利用对称性计算曲线积分与曲面积分

曲线积分与曲面积分常见题型攻略以心同学整理一、计算第一类曲线积分步骤：（一）平面曲线积分t t g y t x L ,)()(:1.化简（1）代入化简【常用在k t g t f )](),([ （常数）的情形】Lds y x f ),(Lds t g t f )](),([ kskds L其中s 为积分曲线L 的长度。

（2）利用奇偶对称性化简①若积分曲线L 关于坐标轴y 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L x y x f ds y x f x y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为y 轴右边部分。

②若积分曲线段L 关于坐标轴x 轴对称，则有Lds y x f ),(1),(,),(2),(0L y y x f ds y x f y y x f 的偶函数是的奇函数是，其中1L 为x 轴上边部分。

（3）利用轮换对称性化简若积分曲线L 中把x 与y 互换，积分曲线不变，则有Lds y x f ),( Ldsx y f ),(2.确定积分曲线L 的参数式方程t t g y t x L ,)()(:注：积分曲线一般以)(x f y 或)(y g x 的形式出现，此时参数式为：b x a x f y x x L,)(:，dy c y y y g x L,)(:3.套公式（一代二换三定限）化为定积分Lds y x f ),(dtt g t t g t f )()()](),([22注意：上限 大于下限 4.计算定积分例1【2017-2018期末】设L 是直线)40(1243 x y x 的一段，则Lds y x )43(60；解：Lds y x )43( Lds12代入化简6012 s 。

例2【2018-2019期末】计算Lds x y)(2，其中L 为圆周422 y x .解：法一：L 的参数方程为sin 2cos 2y x （ 20 ），d d ds 2)cos 2()sin 2(22 ，于是Lds x y )(22022)cos 2sin 4(d 0sin 8202d822148 .法二：由对称性有Lds y 2 Lds x 2（轮换对称），0 Lxds （奇偶对称）所以Lds x y )(2 Lds y 2L ds y x )(2122 Lds 421（代入化简）8422 Lds .例3【2019-2020期末】计算曲线积分Lds y xy x )(22，其中L 为平面区域}0,1|),{(22 y y x y x D 的边界曲线。

∑
∑
∑1
乙 乙 则 z2dy=2 π （asin t ）2 a costdt= a3 [sint-（ t + sin2t ）]|
Γ
0
22
2
22
π0=-
1 4
πa3
2 利用函数奇偶性及积分曲面的对称性计算曲面积分
2.1 在计算第一型曲面积分中的应用
定理 4 设曲面∑分片光滑且关于坐标面 xoy 对称,函数 f
乙Pdx+Qdy+Rdz=
Γ
乙 乙 z
2z
z
Pdx+Qdy+Rdz 若
Pdx+Qdy+Rdz 是关于 z 奇函数
Γ z
zz
Γ
∈
z
0z
z zz z
乙 若 Pdx+Qdy+Rdz 是关于 z 的偶函数 Γ
其中 Γ1 为 Γ在 x≥0 的部分区域。
注：将关于变量 x 的对称性换成关于变量 y 或 z 的对称性
Γ
y乙2 f（x，y，z）dy 若 f（x,y）是关于 y 的单元偏偶函数 Γ1
0
若 f（x,y）是关于 y 的单元偏奇函数
乙 例 题 3 计 算 z2dy， 其 中 Γ：x2+y2=ax （z≥0，a>0） 若 从 x Γ
轴的正半轴去看，此曲线以逆时针方向为正向。 解：显然Γ关于坐标面 zox 同向对称,函数 f（x，y，z）=z2 是关
0
若 f（x,y）是关于 x 的单元偏奇函数
证明：设Γ1，Γ2 参数方程分别为：
y y x=x（t）
x=x（t）
Γ1： y=y（t） a≤t≤b Γ2： y=y（t） -b≤t≤-a，

㊀㊀㊀１３７㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７对称性在积分计算中的应用对称性在积分计算中的应用Һ姚晓闺㊀陈俊霞㊀丁小婷㊀（陆军炮兵防空兵学院基础部数学教研室，安徽㊀合肥㊀２３００３１）㊀㊀ʌ摘要ɔ在数学范围内，特别是在积分方面，对称性的应用极为普遍．在研究和计算积分类的问题时，对称性的应用对简化解题过程㊁优化计算步骤的作用十分显著，这也使其成为积分计算中一种不可或缺的手段．利用对称性计算积分主要包括两方面：一是积分区域关于坐标面㊁坐标轴和原点对称的情况下被积函数具有奇偶性的积分；二是积分区域关于积分变量具有轮换对称性的情况下的积分．本文通过对各类积分的对称性进行归纳总结，使读者能够有效理解和掌握．ʌ关键词ɔ对称性；积分区域；被积函数；积分计算；积分一㊁定积分的对称性及其应用定理㊀若ｆ（ｘ）在［－ａ，ａ］上可积，则（１）当ｆ－ｘ()＝－ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝０；（２）当ｆ－ｘ()＝ｆ（ｘ）时，ʏａ－ａｆ（ｘ）ｄｘ＝２ʏａ０ｆ（ｘ）ｄｘ．例㊀求ʏπ０ｘｓｉｎｘ１＋ｃｏｓ２ｘｄｘ．解㊀令ｘ＝π２＋ｔ，则原式＝ʏπ２－π２π２＋ｔ()ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝ʏπ２－π２ｔｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＋π２ʏπ２－π２ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝０＋πʏπ２０ｃｏｓｔ１＋ｓｉｎ２ｔｄｔ＝πａｒｃｔａｎｓｉｎｔπ２０＝π２４．二㊁重积分的对称性及其应用１．二重积分的对称性原理二重积分具有以下对称性：定理１㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０｝．当Ｄ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．定理２㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，且Ｄ关于ｘ轴和ｙ轴都对称，则１）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）或ｆ－ｘ，ｙ()＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（ｘ，－ｙ）＝ｆ－ｘ，ｙ()＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ，其中Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）ɪＤｘȡ０，ｙȡ０｝．定理３㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于原点对称，则１）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；２）当ｆ（－ｘ，－ｙ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．定理４㊀设二元函数ｆ（ｘ，ｙ）在平面区域Ｄ内连续，Ｄ＝Ｄ１ɣＤ２，且Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝ｘ对称，则１）∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄｘｄｙ；２）当ｆ（ｙ，ｘ）＝－ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝０；３）当ｆ（ｙ，ｘ）＝ｆ（ｘ，ｙ）时，有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ＝２∬Ｄ１ｆ（ｘ，ｙ）ｄｘｄｙ．当Ｄ１，Ｄ２关于直线ｙ＝－ｘ对称时，也有类似结论．例１㊀求∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１｝．解㊀易知题中被积函数｜ｘ｜＋｜ｙ｜为ｘ，ｙ的偶函数，且Ｄ区域具有对称性．记Ｄ１＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ｜＋｜ｙ｜ɤ１，且ｘȡ０，ｙȡ０｝，于是㊀㊀㊀㊀㊀１３８数学学习与研究㊀２０２２ １７∬Ｄ（｜ｘ｜＋｜ｙ｜）ｄｘｄｙ＝４∬Ｄ１（ｘ＋ｙ）ｄｘｄｙ＝４ʏ１０ｄｘʏ１－ｘ０（ｘ＋ｙ）ｄｙ＝２ʏ１０１－ｘ２()ｄｘ＝４３．例２㊀求∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ，其中Ｄ为ｙ＝ｘ３㊁ｙ＝１㊁ｘ＝－１所围区域，ｆ是连续函数．解㊀此题积分区域Ｄ关于坐标轴不具有对称性，根据积分区域的特点，做辅助曲线ｙ＝－ｘ３，将Ｄ分为Ｄ１和Ｄ２，它们分别关于ｙ轴和ｘ轴对称，而ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）关于ｘ是奇函数，关于ｙ也是奇函数．故∬Ｄｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝∬Ｄ１ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＋∬Ｄ２ｘｙｆ（ｘ２＋ｙ２）ｄｘｄｙ＝０．原式＝∬Ｄｘ１＋ｙｆ（ｘ２＋ｙ２）[]ｄｘｄｙ＝∬Ｄｘｄｘｄｙ＝ʏ０－１ｄｘʏ－ｘ３ｘ３ｘｄｙ＝－２５．２．三重积分的对称性原理定理１㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于ｘＯｙ面对称，Ω１是Ω在ｘＯｙ面上方部分，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．当Ω关于其他坐标面对称时，也有类似结论．定理２㊀设ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）在区域Ω上可积，Ω关于原点对称，Ω１是Ω位于过原点Ｏ的平面一侧的部分．则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝０，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝２∭Ω１ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ，ｆ（－ｘ，－ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．例㊀计算三重积分∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ，其中Ω为区域｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１，ｚȡ０｝．解㊀设Ω１表示开球｛（ｘ，ｙ，ｚ）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２ɤ１｝，注意到Ω关于ｙＯｚ面对称，而Ω１关于三个坐标面都是对称的，所以∭Ω（ｘ＋ｚ）２ｄＶ＝∭Ωｘ２＋２ｘｚ＋ｚ２()ｄＶ＝∭Ωｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１２∭Ω１ｘ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３∭Ωｘ２＋ｙ２＋ｚ２()ｄＶ＝１３ʏ２π０ｄθʏπ０ｓｉｎφｄφʏ１０ｒ４ｄｒ＝４１５π．三㊁对弧长的曲线积分的对称性及其应用定理㊀设Ｌ是平面上分段光滑的曲线，且Ｐ（ｘ，ｙ）在Ｌ上连续．１）若Ｌ关于ｘ轴对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，－ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，－ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在上半平面的部分．当Ｌ关于ｙ轴对称时，也有类似结论．２）若Ｌ关于原点对称，则ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝０，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝－Ｐ（ｘ，ｙ）；ʏＬＰ（ｘ，ｙ）ｄｓ＝２ʏＬ１Ｐ（ｘ，ｙ）ｄｓ，Ｐ（－ｘ，－ｙ）＝Ｐ（ｘ，ｙ）．其中Ｌ１是Ｌ在右半平面或上半平面部分．例㊀计算ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ，其中曲线Ｌ是椭圆ｘ２４＋ｙ２３＝１，其周长为ａ．解㊀由于Ｌ关于ｘ轴对称且２ｘｙ是关于ｙ的奇函数，故ʏＬ２ｘｙｄｓ＝０，则ʏＬ３ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＋ʏＬ２ｘｙｄｓ＝ʏＬ３ｘ２＋４ｙ２()ｄｓ＝ʏＬ１２ｄｓ＝１２ʏＬ１㊃ｄｓ＝１２ａ．四㊁对面积的曲面积分的对称性及其应用定理［２］㊀设有界光滑或分片光滑曲面 关于ｘＯｙ平面对称，ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）为曲面 上的连续函数，则∬ ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝０，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝－ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）；∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝２∬ １ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ，ｆ（ｘ，ｙ，－ｚ）＝ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）．其中 １：ｚ＝ｚ（ｘ，ｙ）ȡ０．㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２２ １７当 关于ｙＯｚ面㊁ｚＯｘ面对称时，也有类似结论．五㊁积分区域关于积分变量具有轮换对称性情况下的积分定义㊀设ΩɪＲ３，如果（ｘ，ｙ，ｚ）ɪΩ时，都有（ｚ，ｘ，ｙ），（ｙ，ｚ，ｘ）ɪΩ，，则称区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性．定理１［３］㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＶ＝１３∭Ω［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＶ．推论㊀设积分区域Ω关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∭Ωｆ（ｘ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｚ）ｄＶ＝∭Ωｆ（ｙ）ｄＶ．定理２㊀设积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，则有∬Ｄｆ（ｘ，ｙ）ｄσ＝∬Ｄｆ（ｙ，ｘ）ｄσ＝１２∬Ｄ［ｆ（ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｘ）］ｄσ．对于第一类曲线积分和曲面积分，同理可得到如下定理：定理３㊀设曲线Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有ʏΓｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄｓ＝ʏΓｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄｓ＝１３ʏΓ［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄｓ．定理４㊀设曲面 关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，则有∬ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）ｄＳ＝∬ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）ｄＳ＝∬ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）ｄＳ＝１３∬［ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＋ｆ（ｚ，ｘ，ｙ）＋ｆ（ｙ，ｚ，ｘ）］ｄＳ．例１㊀计算二重积分∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ，其中Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）ｘ２＋ｙ２ɤ４，ｘȡ０，ｙȡ０｝，ｆ（ｘ）为Ｄ上的正值连续函数，ａ，ｂ为常数．解㊀易知积分区域Ｄ关于变量ｘ，ｙ具有轮换对称性，由定理２，得∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）ｄσ＝１２∬Ｄａｆ（ｘ）＋ｂｆ（ｙ）ｆ（ｘ）＋ｆ（ｙ）＋ａｆ（ｙ）＋ｂｆ（ｘ）ｆ（ｙ）＋ｆ（ｘ）éëêêùûúúｄσ＝１２（ａ＋ｂ）∬Ｄｄσ＝１２（ａ＋ｂ）ˑ１４πˑ２２＝（ａ＋ｂ）２π．例２㊀计算曲线积分ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ，其中Γ：ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝ａ２，ｘ＋ｙ＋ｚ＝０．{解㊀因为积分区域Γ关于变量ｘ，ｙ，ｚ具有轮换对称性，由定理３，得ɥΓｙ２ｄｓ＝ɥΓｚ２ｄｓ＝１３ɥΓ（ｘ２＋ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝１３ａ２ɥΓｄｓ＝１３ａ２ˑ２πａ＝２３πａ３，所以，ɥΓ（ｙ２＋ｚ２）ｄｓ＝２ɥΓｙ２ｄｓ＝４３πａ３．六㊁结束语本文通过实际例题有力地说明了对称性方法对计算效率的提高和优化是切实可行的．通过各类积分综合题的计算回顾了对称性的相关知识点，较好地说明了对称性在积分计算中的应用．与其他解题方法相比较，对称性由于其显著的优化作用和简单易用，在积分领域一骑绝尘，得到了广泛的应用，使读者在领略数学独特魅力的同时，还激发人们无尽的想象力，使对称性的应用充满无限的可能．ʌ参考文献ɔ［１］同济大学应用数学系．高等数学（第五版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７：８０－８６．［２］胡纪华，王静先．对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用［Ｊ］，江西科学，２０１２（１）：１－４．［３］秦勇．轮换对称性在积分中的应用［Ｊ］．常州工学院学报，２０１５（３）：６８－７１．［４］张锴．对称性在物理问题中的应用［Ｊ］．科技信息，２０１１（３５）：８９５－８９６．［５］刘洁，戴长城．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．邵阳学院学报，２００８（４）：２８－３２．［６］曹斌，孙艳．对称性在积分计算中的应用［Ｊ］．吉林师范大学学报，２０１２（３）：１３０－１３３．［７］张东，张宁．对称性在物理学中的应用研究［Ｊ］．北京联合大学学报，２００６（１）：２１－２４．［８］费时龙，张增林，李杰．多元函数中值定理的推广及应用［Ｊ］．安庆师范学院学报，２０１１（１）：８８－８９．。

例 1：求积分 ∫（∫ 2x + y）2dxdy x2 + y 2 ≤1
分析： ∫（∫ 2x + y）2dxdy = ∫∫ （4x2 + y2 + 4xy）dxdy = 4 ∫∫ x2 + ∫∫ y2 + 4 ∫∫ xy 。
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y 2 ≤1
x2 + y2 ≤1
43
L
分析：xy 关于 x 为奇函数，曲线 L 关于 Oyz 面对称。
∫ ∫ ∫ ∴ 2xyds = 0 ，原积分 = 12 （ x2 + y2 ）ds = 12 ds = 12a。
L
L4 3
L
上面的结论还可推广到第二型曲面积分，但第二型曲面积分的奇偶对称性定理与第一型积分及重积分的奇偶对称性定理
相反。
D1UD2
D3UD4
D
∫∫ 而在 D3∪D4 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 y 的奇函数，所以 sin ye−x2−y2dxdy = 0 。
D3UD4
∫∫ ∫∫ 在 D1∪D2 上， f (x, y) = sin ye−x2 −y2 是关于 x 的偶函数，所以 sin ye−x2−y2 dxdy = 2 sin ye−x2−y2dxdy 。因此选 A。
x2+ y2≤1
x2 + y2≤1
（－1，1）
y
∫∫ ∫∫ ∫ ∫ 所以：原积分 = 5 y2dσ = 5 （x2 + y2）dσ = 5 2π dθ 1r3dr = 5π 。
D
2D
20
0
4

第３ 卷 第１ ０ 期
２１ ０ ２年 ２月
江
西
科
学
Ｖｏ ． ０ １ ３ Ｎｏ． １ Ｆｅ ２ ２ ｂ． ０１
ＪＡＮＧＸＩ Ｓ Ｉ ＮＣ Ｉ ＣＥ Ｅ
文 章 编 号 ：０ １ ６９ ２ １ ） １— ０ １— ４ １０ —３７ （０ ２ ０ ０ ０ ０
对 称 性 在 曲线 积 分 及 曲面 积 分 计 算 中的应 用
中图分类号 ： １２２ ０ ７ ．
文献标识码‘ ： Ａ
Ｓ ｍ ｍ ｅ ｒ ｉ ｔ ｎ ｔ ｙ ｔ ｙ Ｐｏ ｎ ｓｉ ｈｅ Ｃｕｒ ｅ ａ ｄ Ｓ ｒ ａ ｅ Ｉ ｅ ｒ ｌ ｖ ｎ ｕ ｆ ｃ ｎｔ ｇ ａ Ｃａ ｃ ｌ ｔｏ ｎ ｔ ｅ Ａｐｐ ｉａ ｉ ｎ ｌｕ ａ ｉｎｓｉ ｈ ｌｃ ｔｏ
・
２・ （）＋Ｙ （） ｔ ｔ ｔｄ。
江
西
科
学
２１ ０ ２年第 ３ ０卷
Ｙ ｔ］ （ ）
求曲 积分ｆ ＋ ｄ 线 ， Ｙ） 。 （ ｓ
解 ： Ｌ 为 在 设 ０的那部分 曲线 ， 于 关
若 ，） 于 是 偶 函数， Ｙ 关 则 一 ｔ， （） Ｙ ｔ］＝ （） （）Ｙ ｔ］ ￡ ，（） ； 若 ，）关 于 是 奇 函 数 ， Ｙ 则 一 （） ｔ， ｙ ｔ ］＝一 【 （）ｙ ｔ］ （） ／ ｘ ｔ ，（） 。
０ 引 言
函数 的奇 、 对称性 在定 积 分 、 偶 重积 分 的计算 中有 重要 作用 。在进行 曲线 积分 、 曲面 积分 时 ， 若 积 分 区域 具有 某 种 对称 性 ， 两类 积分 的结 果 又 这 将 如何 ？对此 问 题 进 行探 究 ， 会得 到一 些 有 用 的
结论 。

积分中的对称性作者：刘建康【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。

【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。

这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。

设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi+1, … , xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。

在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。

对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。

下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。

1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。

结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有①Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。

其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。

结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1+D2=0。

结论3 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有：①Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称；②Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y) 关于偶对称。

则有：
（其中L1为L 在 x ≥ 0 的
部分）。
若 Q(x, y) 关于 x 为偶函数，即 Q(−x, y) = Q(x, y) ，
则有：
。
此例可以看出，应用对称性，有时比应用高斯公式 还要简单得多，故可用来简化计算。 3 第二类曲线积分
给出第二类曲线积分的另一种计算方法，它与第二 类曲面积分的计算方法思路相同。
（利用了Ω的对称性）
则有：
（其中 L1 为L 在 y ≥ 0 的
部分）。
若 P(x, y) 关于 y 为偶函数，即 P(x, − y) = P(x, y) ，则
有：
2）
满足：①L关于 y 轴对称；②
中 分别为点(x,y)，点(-x,y)的方向角。
；其
若 Q(x, y) 关于 x 为奇函数，即 Q(−x, y) = −Q(x, y) ，
设Σ为光滑的有向曲面，Σ上点 (x, y, z) 处的单位法
向量为
，α, β ,γ 为方向角。
1） ∫∫ P(x, y, z)dydz Σ
若 P(x, y, z) 关于 x 为偶函数，即 P(−x, y, z) = P(x, y, z) ，
则有：
（其中 cosα1 > 0 ，当 cosα1 < 0 时，可得同样的结果） 同理可得到另外两种情况。 2） 满足：①Σ关于 zOx 平面对称；②cosβ1=-cosβ2；其中 β1，β2分别为点 (x, y, z) ，点 (x, − y, z) 处的指定侧的方向角。 若Q(x, y, z) 关于 y 为奇函数，即Q(x, − y, z) = −Q(x, y, z) ，
中 α1,α2 分别为点 (x, y, z) ，点 (−x, y, z) 处的指定侧的方

对称法在积分计算中的应用1 引言积分学的萌芽、发生和发展经历了一个漫长的时期.古希腊的数学家阿基米德所做的工作及《抛物线求积法》是积分学产生的标志.在16世纪中叶，开普勒发展了阿基米德求面积和体积的方法，法国的帕斯卡和费马，英国的沃利斯和巴罗为积分学的发展奠定了基础.在17世纪下半叶，牛顿和莱布尼茨最终创立了积分学.我们知道，定积分是为了计算平面上封闭曲线围成的图形的面积而产生的，通过积分计算也可以求出曲顶柱体的体积，曲面的面积等.积分学不仅应用于数学，它也可以应用与经济学和物理学，比如说计算变力作功，引力和转动惯量等.积分的计算可以归结为计算具有特定结构的和式的极限.但是有时应用常规计算方法过程会很复杂.数学的对称美很多时候是解决数学难题的关键，往往可以使复杂的计算简化，使计算的准确率大幅度提高.在积分的计算中，可以通过被积函数或积分区间（区域）的对称性，找到计算积分的简洁方法.2 定积分利用对称法计算定积分，不仅可以简化对称区间上的奇、偶函数的定积分和对称区间上的非奇非偶函数的定积分的计算，还可以简化非对称区间上的定积分的计算.定理 2.1设函数)(x f 在积分区间[]a a ,-上是连续函数，当)(x f 是奇函数时，0)(=⎰-aadx x f ；当)(x f 是偶函数时，⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.（证明略）例 2.1 计算积分dx xx x x I ⎰--++=112211cos 2.解 令)()()(21x f x f x f +=，221112)(xx x f -+=，2211cos )(xx x x f -+=，可知)(1x f 是偶函数)(2x f 是奇函数，由定理2.1得11211cos 11211cos 2112211211221122+-+=-++-+=-++=⎰⎰⎰⎰----dx xx dx xx x dx xx dx x x x x Iπ-=-+=--=-+=⎰⎰⎰⎰4)11(4)11(4112210210102221022dx x dx dx x x x dx xx . 定理2.2[]1 设函数)(x f 在积分区间[]a a ,-上是不具有奇偶性的连续函数，则有[][]⎰⎰⎰-+=-+=--a aaaadx x f x f dx x f x f dx x f 0)()()()(21)(. 注：对于计算对称区间[]a a ,-上的非奇非偶函数)(x f 的定积分，只要)()(x f x f -+比)(x f 简单即可应用定理2.2.例2.2 计算积分dx exI x⎰-+=ππ1cos 2. 解 显然积分区间对称，被积函数不具有奇偶性，应用定理2.2得dx e x e e x dx e x e x dx e x I xx x x x x ⎰⎰⎰+++=+++=+=--ππππ0220222)1cos 1cos ()1cos 1cos (1cos21222cos 1cos 02+=+==⎰⎰πππdx x xdx . 定理2.3[]1 若函数)(x f 在积分区间上是连续函数，则有[]⎰⎰-++=ba badx x b a f x f dx x f )()(21)( 注：此定理应用于积分区间不对称，且被积函数不具有奇偶性的情况.例2.3 计算积分⎰+-+=312341dx x x x I .解 令t b a x -+=，由定理2.3得⎰⎰⎰+-=+-++-=+-+=31231231234621341521341dx x x dx x x x x dx x x x I ⎰⎰⎰⎰---=---=-⋅-=3131313111233123)1131(2331113dx x dx x dx x x dx x x2ln 233)12ln 2ln 1(231ln 233ln 233131-=+--=---=x x . 3 重积分3.1 二重积分利用对称法简化二重积分的计算，在一般情况下都要求积分区域D 具有对称性，且被积函数也具有对称性（即奇偶性）.但在特殊情况下，即使积分区域D 不具有对称性或者是被积函数不具有奇偶性，也能够通过一些技巧性的转化使其能够利用对称法简化积分的计算.定理3.1.1 设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，D 关于X 轴对称，则 当),(),(y x f y x f -=-时，0),(=⎰⎰Ddxdy y x f ；当),(),(y x f y x f =-时，⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Ddxdy y x f dxdy y x f （其中1D 是D 落在X 轴一侧的那部分区域）.当D 关于Y 轴对称时也有类似结论.（证明略）注：对于二元函数),(y x f ，若),(),(y x f y x f -=-，则称),(y x f 是关于变量y 的奇函数；若),(),(y x f y x f =-，则称),(y x f 是关于变量y 的偶函数.多元函数的奇偶性定义与其类似.例3.1.1 计算积分⎰⎰=Dydxdy x I 2，其中1:≤+y x D . 解 显然积分区域D 关于X 轴对称，且),(),(y x f y x f -=-，由定理3.1.1得02==⎰⎰Dydxdy x I .定理3.1.2[]2设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，D 关于X 轴和Y 轴都对称（即若点D y x ∈),(则点D y x ∈-),(和D y x ∈-),(），则 当),(),(y x f y x f -=-或者),(),(y x f y x f -=-时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(),(y x f y x f y x f =-=-时，⎰⎰⎰⎰=1),(4),(D Ddxdy y x f dxdy y x f ，其中1D 是积分区域D 在第一象限的部分.例3.1.2 计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=，其中1:≤+y x D .解 可知积分区域D 关于X 轴和Y 轴都对称，被积函数是关与x 与y 的偶函数，即有),(),(),(y x f y x f y x f =-=-.则由定理3.1.2得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=11144)(4D D D Dydxdy xdxdy dxdy y x dxdy y x I343232141410101010=+=+=⎰⎰⎰⎰--dx dy y dy dx x yx ， 其中0,0,1:1≥≥≤+y x y x D .定理 3.1.3 设函数),(y x f 是积分区域D 上的连续函数，积分区域D 关于原点对称，即21D D D ⋃=，1D ，2D 关于原点对称.当),(),(y x f y x f -=--时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(y x f y x f =--时，dxdy y x f dxdy y x f D D⎰⎰⎰⎰=1),(2),(.（证明略）例3.1.3 计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)1625(22，其中1:22≤+y x D .解 显然，积分区域是圆域，关于原点对称，被积函数),(y x f 为关于变量x 和变量y 的偶函数，即),(),(y x f y x f =--，由定理3.1.1和定理3.1.3得dxdy y x dxdy y x I D D )1625(4)1625(12222⎰⎰⎰⎰+=+=，其中1D 为D 在第一象限的部分利用极坐标变换：x r y x r x sin ,cos ==，可得)161251(4)16sin 25cos ()16sin 25cos (42202102220+=+=+=⎰⎰⎰πθθθθθθππd rdr r r d I . 注：此例题可等同于应用定理3.1.2，其实应用对称法简化积分计算时能应用定理3.1.2的一定能够应用定理3.1.3，但能应用定理3.1.3的不一定能应用定理3.1.2，因为若积分区域关于X 轴和Y 轴都对称则一定关于原点对称，而如果积分区域关于原点对称但不一定关于X 轴和Y 轴都对称.定理 3.1.4[]2 如果函数),(y x f 在积分区域D 上是连续函数，D 关于直线x y =对称，即21D D D ⋃=，1D ，2D 关于x y =对称.则有⎰⎰⎰⎰=DDdxdy x y f dxdy y x f ),(),(；⎰⎰⎰⎰=21),(),(D D dxdy x y f dxdy y x f ；当),(),(y x f y x f ---=时，0),(=⎰⎰dxdy y x f D；当),(),(y x f y x f --=时，⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Ddxdy y x f dxdy y x f .当D 关于直线x y -=对称时也有类似结论.例3.1.4计算积分dxdy y x I D⎰⎰+=)1625(22，其中1:22≤+y x D .解 积分区域关于直线x y =对称，),(),(y x f y x f --=，由定理3.1.4得dxdy x y dxdy y x DD )1625()1625(2222+=+⎰⎰⎰⎰ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D D dxdy x y dxdy y x dxdy y x I )1625()1625(21)1625(222222dxdy y x dxdy y x DD )()251161(21))(251161(212222⎰⎰⎰⎰++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)251161(4+=π. 对于积分区域对称而被积函数),(y x f 不具有奇偶性或者积分区域整体不具有对称性的情况，可经技巧性处理使之可利用对称法简化积分计算.例 3.1.5 计算积分⎰⎰+=Dd y x I σ)(，其中D 为抛物线2x y =、24x y =和直线1=y 所围成的区域.解 积分区域D 关于Y 轴对称，但),(y x f 是变量x 的非奇非偶函数，令y x y x f y x f y x f +=+=),(),(),(21，即x y x f =),(1，y y x f =),(2，可知 ),(1y x f 是关于x 的奇函数，),(2y x f 是关于x 的偶函数，则可由定理3.1.1得521222101===+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰y y D DDydx dy d y yd xd I σσσ，其中1D 为D 在Y 轴右侧的区域. 注：1. 一般积分区域D 具有对称性而被积函数为非奇非偶函数时，可以利用分项积分使之成为可用对称性简化计算.2. 一些积分区域整体不具有对称性的积分在一定条件下可将其划分为若干具有对称性的子域，则可利用对称性简化积分计算.3.2 三重积分利用对称法简化三重积分的计算大体可以分成以下几种情况：定理 3.2.1 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，Ω关于坐标平面yoz 对称，1Ω是坐标平面yoz 的前侧区域，则当),,(),,(z y x f z y x f -=-时，0),,(=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =-时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f .当Ω关于坐标平面xoz 或者坐标平面xoy 对称时也有类似结论.（证明略）例3.2.1 计算积分dxdydz z y x z y x z I ⎰⎰⎰Ω++++++=2222221)1lg(，其中1:222≤++Ωz y x . 解 可知积分区域是以原点为球心的球体，关于坐标平面xoy 对称，又被积函数是关于z 的奇函数，由定理3.2.1得01)1lg(222222=++++++=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x z y x z I . 定理3.2.2[]3 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，区域Ω关于X 轴对称，当),,(),,(z y x f z y x f -=--时，⎰⎰⎰Ω=0),,(dxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =--时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f ，其中1Ω是Ω位于X 轴一侧的区域.当Ω关于Y 轴或者Z 轴对称时也有类似的结论.例3.2.3计算积分⎰⎰⎰Ω+=dxdydz z x I )(，其中Ω是由曲面22:y x Z Z +=与曲面221:y x Z Z --=所围成的区域.解 令z x z y x f +=),,(，x z y x f =),,(1，z z y x f =),,(2，可知对于),,(1z y x f ，有),,(),,(11z y x f z y x f -=-，由定理3.2.2得⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩ+=+=+=zdxdydz zdxdydz xdxdydz dxdydz z x I 0)(利用球面坐标变换，得8sin cos 401220πϕϕϕθππ==⎰⎰⎰dr r r d d I .定理 3.2.3[]3 设函数),,(z y x f 在积分区域Ω上是连续函数，区域Ω关于原点对称，即21Ω⋃Ω=Ω，1Ω，2Ω关于原点对称，当),,(),,(z y x f z y x f -=---时，⎰⎰⎰Ω=0),,(dxdydz z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f =---时，⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=1),,(2),,(dxdydz z y x f dxdydz z y x f .例3.2.3计算积分dxdydz z y x z y x z I ⎰⎰⎰Ω++++++=2222221)1lg(，其中1:222≤++Ωz y x . 解 可知积分区域是以原点为球心的球体，关于原点对称，又被积函数是关于z 的奇函数，由定理3.2.3得01)1lg(222222=++++++=⎰⎰⎰Ωdxdydz z y x z y x z I . 在进行三重积分计算时，要善于观察被积函数和积分区域的特点，注意兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域的对称性，恰当的利用对称法去简化计算，可以使三重积分问题的解答大大的简化.4 曲线积分4.1第一型曲线积分 定理4.1.1[]()7524P 曲线L 可以划分为两部分1L 和2L ，若点1X 和点2X 互为对称点并且分别在对称的两个部分1L 和2L 上，则当)()(21X f X f -=时，0)(=⎰ds X f L当)()(21X f X f =时，⎰⎰=1)(2)(L Lds X f ds X f .例4.1.1 计算积分⎰=Lds y I 3，其中积分曲线1:=+y x L .解 积分曲线关于X 轴对称，且3),(y y x f =是奇函数，即),(),(y x f y x f --=，则03==⎰ds y I L.例4.1.2 计算ds y I L⎰=，其中)()(:222222y x a y x L -=+.解 可知y y x f =),(是偶函数，并且积分曲线L 关于X 轴 和Y 轴对称，由定理4.1.1可得此积分计算时可只考虑第一象限部分的曲线积分即可，由极坐标，即θρθρsin ,cos ==y x ，则L 可以化为θρ2cos 22a =， 令42202πθπθρ=⇒=⇒=，又θθθρρd a d ds 2cos )(22='+=，则)221(42cos sin 442401-=⋅==⎰⎰a d a ds y I L θθθρπ， 其中1L 是L 在第一象限部分.4.2 第二型曲线积分定理4.2.1[]()7524P 设分段光滑的有向平面曲线L 关于X 轴对称，L 的上半平面部分1L 与下半平面部分2L 的方向相反，则当),(y x f 是关于y 的偶函数时，0),(=⎰dx y x f L；当),(y x f 是关于y 的奇函数时，ds y x f dx y x f L L⎰⎰=1),(2),(.当曲线L 关于Y 轴对称时，对于ds y x f L⎰),(有类似结论.例4.2.1 计算积分ydy x I L⎰=，其中L 是抛物线2x y =上点)1,1(-A 到点)1,1(B 的一段弧.解 因为L 是关于Y 轴对称，并且对称的两部分方向相反，被积函数是x 的偶函数，由定理4.2.1得0==⎰ydy x I L.5 曲面积分5.1 第一型曲面积分 定理5.1.1[]()7854若积分曲面S 可以分成对称的两个部分1S 和2S ，1X 和2X 对称且分别在1S 和2S 上，则当)()(21X f X f -=时，0)(=⎰⎰ds X f S；当)()(21X f X f =时，ds Xf ds X f SS)(2)(1⎰⎰⎰⎰=.例5.1.1 计算积分ds xyz I S⎰⎰=，其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和平面1=z 之间的部分.解 显然积分曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称，并且被积函数是偶函数，由定理5.1.1可以只考虑积分在第一卦限的部分1S ，即⎰⎰=14S xyzds I ，由22y x z +=，x z x 2='，y z y 2='，dxdy y x ds 4412++=，则rdrr r r d dxdy y x y x xy I S ⋅+⋅⋅=+++=⎰⎰⎰⎰221220222241cos sin 4441)(41θθθπ42015125-=.5.2 第二型曲面积分定理5.2.1[]()7954设分片光滑的曲面S 关于坐标平面xoy 对称，且S 在坐标平面xoy 上半空间的部分曲面1S 取定上侧，在坐标平面xoy 的下半部分曲面2S 取定下侧，则当),,(),,(z y x f z y x f =-时，0),,(=⎰⎰Sds z y x f ；当),,(),,(z y x f z y x f -=-时，⎰⎰⎰⎰=1),,(),,(S Sds z y x f ds z y x f .当分片光滑曲面S 关于坐标平面xoz 或者坐标平面yoz 对称时也有相似结论. 例5.2.1 计算积分dxdy zxdzdx ydydz I S⎰⎰+-=2，其中S 是锥面22y x z +=在平面1=z 和平面2=z 之间的外侧.解 显然，由定理5.2.1有0=⎰⎰Sydydz 和0=-⎰⎰Sxdzdx ，则πθπ215)(220212122222-=⋅-=+-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤rdr r d dxdy y x dxdy z I y x S. 其实第一型曲线积分和第一型曲面积分、第二型曲线积分和第二型曲面积分应用对称性简化计算的方法很类似，而第一型曲线、曲面积分和第二型曲线、曲面积分在被积函数是奇函数或者偶函数时，相互抵消或者变为其中一部分积分区域的两倍时刚好相反，原因就在于第二型曲线积分和第二型曲面积分计算时需要考虑符号规则！6 轮换对称性定义6.1[]5 设对任意点Ω∈-),,,,(1211n n x x x x P Λ，Ω∈),,,,(1322x x x x P n Λ，······ Ω∈--),,,,(121n n n n x x x x P Λ，其中（n R ∈Ω）均成立，则称区域Ω是关于变量n x x x ,,,21Λ具有轮换对称性.例如球域2222R z y x ≤++关于z y x ,,具有轮换对称性.定义6.2[]5 若积分区域或者被积函数的表达式中，将变量z y x ,,按下列次序：y x →，z y →，x z →变换后，其表达式均不变，则称积分区域或被积函数关于变量z y x ,,具有轮换对称性.例如222z y x r ++=关于z y x ,,具有轮换对称性.轮换对称性经常应用于计算重积分和曲线积分、曲面积分中。

关于重积分、曲线积分、曲面积分的对称性定理的应用1.介绍重积分、曲线积分以及曲面积分：重积分是指一种定义在实数空间D上的数字积分，它用于将实数函数f （x）分成N个子区域Ii，每个子区域以左端点Ai和右端点Bi表示，映射到另一个实数区间[a，b]。

每个子区域对应一个多项式。

用重积分表示f（x）：$∫_{a}^{b}f(x)dx=∑_{i=1}^{n}∫_{a_{i}}^{b_{i}}p_{i}(x)dx$曲线积分是指定义在曲线上的积分，它将曲线S拆分成N个子区域，每个子区域以左端点Ai和右端点Bi表示，映射到另一个曲线S'。

每个子区域对应一个多项式。

用曲线积分表示f（s）：$∮_{S}f(s)ds=∑_{i=1}^{n}∮_{A_{i}}^{B_{i}}p_{i}(s)ds$曲面积分是指定义在曲面上的积分，它将曲面S拆分成N个子区域，每个子区域以左端点Ai和右端点Bi表示，映射到另一个曲面S'。

每个子区域对应一个多项式。

用曲面积分表示f（s）：$∮_{S}f(s)ds=∑_{i=1}^{n}∬_{A_{i}}^{B_{i}}p_{i}(s)ds$2.介绍重积分、曲线积分以及曲面积分的对称性定理：重积分的对称性定理（Gauss-Tchebycheff定理）指出，如果在[a，b]内取重积分方式进行积分，那么拆分区域的数量N与取得重积分精度的平方成正比。

另一方面，重积分非线性变换法指出，无论子区域的大小都可以把它们转换为数字积分所使用的矩形子区域。

曲线积分的对称性定理（Sommerfeld-Wilson定理）指出，将积分拆分为子区域的数量N与得出的精确积分的平方和成正比。

另一方面，拉格朗日-积分法指出，将曲线拆分为N个子区域，同样可以将它们转换为数字积分所使用的矩形子区域。

曲面积分的对称性定理（Green-Steiner定理）指出，将积分拆分为子区域的数量N与得出的精确积分的次数成正比。

1 1
x2
x2
同理可得 ： 结论 5: 若曲面 ∑1 和 ∑2 关于 yoz 面对称 ， 则
=∫x P[(x,f(x))-P(x,-f(x))]dx
1
x2
蓦∑P(x,y,z)dydz＝
蓦
0， P （－x ，y ，z ）＝P （x ，y ，z ） 2蓦∑ P(x,y,z)dydz ， P （－x ，y ，z ）＝-P （x ，y ，z ）
作 者 简 介 ： 谭 昌 龙 （1979 —）， 男 ， 哈 尔 滨 工 业 大 学 博 士 ， 哈 尔 滨 理 工 大 学 讲 师 。 主要研究方向 ： 光电检测 ， 主持一项省教育厅课题 、 参加二项国家自然科学 基金 ， 已发表 7 篇 SCI 收录论文 。
1994,22(5),22-24. ［3］ 李 连 之 ． 周 永 洽 . 激 光 散 射 及 其 在 蛋 白 质 溶 液 研 究 中 的 应 用 [J]. 大 学 化 学 , 1998,13(3),26-29. ［4］ 谢 平 会 ． 祝 丽 玲 . 电 流 法 快 速 测 定 鲜 乳 中 蛋 白 质 含 量 [J]. 中 国 乳 品 工 艺 ,2000, 28(4),33-35. ［5］Wang LiJie, Guo Jian ying, Xu Kexin. Factors affecting the accuracy of a NIR
1
=
∫
0， 2∫x P[x,f(x)]dx=2∫L1 P(x,y)dx
1
P （x ，－y ）＝P （x ，y ）
x2
其中 ， 曲面 ∑1 为 ∑ 的 x≥0 的部分 。 结论 6: 若曲面 ∑1 和 ∑2 关于 zox 面对称 ， 则
P （x ，－y ）＝－P （x ，y ）

面区域。 证 明 因 为 Ｄ 关 于 ｚ 轴 对 称 ， 以不 妨 设 Ｄ ：２ 所 １ ≤ ≤
ｂ 一 （ ≤ ≤ （ ， 而 ， ｚ） ｚ） 从
（ 如 肛 ）一
Ｊ— （ ｚ）
，ｙ ， ） ｄ
Ｊ Ｊ
例５ 设 ｚ 为椭圆等 十等 一１其周长为ｎ 计算曲线积 ， ，
（ ｚ － ４ 。４－ ｘ ｄ 。 ３ ４ ｙ ５ ｙ） ｓ
时， ｆｘｄ ｌ （）ｘ＝ ０ 当 ，ｚ ； （）是偶 函数时， ｆ ｘｄ Ｉ （）ｘ一
２ ｚ ｄｒ。 ）
｛Ｉ， Ｉ ＋ ＜ １ （ ） ｚ ， Ｏ。 ≥ ｝
利 用 定 理 １ 可 以计 算 下 面 的 题 目。 ， 例 １ 计 算 定 积 分
一
解Ｉ ｊ ÷ ｄ ＋ｌ ｄ ， ： ｚ ｓ ＝再 再 。 故
是 由 Ｙ— ｚ ｚ ＝一 】和 Ｙ一 １围成 的平 面 闭 区 域 。 ，
一
把 定 理 １ 广 到 二 重 积 分 的 计 算 中有 下 面 的结 论 ： 推 －－ ２ ｇｎ １ 。 定 理 ２ 设 函数 ｆ ｘ ） ｘ ｙ平 面 上 的有 界 闭 区 域 Ｄ （， 在 Ｏ 上 连 续 ， Ｄ关 于 ｚ轴 对 称 ， 果 函 数 ｆ ｘ， 是 关 于 Ｙ 奇 且 如 （ ） 的 例４
计算二重积分 Ｊ ｌ ｙ４１－。 Ｚａ其中Ｄ — ｚ 一ｙｄ ， ｌ ｘ ４
函数， （， ） 即ｆｘ 一 一一ｆｘ ， Ｉ （ ，）ａ一０如果函 （ ，）则 ｘｙｄ Ｉ ｆ ；
数 ｆ ｘ， （ ）是 关 于 ｙ的 偶 函数 ， ｆ ｘ 一 ）一 厂 ｚ， ， 即 （， （ ） 则
关 于 ｚ的 奇 函数 ， 而 由定 理 ３ 从 ，
是
『 』 南 出 ｚ 南 出 ＝ 『 』 一

对称性在积分中的应用(总16页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--对称性在积分中的应用摘要：对称性是宇宙中许多事物都具有的性质,大到银河星系,小到分子原子.根据对称性,我们就可以把复杂的东西简单化，把整体的东西部分化.本文介绍运用数学中的对称性来解决积分中的计算问题,主要介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的一些结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区间、积分区域、被积函数的奇偶性,从而简化定积分、重积分、曲线积分、曲面积分的计算方法.另外对于曲面积分的计算,本文还给出了利用轮换对称性简化积分的计算.积分的计算是高等数学教学的难点,在积分计算时,许多问题用“正规”的方法解决，反而把计算复杂化,而善于运用积分中的对称性，往往能使计算简捷,达到事半功倍的效果.关键词：积分对称定积分重积分曲线积分曲面积分区域对称轮换对称目录一、引言二、相关对称的定义（一）区域对称的定义（二）函数对称性定义（三）轮换对称的定义三、重积分的对称性（一）定积分中的对称性定理及应用（二）二重积分中的对称性定理及应用（三）三重积分中的对称性定理及应用四、曲线积分的对称性（一）第一曲线积分的对称性定理及应用（二）第二曲线积分的对称性定理及应用五、曲线积分的对称性（一）第一曲面积分的对称性定理及应用（二）第二曲面积分的对称性定理及应用六、小结参考文献谢词一、 引言积分的对称性包括重积分、曲线积分、曲面积分的对称性.在积分计算中,根据题目的条件,充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性,往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分对称性的定理及结论,再结合相关的实例进行具体探讨.本文从积分区域平行于坐标轴、对角线的直线的对称性,平行于坐标面的平面等的对称性定义.二、相关的定义定义1： 设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称,对称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x - ),(y x D ∈,则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）.定义2: 设平面区域为D ,若点),(y x D ∈⇔),(a x a y --,则D a x y +=对称,称点),(y x 与),(a x a y --是关于a x y +=的对称点.若点),(y x D ∈⇔),(x a y a --D ∈，则D 关于直线z y ±=对称.注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义. 空间对称区域.定义3：(1)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于xoy 面对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标面的对称性.(2)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈-),,(z y x ,则称空间区域Ω关于z 轴对称;利用相同的方法,可以定义关于另外两个坐标轴的对称性.(3)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈---),,(z y x , 则称空间区域Ω关于坐标原点对称.(4)若对Ω∈∀),,(z y x ,∃点Ω∈),,(),,,(y x z x z y ,则称空间区域Ω关于z y x ,,具有轮换对称性.定义4:若函数)(x f 在区间()a a ,-上连续且有)()(a x f a x f +=-,则)(x f 关于a x =对称当且仅当0=a 时)()(x f x f =-,则)(x f 为偶函数.若)()(x a f x a f +-=-,则)(x f 为关于()0,a 中心对称.当且仅当0=a 时有)()(x f x f -=-则)(x f 为奇函数.若)()(a x f a x f +=-且)()(x a f x a f +-=-则)(x f 既关于a x =对称,又关于()0,a 中心对称.定义5若n 元函数),,,,,,(),,,(11121-+≡i x x x x x f x x x f n i i n ,(n i ,,2,1 =),则称n 元函数),,,(21n x x x f 关于n x x x ,,,21 具有轮换对称性.定义6：若)(),,,(21N n R D x x x p n n n ∈⊂∈∀ 有),,,,,,(1111-+i x x x x x p n i i n D ∈),,2,1(n i =成立，则称n D 关于),,,(21n x x x p 具有轮换对称性.三、重积分的对称性（一）对称性在定积分中的应用利用函数图形的对称性可简化定积分的计算.在特殊情况下,甚至可以求出原函数不是初等函数的定积分.因此掌握对称性在积分中的方法是必要的.下面首先给出一个引理,由此得出一系列的结论,并通过实例说明这是结论的应用. 引理 设函数)(x f 在[]h a h a +-,上连续,则有 []⎰⎰+--++=h a ha hdx x a f x a f dx x f 0)()()( (1)证令t a x +=,有 ⎰⎰⎰+--+++=h a ha h hhdt t a f dt t a f dx x f 0)()()( (2)令u t -=,则⎰⎰⎰--=--=+000)()()(hhhdu u a f du u a f dt t a f（3）将（3）式带入（2）式,并将积分变量统一成x ,则 []⎰⎰-++=+-hh a ha dx dx x a f x a f dx x f 0)()()(特别地，令0=a ，就得公式 []dx x f x f dx x f hhh⎰⎰--+=0)()()(由函数奇偶性的定义及上式，易知定理1 设函数)(x f 在[]h h ,-上连续，那么 2）若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=hh hodx x f dx x f )(2)(3）若)(x f 为奇函数，则⎰-=hhdx x f 0)(次结论有广泛的应用，如能恰当地使用，对简化定积分的计算有很大的帮助，例1 求xdx x x I cos 1122223⎰-+++=ππ解：虽然被奇函数非奇非偶，但可以把它分成两部分x x x cos 123+和x cos ，前一部分是奇函数，后一部分是偶函数，运用定理1的结论简化其计算.⎰⎰--++=222223cos cos 1ππππxdx dx x x x I =⎰20cos 2πxdx=2注：而对于任意区间上的定积分问题，可以平移到对称区间[]h h ,-上求解。

空间曲线积分与曲面积分的计算方法空间曲线积分与曲面积分是《数学分析》中的重要内容之一，但由于它计算的复杂性及灵活多变性，使我们在学习时感到很难掌握，缺乏必要而行之有效的方法，因此，本文将给出空间曲线积分与曲面积分的一些典型计算方法，为这部分的学习提供参考．1 空间曲线积分与曲面积分的定义及性质定义1.1[]()1981P 设L 为空间可求长度的曲线段，(),,f x y z 为定义在L 上的函数，对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L ()1,2,,i n =，i L 的弧长记为i s ∆，分割T 的细度为1max i i nT s ≤≤=∆，在i L 上任取一点()(),,1,2,,i i i i n ξης=，若有极限()01lim ,,ni i i i T i f s J ξης→=∆=∑ 且J 的值与分割T 与点(),,i i i ξης的取法无关，则称此极限为(),,f x y z 在L 上的第一型曲线积分，记作()⎰Lds z y x f ,,．第一型曲线积分具有和定积分类似的性质，略．定义1.2[]()2031P 设函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 为定义在空间有向可求长度曲线L ：弧AB 上．对L 的任一分割T ，它把L 分成n 个小曲线段弧i i M M 1-()1,2,,i n =，其中0,n M A M B ==，记各小曲线段弧i i M M 1-的弧长为i s ∆，分割T 的细度为1max i i nT s ≤≤=∆，又设T的分点i M 的坐标为(),,i i i x y z ，并记111,,i i i i i i i i i x x x y y y z z z ---∆=-∆=-∆=-()1,2,,i n =．在每个小曲线段弧i i M M 1-上任取一点(),,i i i ξης()1,2,,i n =，若极限()()()0111lim ,,lim ,,lim ,,nnni i i i i i i i i i i i T T T i i i P x Q y R z ξηςξηςξης→→→===∆+∆+∆∑∑∑存在且与分割T 与点(),,i i i ξης的取法无关，则称此极限为函数()()(),,,,,,,,P x y z Q x y z R x y z 沿有向曲线L 上的第二型曲线积分，记为()()(),,,,,,LP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰或 ()()(),,,,,,ABP x y z dx Q x y z dy R x y z dz ++⎰．常简写成LPdx Qdy Rdz ++⎰或⎰++ABRdz Qdy Pdx ．第二型曲线积分具有线性性质和积分区域的可加性．定义1.3[]()2801P 设S 是空间中可求面积的曲面，(),,f x y z 为定义在S 上的函数，对曲面S 作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块i S ()1,2,,i n =，以i S ∆记小曲面块i S 的面积，分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，在i S 上任取一点(),,i i i ξης()1,2,,i n =，若极限()01lim ,,ni i i i T i f s ξης→=∆∑存在，且与分割T 与(),,i i i ξης()1,2,,i n =的取法无关，则称此极限为(),,f x y z 在S 上的第一型曲面积分，记作(),,Sf x y z ds ⎰⎰．第一型曲面积分具有和定积分类似的性质，略．定义1.4[]()2841P 设,,P Q R 为定义在双侧曲面S 上的函数，在S 所指定的一侧作分割T ，它把S 分成n 个小曲面块12,,,n S S S ，分割T 的细度为{}的直径i ni S T ≤≤=1max ，以,,yz zx xy i i i S S S ∆∆∆分别表示i S 在三个坐标面上的投影区域上的面积，它们的符号由i S 的方向来确定，若i S 的法线正向与z 轴正向成锐角时，i S 在xy 平面的投影区域面积xyi S ∆为正，反之，若i S 的法线正向与z 轴正向成钝角时，它在xy 平面的投影区域面积xy i S ∆为负．在各个小曲面块i S 上任取一点()(),,1,2,,i i i i n ξης=，若()()(),0111lim ,lim ,,lim ,,yz zx xy nnni i i i i i i i i i i i T T T i i i P S Q S R S ξηςξηςξης→→→===∆+∆+∆∑∑∑存在，且与曲面S 的分割T 和(),,i i i ξης在i S 上的取法无关，则称此极限为函数,,P Q R 在曲面S 所指定一侧上的第二型曲面积分，记作()()(),,,,,,SP x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰．第二型曲面积分具有线性性质和区域可加性．2 三个重要定理定理2.1（Green 公式）[]()2241P 若函数()()y x Q y x P ,,, 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有⎰⎰⎰+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D L Qdy Pdx d y P x Q σ，这里L 为区域D 的边界曲线，并取正方向．定理 2.2（Gauss 公式）[]()2901P 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成．若函数R Q P ,,在V 上连续，且有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂V SRdxdy Qdzdx Pdydz dxdydz z R y Q x P ，其中S 取外侧．定理2.3（Stokes 公式）[]()2921P 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线，若函数P 、Q 、R 在S ()L 连同上连续，且有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂S L Rdz Qdy Pdx dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ， 其中S 的侧与L 的方向按右手法则确定．定理3.2'（Stokes 公式）[]()9922P （1）设S 是3R 中的分片光滑曲面，（2）设S 的边界是有限条封闭光滑曲线L ，（3）设函数P 、Q 、R 是在曲面S 及其附近有定义，在S 直到L 上有连续的偏导数，则⎰⎰⎰++∂∂∂∂∂∂=++LS dS R Q P z y x Rdz Qdy Pdx γβαcos cos cos⎰⎰∂∂∂∂∂∂=sRQPz y x dxdy dzdx dydz， 其中+S 与+L 呈右手关系（即站在+S 的法线上看，+L 为逆时针方向），αcos ，βcos ，γcos 为+S 的法线方向余弦．3 空间曲线积分的计算方法3.1 对称法对称方法是数学中的一种重要方法，在曲线积分的计算（证明）中注意到被积式与积分区域的对称性，运用对称性质计算，能够起到化繁为简的作用．例1 设L 为对称于坐标轴的光滑闭曲线，证明()()⎰=-+++Ly y dy y xe xy dx e y x0233．证明 设L 为正向闭曲线，其包围的区域为D ，由Green 公式得()()⎰-+++Ly y dy y xe xy dx e y x233＝()33Dy x dxdy -⎰⎰＝33DDy dxdy x dxdy -⎰⎰⎰⎰因为L 是对称于坐标轴的光滑曲线，所以区域D 关于坐标轴对称．因为3y 是变量y 的奇函数，从而30Dy dxdy =⎰⎰，同理30Dx dxdy =⎰⎰，所以33D Dy dxdy x dxdy -⎰⎰⎰⎰0=． 故()()⎰=-+++Ly y dy y xe xy dx e y x0233．除了上述对称性之外，还可利用轮换对称性． 例2 计算积分2Lx ds ⎰，其中02222=++=++z y x a z y x L 与为的交线．解 积分曲线L 关于,,x y z 有轮换对称性，因此2Lx ds ⎰=2Ly ds ⎰=2Lz ds ⎰=()22213Lx y z ds ++⎰ 22133L L a a ds ds ==⎰⎰232233a a a ππ==． 3.2 参数法根据积分路径或被积函数的特点选用适当的参数表示，化第二型曲线积分为定积分，有时多采用极坐标，或广义极坐标． 例3 计算()⎰++L ds z y x222，其中L 是球面29222=++z y x 与平面1=+z x 的交线． 解 将L 的两个方程式联立，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++129222z x z y x ，消去z ，得141212122=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ．令θρθρsin 2,cos 221==-y x ，代入可知1=ρ， 从而L 的参数方程为()．πθθθθ20cos 221,sin 2,cos 221≤≤-==+=z y x ()()()θθθθθd d ds 2sin 2cos 2sin 2222=++-=所以()πθπ1822920222=⋅=++⎰⎰d ds z y xL．例4[]()9252P 计算曲线积分Lydx zdy xdz ++⎰．其中L 是曲线0,0,0,1,1222222≥≥≥=+=++z y x c z a x c z b y a x （1）（0,0,0>>>c b a 为常数）从点)0,0,(a 到),0,0(c ．解 方法一 如图1所示(利用坐标面上的投影椭圆)在式（1）中消去z ，得2222212a x y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=⎛⎫ ⎪⎝⎭ 这是xy 平面上，以,02a ⎛⎫⎪⎝⎭为中心，以2a 为半轴的椭圆，从而可改写成参数方程cos ,22a a x y θθ=+=，代入1x z a c +=，得cos 22c cz θ=-． 因0x y z θπ≥≤≤、、，故0．则Lydx zdy xdz ++⎰θθθθθθθπd ca abc c a b ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=sin 2cos 22cos 2cos 22sin 2sin 2 ⎰⎰⎰+--=20202022sin 2cos 2sin 2πππθθθθθθd ac d bcd ab()c a bac +-=242π．图1方法二 （在截平面上引用极坐标）令,,x ax y by z cz ===， 则L 变成2221,1x y z x z ++=+=， 作旋转变换，令,,22x z x zu y v ω+-===， 这时L 变成2221,u v v ω++==，在v =L 是圆周222112u ω+=-=，引用极坐标,u ωθθ==， 于是可得L 的参数方程()()()1cos 2221cos 22v ax ax aby bybu c cz czv ωθθωθ+===+=====-=-其余同方法一．方法三（因为曲线上,y z 都可写成x 的函数）令x at=，则()1,z c t y =-=点1t =，终点0t =．于是 原积分=1112t t act dt ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=2cos 2θt 令=2220cos cos cos sin 2222ac d πθθθθθθθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰ ()224ac c a b++-=π．3.3 Stokes 公式法在空间曲线积分的参数方程不易求得时，用Stokes 公式将第二型曲线积分化为曲面积分，常可使计算简单．例5 求曲线积分⎰-+-+-=Ldz y x dy x z dx z y I )()()(222222，其中L 为球面在第一卦限部分的边界线，从球的外侧看去L 的方向为逆时针方向．解 如图2所示 不妨设球面在第一卦限部分为S ，其边界为L ， 根据右手法则，S 取外法向，由Stokes 公式得⎰⎰+-+-+-=Sdxdy y x dzdx x z dydz z y I )(2)(2)(2．设S 三个坐标平面上的投影区分别为,,yz zx xy D D D ，则()()()222yzzxxyD D D I y z dydz z x dzdx x y =-+-+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰由坐标的轮换对称性，得41212)(62101-=-=-=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-x D D xdy dx xdxdy dxdy y x I xyxy． 图2例6 求⎰++=Lxdz zdy ydx I ，其中L 为圆周2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩，且从z 轴正向看去圆周L的方向为逆时针方向．解 不妨设S 为平面0x y z ++=上以L 为边界的部分，其法向量为{}11,1,13n =． 根据Stokes 公式得{}{}dSdxdy dzdx dydz I SS1,1,1311,1,1⎰⎰⎰⎰⋅---=---=233a dS Sπ-=-=⎰⎰．3.4 曲线积分与路径无关法当曲线积分与路径无关时，选择特殊的路径，例如选平行于坐标轴的直线段或折线段来计算曲线积分，会使计算变得容易．例7 求⎰-+-+-=Ldz xy z dy xz y dx yz xI )()()(222，其中L 是沿螺旋线,cos θa x =()πθπθθ202,sin ≤≤==h z a y 从点(),0,0A a 到(),0,B a h 的有向曲线． 解 这里()()()222,,,,,,,,P x y z x yz Q x y z y xz R x y z z xy =-=-=-． 因为,,R Q P R Q P x y z y z z x x y∂∂∂∂∂∂==-==-==-∂∂∂∂∂∂， 所以曲线积分与积分路径无关．分路径为有向线段AB :()h t t z y a x ≤≤===0,0,，则⎰-+-+-=Ldz xy z dy xz y dx yz x I )()()(222⎰-+⋅-+⋅-=ABdt t a )0(0)00(0)0(2230231h dt t h ==⎰． 例8 验证：()()22cos sin y y xe dx x e z dy y z dz --+-++-是全微分，并求它的一个原函数． 解 这里()()()2,,2,,,cos ,,,sin y y P x y z xe Q x y z x e z R x y z y z --==-+=-，则sin ,0,2y R Q P R Q Pz xe y z z x x y-∂∂∂∂∂∂==-====-∂∂∂∂∂∂， 所以()()22cos sin y y xe dx x e z dy y z dz --+-++-是全微分．设所求的原函数为()z y x I ,,，点()()()12,0,0,,,0,,,,M x M x y M x y z 取积分路径为折线段12OM M M 得()z y x I ,,()()()()⎰-++-+=--z y x y y dz z y dy z e x dx xe ..0,0,02sin cos 2()()dz z y dy z e x dx xe y y MM M M OM sin cos 2)(22211-++-+++=--⎰⎰⎰()⎰⎰⎰-++-+=-zyvxwdw y dv ex udu 020sin 12z y e x ycos 2+=-．4 曲面积分的计算方法4.1 对称法 例9 计算()⎰⎰+Sdydz z yx 22，其中S 为2222R z y x =++的外侧．解 设V 为球：2222R z y x ≤++，则由Gauss 公式及对称性，得()⎰⎰+Sdydz z y x 22()⎰⎰⎰+=Vdxdydz z y 22⎰⎰⎰=Vdxdydz z 22()⎰⎰⎰++=Vdxdydz z y x 22232 523983432R R R ππ=⋅⋅=． 例10 设()f z 为奇函数，试求积分()()()22;;SSSI f z dS J f z dS K yf z dS ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中S 为锥面22z xy =位于球面2222x y z a ++=内的部分．解 如图3所示 22z xy =是以原点为顶点的双叶锥面，对称轴是xy 平面上1、3象限的分角线． S 关于xy 平面上、下对称，在对称点上()f z 的大小相等，符号相反，因此积分()0sI f z dS ==⎰⎰．又由于S 在1、3卦限内的部分与它在7、5卦限内的部分关于原点对称，在对称点上()2yf z 的大小相等，符号相反，所以积分()20SK yf z dS ==⎰⎰． 除了上、下对称，原点对称之外，S 还关于y x =平面（前后）对称．在对称点上()z f 2大小相等符号相同，因此()128S J f z dS =⎰⎰，其中1S 表示S 位于第一卦限内夹于0y y x ==与之间的部分．图34.2 直接使用公式法可以选择适当的坐标平面，利用直角坐标方程求解曲面积分，也可利用参数方程把曲面积分化为二重积分求解曲面积分．例11 计算曲面积分⎰⎰+++=Sa z y x dS I 222)(，其中S 为以原点为中心，()0a a >为半径的上半球面．解 上半球面ϕθϕθϕcos ,sin sin ,cos cos :a z a y a x S === ，0,022πϕθπ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭因此⎰⎰++++=Saaz z y x dSI 2222220202πϕθπ≤≤≤≤=⎰⎰202aππϕ=⎰22ππ=-(22a π=．例12 计算积分()⎰⎰+=Szds y xI 22，S 是上半球面()02222≥=++z R z y x ，含在柱面Rx y x =+22的内部．解 S :222y x R z --=在xy 平面上的投影D :Rx y x ≤+22，222221yx R R y z x z --=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+()⎰⎰--⋅--⋅+=Ddxdy yx R R y x R y x I 22222222()⎰⎰+=Ddxdy y xR22（令θcos r x =，θsin r y =）52244cos 0322323cos 41R d R R dr r d RR πθθθππθππ===⎰⎰⎰--． 4.3 Gauss 公式法利用Gauss 公式将曲面积分化为三重积分，使被积函数简化，从而使计算简单化． 例13 试证：若S 为封闭的光滑曲面，l 为任意固定的已知方向，则()⎰⎰=SdS l n 0,cos ，式中n为曲面的外法线向量．证明 设),,(1c b a l = 为l 方向的单位向量，1n 是外法线的单位向量：()γβαcos ,cos ,cos 1=n， 则()γβαcos cos cos ,cos 11c b a n l l n ++=⋅=．应用Gauss 公式()()⎰⎰⎰⎰++=SsdS c b a dS l n γβαcos cos cos ,cos ⎰⎰++=Scdxdy bdzdx adydz00V Va b c dxdydz dv x y z ⎛⎫∂∂∂=++== ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 例14 记()ϕθ,r r =为分片光滑封闭曲面S 的球面坐标方程．试证明S 所围的有界区域V 的体积⎰⎰=SdS r V φcos 31，其中φ为曲面S 在动点的外法线方向与向径所成的夹角．证明 ()z y x r ,,=表示动点的径向量，则模222z y x r ++=，()γβαcos ,cos ,cos =n表示S 的外法线单位向量，则γβαφcos cos cos cos rzr y r x n r r ++=⋅=因此()⎰⎰⎰⎰++=S S dS z y x dS r γβαφcos cos cos 31cos 31⎰⎰++=Szdxdy ydzdx xdydz 31 V dxdydz V==⎰⎰⎰所以原题得证．5 空间曲线积分与曲面积分之间的关系Stokes 公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系．例15 试计算积分()⎰+-+-+-=L dz x y dy z x dx y z I )()(，其中L +是从(),0,0A a 经 ()0,,0B a 到()0,0,C a 回到(),0,0A a 的三角形．解 方法一 如图4所示+S 表示ABC ∆所围平面块之上侧，则⎰⎰+---∂∂∂∂∂∂=S xy zx yz z y x dxdydzdx dydz I ⎰⎰+++=S dxdy dzdx dydz 2 轮换对称⎰⎰∆=⋅ABCa dxdy 3332．图4方法二 ()().1,1,1,,,0:='''=-++≡z y x F F F a z y x F S ， 因此法线方向余弦()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31,31,31cos ,cos ,cos γβα， 23323323cos cos cos a S dS dS xy zx yz z y x I ABC S S=⋅=⋅=---∂∂∂∂∂∂=∆⎰⎰⎰⎰γβα． 例16 计算积分⎰+++=L xdz zdy ydx I ，其中+L为圆周0,0,2222=++>=++z y x a a z y x从z 轴正方向看为逆时针方向．解 方法一 如图5所示（用Stokes 公式化为第一型曲面积分）+S 表示L 所围成的平面圆块（上侧），())1,1,1(,,,0:='''=++≡+z y x F F F z y x F S ，()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=31,31,31cos ,cos ,cos γβα， 故dS xzyz y x I S ⎰⎰+∂∂∂∂∂∂=313131()⎰⎰+⋅-⋅=S dS 3113 233a dS S π-=-=⎰⎰+．图5方法二 （用Stokes 公式化为第二型曲面积分） +S 表示L 所围成的平面圆块（上侧），⎰⎰+∂∂∂∂∂∂=S xzy z y x dxdy dzdx dydz I ⎰⎰+---=S dxdy dzdx dydz轮换对称性⎰⎰⎰⎰∆-=-+dxdy dxdy S 33，其中∆是+S 在xy 平面的投影区域：2222a xy y x ≤++．令2,2ηξηξ+=-=y x ，则121212121=-=J ，(){}2223:,a ≤+=∆'ηξηξ ， 故 ππ2233133a a S I -=⋅-=⋅-=∆'．通过上面讨论，总结归纳了一些空间曲线积分与曲面积分的典型计算方法，希望本文对学习《数学分析》的同学提供参考和帮助．。

积分中的对称性【摘要】介绍几种常见对称性在重积分、曲线积分及曲面积分的计算过程中的几个结论。

【关键词】积分；轮换对称性；奇对称；偶对称在积分的计算过程中，当积分区域具有某种对称性时，如果被积函数具有某种特性，这时可以利用对称性简化积分的计算。

这里所讨论的对称性主要包括两个方面：积分区域关于坐标轴（或坐标面）的对称性和积分区域的轮换对称性。

设Dn为一积分区域，所谓积分区域的轮换对称性是指当任一点P(x1,x2,…,xn)∈Dn时，有Pi(xi, xi 1, … ,xn,x1,x2,…,xi-1)∈Dn, i=1,2,…,n。

在一元函数积分学中，我们有下面所熟悉结论：若f(x)在闭区间［-a,a］上连续，则有∫a-af(x)dx= 0, f(-x)=-f(x)2〖JF(Z〗a0f(x)dx〖JF)〗,f(-x)=f(x)利用这一性质，可以简化较复杂的定积分的计算。

对重积分、曲线积分及曲面积分也有类似的结论。

下面我们根据积分范围的不同来介绍对称性在各类积分计算中的几点应用。

1 对称性在重积分计算中的应用对称性在计算二重积分Df(x,y)dσ方面的应用。

结论1 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于y轴（或x轴）对称，则有① Df(x,y)dσ=0, f(x)为关于x（或y）的奇函数② Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y)为关于x（或y）的偶函数。

其中D1为区域D被y轴（或x轴）所分割的两个对称区域之一。

结论2 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于原点成中心对称，则有：① Df(x,y)dσ=0,f(-x,-y)=-f(x,y)，即f(x,y)关于原点成奇对称；② Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ=2D2f(x,y)dσ,f(-x,-y)=f(x,y)，即f(x,y)关于原点成偶对称,其中D1、D2关于原点对称，且D1 D2=0。

结论3 若f(x,y)在区域D内可积，且区域D关于直线L对称，则有：① Df(x,y)dσ=0,f(x,y)关于直线L奇对称；② Df(x,y)dσ=2D1f(x,y)dσ,f(x,y) 关于偶对称。

一、曲线积分的对称性① 关于弧长的曲线积分。

有奇偶对称性和轮换对称性。

奇偎对称性:设积分曲线弧关于y 轴对称,则rhf /（对刀山，当2、小关于工为偶函数 J=］几1Lb, 当心、心关于为为奇函数. 英中在’轴右侧的部分.若L 关于R 轴对称，则有类似结论•轮换对称性:设积分曲线孤L 关于直线y -工对称，则了)d$ = J/(>,兀〉山.② 关于地标的乎面曲线积分•有奇偶对称性•奇偶对称性；若L 关于y 轴对称，则 f 2〔 P （x, j ）dx, F （s 》＞血=］仏J J L h,其中轴右侧的部分.若L 夬于文轴对称，则f ［2（ P （H,，）d4 j P （=,，）dz = y L 2L b,其中乙2为L 在文轴上侧的部分・关于\Q （x,y ）dy 亦有类似结论.③ 关二坐标的空间曲线积分•有奇偶对称性. 奇偶对称性:若F 关于心 面对称，则2 z ）dx, Jr i0,其中巧为I*在垃y 面上方的部分.若厂关于.：Qz 面对称，则2|z ）dLr ・ 符别有^/( X )ds 二 5 )ds.当PG Q 〉关于工为偶函数当关于力为奇函数 当关于夕为奇函数当PR”）关于y 为偶画数 £(巾 j, z)dx = 当P （孙八幻关于乂为奇函效 当Pg*关于2为偶函数当PQ,""）关于工为偶西数当FQ”, z ）关于，为奇函数Jr20,其中&为尸在妙面前方的部分•若厂关于25面射称，则fM P(z,g)dg 当P(z,y,2〉关于』为奇函数 J f P(x,y ^)d.r "3r b 当P(^.y^)关于•为偶函数其中C 为F 在以直面右方的部分.关于仁(2(巧屏,z)dy 及|^jR[x,y, z)dz 有类似结论•二、曲面积分的对称性®关于面积的曲面积分奇偶对称性:按工关于戈Qy 面对称，则|‘2『/(x,y^)d5,当/(…“)为农的偶函数, J /(JE ,y,z)dS = y 莒S 0»当V, X)为Z 的奇函数.②关于坐标的曲面积分奇偶对称性：设工关于乂氏面对称.则Q(rr, y Q)dzdLr 与『R(r, y. x)d^dy 有类似结论• 轮换对称性：若》关于工,％2对称，则 ^P(x,y y z)dydz =『P(z,朮，y)(h?dy - 特别有JJ'P C X )dydz 二 j[p(3i )d«dac = T P ( «)dxdj.2 15 0,x f y,z)dydz =当P(x, “黑)为 当 z)为 乂的奇函数， Z 的偶函数. THJS于 对,z, x)d^djr.。

对称性在积分计算中的应用引言积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，达到事倍功半的效果，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果.在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此，掌握和充分利用对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的.下面从定积分、积分、线面积分三方面来介绍一下对称性在积分计算中的应用.一、相关的定义设平面区域为D ,若点),(y x ),2(y x a D -⇔∈,则D 关于直线a x =对称，称点),(y x 与),2(y x a -是关于a x =的对称点.若点),(y x ∈D ⇔)2,(y b x - ),(y x D ∈，则D 关于直线b y =对称，称点),(y x 与)2,(y b x -是关于b y =的对称（显然当0=a ,0=b 对D 关于y ,x 轴对称）。

二、对称性在定积分中的应用（一） 定积分的概念 1. 概念设函数)(x f 在],[b a 上有界，(1) 在],[b a 内插入若干个分点,......210b x x x x a n =<<<<=把区间[,]a b 分成n 个小区间01121[,],[,],......[,],n n x x x x x x -各个小区间长度依次为110221,,x x x x x x ∆=-∆=-1.......n n n x x x -∆=-(2) 在每个小区间上任取一点1(),()i i i i i x x f ξξξ-≤≤作函数与小区间长度i x ∆的乘积()(1,2,......,),i i f x i n ξ∆=,并作出和 1().ni i i S f x ξ==∆∑(3) 记12max{,,......,},n x x x λ=∆∆∆如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么这个极限称为函数的()f x 在区间],[b a 上的定积分，记为⎰ba dx x f )(即记为1()()nbi i ai f x dx I f x ξ===∆∑⎰其中()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，],[b a 叫做积分区间. 2. 几何意义几何上,⎰<ba b a dx x f )()(表示曲线()y f x x =与轴，,x a x b ==所围曲边梯形面积的代数和.（二） 对称性在定积分中的性质性质 1 若()x f [,]a b k 在上可积，为常数，则()x kf 在],[b a 上也可积，则⎰b adx x kf )(⎰=badx x f k )(性质 2 ()()上也可积，且在则上可积都在若],[)()(,],[,b a x g x f b a x g x f ±.)()()]()([dx x g dx x f dx x g x f bab aba⎰⎰⎰±=±性质 3 ()()()()上也可积在上可积，则在都在若],[],[,b a x g x f b a x g x f ⋅ 性质 4 ()()上与在任给上可积的充要条件是：在],[],[),,(],[b c c a x f b a c b a x f ∈.都可积.)()()(⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f 此时又有等式规定 1 0)(⎰==badx x f b a 时，令当.规定 2 .)()(⎰⎰-=>abb adx x f dx x f b a 时，令当 .性质 5 ()⎰≥∈≥badx x f b a x x f b a x f .0)(],,[,0)(.],[则若上的可积函数为设推论（积分不等式性）()()],,[),()(],[b a x x g x f b a x g x f ∈≤上的两个可积函数，且为与若性质 6()().)()(],[],[dx x f dx x f b a x f b a x f baba⎰⎰≤上也可积，且在上可积，则在若（三） 对称性在定积分中的定理定理1 若)(x f 在a][-a,(a>0)上连续且为偶函数,则⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)(.证明 因为 ⎰⎰⎰+=--aaaadx x f dx x f dx x f 0)()()(对积分作代换-t x =,则得⎰⎰⎰⎰-=-=--=-aaaa dx x f dt t f dt t f dx x f 0)()()()(所以 ⎰⎰⎰⎰-+=+=--aa aaadx x f x f dx x f dx x f dx x f 00)]()([)()()((1) 若)(x f 为偶函数，则)(2)()(),()(x f x f x f x f x f =+-=-即 所以⎰⎰=-aaadx x f dx x f 0)(2)((2) 若)(x f 为奇函数，则0)()(),()(=+--=-x f x f x f x f 即 所以0)(=⎰-aa dx x f .注 定理1可简化计算偶函数，奇函数在对称于原点的区间上的定积分为0.（四） 对称性在定积分中的应用举例 例 1 dx x x 23111)1(-+⎰-解 =⎰⎰---+-112311211dxx x dx x因为积分区间关于原点对称，而2-1x 是偶函数，231x x -是奇函数，故,011123=-⎰-dx x x设 x =y sin 2cos 1222112πππ⎰⎰--==-dy y dx x原式=2π 例 2 计算()2x 2ln 1e x dx -+⎰因为积分区间关于原点对称，但()x e 1ln +既不是奇函数也不是偶函数，我们可()().b ba af x dxg x dx ≤⎰⎰则有利用()()()()()22x f x f x f x f x f --+-+=.其中()()2x f x f -+为偶函数，()()2x f x f --为奇函数，把它分解为一个偶函数和一个奇函数之和.解 令()()x x f e 1ln +=，则()()()x x x f x f -++=-+e e 2ln 212，()()x x f x f 212=--，()()2222x x -x 222220118ln 1+e ln 2e e d 223x dx x x dx x x x dx ---⎡⎤=+++===⎣⎦⎰⎰⎰⎰所以有例3 计算 ⎰-+22223sin )cos (ππxdx x x分析 由于x x 23sin 是一个奇函数, x x 22sin cos 是一个偶函数,并且积分区域]2,2[ππ-关于原点对称,因此可用定理1来计算. 解 由定理1得 原式⎰⎰--+=22222223sin cos sin ππππxdx x xdx x⎰-+=2222sin cos 0ππxdx x=)sin sin (2204202⎰⎰-ππxdx xdx 其中220sin xdx π⎰=22222220sin cos (sin cos cos )sin xd x x xx dx dx x dx πππππ-=--=-⎰⎰⎰⎰2220sin xdx π⎰=2π ，220sin xdx π⎰=221π⋅ 同理得：22143)sin 204ππ⋅⋅=⎰xdx原式 )22143221(2ππ⋅⋅-⋅=8π=.利用函数关于直线对称以及区间关于直线对称,应用定理得出积分为0，使上述复杂积分简单化,易得出结论.三、对称性在二重积分中的应用（一）二重积分的概念 1 概念设(,)f x y 是有界闭区域D 上的有界函数，(1) 将闭区域D 任意分成n 个小闭域12,,......,,n σσσ∆∆∆其中i σ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积.(2) 在每个i σ∆上任取一点(,),i i εη 作乘积(,)i i i f εησ∆ (1,2,......,),i n =并作和1(,),niiii f εησ=∆∑(3) 如果当个小闭区域的直S 径的最大值0λ→时，这和的极限总存在，则称此极限为函数(,)f x y 在闭区域D 上的二重积分,记作 01(,)lim (,)ni i i i Df x y d f λσεησ→==∆∑⎰⎰其中(,)f x y 叫做被积函数，(,)f x y d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x y 与叫做积分变量，D 叫做积分区域，1(,)ni i i i f εησ=∆∑叫做积分和.2 几何意义当(,)f x y 为闭区域D 上的连续函数，且(,)0,f x y ≥则二重积分(,)Df x y d σ⎰⎰表示以曲面(,)z f x y =为顶，侧面以D 的边界曲面为准线，母线平行于z 轴的曲顶柱体的体积.一般地，(,)Df x y d σ⎰⎰表示曲顶柱体体积的代数和.（三） 二重积分的性质性质 7 上也可积，且在为常数，则上可积，在区域若D y x kf k y x f ),(D ),(⎰⎰⎰⎰=DDd y x f k d y x kf .),(),(σσ性质 8 上也可积，且在上都可积，则在若D y)g(x,y)f(x,D ),(),,(±y x g y x f⎰⎰⎰⎰⎰⎰±=±DDDd y x g d y x f d y x g y x f .),(),(]),(),([σσσ性质 9 若 ),(y x f 在1D 和2D 上都可积，且1D 与2D 无公共内点，则),(y x f 在1D ⋃2D 上可积，且.),(),(),(2121σσσd y x f d y x f d y x f D D D D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=⋃性质 10 则上可积，且在与若,),(),,(),(),(),(D y x y x g y x f D y x g y x f ∈≤⎰⎰⎰⎰≤DDd y x g d y x f .),(),(σσ性质 11 ⎰⎰Dd y x f D y x f D y x f σ),(),(),(上也可积，且在上可积，则在若σd y x f D⎰⎰≤),(性质 12 σd y x f mS D y x M y x f m D y x f DD ),(,),(,),(),(⎰⎰≤∈≤≤则上可积，在若.,的面积是积分区域这里D S MS D D ≤（三） 对称性在二重积分中的定理定理2 设有界闭区域12D D D = ,1D 与2D 关于y 或x 轴对称.设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续，那么（ⅰ）若),(y x f 是关于y （或x ）的奇函数，则⎰⎰Dd y x f σ),(0=（ⅱ）若),(y x f 是关于y （或x ）的偶函数，则Df(x,y)d σ⎰⎰=2(,)iD f x y d σ⎰⎰(1,2)i =注 设函数),(y x f 在有界闭区域D 上连续(i)若D 关于x 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD y y x f d y x f y y x f d y x f 2),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中2D 是D 的上半部分 2D =}0|),{(≥∈y D y xy)(x y ϕ=1Da 0b x2D)(-x y ϕ= 图1 证明12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1)若区域D 对称于x 轴(图1)，对任意(,)P x y ∈1D ，其对称点(,)P x y '-∈2D1D ={}0(),y x a x b ϕ≤≤≤≤，2D ={}()0,x y a x b ϕ-≤≤≤≤，令x xy t=⎧⎨=-⎩， 则2D 变换为xot 坐标面上的{}10()D t x a x b ϕ=≤≤≤≤，，且雅可比行列式(,)(,)x y x t ∂∂10101==--． 故2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)1D f x t dxdt -∙-⎰⎰=1(,)D f x y dxdy -⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdy f x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧-=⎪⎪⎨--=-⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，于是，代入（1）式得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y =--⎧⎪=⎨=-⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,(ii) 若D 关于y 轴对称，则⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=DD x y x f d y x f x y x f d y x f 1),(),(2),(,0),(为偶函数关于，如果为奇函数关于如果σσ其中1D 是D 的右半部分:1D =}0|),{(≥∈x D y xy)(y x ϕ-= d )(y x ϕ=2D 1D 0 xc图2证明 若区域D 对称于y 轴(图2)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点(,)P x y '-∈2D ，类似 (i) 的证明可得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y -=-⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 , ,定理 3 设有界闭区域D 关于x 轴和y 轴均对称，函数),(y x f 在D 上连续 （1）若),(y x f 关x 和y 均为偶函数，则1(,)4(,),DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰其中1D 是D的第一象限的部分1{(,)|0,0}D x y D x y =∈≥≥(,)f x y （2）若关x 和y 均为奇函数，则(,)0Df x y d σ=⎰⎰定理 4 设有界闭区域D 关于原点对称，函数),(y x f 在D 上连续，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=--=DD D y x f y x f d y x f d y x f y x f y x f d y x f 12),(),(,),(2),(2),(),(,0),(如果如果σσσ其中1D =}0|),{(≥∈x D y x ，2D =}0|),{(≥∈y D y xy2D 1D )(x y ϕ= 0 x a b)(x y ψ=图3证明 若区域D 对称于原点(图3)，对任意(,)P x y ∈1D ，对称点P '(,)x y --∈2D ，{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，, {}2()()D x y x b x a ϕψ=--≤≤---≤≤-，,令x uy v =-⎧⎨=-⎩， 则区域2D 变换为uov 坐标平面内区域{}1()()D x y x a x b ψϕ=≤≤≤≤，，雅可比行列式(,)(,)x y u v ∂∂10101-==-，所以2(,)D f x y dxdy ⎰⎰=1(,)D f u v dudv --⎰⎰=1(,)D f x y dxdy --⎰⎰=11(,),(,)(,)(,),(,)(,)D D f x y dxdyf x y f x y f x y dxdy f x y f x y ⎧---=-⎪⎪⎨--=⎪⎪⎩⎰⎰⎰⎰，代入12(,)(,)(,)DD D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰，得1(,)(,)(,)2(,)(,)(,)DD f x y f x y f x y dxdy f x y dxdy f x y f x y --=-⎧⎪=⎨--=⎪⎩⎰⎰⎰⎰ 0 ，若 ，若定理 5 设有界闭区域D 关于x y =对称, 函数),(y x f 在D 上连续，则Df(x,y)d σ⎰⎰=(,)Df y x d σ⎰⎰（四） 对称性在二重积分中的应用举例例 4 计算二重积分25sin Sx ydxdy ⎰⎰，其中S 是由1x y +=，0x =，1x y -=所围成的区域.解 积分区域S 关于x 轴对称（见图），且ydxdy x S52sin ⎰⎰为关于y 的奇函数，故由定理225sin 0Sx ydxdy =⎰⎰例 5 设 :sin ,,12D y x x y π==±= 围成求 (1)Dxy dxdy-⎰⎰x 2π-= y x 2π=y=1x图5x11-10 图4y解 12DDD D DI xydxdy dxdy xydxdy xydxdy dxdy =-=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰因为12D D 和关于y 轴对称，所以由定理2知120D D xydxdy xydxdy +=⎰⎰⎰⎰所以 原式 =Ddxdy π=⎰⎰例 6 计算二重积分 222(373),: 1.DI x x y d D x y σ=++++≤⎰⎰其中解 见下图 D 关于x y 轴轴都对称，而37x y 和分别关于变量x 和变量y 为奇数 所以由定理330,Dxd σ=⎰⎰70Dyd σ=⎰⎰设 θσθr d r d d r x ==,c o s ，=⎰⎰σd x D2rdr r d ⎰⎰πθθ2012)cos ( 所以 原式πθθπ3)cos (2012+=⎰⎰rdr r d π411=yDx图6例 7 计算 (),DI x y d x d y =+⎰⎰ 其中: 1.D x y +≤解 D x y 关于轴，轴对称，且被积函数关于x 和y 是偶函数，即有(,)f x y -=(,)(,)f x y f x y -=由定理3，有1()()DD I x y dxdy x y dxdy =+=+⎰⎰⎰⎰，其中1D D 是的第一象限部分，由对称性知11D D x dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰22(3)3DDDI x d x d d σσσ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰故 11144()4()8.3D D D I x y d x d y xx d x d y x d x d y =+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰例 8 计算2()Dxy x y dxdy +⎰⎰其中D 是由,1,1y x y y ===-0x =以及所围城的闭区域图7解 如图， 12D D D =+，1D 、2D 关于原点对称，但被积函数不满足(,)(.)f x y f x y =--,也不满足(,)(.)f x y f x y =---,故不能直接用定理来计算， 所以令1(,)f x y xy = ， 22(,)f x y x y =对1(,)f x y 和2(,)f x y 分别应用定理4，则11(,)2DD f x y dxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰，2(,)0Df x y dxdy =⎰⎰，故 2()DI xy x y dxdy =+⎰⎰41221001==⎰⎰⎰⎰xD xydydx xydxdy 例 9 设()f x 为恒正的连续函数，计算积分222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 解 由于积分区域222x y r +≤关于y x =对称，所以由定理5 ，可得222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=222()()()()x y r af y bf x dxdy f y f x +≤++⎰⎰， 于是222()()2()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰ 222222()()()()()()()()x y r x y r af x bf y af y bf x dxdy dxdy f x f y f y f x +≤+≤++=+++⎰⎰⎰⎰ 222()x y r a b dxdy +≤=+⎰⎰=2()a b r π+．故222()()()()x y r af x bf y dxdy f x f y +≤++⎰⎰=2()2a b r π+．四、对称性在三重积分中的应用根据被积函数的奇偶性及积分区域的对称性可以简化三重积分的计算,三重积分的计算中也有相应的对称性定理. （一） 对称性在三重积分中的定理定理6 设Ω由0),,(≤z y x ϕ表示,若将x 和y 的位置交换后,0),,(≤z x y ϕ仍然表示Ω,则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=⎰⎰⎰Ωdv z x y f ),,(,这种位置的对称,也称变量可轮换性.定理7 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于xoy 面对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上是关于在当的偶函数上是关于在当z f z f dxdydvz y x f dv z y x f ,0,),,,(2),,,(1定理8 设三维实空间有界闭区域21Ω⋃Ω=Ω,且1Ω与2Ω关于z 轴对称,函数),,(z y x f 在Ω上可积,则:⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎪⎩⎪⎨⎧ΩΩ=的奇函数上为关于在当的偶函数上为关于在当y x f y x f dxdydzz y x f dxdydz z y x f ,,0,,),,,(2),,,(1（二） 对称性在三重积分中的应用举例例10 计算⎰⎰⎰++ωdu z y x )(,其中Ω：≤++222z y x R 2,（0,00,≥≥≥z y x ）.解 本题具有变量位置的对称,因此有⎰⎰⎰ωxdu =⎰⎰⎰ωydu =⎰⎰⎰ωzdu 设D z :)0,0(2222≥≥=++y x R z y x ,则原式为 3⎰⎰⎰ωzdu =3⎰⎰⎰RD zdxdy zdz 0=43⎰Rdz z R z 022)-(π=1634R π 可见,类似的题目都只需计算其中任意一元数值,及对应系数,即可求得结果.例11 计算⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222,其中ω：≤++222z y x 1. 分析 很显然,ω关于xoy 面对称,可以直接运用定理7.解 因为ω关于xoy 面对称,且被积函数1)1ln(),,(222222++++++=z y x z y x z z y x f 在ω上连续并为关于z 的奇函数,故 ⎰⎰⎰++++++ωdxdydz z y x z y x z 1)1ln(222222 =0. 例12 计算⎰⎰⎰Ω+dV yx xyz 22,其中Ω为xy a 22222)z y (x =++与0=z 两曲面所围区域.解 显然,积分区域Ω关于z 轴对称,且22),,(y x xyzz y x f +=为关于x 、y 的偶函数,又因为≥++2222)(z y x 0,所以xy 同号.因而Ω分布在一、四象限内,从而由定理8得到⎰⎰⎰Ω+dV y x xyz 22=⎰⎰⎰Ω+1222y x xyzdxdydz =⎰⎰⎰θθϕππθθϕϕϕθcos sin sin 03202cos sin cos sin 2a dr r d d= ⎰⎰=202045334144cos sin cos sin 2ππϕϕϕθθθad d a .小结 用对称性定理来简化二重积分和三重积分的计算,有时候可以起到事半功倍的效果.对于一般的对称性定理,若加以适当拓广,还可以用来巧妙地求解一些重积分的计算和证明问题.五、对称性在曲线积分中的应用（一） 对称性在曲线积分中的定理 设函数),(y x f 定义在二维光滑曲线上1.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f 或),(y x f -=),(y x f ,则称),(y x f 为偶函数.2.若),(y x f 满足关系式),(y x f -=),(y x f -或),(y x f -=),(y x f -,则称),(y x f 为奇函数.定理9 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,记L 在上半平面的部分为1L ,下半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L Ly y x f ds y x f y y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 定理10 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,记L 在右半平面的部分为1L ,左半平面部分为2L ,则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1),(,),(2),(,0),(L L x y x f ds y x f x y x f ds y x f 的偶函数为关于的奇函数为关于 推论1 设分段光滑的平面曲线L 关于原点对称,则⎪⎩⎪⎨⎧I =⎰⎰11),(,),(4),(, 0),(L L L L x y y x f ds y x f x y y x f ds y x f 象限中的部分）位于第是的偶函数（其中或为关于的奇函数或为关于定理11 设分段光滑的平面曲线L 关于x 轴对称,则(1)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dx y x P ),(=21⎰--Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰-L dy y x P ),(=21⎰-+L dy y x P y x P )],(),([定理12 设分段光滑的平面曲线L 关于y 轴对称,则 (1)⎰Ldx y x P ),(=⎰-Ldx y x P ),(=21⎰-+Ldx y x P y x P )],(),([(2)⎰L dx y x P ),(=⎰--L dy y x P ),(=21⎰--L dy y x P y x P )],(),([ 推论2 设分段光滑的有向平面曲线L 关于x 轴对称,（L 在上半平面部分记为1L ,在下半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则(1) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于y y x P dy y x P y y x P dy y x P(2) ⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于y y x Q dy y x Q y y x Q dy y x Q推论3 设分段光滑的有向平面曲线L 关于y 轴对称,（L 在右半平面部分记为1L ,在左半平面部分记为2L ）,1L 与2L 方向相反,则（1）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的偶函数为关于的奇函数为关于x y x P dy y x P x y x P dy y x P（2）⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=L L 1),(,),(2),(,0),(的奇函数为关于的偶函数为关于x y x Q dy y x Q x y x Q dy y x Q（二） 对称性在曲线积分中的应用举例 例13 计算⎰=++1||||||||y x ds y x x解 因为积分曲线关于原点对称,被积函数||||),(y x xy x f +=为关于x 的奇函数,由推论1,得⎰=++1||||||||y x ds y x x=0 例14 计算⎰+Lxydy e x1,其中L 关于x 轴对称,取逆时针方向, L 所围成的闭区域D 的面积为σ.分析 显然,题目已知L 关于x 轴对称,又是分段曲线积分,可直接运用定理求得结果解 由定理11,有⎰+Lxydy e x 1=21dy e xe x Lxy xy ⎰-+++)11(=21⎰++Lxy xy dy e xe x 1=21⎰Lxdy =21⎰⎰Dd σ=21σ. 例15 计算⎰++L xy dydx 1||,其中1:=+y x L ,取逆时针方向.解 因为⎰++L xy dy dx 1||=⎰+L xy dx 1||+⎰+L xy dy 1||而L 关于x 轴、y 轴对称且对称两部分方向相反,函数),(y x f =1||1+xy 既为关于x 的偶函数,又为关于y 的偶函数,由推论2、推论3,原式=0.六、对称性在曲面积分的对称性（一） 对称性在曲面积分中的定理 设函数),,(z y x f 定义在三维光滑曲面上1.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f )或=-),,(z y x f ),,(z y x f ,则称),,(z y x f 为偶函数.2.若),,(z y x f 满足关系式=-),,(z y x f ),,(z y x f -或=-),,(z y x f ),,(z y x f -,则称),,(z y x f 为奇函数.定理13 设分段光滑的空间曲线Γ关于xoy (或yoz 或zox )坐标面对称,记1Γ为位于对称坐标面一侧的部分, 则⎪⎩⎪⎨⎧=⎰⎰1)(y)f(x,,),,(2)(),(,0),,(τ的偶函数或或为关于的奇函数或或为关于y x z ds z y x f y x z y x f ds z y x f z定理14 设曲面S 是由关于P （或平面α）对称的1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的对称点为22S M ∈,则:⎰⎰⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧-===S12S 12)(M )(M ,0)(M )(M ,(M)2(M)1f f f f ds f ds f 若若 证明 以曲面S 关于平面α对称为例,不妨设曲面S 是关于xoy 对称的曲面1S 和2S 组成,设1M ∈1S 的坐标为),,(z y x ,则其对称点22S M ∈的坐标为),,(z y x -,设1S 、2S 在xoy 平面上的射影区域为xy σ,则⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=21),,(),,(),,(S S Sds z y x f ds z y x f ds z y x f =⎰⎰++-+dxdy z zy x z y x f y x z y x f y x 221)]},(,,[)],(,,[{(1)当=-),(z y x f ),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=⎰⎰1),,(2S ds z y x f(2)当=-),(z y x f -),,(z y x f 时,⎰⎰Sds z y x f ),,(=0.（二） 对称性在曲面积分中的应用举例例16 计算⎰⎰++εds zx yz xy )(,其中∑为锥面z =22y x +被曲面ax y x 222=+所截下的部分.分析 由于曲面∑关于zox 面对称,而被积函数中xy 与yz 都是y 的奇函数 解 根据定理,知⎰⎰++εds zx yz xy )(=⎰⎰εzxds =⎰⎰+++xyD y x dxdy z z y x x22221=⎰⎰+xyD dxdy y x x 222=2⎰⎰-22cos 203cos ππθθθa dr r d =42⎰-225cos ππθθd =156424a .例17 计算曲面积分⎰⎰=Sds xyz I ||,其中S 为曲面22y x z +=介于平面0=z 和1=z 之间的部分.解 因曲面S 关于平面xoz 和yoz 对称,而||),,(xyz z y x f =,由定理知⎰⎰=14S xyzds I ,其中1S 是S 在第一象限的部分22y x z +=,'x z x 2=,y z y 2'=,dxdy y x ds 22441++=.故I=dxdy y x y x xy xyD 2222441)(4+++⎰⎰=⎰⎰122cos sin 4θθθπr d ·2r ·241r +·rdr=4201-5125.由此可见，上述关于积分（定积分，重积分，线面积分）对称性的定理性质对于在特殊情况下简化积分的计算是非常有效的，它可以避免很多干扰，所以在解题中注意积分区间是否具有某种对称性是简化题目的关键，若对称性不明显则可以通过一定的方法，根据题目的特点构造对称性，可以减少一些繁琐的计算，提高解题效率.参考文献1 华东师范大学数学系， 数学分析（上册，下册），高等教育出版社2 同济大学，高等数学（上册，下册），高等教育出版社3 王莉，海天2013年考研数学基础班高数辅导讲义4 薛春荣,王芳，对称性在定积分及二重积分计算中的应用[J]，科学技术与工程，2010，(1)5 赵达夫.高等数学的辅导讲义[M].新华出版社.6 孙钦福.二重积分的对称性定理及其应用.曲阜师范大学学报,2008.7 张仁华.二重积分计算中的若干技巧.湖南冶金职业技术学院学报,2008.8 温田丁.考研数学中二重积分的计算技巧.高等数学研究, 2008.后记本论文在选题及研究过程中得到指导老师的悉心指导。

利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法
刘富贵;鲁凯生
【期刊名称】《武汉理工大学学报（交通科学与工程版）》
【年(卷),期】2006(030)006
【摘要】由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
【总页数】4页(P1069-1072)
【作者】刘富贵;鲁凯生
【作者单位】武汉理工大学理学院,武汉,430063;武汉理工大学能源与动力工程学院,武汉,430063
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.巧用对称性解第二类曲线积分和第二类曲面积分 [J], 殷月竹;杨忠连
2.再探第二类曲线积分和曲面积分的对称性 [J], 张冬燕;刘倩
3.关于计算第二类曲面积分的一种巧妙的方法——化第二类曲面积分为第一类曲面积分 [J], 张雁;
4.利用对称性计算曲线积分与曲面积分 [J], 刘渭川
5.利用对称性计算曲线积分与曲面积分 [J], 张德生
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。