n( n N)有P i(X i,X i 1, ,X n,X i,厶J D n(i =1,2，…，n)成立，则称D n关于p(X i,X2，…,X n)具有轮换对称性.三、重积分的对称性(一)对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算■在特殊情况下，甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分■因此掌握对称性在积分中的方法是必要的■下面首先给出一个引理，由此得出一系列的结论，并通过实例说明这是结论的应用■引理设函数f (x)在a - h, a h上连续,则有f (x)dx = f (a x) f (a - x) dx (1)证令x二a t,有a h h hf(x)dx f(a t)dt f(a t)dta -h ' -h 0令t u,则0 0 hf (a t)dt = f (a -u)du = i f (a - u)du•山h 0将( 3)式带入(2)式,并将积分变量统一成x ,则(x)dx = ° f (a x) f (a - x)dx dx特别地，令a =0，就得公式:f(x)dx= ：〔f(x) f (-x)d x由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1设函数f (x)在［- h, h上连续，那么h h2)若 f(x)为偶函数，则f(x)dx=2 f(x)dx■_hoh3)若f(x)为奇函数，则 』f(x)dx=O次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助,是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.2一 ： cosxdx 2_ cosxdx匕x 21 2 2cosxdx=2注：而对于任 意区间上的定积分问题，可以平移 到对称区间Lh,h 1上求解。
㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。
积分计算中的对称性研究从古至今，人们对对称性的研究一直受到很大的关注。
在数学和自然科学中，对称性的研究是非常重要的。
在积分计算中，研究对称性也是十分重要的。
本文将从概念、应用和未来研究的这三个方面，对积分计算中的对称性进行综述。
首先，是对对称性的概念进行介绍。
对称性是指一种对像内部进行操作后，保持不变的性质。
常见的有形状对称性和行为对称性。
在积分计算中，对称性是指变量依赖函数的仿射变换不改变积分结果。
积分计算中的对称性可以应用于多个领域，其中最重要的一个应用是统计物理学。
在统计物理学中，统计分布函数体现了对称性，统计规律可以通过积分计算中的对称性来分析和理解。
此外，积分计算中的对称性还可以应用于量子力学、气象、机器学习和多项式优化等领域。
此外，积分计算中的对称性也可以用于一些新兴领域，如深度学习、量子计算和无线电子学。
深度学习是一种新兴的机器学习，可以通过积分计算中的对称性来处理复杂的机器学习任务。
量子计算是一种基于量子力学的新兴计算机技术，通过积分计算中的对称性，可以更有效地计算复杂的量子力学系统。
而在无线电子学中，积分计算中的对称性可以用来计算复杂的无线电参数，比如天线参数。
随着计算机技术的发展，积分计算中的对称性研究也会有新的进展。
未来，研究者将继续探索积分计算中的对称性，以建立新的理论，并应用到实际问题中去。
此外，将会出现一些新的研究方法，包括利用大数据和人工智能来研究积分计算中的对称性，以解决复杂的实际问题。
本文介绍了积分计算中的对称性，具体内容包括：对称性的概念、应用和未来研究。
研究者可以运用大数据和人工智能来深入研究积分计算中的对称性，以进一步提高计算效率和解决复杂的实际问题。
浅析对称性在积分中的应用摘要对称性是一种几何特征，它的的应用很广泛，其在数学，物理学，化学等方面.积分是高等数学的重要组成部分，其计算是一种基本运算，方法多种多样.在进行积分运算时，适当利用积分区域具有对称性和被积函数具有奇偶性的特征.由积分的几何意义，可以简化积分的计算过程.本文主要探讨了对称性在积分中的应用.首先从积分定积分、曲线积分、重以及曲面积分四个角度入手，讨论对称性在其积分计算中的应用，深入分析如何利用对称性解决积分问题，接着通过搜集近年来的考研数学试卷，最后分析得出利用对称性处理积分问题的方法以及注意事项，加深对利用对称性计算积分的理解，也为教学提供一定的参考.关键词对称性定积分重积分曲线积分曲面积分Analysis on the Application of Symmetry in integralAbstract Symmetry is widely used, and it is reflected in mathematics, physics, chemistry and so on.This paper mainly discusses the application of symmetry in integral operation.In college mathematics, the operation of integral is both the key point and the difficulty.In the integral operation, it is found that the integral region of most problems is symmetrical or the integrand function also has some kind of parity.If the symmetry is cleverly applied to solve such problems, it not only simplifies the calculation process but also saves the calculation time.This paper will start from four angles of definite integral, heavy integral, curve integral and curvature area, combined with the application of symmetry in the examination and study, how to solve the integral problem by using symmetry, and finally analyze the conditions, benefits and some aspects that need to be paid attention to in particular attention.Key words symmetry definite integral double integral Curve integral Surface integral目录引言 (1)1 对称性在定积分计算中的应用 (1)1.1 积分区间具有对称性 (1)1.1.1被积函数具有奇偶性 (2)1.1.2被积函数不具奇偶性 (2)1.2 积分区间不具对称性 (3)2 对称性在曲线积分计算中的应用 (4)2.1 第一型曲线积分中对称性的应用 (4)2.1.1 平面曲线关于坐标轴对称 (4)2.1.2平面曲线关于直线对称 (5)2.1.3 空间曲线关于坐标面对称 (6)2.1.4 空间曲线关于原点对称 (6)2.2 第二型曲线积分中对称性的应用 (7)2.2.1平面曲线关于坐标轴对称 (7)2.2.2平面曲线关于直线对称 (7)3 重积分中对称性的应用 (8)3.1 二重积分中对称性的应用 (8)3.1.1 积分区域关于坐标对称 (8)3.1.2 积分区域关于原点对称 (8)3.2 在三重积分中的应用 (9)3.2.1 积分区域关于坐标对称 (9)3.2.3 积分区域关于原点对称 (9)4 对称性在曲面积分中的应用 (10)4.1 在第一型曲面积分中的应用 (10)4.1.1 曲面关于坐标面对称 (10)4.2 对称性在第二型曲面积分上的应用 (12)4.2.1 曲面关于坐标面对称 (12)5 对称性在数学考研积分题中的应用 (13)结论 (14)参考文献 (15)致谢 (17)引言1 研究意义众所周知，对称性能给人以美的享受，客观世界中的许多事物都具有对称性.自然界的对称性为数学研究提供了一种独特的方法即对称方法.所谓对称性,意味着在某种变换下的不变性或组元的构形在其自同构变换群下所具有的不变性.数学中的对称性是比具体事物的对称性更深层次的对称.一方面，对称性在数学上的表现是普遍的，如中心对称几何图形中的轴对称、、正弦曲线等无不呈现出对称性；另一方面，数学思想与方法是解决问题的灵魂，在众多的解题方法论中，对称性思想与运用是解题方法中非常重要的解题思想与常见的解题策略，灵活运用对称性解题也是大学生应该具备的数学素养，尤其在利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性简化积分计算是积分运算中最常用的一种方法.积分在大学数学的学习中占有极为重要的地位, 只掌握常见的积分方法如换元积分法和分部积分法是远远不够的, 在某些复杂的积分计算中，用常规的方法解决十分困难.若能注意并利用题目中积函数的奇偶性积分区域的对称性和被，以及对一些原本并不具有对称性的问题，根据问题的特点构造对称性，便能够达到简化问题计算过程，提高解题效率的目的.2 实际应用在考研数学一中，一份试卷满分为150分，其中涉及高等数学占56%，分数值为82分，而在高等数学中所考察的关于积分积分计算的重点题型是不定积分、定积分、曲线积分、重积分和曲线、曲面积的计算.在计算过程中我重积分以及曲面积分的，其难点在于对分们能够利用的方法多种多样，常见的例如换元法和分部积分法，但大多数的题型还是利用积分的对称性来解题.我们研究近十年的考研数学一的真题中与积分相关的部分，然后进行整理归纳得出了如图 1 的数据：图 1 近十年考研数学一积分统计经过对考研数一的题目的分析研究，我们变会发现在计算解决积分问题时，主要涉及以下几个方法：（1）将曲线积分转化为定积分后，运用对称性简化计算;（2）在曲线积分中直接运用格林公式将其化为二重积分后，运用对称性性质简化计算;（3）在曲线积分中运用高斯公式将其化为三重积分后，运用对称性性质进行计算;（4）直接运用积分、曲面积分定积分、曲线积分、重四类积分的对称性性质进行计算.我们经历了对数据的统计与处理，便会发现对称性在大学数学解题中的重要性.同时，如果在数学教学过程中渗透对称性，对学生学好高等数学，特别是对参加考研的学生具有一定的指导意义.在下文中，我将会例举几个例子以便实证.3 内容结构的安排本文将首先阐述对称性在积分计算的重要地位，以及在考研数学中的地位与指导意义；其次利用对称性相关结论从定积分、重积分、曲线积分和曲面积分四个方面进行总结，并结合实例或考研数学中的真题加以验证；最后，论述利用对称性解题的条件与优势，总结出应用积分的相关对称性进行解题时要特别注意的方面有哪些.本文一共七章，其结构安排如下:第一部分是引言，主要论述对称性的作用与积分计算中的地位和指导意义.第二、三、四、五部分，总结在不同积分中其对称性的相关性质，并给予实例验证.第六部分是文章的结论，主要是分析对称性在解决积分计算问题上的优势，同时总结并再次强调应用对称性解题时要注意哪些方面.1 对称性在定积分计算中的应用1.1 积分区间具有对称性1命题 ()()[()]，则若dx x f x f dx x f aa a-+=⎰⎰-0（1）()()时，当x f x f -=()()dx x f dx x f aa a⎰⎰=-02有； （2）()()时，当x f x f --=()0=⎰-dx x f aa有.1.1.1被积函数具有奇偶性是使用时最需要注意的就()()x f x f -=或()()是否成立x f x f --=.例1⎰-+-212111ln dx xx. 分析 积分区域具有对称性，被积函数是奇函数 解 ()xxx f +-=11ln因为被积函数，且 ()()x f xxx x x f -=+--=-+=-11ln 11ln，即 ()是奇函数x f .011ln2121=+-⎰-dx xx因此，. 1.1.2被积函数不具奇偶性若被积函数是非奇非偶的，种方法进行总结可以采用以下2： ①改造被积函数，通过如拆项或加项，使函数出现奇数项或者偶数项； ②利用命题中的式子，将被积函数转化为便于计算的形式． 例2 计算dx xx x x ⎰--++112211cos 2.分析 奇函数和偶函数之和被积函数可以拆项分为. 解 dx xx x dx xx ⎰⎰--++-+=11211-2211cos 112原式 =0114122+-+⎰dx xx=()dx xx x ⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛--1022211114=dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--102114 =dx x ⎰--12144 =π-4例3 ()d xe x x ⎰+22-1ln 计算分析 ()()x e x x x f +=1ln 题目中的被积函数是非奇非偶函数，故不能直接利用对称性进行运算．因此我们可以考虑改造被积函数，由于一个函数可以改造成奇函数与偶函数之和，我们就可以从两个方面出发对被积函数进行变式运算.解 1方法 （考察()x f -是否为奇函数，或者与其他奇函数有什么差别） ()()()()，221ln 1ln 1ln x x f x e x ee x e x xf x x xx+-=++-=+-=+-=-即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=---222121x x f x x f .可见()221x x f -是奇函数， 故，可设()()222121x x x f x f +⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=.原式=()⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+22-22221ln dx x x e x x=()dx x dx x e x x⎰⎰-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+22222-2221ln =dx x ⎰-+22220 =⎰22dx x =38方法2 （本题还可以直接使用等式()()()[]⎰⎰--+=aaadx x f x f dx x f 0进行求解）原式=()()[]⎰-+-+21ln 1ln dx ex e x xx=()()[]⎰-+-+21ln 1ln dx e e x xx=()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+201ln 1ln dx e e e x x x x=()()[]⎰++-+201ln 1ln dx x e e x x x=dx x ⎰22 =38.1.2 积分区间不具对称性可以通过运算，将定积分从普通区间转化为对称区间，从而简化计算.方法1（区间拆分法） 利用定积分的区间可加性，将整体或者部分具有奇偶性的被积函数的积分区间转化对称的区间.例4 计算⎰41-dx x x分析 被积函数是奇函数，而积分区间中包含对称区间[]1,1-，且区间[]4,1可去掉绝对值.解 原式=dx x x dx x x ⎰⎰+4111-=dx x x ⎰41=dxx ⎰4123=562 方法2（变量替换法） 通过变量替换将积分区间转变为对称区间，但变量替换后的被积函数必须具有奇偶性.例5 计算().11dx x x x⎰-分析 ()x x -1二次函数 为对称轴，21=x ，而21=x 是[]1,0的中点，故可将纵轴平移至对称轴，化为偶函数．令21-=x t 或21+=x t ．发现变换后的函数可分为奇偶函数之和． 解 原式21-==x t dt t t t ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰2121212121-=dt t t dt t ⎰⎰--+212122121-241-4121 =dt t ⎰2102-41=4141⋅⋅π=16π 方法3（利用周期性） 利用积分的周期性可以将被积函数是周期函数的积分区间转化为对称区间．周期函数()x f 以0>T 为周期，有()()()⎰⎰⎰+-==Ta aTT dt t f dt t f dt t f t22.故，()()()()()()⎰⎰∑⎰⎰⎰-=-+====22110.T T T nk kT Tk nTa anTdt t f n dt t f ndt t f dt t f dt t f6例 .sin 1cos 202dx xx ⎰+π计算解 周期是被积函数是周期函数，π，且为偶函数，dt tt ⎰+=π2sin 1cos 2因此，原式dt tt⎰+=22-2sin1cos 2ππdt tt⎰+=202sin 1cos 4π⎰+=22sin 1sin 4πttd =arctan 4()20sin πt =π.2 对称性在曲线积分计算中的应用2.1 第一型曲线积分中对称性的应用2.1.1 平面曲线关于坐标轴对称 1 轴对称关于x命题 2 曲线，轴对称的一条光滑弧度平面上关于是在设x xoy L 其方程是一双值函数:()x y y +=，b x a ≤≤，L 轴的上半部分在x ()0>y 记为1L ，下半部分()0<y 记为2L ，()上连续在函数L y x p ,，则① ()()()⎰=-=-Lds y x P y x P y x P 0,,,,时当；② ()()()()⎰⎰==-LL ds y x P ds y x P y x P y x P 1,2,,,,时当.当关于y 轴对称时，结论类似.例7 ()d s y x y x yx I L⎰+++=223223计算.解 L 积分曲线轴和原点都是对称的轴、关于y x ，且3223y x y x 和分别关于y 轴和x 轴都是奇函数.故，02323==⎰⎰ds y x ds y x L L.因此，()d s y x y x y x I L⎰+++=223223()π16422==+=⎰⎰LLds ds y x.2 关于原点对称命题3 ()光滑曲线弧分段条面上关于原点对称的一是在设xoy L ，L 关于原点对称的部分记为1L ，()y x p ,函数在L 上连续，则① ()()()⎰=-=Lds y x P y x P y x P 0,,,-,-时当；② ()()()()⎰⎰==LL ds y x P ds y x P y x P y x P 1,2,,,-,-时当.2.1.2平面曲线关于直线对称 1 关于直线a x =对称命题4 滑曲线弧对称的一条（分段）光平面上关于直线是在设a x xoy L =，L 关于直线a x =对称的半部分为1L ，函数()y x P ,在L 连续，则① ()()()⎰=--=Lds y x P y x a P y x P 0,,,2,时当；② ()()()()⎰⎰=-=LL ds y x P ds y x P y x a P y x P 1,2,,,2,时当.2 关于直线b y =对称命题5 滑曲线弧对称的一条（分段）光平面上关于直线是在设b y xoy L =，1L 为L 关于直线b y =对称的一半部分，函数()y x P ,在L 连续，则① ()()()⎰=--=Lds y x P y b x P y x P 0,,2,,时当；② ()()()()⎰⎰=-=LL ds y x P ds y x P y b x P y x P 1.,2,,2,,时当例8 求⎰=Lyds I ，其中L 为平面区域(){}222,20,y y x y y x D --≤≤-≤≤=的整个边界.分析 L 分段光滑，且关于对称直线1=y ，这时就要求被积函数关于1-y 具有奇偶性. 解 易见L 关于对称直线1=y ，被积函数()()11,+-==y y y x P ，记()1,,-==y t t t x f ，则()t t x f =,满足对称性要求.因此，()[]().6111π+=+-=+-=⎰⎰⎰LLLds ds y ds y I2.1.3 空间曲线关于坐标面对称命题6 设Γ为关于yOz 坐标面对称的一光滑空间曲线，记Γ在yOz 坐标面的前半部分()0>x 为1Γ，后半部分()0<x 为2Γ，()z y x P ,,在Γ上连续，则① ()()()⎰Γ=-=-0,,,,,,,ds z y x P z y x P z y x P 时当；② ()()()()ds z y x P ds z y x P z y x P z y x P ⎰⎰ΓΓ==-1,,2,,,,,,,时当.当Γ关于其他坐标面对称时，同样具有类似的结论.例9 设：l 13422=+y x ，周长为a ，计算()⎰++lds y x xy 22432.解 由于曲线关于x ，y 轴对称，所以02=⎰lxyds ，又在124322=+y x 上，故，()()a ds ds y xds y xxy lll1212434322222==+=++⎰⎰⎰2.1.4 空间曲线关于原点对称命题7 设线弧度分段）的光滑的空间曲是关于原点对称的一（Γ是，1Γ为Γ关于原点对称的部分，()z y x P ,,连续，则① ()()()⎰Γ=-=-0,,,,,-,-,ds z y x P z y x P z y x P 时当；② ()()()()ds z y x P ds z y x P z y x P z y x P ⎰⎰ΓΓ==-1,,2,,,,,-,-,时当.例10 求()d s y x I ⎰Γ-=32，其中Γ为球面2222a z y x=++与平面0=++z y x 的交线.解 Γ关于原点对称，函数()x z y x P =,,满足()()z y x P z y x P ,,,-=---， 故，可得⎰Γ=0xds ，同理可得03=⎰Γds y ，因此().023=-=⎰Γds y x I2.2 第二型曲线积分中对称性的应用2.2.1平面曲线关于坐标轴对称 1 轴对称关于x L8命题 轴对称关于设分段光滑平面曲线x L ，上半平面部分且在L 1L 与在下半平面部分2L 的方向相反，则① ()的偶函数，则是关于变量若x y x P ,()0,=⎰dx y x P L；② ()的奇函数，则是关于变量若x y x P ,()()dx y x P dx y x P L L⎰⎰=2,2,.当轴对称关于y 时，结论类似. 例11 ()dx xy x yI L⎰+=cos 2,其中L 为122=+y x 圆周,逆时针方向.解：()()xy x y y x f cos ,2+=令，()L y x ∈,,分为将L 1L ：0,122≥=+y y x 与2L ：两部分0,122≤=+y y x .对于对称点()()，有L y x y x ∈-,,,()()y x f y x f -=,,,而1L ,2L 关于轴对称y ，且方向相同，所以 ()0cos 2=+=⎰dx xy x yI L.2.2.2平面曲线关于直线对称 1 L 关于直线a x =对称命题9 对称的一条光滑曲线弧平面上关于直线是在设a x xoy L =，21L L L +=，任意()L y x ∈,，有()L y x a ∈-,2,且21,L L 在y 轴投影方向相反，则① ()()y x a P y x P ,2,-=若()0,=⎰dx y x P L ，则；② ()()y x a P y x P ,2,--=若()()dx y x P dx y x P L L ⎰⎰=1,2,，则.2 L 关于直线b y =对称命题10 对称的一条光滑曲线弧平面上关于直线是在设b y xoy L =，21L L L +=，任意()L y x ∈,，有()L y a x ∈-2,,且21,L L 在y 轴投影方向相反，则① ()()y a x P y x P -=2,,若()0,=⎰dx y x P L，则；② ()()y a x P y x P --=2,,若()()dx y x P dx y x P L L⎰⎰=1,2,，则.3 重积分中对称性的应用3.1 二重积分中对称性的应用3.1.1 积分区域关于坐标对称 1、轴对称关于x D11命题 ()上可积在积分区域设D y x f ,，轴对称关于x D ，()y x f ,的为y ()函数或偶奇，中为D D 1的部分，则0≥y① ()()()0,,,,=-=-⎰⎰σd y x f y x f y x f D则若；② ()()()()⎰⎰⎰⎰==-1,2,,,,D Dy x f d y x f y x f y x f σ则若.轴对称时关于当积分区域y D ，结论类似.3.1.2 积分区域关于原点对称命题12 设()y x f ,在积分区域D 上可积,D 关于原点对称，()y x f ,同为 x ，y 的奇（或偶）函数，1D 为 D 中 0≥y 的部分，则：① ()()()⎰⎰=-=--Dd y x f y x f y x f 0,,,,σ则若；② ()()()()σσd y x f d y x f y x f y x f D D⎰⎰⎰⎰==--1,2,,,,则若.例12 求()⎰⎰≤++12222y x dxdy y x分析()⎰⎰≤++12222y x dxdy y x =()⎰⎰≤+++1222244y x dxdy xy y x=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+≤+++112122222224y x y x y x xy y x解 D ：122≤+y x ，关于x 轴对称，而()xy y x f =,为y 的奇函数，故⎰⎰≤+=1220y x xyd σ.又D ：122≤+y x 关于x y =对称，可得⎰⎰⎰⎰≤+≤+=12122222y x y x d y d x σσ.所以，原积分()45252551320222πθσσπ==+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰dr r d d y x d y DD. 3.2 在三重积分中的应用3.2.1 积分区域关于坐标对称 1、面对称关于xoy D13命题 ()上可积在积分区域设D z y x f ,,，面对称关于xoy D ，1D 是上半部分xOy ，则 ① ()的奇函数时，上是在当z D z y x f ,,()⎰⎰⎰=D dv z y x f 0,,；② ()的偶函数时，上是在当z D z y x f ,,()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1,,2,,D Ddv z y x f dv z y x f .当D 关于yoz xoz 、对称时，同样具有相类似的结论. 例122、D 关于轴对称z命题14 设()上可积在积分区域D z y x f ,,，轴对称关于z D ，1D 是D 位于过轴平面的z 一侧的部分，则① ()的奇函数时，上是在当y x D z y x f ,,,()⎰⎰⎰=D dv z y x f 0,,；② ()的偶函数时，上是在当y x D z y x f ,,,()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1,,2,,D Ddv z y x f dv z y x f .D 积分区域关于其他坐标轴对称时也具有类似结论. 3.2.3 积分区域关于原点对称15命题 设()上可积在积分区域D z y x f ,,，关于原点对称D ，1D 是D 位于过原点O 的平面一侧的部分，则① ()的奇函数时，上是在当z y x D z y x f ,,,,()⎰⎰⎰=D dv z y x f 0,,；② ()的偶函数时，上是在当z y x D z y x f ,,,,()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰=1,,2,,D Ddv z y x f dv z y x f .例13()⎰⎰⎰Ddv z y x z 222,,ln ，其中D 是133=-+zy x 与三个坐标面围成的四面体. 分析 D 关于xOy 面对称，的奇函数被积函数是z 解 D 关于xOy 面对称，()222ln z y x z ++的奇函数是z ，所以()0,,ln 222=⎰⎰⎰Ddv z yx z例14（2015数学一） 设Ω是由平面1=++z y x 和空间区域三个坐标平面所围成的，求解()dxdydz z y x ⎰⎰⎰Ω++32.分析 此题考考查三重积分的计算，可直接计算，也可利用对称性简化计算 解()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==++ΩΩzD dxdy dz z dxdydz z dxdydz z y x 16632，其中，z D 是平面z z =截空前区域Ω所得的截面，其面积为()2121-z .所以， ()()41121663221=-⋅==++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdz z z dxdydz z dxdydz z y x . 例15（2009数一） .12222⎰⎰⎰Ω≤++Ωdxdydz z z y x ，求解；设解 由于积分区域Ω对z y x ,,具有对称性，所以().154312222π=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩdxdydz z y xdxdydz z 4 对称性在曲面积分中的应用在一般的计算曲面积分的题目中，我们可以将曲面积分转化为重积分，再利用极坐标变换计算.但是如果合理运用对称性，则可简化步骤. 4.1 在第一型曲面积分中的应用4.1.1 曲面关于坐标面对称16命题 设在光滑曲面S 上()面对称，关于连续，若xoy S z y x f ,,1S 是S 在xOy 平面上方的部分，则① ()()0,,=⎰⎰SdS z y x f z z y x f 的奇函数，则有是关于，，若；② ()()()dS z y x f dS z y x f z z y x f S S⎰⎰⎰⎰=1,,2,,,,的偶函数，则有是关于若.例1616例 ()dS z y x S⎰⎰++，其中S 为2222a z y x=++球面被()a h h z <<=0截得的顶部.解 方法一（直接计算）曲面S 的方程为222y x a z --=，定义域D 为(){}2222,h a y x y x D xy -≤+=，由222221yx a a z z y x --=++，则()⎰⎰++SdS z y x f =⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛--++Dxydxdy y x a a y x a y x 222222 再利用极坐标变换，πθθθ20,0sin cos :≤≤+∞<≤⎩⎨⎧==r r y r x T ，，且在极坐标变换下， xy 平面上有界闭区域D 与θr 平面上区域∆对应，则⎰⎰--⎪⎭⎫ ⎝⎛--++Dxydxdy y x a a y x a y x 222222()⎰⎰∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=θθθrdrd a r a ar 22sin cos ()⎰⎰⎰⎰∆∆+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=θθθθardrd rdrd r a ar 22sin cos()⎰⎰⎰⎰--+-⋅+=ππθθθθ20222202222sin cos h a h a rdrd adr ra r d a()()22222120h a a h a a -=-⋅⋅+=ππ 方法二 （利用对称性计算）曲面S 方程为222y x a z --=，且曲面S 关于yOz 平面和zOx 平面对称，则0==⎰⎰⎰⎰SSydS xdS .定义域D 为(){}2222,h a y x y x D xy -≤+=，由222221yx a a z z y x --=++，则()⎰⎰⎰⎰=++SSzdS dS z y x f ⎰⎰++•--=Dxyy x dxdy z z y x a 222221()22h a a -=π4.2 对称性在第二型曲面积分上的应用在利用对称性求解第二型曲面积分时，需要特别注意投影元素的符号. 4.2.1 曲面关于坐标面对称命题17 面光滑的有向曲面是关于设xoy S ，S 在xOy 平面上方部分记为1S ，下方部分记为2S ，()z y x f ,,在S 上连续，则① ()0,,=⎰⎰Sdxdy z y x f z f 的奇函数，则有是关于若；② ()()dxdy z y x f dxdy z y x f z f S S⎰⎰⎰⎰=1,,2,,的偶函数，则有是关于若.若S 关于平面xoz ，yoz 对称，同样具有类似性质. 例17 计算⎰⎰sxyzdxdy ，其中S 是球面1222=++z y x ，在00≥≥y x ，部分并取球面外侧.解 方法一曲面S 在第一、第五象限部分的方程为：22111:y x z S --=，22221:y x z S --=.因为曲面S 关于平面xOy 对称，定义域(){}0,0,1,22≥≥≤+y x y x y x D D xy 为，则=⎰⎰Sxyzdxdy =⎰⎰12S xyzdxdy ⎰⎰--xyD dxdy y x xy 2212⎰⎰-=201231sin cos 2πθθθdr r r d 152=方法二曲面S 在第一、第五象限部分的方程为：22111:y x z S --=，22221:y x z S --=.他们在xoy 面上的投影区域都是单位圆在第一象限的部分，即(){}0,0,1,22≥≥≤+y x y x y x D xy ，依题意，积分是沿1S 的上侧和2S 的下侧进行，所以，=⎰⎰Sxyzdxdy =+⎰⎰⎰⎰21S S xyzdxdy xyzdxdy ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛------xyxyD D dxdyy x xy dxdy y x xy 222211⎰⎰--=xyD dxdy y x xy 22121521sin cos 21232=-=⎰⎰dr r r d θθθπ例18（2019数一） 设∑为曲面()044222≥=++z z y x 的上侧，=--⎰⎰∑dxdy z x 2244332分析 注意到积分微元是dxdy ，说明为第二型曲面积分可直接进行计算，不需要将曲面往坐标面投影，将曲面带入被积函数，有dxdy y dxdy y dxdy z x I y x y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+∑==--=44222222244，积分区域关于x 轴对称，被积函数y 是关于y 的偶函数，利用对称性： 332422==⎰⎰≤+dxdy y I y x . 结论常见的积分计算方法有换元法和分部积分法，这些方法比较基础同时也是必要的，对于解决一些简单的积分计算问题有效.但是当遇到复杂的微积分计算和证明问题，特别是涉及到三元或三元以上的多元微积分问题，用常规的方法解决十分困难.针对这种情况，本文提出了利用对称性解题的方法，分别从定积分、重积分、曲线积分和曲面积分四大方面来讨论了对称性，并列举了相应的实例，的确通过本文我们可以清楚地看到利用对称性解题，非常奏效，极大地简化了积分计算.不论是在二重积分、三重积分、两类曲线积分和两类曲面积分中，它的这种简化作用都十分明显.应用对称性计算积分时应注意以下两方面：必须满足积分区域和被积函数两个方面同时具有某种对称性时才能使用.若仅有积分区域具有对称性，则需依据具体题目要求，将被积函数变形，使之具有对称性.对于型曲面积分第二型曲线积分和第二，在利用对称性时，需要考虑积分路线的方向和曲面，确定投影元素的符号.的侧参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].北京：高等教育出版社,2010.[2]华东师范大学数学系.数学分析(下册)[M].北京：高等教育出版社,2010.[3]同济大学数学系.高等数学(7版上册)[M]．北京：高等教育出版社,2014．[4]同济大学数学系.高等数学(7版下册)[M]．北京：高等教育出版社,2014．[5]马志辉.对称性在积分计算中的应用[J].高等数学研究,2017年,20(1)5.[6]薛春荣,王芳.对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J].科学技术与工程,2010,10(1).[7]王慧,叶永升.对称性在两类曲线积分中的应用[J].淮北师范大学学报(自然科学版),2011,32(4).[8]顾庆凤.关于重积分、曲线积分、曲面积分的对称性定理的应用[J].中国教育研究论丛,2006.[9]梁应仙,辛兰芬.对称性在三重积分计算中的应用[J].沈阳大学学报,2003,15(4).[10]赵树源.微积分[ M] 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Visual cognition,2013,21(7).致谢通过这段时间的忙碌，毕业论文总算是完成了.从不会到会，一路走来，我学会了许多.首先我了解了写一篇论文的大致流程，学会了如何去写一篇论文，假如哪天我真的有机会需要写论文，就不会再去查询写论文的格式规范；然后就是对积分的认识更深刻了，特别是积分计算上是获益匪浅；最后，我学会了在压力下成长，怎样去缓解和释放压力，是我们每个人都要去面对的，让我们在压力面前显得不再那么脆弱与无奈.在论文的写作过程中遇到了无数的困难和障碍，都在同学和老师的帮助下度过了.在图书馆查找资料的时候，图书馆的老师给我提供了很多帮助与支持，尤其要强烈感谢我的论文指导老师，没有她对我的指导和帮助，无私的为我进行论文的修改和改进，就没有我这篇论文的最终完成.在此，我向指导和帮助过我的老师们表示最衷心的感谢！还要感谢我的同学和朋友,在我写论文的过程中给予我了很多素材,还在论文的撰写和排版过程中提供热情的帮助.最后，我也要感谢本论文所引用的各位学者的专著，如果没有这些学者的研究成果的启发和帮助，我将无法完成本篇论文的最终写作.由于我的学术水平有限，所写论文难免有不足之处，恳请各位老师和同学批评和指正！。
对称性在积分计算中的应用探讨
积分是一种强有力的数学方法，它在物理学、数学和工程学等领域的应用非常广泛。
积分的对称性也给它的应用带来了更多的便利。
积分的对称性是指可以轻松地将一个复杂的多项式函数表示为另一个函数，这样可以让一个复杂的多项式函数更容易进行求解。
例如，要对一个变量x的多项式函数：
f(x)=x^n+x^(n-1)+...+ x+1求积分，可以用对称性来把它转换成一个简单的函数：F(x) = x^(n+1) + x^(n-1) + ... + x + C，其中C是一个初等函数。
这样做有以下好处：可以将一个难以求解的多项式函数轻松地求解；可以根据某个函数的定义计算另一个函数的定义；传递属性可以快速传递，而且可以在更低的维度上进行积分处理。
另外，积分的对称性还允许在计算复杂的积分时利用减少计算量的一个重要性质。
具体地说，一个有趣的思想是可以将一个复杂的积分表达式分解为更小的积分子表达式，然后使用积分的对称性来求解它们。
这样做可以大幅减少计算量，使本来可能需要几天才能求解的问题在几秒钟内就能得到解答。
积分的对称性为积分计算提供了更多的便利。
不仅可以将复杂的函数简化，还可以减少计算量从而节省时间。
因此，积分的对称性在科学、工程和其他领域的应用是十分广泛的。
开题报告信息与计算科学对称性在积分计算中的应用研究一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义对称性（symmetry ）是现代物理学中的一个核心概念, 它泛指规范对称性（gaugesymmetry) , 或局域对称性local symmetry ）和整体对称性（global symmetry ）. 它是指一[1]个理论的拉格朗日量或运动方程在某些变数的变化下的不变性. 如果这些变数随时空变化, 这个不变性被称为规范对称性, 反之则被称为整体对称性. 物理学中最简单的对称性例子是牛顿运动方程的伽利略变换不变性和麦克斯韦方程的洛伦兹变换不变性和相位不变性. 数学上, 这些对称性由群论来表述. 上述例子中的群分别对应著伽利略群, 洛伦兹群和U(1)群. 对称群为连续群和分立群的情形分别被称为连续对称性（continuous symmetry)和分立对称性(discrete symmetry). 德国数学家外尔(Hermann Weyl)是把这套数学方法运用於物[2]理学中并意识到规范对称重要性的第一人. 1950年代杨振宁和米尔斯意识到规范对称性可以完全决定一个理论的拉格朗日量的形式, 并构造了核作用的SU(2)规范理论.[3]我这次论文方向主要涉及对称性在积分计算中的应用. 在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇、偶性, 往往可以简化计算, 达到事半功倍的效果. 近年来, 在全国研究生入学考试数学试题中不乏涉及对称性的积分试题. 本文将系统地介绍有关[4]内容并举出相关例子.以二重积分为例若积分区间关于变元具有轮换对称性, 则必有D ,x y 积分区域关于直线对称. 因此在某些复杂的积分过程中, 若能注意并充分利用积分D y x =区域的轮换对称性往往可以简化积分计算过程, 提高解题效率. 例如[6](1) , 1(,)(,)((,)(,))2D D f x y d f y x d f x y f y x d σσσ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2) 若关于直线对称,记为中位与直线上半部分区域, 则有D y x =1D D y x =. 12(,),(,)(,)(,)0,(,)(,)D D f x y d f x y f y x f x y d f x y f y x σσ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩⎰⎰⎰⎰积分在数学分析中是相当重要的一项内容, 而在计算积分的过程中, 我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型. 那么, 如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性, 并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去, 往往可以简化计算过程, 收到意想不到的效果, 引起感情激荡, 造成感情上的共鸣, 更好地感知、理解数学美. 特别是对[7]于有些题目, 我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果. 在积分计算中利用对称性来解题这种方法, 是一种探索性的发现方法, 它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此, 在积分计算中, 可以利用对称性来帮助求解, 不过我们在应用对称性求积分时还必须注意: 必须兼顾被积函数与积分区域两个方面, 只有当两个方面的对称性相匹配时才能利用; 对于第二型曲线积分与曲面积分, 在利用对称性时, 还需考虑路线的方向和曲面的侧, 应慎重; 合理利用对称性以求简便计算.[8]二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题研究的基本内容: 对称性在积分计算中的应用研究解决的主要问题:1． 总结各种积分的计算方法2． 将应用对称性求解的方法, 与原来的方法比较看优化之处.三、研究步骤、方法及措施：一．研究步骤:1． 查阅相关资料, 做好笔记;2． 仔细阅读研究文献资料;3． 在老师指导下确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告;4． 翻译英文资料;5． 开题报告通过后撰写毕业论文;6． 上交论文初稿;7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述;8．论文定稿.二．方法、措施: 通过到图书馆、上网等查阅收集资料, 参考相关内容在老师指导下, 归纳整理各类问题四、参考文献[1] 王仲春等编著. 数学思维与数学方法论[M]. 北京: 高等教育出版社, 1991,.[2] 王寿生等编. 130 所高校研究生高等数学入学试题选解及分析[M] 沈阳: 辽宁科技出版社,1988.[3] 陈仲、洪祖德编. 高等数学·研究生入学试题与典型例题选解[M]. 南京: 南京大学出版社, 1986.[4] 同济大学数学教研室主编. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 1996.[5] 龚冬保. 数学考研典型题[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 2000.[6] 陈增政, 徐进明. 利用对称性简化被积函数是线性函数解的计算[J]. 工科数学, 1994,4(10): 181~183.[7] D. Bennis, N. Mahdou . Strongly gornstein p rojective, injective [J], and flat modules1J PureApp l Algebra, 2007; 210: 437~445.[8] I.M , Gelfand, G.E.Shilov. Generalized functions, vol. I [M]. New York: Academic Press1964.。
浅谈多重积分中的对称性问题【摘要】在求解多重积分的问题的时候,总会有一些特殊的情况是用一般的方法无法解决或者说很困难的,然而这些替米可以通过很特殊的对称性问题得以简便得解决,既方便又准确无误,本文将就多重积分求解中的对称性问题做一简短的总结归纳。
【关键词】二重积分三重积分对称性奇偶性1.二重积分中的对称性问题。
在计算二重积分的问题的时候,往往有些题目是通过一般方法无法解决的,而这些题目中会有一些题目是很特殊的对称性问题,通过使用固定的方法就能够迅速准确地算出答案,节省了时间,提高了效率和准确度。
1.1 积分域关于轴的对称。
1.1.1 关于x轴对称。
设D关于x轴对称()其中,1.1.2 关于y轴对称。
与关于x轴对称相似。
例1.1.1 计算:,解:添,分域为1.2 积分域关于原点对称。
与关于x轴对称相似。
1.3 积分域关于直线y=x对称(即轮换对称性)设D关于y=x对称,()例1.3.1 D:D1是D在x≥0部分,则(B)A.B.C.D.解:A.=0,C.,D.B.评注:D关于y=x对称。
例1.3.2 求其中解:区域D关于x,y轴均对称,对x,y均为偶函数。
,其中再用变量轮换对称性(把x与y互换,区域D1不变),于是因此,I=评注:D1关于y=x对称,于是。
例1.3.3 计算,其中S是球面在第一卦限中的部分。
解:直接化为二重积分计算。
由于所以记,则评注:本题使用了轮换对称性。
例1.3.4 计算,其中曲面S:, ; 是S向上的法向量。
解:由于,所以根据曲面S关于坐标面的对称性,得再由S关于x,y的轮换对称性,得因此I=0。
2.三重积分中的对称性问题。
三重积分往往相对较麻烦,和二重积分一样,一些特殊的有关对称性的问题可以通过一些特殊的方法迎刃而解,方便迅速又准确无误。
2.1 积分域关于面的对称。
2.1.1 积分域关于xoy面对称。
设Ω是空间中的有界闭区域,在Ω上可积。
若Ω关于xoy平面对称,则其中例2.1.1 ,解:Ω关于xoy面对称,关于z轴为奇函数,I=0。
对称性在积分计算中应用对称性在积分计算中的应用是数学领域中的一个重要主题。
对称性是指数学对象在一定变换下保持不变的性质。
在积分计算中，对称性可以极大地简化计算过程，使其更加高效且容易处理。
本文将从对称性的定义、对称积分的概念和性质以及对称积分的应用三个方面展开详细阐述。
首先，我们来介绍对称性的定义。
在数学中，对称性是指对象在其中一种变换下保持不变的特性。
常见的对称性包括轴对称、面对称、旋转对称等。
对称性是研究各种数学对象的基本性质，对于深入理解和应用数学有着重要的作用。
对称积分是指根据数学对象的对称性，进行积分计算时可以简化积分表达式的一种方法。
具体而言，对称积分是通过利用积分函数的对称性，减少积分计算时所需的代数运算和变换，简化积分表达式，从而得到更加简洁和高效的计算结果。
对称积分有许多重要的性质。
首先，对称积分满足线性性质，即对于两个函数f(x)和g(x)，以及实数a和b，有∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx。
其次，对称积分满足区间可加性，即对于两个不相交的区间[a, c]和[c, b]，有∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx。
除了这些基本性质外，对称积分还有一些重要的应用。
首先，对称积分可以用于求解一些特殊函数的积分。
例如，高斯函数e^(-x^2)经常出现在概率论和统计学中，而该函数的积分在正态分布的计算中起着重要作用。
通过对高斯函数具有的轴对称性进行积分，可以简化计算过程，得到高斯函数积分的解析表达式。
其次，对称积分可以用于计算一些几何问题。
例如，计算平面上其中一函数图像与坐标轴之间的面积。
如果该函数具有轴对称性或者面对称性，可以利用对称积分的方法进行计算。
通过选择适当的坐标系，并利用积分的对称性对积分区间进行简化，可以将原问题转化为更加简单的计算。
对称性在积分计算中的应用【摘要】本文总结、归纳了积分区域的对称性（包括轮换对称性）和被积函数的奇偶性在积分计算中的一些重要结论，并通过例题演示了这些对称性的结论在计算积分时可以大大简化积分计算，提高解题效率.【关键词】积分;对称;应用一、引言在定积分的计算中，利用积分区间关于原点对称的特点和被积函数的奇偶性可以大大简化积分的计算量，起到事半功倍的效果.此性质经过推广，在二重积分、三重积分、第一型曲线积分、第一型曲面积分的计算中，利用积分区域关于坐标轴、坐标面对称的特点和被积函数的奇偶性，同样可以大大简化积分的计算.此外，在积分的计算过程中，利用积分区域和被积函数的轮换对称性也可有效地起到简化计算的作用，本文拟系统介绍这方面的结论，并举出相关应用实例给予说明.二、有关对称性的结论（一）在定积分的计算中若积分区间关于原点对称，则∫a-af（x）dx= 2∫a0f（x）dx，f（x）在[-a，a]上是偶函数，0，f（x）在[-a，a]上是奇函数.（二）在二重积分的计算中1.若积分区域D关于x轴对称，则D f（x，y）dσ=2 D 1 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量y是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量y是奇函数，其中D1是区域D在x轴上方（或下方）的部分.2.若积分区域D关于y轴对称，则D f（x，y）dσ=2 D 2 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量x是奇函数，其中D2是区域D在y轴右侧（或左侧）的部分.3.若积分区域D关于原点对称，则D f（x，y）dσ=4 D 3 f（x，y）dσ，f（x，y）在区域D上关于变量x和y都是偶函数，0，f（x，y）在区域D上关于变量x或y是奇函数，其中D3是区域D在第一象限的部分.4.若积分区域D关于直线y=x对称（轮换对称性），则D f（x，y）dσ= D f（y，x）dσ= 1 2 D [f（x，y）+f（y，x）]d σ.（三）在三重积分的计算中1.若积分区域Ω关于坐标面x=0对称，则Ωf（x，y，z）dv=2 Ω1 f（x，y，z）dv，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，其中Ω1是Ω中x≥0的部分.若把x换成y或z也有相同的结论.2.若积分区域Ω关于x，y，z具有轮换对称性，则Ωf（x，y，z）dv= Ωf（y，z，x）dv= Ωf（z，x，y）dv = 1 3 Ω[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dv.（四）在第一型曲線积分的计算中1.设平面分段光滑曲线L关于x轴对称，则∫Lf（x，y）ds= 2∫L1f（x，y）ds，f（x，y）关于变量y是偶函数，0，f（x，y）关于变量y是奇函数，其中L1是L上y≥0的部分（前半段）.若把x换成y也有相同的结论.2.设空间分段光滑曲线L关于坐标面x=0对称，则∫Lf（x，y，z）ds=2∫L2f（x，y，z）ds，f（x，y，z）关于变量x是偶函数，0，f（x，y，z）关于变量x是奇函数，其中L2是L上x≥0的部分.若把x换成y或z也有相同的结论.3.若积分曲线L关于x，y具有轮换对称性（当x=y时曲线方程不变），则∫Lf（x，y）ds=∫Lf（y，x）ds= 1 2 ∫L[f（x，y）+f（y，x）]ds.4.若积分曲线L关于x，y，z具有轮换对称性（当x=y，y=z，z=x时曲线方程不变），则∫Lf（x，y，z）ds=∫Lf（y，z，x）ds=∫Lf（z，x，y）ds= 1 3 ∫L[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]ds.（五）在第一型曲面积分的计算中1.设分片光滑曲面Σ关于坐标面x=0对称，则Σf（x，y，z）dS=2Σ1f（x，y，z）dS，f（x，y，z）关于变量x为偶函数，0，f （x，y，z）关于变量x为奇函数，其中Σ1是Σ上x≥0的部分（前半部分）.若把x换成y或z也有相同的结论.2.（轮换对称性）若积分曲面Σ关于x，y，z具有轮换对称性，则Σf（x，y，z）dS=Σf（y，z，x）dS=Σf（z，x，y）dS= 1 3 Σ[f（x，y，z）+f（y，z，x）+f（z，x，y）]dS.三、应用举例例1 计算∫1 2 - 1 2 1-x 1-x2 dx.分析∫1 2 - 1 2 1-x 1-x2 dx=∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx-∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx，注意到积分区间关于原点对称，其中∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx的被积函数关于x是奇函数，所以此积分为0.而∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx的被积函数关于x是偶函数，由前面总结的性质可得：原式=∫1 2 - 1 2 1 1-x2 dx-∫1 2 - 1 2 x 1-x2 dx=2∫1 2 0 1 1-x2 dx=2arcsinx 1 2 0=2×π6 = π3 .例2 计算D （x2-2x+3y+2）dxdy，其中D：x2+y2≤a2.分析区域D既关于x轴对称又关于y轴对称，而x2关于x是偶函数，2x和3y分别关于x和y是奇函数，故：原式= D x2dxdy- D 2xdxdy+ D 3ydxdy+ D 2dxdy= D x2dxdy-0+0+2 D dxdy=∫2π0dθ∫a0（rcosθ）2rdr+2πa2= 9 4 πa2.例3 计算Ω（xy+1）zdv，其中Ω为曲面z= 1-x2-y2 和z= x2+y2 所围区域.分析Ω（xy+1）zdv= Ωxyzdv+ Ωzdv，Ω关于坐标面x=0对称，而xyz关于x是奇函数，故Ωxyzdv=0，所以Ω（xy+1）zdv= Ωzdv=∫2π0dθ∫π4 0dφ∫10rcosφ.r2sinφdr= π8 .例4 计算I=∮L[（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2]ds，其中L：x2+y2+z2=R2，z= R 2 .分析原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2xds-∮L2yds-∮L2zds，考虑到曲线L关于yOz面对称，2x是关于x的奇函数，所以∮L2xds=0，同理，曲線L关于zOx面对称，2y是关于y的奇函数，所以∮L2yds=0，所以原式=∮L[（x2+y2+z2）+3]ds-∮L2zds=∮L（R2+3）ds-∮LRds=（R2-R+3）∮Lds=（R2-R+3）·2π· 3 2 R= 3 πR（R2-R+3）.例5 计算曲面积分S（x+y+z）ds，其中S为上半球面z= a2-x2-y2 .分析曲面关于坐标面x=0，y=0对称，而x和y分别关于变量x和y为奇函数，故S（x+y）ds=0，又S在坐标面z=0上的投影为x2+y2≤a2.且ds= 1+z2x+z2y = 1+ x2 a2-x2-y2 + y2a2-x2-y2 = a2 a2-x2-y2 = a z ，原式=Szds=x2+y2≤a2z·a z dxdy=ax2+y2≤a2dxdy=πa3.例6 计算Ω（x2+z2）dv，其中Ω：x2+y2+z2≤1.分析积分区域是个单位球，关于x，y，z具有轮换对称性，所以Ω（x2+z2）dv= Ω（y2+x2）dv= Ω（z2+y2）dv，1 3 Ω（x2+z2+y2+x2+z2+y2）dv= 2 3 Ω（x2+y2+z2）dv= 2 3 ∫2π0dθ∫π0dφ∫10r4sinφdr= 8 15 π.例7 计算∮L（z+y2）ds，其中L：x2+y2+z2=R2，x+y+z=0.分析由空间曲线L的方程知道，当x=y，y=z，z=x时，曲线L的方程不变，具有轮换对称性，所以∮Lxds=∮Lyds=∮Lzds，∮Lx2ds=∮Ly2ds=∮Lz2ds，于是∮Lzds= 1 3 ∮L（x+y+z）ds= 1 3 ∮L0ds=0，∮Ly2ds= 1 3 ∮L[x2+y2+z2]ds= R2 3 ∮Lds= 2πR3 3 ，所以∮L（z+y2）ds= 2 3 πR3.例8 计算Σ（x+z+1）2dS，其中Σ：x2+y2+z2=R2.分析Σ（x+z+1）2dS= Σ（x2+z2+1+2xz+2x+2z）dS.由积分曲面Σ的对称性及被积函数为奇函数的特点，知ΣxdS=0，ΣzdS=0，ΣxzdS=0.又由积分曲面Σ的轮换对称性知，Σx2dS= Σy2dS= Σz2dS= 1 3 Σ（x2+y2+z2）dS，所以Σ（x+z+1）2dS= 2 3 Σ（x2+y2+z2）dS+ Σ1·dS = 2 3 R2 ΣdS+4πR2= 8 3 πR4+4πR2.通过上面这些例子的计算演示可以看出，在计算积分的过程中，如果能及时利用积分区域（区间）的对称性和被积函数的奇偶性以及积分区域的轮换对称性，在很多时候可以有效减少烦琐的计算量，提高解题效率.。
