离散时间随机信号ppt-第八章离散时间随机信号

mx
0
x
x
2
exp
x2
2 2
dx
2
2 x
x
0
mx
2
x
2
exp
x2
2 2
dx
2-
2
2
练习 求正态分布的随机变量的均值和方差。
pxx
1
2
exp
x m2
2 2
mx
x
1
2
exp
ห้องสมุดไป่ตู้
x m2
2 2
dx
m
2 x
x m2
1
2
exp
x m2
2 2
dx
2
5.3 离散随机过程
（1）离散随机过程 由无限多个随机变量构成的一个时间序列
xn n
构成一个随机过程.
仅仅知道一个时刻的统计特性是不够的 还应该知道不同时刻随机变量之间的关 系,引入联合概率分布函数和联合概率密 度函数.
随机过程理论的应用：信道容量分析 •
53
随机变量xn，xm的联合概率分布函数， 描述了他们之间的互相依存关系：
p （X xn，xm n，n，Xm，m）=pxn+k，xm（k Xn+k，n+k，Xm+k，m+k）
意义： 反映了随机变量的波动与离散的程度.
（4）物理意义
设随机变量是电压或电流，则
均方值 E[x2 ] 是在单位电阻上消耗的总的平
均功率;
方差
2 x
是交流成分在单位电阻上消耗的
平均功率；
均值的平方是直流成分在单位电阻上消耗
的平均功率.
.
总平均功率等于交流成分的平均功率

中, 为简单起见，也用小写字母x(n)或xn表示随机序列, 只要概念清 楚, 会分清楚何时代表随机序列, 何时代表样本函数。
数字信号处理——时域离散随机信号处理
x1(tn
t
图 1.1.1 n部接收机的输出噪声
数字信号处理——时域离散随机信号处理
x1(n) x2(n) xn(n)
数字信号处理——时域离散随机信号处理
一般均方值和方差都是n的函数, 但对于平稳随机序列, 它 们与n无关, 是常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，其均方 值表示在n时刻消耗在1 Ω电阻上的集合平均功率，方差则表示 消耗在1Ω电阻上的交变功率的集合平均。有时将σx称为标准方 差。
数字信号处理——时域离散随机信号处理
3. 随机序列的相关函数和协方差函数
我们知道, 在随机序列不同时刻的状态之间，存在着关联 性， 或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列 本身或者不同随机序列之间。 这一特性常用自相关函数和互 相关函数进行描述。
自相关函数定义为
rxx
(n,
m)
E[
X
* n
X
m
]
xn*
xm
pX
n
,
X
m
数字信号处理——时域离散随机信号处理
时域离散随机信号的分析
1.1 引言 1.2 时域离散随机信号的统计描述 1.3 随机序列数字特征的估计 1.4 平稳随机序列通过线性系统 1.5 时间序列信号模型
数字信号处理——时域离散随机信号处理
1.1 引 言
信号有确定性信号和随机信号之分。 所谓确定性信号，就 是信号的幅度随时间的变化有一定的规律性， 可以用一个明确 的数学关系进行描述，是可以再现的。 而随机信号随时间的变 化没有明确的变化规律，在任何时间的信号大小不能预测， 因 此不可能用一明确的数学关系进行描述，但是这类信号存在着 一定的统计分布规律，它可以用概率密度函数、概率分布函数、 数字特征等进行描述。

一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。

23
三.自相关函数与 自协方差函数的性质
24
性质1 :相关函数与协方差函数的关系
Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
25
性质2：均方值、方差与相关函数和协方差函数
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
五、功率谱密度
44
维纳——辛钦定理
1． 复频域
rxx
(m)
1
2
j
c Sxx (z)zm1dz,
Sxx
(z)
m
rxx
(m)z
m
C (Rx , Rx )
45
2. 频域
{ rxx(m)
1
2
Pxx (e j )e jm d
2
Pxx (e j ) rxx (m)e jm
m
46
3．性质
实平稳随机信号 rxx m rxx m
rxx m E x x n1 n1m
x1x2 p x1 , x2 ; m dx1dx2
18
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
rxx m mx 2
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对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
①偶函数
Pxx e j Pxx e j
②实函数
Pxx e j Pxx e j
③极点互为倒数出现
Sxx
z
Sxx
1 z
47
④功率谱在单位圆上的积分等于平均功率
E
x2