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一道数学竞赛题的解题思考相似是初中数学学习的一个重要知识点，也数学问题解决时常用的数学方法，下面的这道赛题就能证明这一点.笔者现将自己对一道几何竞赛填空题的解法探究整理成文，期待同行指正.一、原题呈现 题目如图1，在ABC △中，D 为BC 边上一点，E 为线段AD 上一点，延长BE 交AC 于点F 。
若25BD BC =，12AE AD =，则AFAC= .(2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛题)二、探寻解法过程思路1：过点C 构造平行线，构造相似解题解法1 ：如图2，过点C 作CG BF ∥交AD 的延长线于点G ，则AF AEAC AG=. 因为CG BE ∥，所以DGC DEB △∽△，所以32DG DC DE DB ==， 所以37222AG AD DG DE DE DE =+=+=，所以27AF AE DE AC AG AG ===.解法2 ：如图3，过点C 作CG ∥AD 交BF 的延长线于点G ，所以△BDE ∽△BCG ，所以DE CG =25BD BC =, 由CG ∥AD ，所以△AEF ∽△CGF ，所以AE AF CG FC =,因为12AE AD =，所以AE=DE ，所以AF FC =BD BC 25,所以225AF AF FC =++,所以AF AC =27.【评析】解答时，做到了三合一即相似三角形的性质，平行线分线段成比例定理，比例的基本性质，熟练选择，才能灵活应用，巧妙解题.思路2：过点D 构造平行线，构造相似解题解法3 ：如图4，过点D 作DG ∥AC 交BF 于点G ，所以△BDG ∽△BCF ，所以DG FC =25BD BC =, 由DG ∥AC ，所以△DGE ∽△AFE ，所以DG DE AF AE =,因为12AE AD =，所以DG DEAF AE==1，所以DG=AF ，所以AF FC =25,所以225AF AF FC =++,所以AF AC =27.解法4 ：如图5， 过点D 作DG ∥BF 交AC 于点G ，所以△AEF ∽△ADG ，所以AE AFED FG=, 因为12AE AD =，所以AE AFED FG==1，所以FG=AF ， 由DG ∥BF ，所以FG BD FC BC =,因为25BD BC =，所以FG FC =25,所以AF FC =25, 所以225AF AF FC =++,所以AF AC =27.【评析】构造平行线不是盲目的，而是围绕能将已有图形分解出熟悉的“A ’字型，”8“字型两种三角形相似的模型图形来，为解题提供有力支撑.思路3：过点B 构造平行线，构造相似解题解法5 ： 如图6，过点B 作BG ∥AC 交AD 的延长线于点G ，所以△BGD ∽△CAD ，所以BG DG BD AC AD DC ==,因为25BD BC =，所以BD DC =23,所以BG AC =23，DG AD =23，所以DC=23AD ， 由BG ∥AF ，所以△BGE ∽△FAE ，BG GE AF AE =,因为12AE AD =，所以AE=ED=12AD ，所以213212AD AD BG AF AD +==73,所以BG=73AF ，所以73AFAC =23，所以AF AC =27. 解法 6 ： 如图7，过点B 作BG ∥AD 交AC 的延长线于点G ，所以△ACD ∽△GCB ，所以AC CD AD CG CB BG ==,因为25BD BC =，所以CD BC =35,所以AC CG =35=AD BG ，所以AC=35CG ，由BG∥AD，所以AG BDCG BC=,所以AGCG=25，所以AG=25CG，由BG∥AD，所以12AF AE ADFG BG BG==,所以AFFG=3152⨯=310，所以AF=310FG，因为AF=FG-AG,所以AF=103AF-AG,所以AG=73AF，所以AF=37AG=37×25CG=635CG，所以AFAC=63535CGCG=27.思路4：过点A构造平行线，构造相似解题解法7：如图8，过点A作AG∥BC交BF的延长线于点G，所以△AGE∽△DBE，所以AG AEBD ED=,因为12AEAD=，所以AG=BD，由AG∥BC，所以△AGF∽△CBF，AG AFBC FC=, 因为AG=BD，所以BD AFBC FC=,因为25BDBC=，所以AFFC=25，所以AFAC=27.解法8：如图9，过点A作AG∥BF交CB的延长线于点G，所以AFAC=GBGC,由AG∥BF，所以AE GBED BD=, 因为12AEAD=，所以BG=BD，因为25BDBC=，所以BC=52BD，所以AFAC=GBGC=52BDBD BD+=27.思路5：过点F构造平行线，构造相似解题解法9 ：如图10，过点F作FG∥AD交BC于点G，所以△FCG∽△ACD，所以FG FC CG AD AC CD==,由FG∥AD，所以△BDE∽△BGF，DE BDFG BG=,因为12AEAD=,所以2AD BDFG BG=,所以CDCG2BDBG=,所以2BG BDCG CD=,因为25BDBC=，所以BDDC=23，所以BG=43CG，所以BD+DG=43(CD-DG),所以DG=27CD，由FG∥AD，得AFAC=27CDDGDC CD=-27.解法10 ：如图11，过点F作FG∥BC交AD于点G，所以△AGF∽△ADC，所以AG AF FGAD AC CD==,由FG∥BC，所以△FGE∽△BDE，FG GEBD ED=,因为12AEAD=,所以2FG GEBD AD=,所以BDDC2AGGE=,因为25BDBC=，所以BDDC=23，所以AG=43GE，所以AE-GE=43GE，所以AE=73GE，所以AD=2AE=143GE，所以AFAC=43143GEAGAD GE=-27.【评析】三角形ABC外围上的所有点，都能通过构造平行线，转化成模型相似形三角形，把问题加以解决，这种模型转化的方式，要熟记，能熟用.接下来就留下了一个点E没有发挥作用，这个点是否也有这样的功效呢？思路6：过点F 构造平行线，构造相似解题解法11 ：如图12，过点E 作EG ∥BC 交AC 于点G ，所以△AGE ∽△ACD ，所以AG AE EGAC AD DC==,因为12AE AD =，所以AC=2AG=2GC ，DC=2EG,由EG ∥BC ，所以△FEG ∽△FBC ，EG FG BC FC =, 所以2DC FG BC FC =,因为25BD BC =，所以DC BC =35，所以1325FG FC =⨯=310，所以FC=103FG,所以FG+CG=103FG,所以CG=73FG ，所以AC=2CG=143FG ，AF=43FG ，所以AF AC =43143FGFG =27. 解法12 ：如图13，过点E 作EG ∥AC 交BC 于点G ，所以△DEG ∽△DAC ，所以DE EG DGAD AC DC==,因为12AE AD =，所以AC=2EG ，DC=2DG,即DG=GC ，因为25BD BC =，所以225BD BD DG =+,所以BD=43DG ，所以7210BG BD DG BC BD DG +==+,由EG ∥AC ，所以△BGE ∽△BCF ，所以EG BG FC BC =,所以EG FC =710，所以FC=107EG,所以AF=AC-FC=2EG-107EG=47EG, 所以AF AC =472EGEG =27.三、解后反思：解题时，要把题目所给出的条件进行认真思考，并与所学知识进行科学对接，明确对接中所缺失的条件，找到补充条件的方法，进行合理的变形与推理，这个过程实际上就是一个智慧碰撞的过程，就是一个创新思维的过程，就是一个数学能力提升的过程，长此以往，我们常说的创新精神，创新意识，就会潜移默化得以提高，创新思维就不会只停留在口头，而是落在学习的每一个过程中，你对创新就不会再感到抽象，无边际了，养成了创新思维的好习惯，将来才会创造出更大的奇迹.。
一道联赛试题的解法探讨由于没有具体题目，本篇文章将以一道例题为例进行解析。
例题：在10个人中选出3人，分别在数字1-10中抽取数，求其中至少有1个人得到两个相同数的概率。
解法一：使用概率的公式 $P(A) = \dfrac{|A|}{|S|}$，其中 $|A|$ 表示事件 $A$ 的样本点个数，$|S|$ 表示样本空间的样本点个数。
首先需要求出出三个人后，每人抽到两个不同的数，在此时至少有一人得到两个相同的数的概率，即为事件$A$。
对于第一个人，从$10$个数中任选一个，有$10$种情况。
对于第二个人，不能与第一个人抽到的数相同，则从其余$9$个数中任选一个，有$9$种情况。
对于第三个人，同样不能与前两个人抽到的数相同，则从其余$8$个数中任选一个，有$8$种情况。
而三个人抽出的数必须两两不同，则总共的样本点个数为：$|S| = {10 \choose 3} = \dfrac{10 \times 9 \times 8}{3\times 2 \times 1}=120$。
因此，事件$A$的样本点个数为：$|A| = 10 \times 9 \times 8 - 10 \times 9 \times 8 \times \dfrac{7}{10}\times \dfrac{6}{9} \times \dfrac{5}{8} = 300$。
其中，$10 \times 9 \times 8$ 表示三个人抽出的三个数两两不同的情况数，$10 \times 9 \times 8 \times \dfrac{7}{10}\times\dfrac{6}{9} \times \dfrac{5}{8}$ 表示三个人抽出的三个数两两不同但没有任何一个人得到两个相同数的情况数。
因此，事件$A$的概率为：$P(A) = \dfrac{|A|}{|S|} = \dfrac{300}{120} = 2.5$。
显然，这个答案不符合概率的定义，因此解法一是错误的。
一道竞赛题的解析证法随着科技的发展，竞赛题目也愈加复杂，解析证法尤为重要。
本文就来对竞赛题的解析证法进行详细的论述：一、必要条件分析法1.认真分析题目中的关键要素：首先需要全面而细致地分析题目，把握题目关键要素，并弄清它们所指代的内涵，明确不同要素之间的联系，进而使得对问题推导出一个结构清晰的答案。
2.把握必要条件：必要条件就是该题必须具备的条件，可以从中得出结果，要严格地加以分析，尽量简化思考路径，减少可能性，使得答案越来越明确。
二、大数定律分析法1.理解大数定律：要把握大数定律的原理，即经过一定数量的实验或者连续事件，最终的结果将会接近概率论中的数学期望。
2.实践总结：按照大数定律原理，可以经过大量的练习总结出解题的经验，因此可以更快道地掌控解题路径从而得出答案。
三、归纳总结法1.归纳抽象：根据同类题目，归纳分析出题目特点，把握题目之间的相同点和不同点，归纳出其中的抽象特征，从而更容易的理解所有题目的解题思路。
2.总结准则：将归纳抽象出来的题目解题特征进行综合总结，归纳出一套可行的答案准则，以此总结出一定的解题方法思路。
四、排除法1.分析可能性：通过题意及常识，首先对题目中提供的可能性进行分析，将题目中可能出现的操作情况及结果都列出来，并进行分类，归纳出所有类型的操作及结果。
2.排除可能性：根据题目给出的附加条件和题意，从所有操作及结果中逐一进行排除，最终仅剩下一种结果，则表明这种结果最可能就是题目的所求答案。
以上就是关于竞赛题解析证法的介绍，从上面我们可以看出，竞赛题解析证法非常丰富，而我们在解答问题时要想得出正确的答案，就必须在充分的分析和思考之后，掌握这些解题方法，从而使得自己在竞赛中更加有优势。
一道全国初中竞赛题的解法研究全国初中竞赛题目的解法研究旨在提供一种针对竞赛题目的解题方法和策略。
本文将以一道典型的全国初中竞赛题为例，详细阐述解题思路和步骤。
题目背景：某校举办一次篮球比赛，共有9个班级参加比赛，每个班级派出5名学生参赛。
现在给出每个班级得分的情况，需要求出获胜班级和该班的分数。
解题思路：这道题需要求出获胜班级和该班的分数。
由于涉及到多个班级的得分情况，我们可以通过对得分数据进行整理和统计，以便于后续的比较和判断。
解题步骤：步骤1：数据整理首先，我们将给出的每个班级的得分情况整理成一个表格或列表的形式，以便于进行后续的统计和比较。
假设得分情况如下所示：班级得分班级1 45班级2 50班级3 42班级4 49班级5 53班级6 44班级7 51班级8 46班级9 48步骤2：求出最高分和对应班级通过对得分进行比较，我们可以找出最高分和对应的班级。
在表格中可以很明显地看出班级5的得分最高，为53分。
步骤3：确定获胜班级获胜班级是得分最高的班级，即班级5。
步骤4：确定获胜班级的得分获胜班级的得分即是最高分，即53分。
思考与扩展：在解决这道题目的过程中，除了求出最高分和对应班级的方法外，我们还可以考虑对班级得分进行排序，以便于比较和判断。
这样可以对得分情况有更加清晰的了解。
另外，如果题目给出的是多个班级的得分情况，我们可以通过编程的方式进行解题。
例如，可以使用Python语言编写程序，读取班级得分数据，进行排序和比较，然后输出获胜班级和得分。
结论：综上所述，全国初中竞赛题的解题研究需要通过整理和统计数据，找出最高分和对应班级，从而确定获胜班级和得分。
在解题过程中，我们可以考虑使用排序等方法，以便于直观地比较和判断。
此外，编程也是解决这类问题的一种有效方式。
通过分析和解决竞赛题目，可以提高学生的逻辑思维和问题解决能力。
一道竞赛题引发的探究∗叶硕海1,㊀郑日锋2(1.学军中学海创园学校,浙江杭州㊀311121;2.学军中学,浙江杭州㊀310012)摘㊀要:文章从学生给出的一个错解出发,对2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛第10题进行了探究与推广,得到一般性的结论.关键词:猜想;三角形;计数问题中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)07-0044-031㊀问题呈现近日,笔者的一个学生遇到了这样一个问题.例1[1]㊀在复平面上任取方程z100-1=0的3个不同的根为顶点组成三角形,则不同的锐角三角形的数目为.(2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题第10题)该学生是这样思考的:将单位圆100等分,任取其中3个不同的点,则三角形的个数为N0=C3100=161700.其中直角三角形可先确定其直径,共50条,每条直径的同侧可取49个顶点,共两侧,故直角三角形的个数为N1=52ˑ49ˑ2=4900.因此不同的锐角三角形与钝角三角形的个数之和便为N0-N1=156800.㊀㊀此时,该学生猜想:其中锐角三角形与钝角三角形个数相等,于是锐角三角形的个数为N2=156800ː2=78400.然而78400是一个错误的答案,显然错因出现在最后一步,即其中锐角三角形与钝角三角形的个数并不相等.在给该生讲解之后,笔者发现正确答案为39200,正好是78400的一半.这表示钝角三角形个数恰好是锐角三角形个数的3倍!这是巧合还是对任意的n都成立?就此,笔者与该生进行了如下的猜测:猜想1㊀将单位圆n等分(其中nȡ3),任取3个顶点组成三角形,则其中钝角三角形与锐角三角形的个数之比为3ʒ1.2㊀问题探究通过简单计算发现,该结论并不对任意的nȡ3均成立,事实上:当n=3时,此时仅有锐角三角形,故结论不成立;当n=4时,此时仅有直角三角形,故结论也不成立;当n=5时,可用枚举法得钝角三角形与锐角三角形的个数之比为1ʒ1,故结论还不成立.图1下面为方便起见,在各类情况中,记N0为所有三角形总数,N1为直角三角形总数,N2为锐角三角形总数,N3为钝角三角形总数.当n=6时,N0=C36=20,N1=12,N2=2(即图1中的әA1A3A5和әA2A4A6),此时N3=20-12-2=6,故N3ʒN2=3ʒ1.基于以上观察,笔者改变了猜想的方向,得到:猜想2㊀将单位圆2k等分(其中kȡ3),任取3个顶点组成三角形,则其中钝角三角形与锐角三角形的个数之比为3ʒ1.㊃44㊃中学教研(数学)2021年第7期∗收文日期:2020-12-29;修订日期:2021-01-29作者简介:叶硕海(1989 ),男,浙江舟山人,中学一级教师.研究方向:数学教育.证明㊀显然N 0=C 32k=2k(2k -1)(k -1)3,N 1=2k(k -1),则N 0-N 1=43k(k -1)(k -2).为了证明猜想2,下面只需证明N 2=13k(k -1)(k -2).图2如图2,不妨设这2k 个顶点按逆时针次序排列依次为A 1,A 2, ,A 2k .首先考虑所有以A 1为顶点的锐角三角形,显然另外两个点只能出现在直径A 1A k +1的两侧,故三角形第二个点只需考虑A 2,A 3, ,A k 即可.若第二个点取A 2,则下半圆中没有点能与A 1A 2构成锐角三角形;若第二个点取A 3,则下半圆中仅有点A k +2能与A 1A 3构成锐角三角形;㊀㊀依此类推,若第二个点取A m (其中2ɤm ɤk),则有m -2个点能与A 1A m 构成锐角三角形.因此,所有以点A 1为顶点的锐角三角形的个数为0+1+2+3+ +(k -2)=12(k -1)(k -2).由于共有2k 个顶点,每个三角形被计算了3次,从而N 2=13ˑ12(k -1)(k -2)éëêêùûúúˑ2k =13k(k -1)(k -2),于是N 1ʒN 2=3ʒ1.进一步,我们也可考虑当n 为大于5的奇数时,钝角三角形与锐角三角形的个数之比.过程如下:图3设n =2k +1(其中k ȡ3),显然此时无直角三角形.如图3,不妨设这2k +1个顶点按逆时针次序排列依次为A 1,A 2, ,A 2k +1,记A m 关于圆心的对称点为B m (其中1ɤm ɤ2k +1).首先考虑所有以A 1为顶点的锐角三角形,同理另外两个顶点只能出现在直径A 1B 1的两侧,故三角形第二个点只考虑A 2,A 3, ,A k +1即可.与n 为偶数情形类似,若第二个点取A m (其中2ɤm ɤk +1),则有m -1个点能与A 1A m 构成锐角三角形,故所有以A 1为顶点的锐角三角形的个数为12k (k +1).进而,锐角三角形的总数为N 2=13(2k +1)ˑ12k (k +1)éëêêùûúú=16k (k +1)(2k +1).另外,三角形的总数为N 0=(2k +1)2k (2k -1)6,则钝角三角形的个数为N 3=N 0-N 2=(k -1)2k (2k +1)2,因此,钝角三角形与锐角三角形的个数之比为N 3N 2=3(k -1)k +1.经检验,当k =1以及k =2(即当n =3以及n =5)时,上述公式也成立.综上,我们有如下结论:结论1㊀将单位圆n 等分(其中n ȡ3).任取3个顶点组成三角形,1)若n =4,则所有的三角形均为直角三角形;2)若n 为奇数,则钝角三角形与锐角三角形个数之比为3(n -3)n +1;3)若n 为偶数且n ȡ6,则钝角三角形与锐角三角形个数之比为3ʒ1.进而,我们有如下推论:推论1㊀将单位圆n 等分(其中n ȡ5),任取3个顶点组成三角形,记N 2为锐角三角形总数,N 3为钝角三角形总数,则lim n ң+ɕN 3N 2=3.3㊀问题引申进一步,我们还可考虑能否利用几何概型以及多重积分将该问题推广成连续型:猜想3㊀在单位圆上任取3个不同的点,则取到钝角三角形的概率与取到锐角三角形的概率之比为3.4㊀一点感悟(下转第46页)㊃54㊃2021年第7期中学教研(数学)一道浙江预赛题的解法与变式推广∗栾㊀功(南宁市第三中学,广西南宁㊀530021)摘㊀要:文章通过对2020年浙江省预赛试题第12题的解法探究,得到了相关研究对象在运动变化过程中保持的规律性及其变式推广,并由试题的解答与推广得出了关于圆锥曲线的一个统一结论,从而揭示了问题的本质和规律.关键词:圆锥曲线;一题多解;变式推广中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)07-0046-051㊀试题呈现题目㊀已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且椭圆C的任意3个顶点构成的三角形面积为12.1)求椭圆C的方程;2)若过点P(λ,0)的直线l与椭圆交于相异的两个点A,B,且APң=2PBң,求实数λ的范围.(2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题第12题)分析㊀第1)小题考查椭圆的基本概念和基本性质,是圆锥曲线中最基本的题型,体现了竞赛试题的基础性及对考生的关怀.第2)小题以过点P 的直线l与椭圆交于相异的两个点A,B为背景,设计了APң=2PBң,求点P横坐标λ的范围;为求出实数λ的范围,必须从运动变化中的不变量APң= 2PBң入手寻找化归途径,即由此思考几何关系APң=2PBң如何转化,从而解决问题.该试题既考查了直线和椭圆的位置关系㊁平面向量的概念及基本运算㊁考生的逻辑推理能力和运算求解能力,还深入考查了解析几何的基本思想和基本方法.该试题蕴含着丰富的数学思想,值得深入探究.(上接第45页)‘普通高中数学课程标准(2017年版)“指出:高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质[2].因此,由真实的问题引发的数学探究作为一种重要的数学活动,不仅能激发学生的学习兴趣以及探索精神,更能提升学生的思维能力以及数学素养.教师应当在教学过程中鼓励学生提出猜想并严谨求证.此外学生解题时的错解也是教师在教学过程中的一个重要的资源,教师应该用积极的眼光看待学生在解题中出现的错误并加以正确引导.通过对错解的分析,不仅能让师生明白其中的原理,还能得到一些有趣的结论,实现师生之间的教学相长.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会.高中数学联赛备考手册㊃2020预赛试题集锦[M].上海:华东师范大学出版社,2020:103-111.[2]㊀中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018:1-3.㊃64㊃中学教研(数学)2021年第7期∗收文日期:2020-10-27;修订日期:2020-12-08作者简介:栾㊀功(1982 ),男,甘肃陇西人,中学高级教师.研究方向:数学教育.。
44 福建中学数学 2012年第3期
一道竞赛试题的解法探究
浙江省温州市第二十二中学（325000）
2011年全国高中数学联合竞赛第2题，试题简约，寓意深刻，考生可以从多个角度切高洪武 吴勇军
一试（A
卷）中22(1)1(1)y x t t x t t =−⎧⎪
⎨令=⇒−=≥⎪⎩
（＊2） 而直线入，很好地考查高中数学常见的一些思想方法以及学生对基本知识、基本技能的掌握情况．本文拟从四个角度出发，对该题目进行初步的剖析，以
期引发更多的思考．
题目 （2011年全国高中数学联合竞赛一试试题
（A (1)t y x =− 过定点（1，0）．当时，两曲线有公共点，则； 0y >1y >时，两曲线有公共点，x 直线(1t y 当0y <)=−应
绕着点(1，0)从逆时针方向旋转到的位置，与
曲线t 2L 卷）第2
题）函数()1
f x x =
−的值域是 ． 解法一三角换元法
令tan x θ=，（22θπ−<<，且π4
θπ
≠） （注：换元时保持变量的等价性）
则y tan 1cos θθ− =
11
sin cos )4
θθθ==π−−． 22θππ−<<∵，且4θπ≠， 3444
<，且0θπππ
∴−<−θ≠．
4<0θπ≤−
或0<)14θπ
−<，
12)4θ≤−π−
或11)
4θ>π−，
()f x ∴
的值域为((12
−∞−+∞∪，，)． 评析 此函数为分式型无理函数，解决此类问题
通常是化无理式为有理式，即努力将根式中的被开方数(式)化成完全平方数(式)，由221tan 1cos θθ+=联想到三角换元，思路由此打开．解法二 数形结合法
y =∵
，(y x ∴1)−=（＊1），
322t x L 3L 1(1)−=≥切．
相联立方程221t x (1)t y x =−⎧⎨−=⎩，
得(1)y x −−． 即2222(1)210y x y x y ，22210x −=−−+−=．
若直线1)(t y x =−x t ≥相切， )4(0y y 与2t −=21(
1)2y =−则2(21)222Δ=−=−−，．
∴直线(1)t y x =−绕着点(1，逆时针方向旋转过程中，0)从2
L 2
到L 的y ≤3．
综上得y ≤或即函数的值域为
1y >，
((1)−∞+∞∪，，
． 解法比较巧妙地函数值赋予“特殊身份”，想，将问题转化为我们熟悉的两类曲线有公共点问题．其转化基本思路为：函数
有意义评析 本将利用数形结合思方程有解曲线有公共点．
←←解法三 基本不等式法 （1） 若1x >，
()f x 1x >∵，20x x ∴+−>2x x ∴+>，，
2
1112x x ∴+>+−，f x ()1∴>（2）若．
，
x 1<
2012年第3期福建中学数学45
()
10
x
f x
x
⎧
≠
⎪⎪
==⎨
⎪
⎪−=
⎩，
，
当
．所以
01
x
<<，
1
2
x
x
+>，；
当，
()1
f x<−
x<
1
2
x
x
+≤−，
1
24
x
x
+−≤−，
12
2
−0
1
2
x
≤<
+−
，
x
1
2
2
11
1
2
x
x
∴≤+<
+−
，
且时，等号成立）．
（当仅当1
x=
−
1
≤<，
1
∴−<≤，
当
2
∴1
x<
时，()
2
f x≤−．
综上所述，函数的值域为(](1
2
−∞−+∞
∪
，，)．
评对于型函数研究往有两种思路，
一是努力将根号去掉（解法一），二是将所有问题纳
入根在将分母纳入根号内
部，
析根式，往
号内部去处理，本解法意
将无理分式函数问题转化为一个常见的分式型
函数问题．借助基本不等式和分类讨论思想可以方
便地将问题解决．
解法四导数法
1
22
(1)
()
1
x
f x
x
+
=
−
∵，
11
2
[(1)
x+
′
2
2
](1)[(1)](1)
()
(1)
x x x
f x
x
′′
−−+−
∴=
−
1
x
=≠)．
设，得，，得且
()0
f x′>1
x<−()0
f x′<1
x>−
1
x≠()
f x在(1]
−∞−
，是增函数，在
上(11)
−，上
是减函数，在上是减函数．
(1)
+∞
，
()(1)
f x f
≤−=
易得：当时，
1
x<
当1
x−
→，；
当
()
f x→−∞
，；
1
x+
→()
f x→+∞
当x→+∞()x→
，．
，函值域为
1
f
((1
2
综上数的)
−+∞
∪．
求函数的值域，关键在于研究函数的最
值，而函数的最值与函数的单调性密切相关，此函
数的图象性质我们是不熟悉的，故可借助导数工具
去研
从研究函数一般方法探究它的性
质；解
一道2010克罗地亚国家队试题的加权推广
福建省100）
2010年克罗地亚国家队第四轮选如下：设
−∞，，
评析
究．有了函数单调性的信息，再用极限的思想
去研究函数值在一些边界点的变化趋势，就可将函
数的草图画出，进而得出函数的值域．本解法意在
要求同学们学会用研究函数的一般方法去探究其他
陌生函数的性质．
本文从四个不同的角度对上述问题做了一个初
步剖析．解法四想法最自然，当直接面对一个看似“陌
生”的函数时，要学
法一、解法三都是化“无理”问题为“有理”问题，
体现了数学中重要的转化思想；解法二角度新颖，
从方程、曲线角度看待函数存在问题．这其中所涉
及到的思想方法都是高中阶段同学们应该认真领
会、掌握的内容，希望同学们在学习过程中做个有
心人，始终站在数学思想方法的高度去统领我们的
解题活动，惟有此，我们才能在短暂的时间里迅速
地抓住题目的本质，实现优质高效的解题．
吴赛瑛田富德
大田第一中学（366
2
a b
D
a b
+
<
+
∑
拔考试有一道．求使得恒成立的
a b c
+
∈R
，，。
