一道全国初中竞赛题的解法研究

第1页 共7页 原创全国初中应用物理知识竞赛辅导专题解析——压强

一、选择题

1．两块相同的海绵分别置于相同的磅秤上，取两个相同的物块分别置于海绵上，如图所示。下列关于甲、乙两图中磅秤示数F甲、F乙大小及海绵下陷浓度h甲、h乙的比较，正确的是( )

A．F甲=F乙，h甲>h乙

B．F甲=F乙，h甲=h乙

C．F甲

D．F甲>F乙，h甲>h乙

答案: A

解析：由于是两个相同的物块甲、乙两图中磅秤示数F甲、F乙大小相等，F甲=F乙；由压强定义，在压力相同时，压强与受力面积成反比，下陷浓度h甲>h乙，选项A正确。

2．如图甲所示，煤气管道包括户外和户内两部分，二者之间连接着一只煤气表。工人师傅给每户安装完户内管道后，都要检查一下管道是否漏气。有一种检测装置如图乙所示，在两端开口的透明的U型管中装有水，当U型管两端压强相等时，两侧水面相平。检测时，关闭开关后，用力向用户管道口Y内吹气，然后迅速将U型管的一端Y与用户管道口Y相连接，U型管内水面出现高度差(如图丙所示)。观察U型管中水面的变化可以判断户内管道是否漏气( )

A．若水面高度差逐渐增大，则表明不漏气

B．若水面高度差逐渐减小，则表明不漏气

C．若水面高度差保持不变，则表明漏气

D．若水面高度差保持不变，则表明不漏气

答案: D

解析：用力向用户管道口Y内吹气后，管道内压强大于大气压。若水面高度差逐渐减小，则表明漏气；若水面高度差保持不变，则表明不漏气，选项D正确。

3．如图所示，置于水平桌面上的一个密闭的圆锥形容器内装满了重力为G的某种液体。已知：圆锥形容器的容积公式为V=πR2h,，其中，R、h分别为容器的底面半径和高。则容器内的液体对容器侧面的压力大小为 ( )

A．1G B．2G C．3G D．0

第2页 共7页 答案: B解析：若重力为G的某种液体装在圆柱体容器内，容器内的液体对容器底面的压力应为G，重力为G的某种液体装在圆锥形容器内，则其液面高度为圆柱形容器的3倍，容器内的液体对容器底面的压强为圆柱形容器的3倍，其压力为3G。把液体看作整体，分析受力，由平衡条件可知，容器侧面对液体的压力大小为2G，根据力的作用是相互的，容器内的液体对容器侧面的压力大小为2G，所以正确选项为B。

・４４・　中学数学月刊　２００９年第７期　一道全国竞赛试题的深入探讨　沈家书　马　宇　（江苏省徐州高级中学　２２１００９）　２００８年全国高中数学联合竞赛一试第９题：　将２４个志愿者名额分配给３个学校，则每校　至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法　共有　种．　原标准答案提供一种解法，本文另辟蹊径，给　出新的解法，并研究其一般情况，使这类问题得到　完满的解决．　分析　设分给３个学校的名额分别为ｚ　，　２，　３，根据题设，得　１＋Ｘ２－｛－Ｘ３—２４（　１，Ｘ２，　３　∈Ｎ　）．（＊）　对于不定方程（＊），先求出满足　＜ｚｚ＜　勋的正整数解的组数Ｎ，然后将每一组解全排　列，即得满足题设分配方法Ｎ・３　１解．这样问题转　化为求不定方程（＊）满足　＜ｚｚ＜ｚ。的正整数　解的组数问题．　为此，记Ｅｘ］表示不超过ｚ的最大整数，然后　证明下面两个定理．　定理１设不定方程ｚ１－＋－ｘ２一　（工），　为正　整数且７２≥３，ｚｌ，　２∈Ｎ　，且满足ｚ１＜　２，则不　定方程（Ｉ）解的组数为Ｎ（ｎ，２）一Ｉ　Ｊ．　Ｌ　厶　Ｊ　证明　因Ｘ１，Ｘ２∈Ｎ　，ｚ１＜Ｘ２，所以　２≥　ｚ１＋１，于是有　１＋ｚ１＋１≤ｚ１＋　一　，ｆ！ｐ得ｚ１≤兰　，　厶　从而丑一［ｚ　］≤Ｉ　Ｉ．　Ｌ　Ｊ　当　分别取１，２，…，Ｉ堡　Ｉ时，相应　取竹　Ｌ　Ｊ　一１，ｎ－－２＇．．・，　一Ｉ　、ｌ，满足ｚ１＜Ｘ２，故得不　Ｌ　一　定方程（Ｉ）解的组数为ｉ生　１．　Ｌ　厶　Ｊ　故证得Ｎ（ｎ，２）一ｌ　１．　Ｌ　Ｊ　定理２　设不定方程ｚ　＋　２＋ｚ。一　（Ⅱ），　为正整数且　≥６，　１，ｚ２，　∈Ｎ　，且满足Ｘ１＜　Ｘ２＜　。，则不定方程（Ⅱ）解的组数为　［　３］Ｌ　Ｊ　Ｎ（　，３）　一　Ｎ（咒　一　３ｚ，２）　＝　［］．１　∑Ｉ　专　１　＝　Ｌ　一　（Ⅱ－Ｉ）　证明　因ｚｌ＇Ｘ２，Ｘ３∈Ｎ　，ｚ１＜　２＜Ｘ３，所　以Ｘ２≥　ｌ－Ｆ１，Ｘ３≥ｚｌ＋２，于是有　１＋　１＋１＋　１＋２≤　１＋　２＋　３一　，ｅＰ得　１≤苎二　，９，ｍｉ　一ｉｘ　］≤［　］．　故ｚ　可取１，２，…，［　］，共有［　］个　值．　由（Ⅱ）得　２＋勋一４一ｚ１．（Ｉ　）　令ｚ　２＝＝：　２一　１，ｚ　３＝＝＝Ｘ３－－Ｘｌ’由　１，勋，Ｘ３　∈Ｎ　，且　１＜　＜ｘ３，易得　２，ｚ　３∈Ｎ　，且ｚ　２　＜ｚ　３．此时由（Ｉ　）得　２＋　３＝，ｚ一　３ｘ１（Ｉ’）（　１，ｚ　２，ｚ　３∈Ｎ　且　２＜ｚ　３）．　利用定理ｌ（ｎ取　一３ｚｔ代之），得不定方程　（Ｉ　）有Ｎ（ｎ－－３　，２）：［生　］组解．　由此可得不定方程（Ｉ　）也有Ｎ（　一３ｚ　，２）　一『－　垫］组解．　当ｚ　取１，２，…，［　］时，得不定方程（Ⅱ）　解的组数为　［幽３］Ｌ　Ｊ　Ｎ（ｎ，３）一　∑Ｎ（ｎ一３ｘ１，２）＝　＝１　［学］．　［字］　Ｘ　Ｐｄｘ￣：２＿，得Ｎ（　，３）一∑Ｎ（ｎ－－３ｘ，２）　＝　Ｊ［　］，定理２获证．　本文开头的竞赛题可作如下解：　解由（＊）知，ｚ一２４，［　］＝７，　由定理２得Ｎ（２４’３）＝妻［　］＝　窭［　］

第６期　章国水：与数论有关的竞赛题类型探究　・５・　

（２０１１年全国初中数学联赛试题）　解　当／２＜８时，　２　＋２５６＝２　（１＋２　）．　若它是完全平方数，则ｎ必为偶数．但易知１＋２　不是完全平方数．　当　＞８时，　２　＋２５６＝２　ｆ２　一。＋１　．　

若它是完全平方数，则２　＋１为某个奇数的平　方．设２一。＋１＝（２ｋ＋１）　（ｋ为自然数），则　

２　一　＝　（ｊ｝＋１）。　由于ｋ和ｋ＋１一个为奇数一个为偶数，则ｋ＝１，进　而得到，ｚ＝１１．　评注指数不定方程的形式千姿百态，很多问　

题形式简单，解答较为复杂．不过由于初中所学内　容的限制，命题时常常设定其解答方法为常用的相　关策略，本例结合“２的正整数次幂”，借助“奇偶分　

析”加以解答．　不定方程作为数论的一个分支，有着悠久的历　史与丰富的内容，其案例不一而足，对应的解法也　不拘一格．很多不同形式的不定方程，其解法相通，　往往需要多种方法同时运用，需要读者在深谙相关　

方法和技巧的基础上灵活运用．　

与数论有关的竞赛题类型探究　

●章国水　（元培中学浙江绍兴３１２０００）　

初等数论问题是数学竞赛的热点内容，它所涉　

及的范围主要有十进制整数及表示方法、奇数和偶　数、整除性（被２，３，４，５，８，９，１１等数整除的判　

定）、素数和合数、最大公约数与最小公倍数、带余　

除法、同余、完全平方数、不定方程等等．初等数论　

问题在初中数学竞赛中占有较大比例，本文通过对　

全国各地初中数学竞赛中的有关初等数论的试题　进行研究，结合一些有关数论的竞赛试题进行题型　及解法介绍．　

１奇偶性分析　

自然数可以分为奇数和偶数．对于奇数与偶数　

的性质，在解答竞赛题时只要合理、灵活、巧妙、有　意识地利用它并运用正确的推理分析方法，就可以　

解决许多与奇偶数相关的有趣问题．　

例１将１，２，３，４，５这５个数字排成一排，最　后一个数是奇数，且使得其中任意连续３个数之和　

都能被这３个数中的第１个数整除，那么满足要求　的排法有　（　）　

81 第八章 二次方程与方程组

第一节 一元二次方程

【赛题精选】

§1、一元一次方程的解法

主要有：直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法。

例1、利用直接开平方法解下列关于x的方程。

（1）0)1(9)2(22xx （2）)0(0)22()(22aaxax

（3）)21(2142222nxnxnxx

例2、利用因式分解法解下列关于x的方程。

（1）(5x+2)(x-1)=(2x+11)(x-1) （2）0452xx

(3)02_23()12(2xx (4)0)()(22222qppqxqpx

82 （5）xmxmxxm)1()1()1(2222

例3、用配方法解下列关于x的方程。

（1）)0(02acbxax （2）03)12()1(2mxmxm

（3）01333223xxx

§2、根的判别式、根与系数的关系

韦达定理：若)0(02acbxax的两个根为1x、2x，那么1x、2x与a、b、c的关系为：两根之和abxx21；两根之积acxx21。

例4、若首项系数不相等的两个二次方程02)2()1(222aaxaxa（1）、02)2()1(222bbbxb（2）（其中a、b均为正整数）有一个公共根。

求ababbaba的值。

83 例5、已知方程02cbxx与02bcxx各有两个根1x、2x及1x、2x，且1x2x＞0，1x2x＞0。

求证：（1）1x＜0，2x＜0，1x＜0，2x＜0；（2）b-1≤c≤b+1；

（3）求b、c所有可能的值。

例6、已知1x、2x是方程032xx的两个根，求代数式1942231xx的值一。

例7、已知a、b为整数，a＞b，且方程04)(332abxbax的两个根、满足关系式)1)(1()1()1(。试求所有适合条件的整数对（a，b）。