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第2章 离散时间平稳随机过程-gxs1

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3第二章平稳随机过程

3第二章平稳随机过程

例题3：
设S(t)是一周期为T的函数， θ在(0,T)上 均匀分布，称X(t)=S(t+θ)为随机相位周 期过程，讨论其平稳性。
例题4： 随机过程X(t)只取+I和 -I，且P{X(t)=+I} = P{X(t)= -I}=1/2，而正负号在( t, t+ τ) 的变化次数N(t,t+τ)是随机的，且事件 AK={N(t,t+τ)=k}的概率为
1 N
N l im P{|Nk1Xk
m|}1
随时间n的无限增长，随机过程的样本函数 按时间平均以越来越大的概率近似于该过程的 统计平均。也就是说，只要观测的时间足够长， 则随机过程的每个样本函数都能够“遍历”各 种可能的状态。
例题：
随机过程X(t)=acos(wt+θ ),a,w为常 数，θ 为(0,2π )上均匀分布的随机变量， 试分析X(t)集合平均和时间平均值、相 关函数和时间相关函数。
E| a bX(t)d|2 ta ba bR X(t1,t2)d1d t2t
结论：数学期望和积分可以交换秩序。
定理6.9
设{X(t),t∈T}为二阶矩过程在区间[a,b]上均方连 续，则
b
Y(t) X()d a
在均方意义下存在，且随机过程{Y(t), t∈T}在区 间[a,b]上均方可微，且有Y’(t)=X(t)。
具有各态历经性。
定义6.11
如果均方连续的平稳过程{X(t),t∈T} 的均值和相关函数都具有各态历经性， 则称该平稳过程为具有各态历经性或遍 历性。
定理6.10 设{X(t),-∞<t<∞}是均方连续的平稳过程，则它 的均值具有各态历经性的充要条件为
l T .i .m 2 1 T 2 2 T T ( 1 |2 T |)R [ X () |m X |2 ] d 0

随机过程第二章 平稳过程

随机过程第二章 平稳过程

n (n 0,1,2, )
同分布, n ( n 0,1,2, )
同分布, E n E n 0, D n D n 2 0. 设
X n n n ( 1) n ( n n )
, } 则加密序列 { X n , n 0,1,2是平稳序列 .
平稳过程.
7
五.两个平稳过程的关系 下文中广义平稳过程简称平稳过程. 定义3 设 X (t ) 和 Y (t )是两个平稳过程,如果互相关 函数 E[ X (t )Y (t )] R XY ( ) 仅是参数间距 的函数,则称

X (t ) 与Y (t ) 平稳相关,或称其为
联合平稳的. 此时
C XY ( ) cov( X (t ), Y (t ))
E[ X (t )Y (t )] E[ X (t )]E[Y (t )]
RXY ( ) X Y
定义4
XY ( )
C XY ( ) C X ( 0) C Y ( 0)
称为标准互协方差函数. 特别当 XY ( ) 0 时,称两个平稳过程与不相关.
例2 设 X , Y 是相互独立的标准正态随机变量,
Z (t ) ( X 2 Y 2 )t , t 0
试验证随机过程
Z (t ) 不是严平稳过程, Z (t )
的数字特征也不具有平稳性.
4
第二节 广义平稳过程
(一) 广义平稳过程的定义
定义2 设随机过程
X (t ) ,对于任意 t T ,满足:
( | |) k | | P{N (t ) N (t ) k} e k!
0, k 0,1,2,

平稳随机过程的概念

平稳随机过程的概念
具有相同旳分布函数, 则称随机过程{ X (t), t T } 具有平稳性, 并同步称此过程为平稳随机过程, 或简称平稳过程 (严平稳过程或狭义平稳过程).
平稳过程旳参数集T, 一般为: (,), [0,), {0,1,2,} 或 {0,1,2,}.
当T为离散情况 , 称平稳过程X n 为平稳随
第一节 平稳随机过程旳概念
一、平稳随机过程旳概念 二、应用举例 三、小结
一、平稳随机过程旳概念
在实际中, 有相当多旳随机过程, 不但它现 在旳状态, 而且它过去旳状态, 都对将来状态旳 发生有着很强旳影响.
假如过程旳统计特征不随时间旳推移而变 化, 则称之为平稳随机过程.
1. 定义
如果对于任意的 n( 1,2,),t1, t2 ,, tn T和 任意实数h,当t1 h, t2 h,, tn h T时, n维随机 变量 ( X (t1 ), X (t2 ),, X (tn )) 和 ( X (t1 h), X (t2 h),, X (tn h))
T s(t )s(t ) 1 d
0
具有周T 期性
1
T
iT i
s( )s( )d RX ( )
所以随机相位周期过程是平稳旳. 尤其, 随机相位 正弦波是平稳旳.
例3 考虑随机电报信号 x(t) I
o
信号X (t)由只 取 I或 I t 的电流给出.
I 这里 P{ X (t) I } P{ X (t) I } 1/ 2
可见Y (t) X (t) X (0)不是平稳过程 .
三、小结
平稳随机过程、宽(广义)平稳随机过程旳概念 平稳过程数字特征旳特点
(1) 平稳过程的所有样本曲 线都在水平直线
x(t ) X 上下波动,平均偏离度为 X . (2) 平稳过程的自相关函数 仅是t2 t1 的单

第2章 平稳随机过程

第2章 平稳随机过程

第2章 平稳随机过程2．1 平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。

不大起大落。

随机过程)(t X ，当t 变化时，得一系列随机变量：)(1t X ，)(2t X ，……)(n t X 。

)(t X 具有“平稳”性，是指)(i t X 的变化稳定，不“大起大落”，各)(i t X 具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。

在统计学中，)(1t X ，)(2t X ，……)(n t X 往往假设满足“独立同分布”（iid ）。

“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。

2．1．1 严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程)(t X 的n 维概率密度（或n 维分布函数）),,,(2121n n X t t t x x x p 不随时间起点选择不同而改变。

即：对任何n 和ε，过程)(t X 的概率密度满足：),,,(),,,(21212121εεε+++=n n X n n X t t t x x x p t t t x x x p则称)(t X 为严平稳过程。

二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程)(t X 的一维概率密度与时间无关；严平稳过程)(t X 的二维概率密度只与1t 、2t 时间间隔12t t -=τ有关。

证明：当n ＝1时，对任何ε，有),(),(1111ε+=t x p t x p X X 。

取1t -=ε，则有)()0,(),(),(),(111111111x p x p t t x p t x p t x p X X X X X ==-=+=ε。

当n ＝2时，对任何ε，有),,,(),,,(21212121εε++=t t x x p t t x x p X X 。

取1t -=ε，12t t -=τ，则),,(),0,,(),,,(2112212121τx x p t t x x p t t x x p X X X =-=。

2.2 平稳随机过程

2.2 平稳随机过程
(2.2 - 1) 则称ξ(t) 是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴 上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的， 具体到它的一维分布, 则与时间t无关， 而二维分布只与时间间 隔τ有关，即有
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第2章
随机过程 f1(x1, t1)=f1(x1) (2.2 - 2)
2016/9/6
16
第2章
随机过程
根据上述关系式及自相关函数R(τ)的性质，不难推演功 率谱密度Pξ(ω)有如下性质： （1） Pξ(ω)≥0，非负性； （2.2 - 20） （2）Pξ (-ω)= Pξ(ω)，偶函数。 （2.2 - 21）
因此， 可定义单边谱密度Pξ(ω)为
2 P ( ) P 1 ( ) 0
(2.2-15)
(2.2-16)
虽然式（2.2 - 15）给出了平稳随机过程ξ(t)的功率谱密度
Pξ(ω)，但我们很难直接用它来计算功率谱。那么，如何方便
地求功率谱Pξ(ω)呢？ 我们知道，确知的非周期功率信号的自 相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过
程，也有类似的关系，即
j P ( ) R ( )e d
当均值为0时，有R(0)=σ2。
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10
第2章
随机过程
2.2.4平稳随机过程的功率谱密度
随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们
知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对 于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为
Pf ( ) lim
T
FT ( ) T
平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有 用的特性， 称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的 数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现 的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是 平稳随机过程ξ(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关 函数分别为

第五讲-平稳随机过程

第五讲-平稳随机过程

E[ X 2 (t )] = RX (0) = 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数： 相关系数：
rX (τ ) =
K X (τ )
σ
2 X
=
2 RX (τ ) − mX 2 σX
相关时间： 相关时间：
τ 0 = ∫ rX (τ )dτ
(4) 若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量， 若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量，
X (t ) = A cos( ω 0 t + Φ ) + N (t )
A2 R X (τ ) = cos ω 0τ + RN (τ ) 2
(5)
2 2 RX (0) = σ X + mX
3 2 3
E ( XY ) = E (YX ) = E ( X ) E (Y ) = 0
mZ (t ) = E[ Z (t )] = E[ X ]cos t + E[Y ]sin t = 0
RZ (t1 , t2 ) = E[ Z (t1 ) Z (t2 )] = E{[ X cos t1 + Y sin t1 ][ X cos t2 + Y sin t2 ]} = E[ X 2 ]cos t1 cos t2 + E[Y 2 ]sin t1 sin t2 + E[ XY ]cos t1 sin t2 + E[YX ]sin t1 cos t2 = 2 cos t1 cos t2 + 2 sin t1 sin t2 = 2 cos(t1 − t2 ) = 2 cos τ
RX (τ ) = 100 cos10τ + (100e −10|τ | + 100)

平稳随机过程

平稳随机过程1．平稳随机过程（1）严平稳随机过程的定义若ξ(t)的任意有限维概率密度函数与时间起点无关，即对于任意的正整数n和所有实数Δ，有则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。

①一维概率密度与时间t无关，即②二维分布函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即（2）严平稳随机过程ξ(t)的数字特性①均值均值与t无关，为常数a，即（3-1-1）②自相关函数自相关函数只与时间间隔τ＝t2－t1有关，即R(t1，t1＋τ)＝R(τ)。

即（3-1-2）（3）广义平稳随机过程把同时满足式（3-1-1）和式（3-1-2）的过程定义为广义平稳随机过程。

（4）严平稳随机过程与广义随机过程的关系严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立。

2．各态历经性（1）各态历经性的定义随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态称为各态历经性。

（2）各态历经性的意义具有各态历经性的平稳随机过程的统计均值等于其任一次实现的时间均值。

（3）各态历经性与平稳随机过程的关系具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立。

（4）各态历经性的实现如果平稳过程使成立，则称该平稳过程具有各态历经性。

3．平稳过程的自相关函数（1）自相关函数的定义设ξ(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数为（2）自相关函数的性质①R(0)＝E[ξ2(t)]，表示ξ(t)的平均功率；②R(τ)＝R(－τ)，表示τ的偶函数；③｜R(τ)｜≤R(0)，表示R(τ)的上界；④，表示ξ(t)的直流功率；这是因为当时，与没有任何依赖关系，即统计独立。

所以⑤R(0)－R(∞)＝σ2，σ2是方差，表示平稳过程ξ(t)的交流功率。

当均值为0时，有R(0)＝σ2。

4．平稳过程的功率谱密度（1）功率谱密度的定义平稳过程ξ(t)的功率谱密度Pξ(f)定义为（2）功率谱密度的特性①平稳过程的平均功率为②各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度。

平稳随机过程


相关时间：
0 rX ( )d
0

rX ( )
1
rX ( 0 ) 0.05
0
0

相关时间示意图
2.3 平稳随机过程
4 2 0 -2 -4
10 5 0 -5 -10
0
50
100
0
50数
0 100
相关时间越长，反映随机过程前后取值之间的依 赖性越强，变化越缓慢，相关时间越小，反映随 机过程前后取值之间的依赖性越弱，变化越缓慢
2 mX RX 2 () 100 2
2 2 X RX (0) mX 200
E[ X 2 (t )] RX (0) 300
2.3 平稳随机过程
3 相关系数及相关时间 也称为归一化协 方差函数或标准 协方差函数。
相关系数：
rX ( )
K X ( )

2 X

2 RX ( ) mX 2 X
for Nk k=2 称为二阶严平稳,如果对N=k成立,那么对N<k也成立. (2) 渐近严平稳 当c时,X(t+c)的任意n维分布与c无关,即
lim f X ( x1 , x2 , , xN , t1 c, t2 c, , t N c)
c
存在,且与c无关.
(3) 循环平稳 如果X(t)的分布函数满足如下关系
2.3 平稳随机过程
1 平稳随机过程的定义 严格 平稳 随机 过程 如果随机过程的任意n维分布不随时间起 点变化，即当时间平移时，其任意的n维 概率密度不变，则称是严格平稳的随机过 程或称为狭义平稳随机过程。
f X ( x1 ,, xn , t1 t ,, t n t ) f X ( x1 ,, xn , t1 ,, t n )

[理学]2平稳随机过程


例2: 设X(t)=Asin(t+Θ)，Y(t)=Bsin(t+Θ-),A,B, ,
为常数，Θ在(0,2)上服从均匀分布，
证明: {X(t)},{Y(t)}是平稳相关的，并求RXY()。
解: 1.首先验证 X(t),Y(t)均为平稳过程.
2.考虑相关函数
RXY ( ) E[ X (t )Y (t )]
E[W(t)W(t+)]=E{[X(t)+Y(t)][X(t+)+Y(t+)]}
=E[X(t)X(t+)]+E[X(t)Y(t+)]+E[Y(t)X(t+)]+E[Y(t)Y(t+)] =Rx()+RxY()+RxY(-)+RY() 可见W(t)的自相关函数Rw(t,t+)只依赖于,所以 w(t)为平稳过程.
性质1. Rx(0)0； 证: Rx(0)=E[X2(t)]0 性质2. Rx()为偶函数，即Rx(-)=Rx()
证： Rx(-)=E[X(t)X(t-)]= E[X(t-)X(t)]= Rx()
性质3.|Rx()| Rx(0) 证：由柯西-施瓦兹不等式
| R X ( ) || E[ X ( t ) X ( t )] | E[ X 2 ( t )] E[ X 2 ( t )]
n
2
( 3) lim E ( X nYm ) E ( XY )
n m
证明：(1)由柯西-施瓦兹不等式
| E( X n ) E( X ) |2 | E( X n X ) |2 E[( X n X ) 2 ] 0 (n )
( 2) limE ( X n ) E ( X 2 )

第二章随机过程的基本概念

若固定时间 t = ti ，仅随机因素 e 在变化，则 X (ti , e) 是一个随机变量，如随机相位信号，若固
定时刻 n=ni，则
X (ni , Φ) = Acos(ω0ni + Φ) 是随机变量 Φ 的函数，也是一个随机变量。
对于不同的时刻 t1, t2 ,", ti ," ，X(t)对应于不同的随机变量 X (t1 ) , X (t2 ) ,…, X (ti ) …, 通常 X (ti ) 称为随机过程 X (t) 在 t = ti 时刻的状态, 可见 X (t) 可以看作为一族随时间而变化的随机变
量。
若固定 e = ei ， t = t j ，则 X (t j , ei ) 表示第 i 次试验中的第 j 次测量，它是随机过程的某一特 定的值，通常记为 xi (t j ) 。
当 e 和 t 均变化时，这时才是随机过程完整的概念，从以上的分析可以看出，随机过程是一组
样本函数的集合，或者也可以看成是一组随机变量的集合。因此,我们可以从另一个角度来对随机 过程来下一个定义。
5
0
-5
50
50
100
150
200
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
t1 100
150
200
图2.2 接收机噪声
另外，对应于某个时刻 t1 ， x1 (t1 ) , x2 (t1 ) ,…，取值各不相同，也就是说， X (t1 ) 的可能取值
是 x1 (t1 ) 、 x2 (t1 ) 、┄之一，在 t1 时刻究竟取哪个值是不能预知的，故 X (t1 ) 是一个随机变量。同 理，在 t = tk 时， X (tk ) 也是一个随机变量，可见 X (t) 是由许多随机变量构成的。
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若一个方阵的主对角线元素相等，且平行于主对角 线的斜线上的元素也相等，则称其具有Toeplitz性， 称该方阵为Toeplitz矩阵。
结论：如果离散时间随机过程是广义平稳的，则 它的自相关矩阵 R 一定是Toeplitz矩阵；反之
如果自相关矩阵 R为Toeplitz矩阵，则该离散时间 随机过程一定是广义平稳的。
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性质3 平稳离散时间随机过程的相关矩阵R是非负定的， 且几乎总是正定的。
证明：设 a M 1 为任意非零向量，二次型
aH Ra aH E u n uH n a
E aHu n uH n a
E aHu n aHu n H E aHu n 2 0
故 R 总是非负定的。当且仅当观测向量的每个随机
= 1 cosm
2
9
当 k l n时，可以定义 方差
2 n var u n E u n
平均功率
2
Pn E un
2
n r n, n
c n, n
如果随机过程 u n 均值为零，即 n 0时，则有
r n1, n2 c n1, n2 , P n
2n
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10
对于两个不同的随机过程u n 和v n ，可以定义 互相关函数
2 E un
2
c0
2
P E un
r0
2018/3/5
14
对于两个平稳随机过程u n 和 v n ，有 互相关函数 互协方差函数 ruv m E u n v n m
cuv m E u n u v n m v
其中， u 和 v分别是平稳随机过程u n 和v n 的均值。
2018/3/5
15
平稳随机过程中相关函数的性质 性质1 原点处自相关函数值最大
p u,v p u p v
由上式容易推导出 E UV E U E V
2018/3/5
25
正交： 如果两个随机变量U、V 是相互正交的，则有
E UV 0
相关： 两个随机变量U 、V 的相关系数定义为
cov U ,V
cov U ,V
var U var V
uv
其中，
1 ，U 的均值和方差分别为
u和
， V 2
随机变量，其他为常数，求 u n 的均值和自相关函
数。
E u n EAcosn

2
0
A
2
cosn d
=0
r m Eu nu n m
EAcosn Acos n m
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用希尔伯特变换，可得到任意实随机过程的复数表示
w n x n jxˆ n
其中，xˆ n 为实随机过程 x n 的希尔伯特变换可表示为
1 1n xˆ n x n h n x n
n
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5
窄带随机过程的复数表示
如果 x n 是一个实的窄带随机过程，可用表达式为
x n a n cos 0n n 式中a n ， n 是随机过程，且其功率谱宽度远小于载 角频率 0 。
1
u
2 u
2
u
uv
v
e 21 2
2 u
uv
2
v
2 v
2 v
由性质1知，统计独立可以推导出不相关。可推导出：
p u,v
1
u
2 u
e2
2 u
2u
1
v
2 v
e2
2 v
2v
pu pv
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30
性质3 如果两个随机变量中有一个均值为零，则统 计不相关和正交等价。
证明：统计不相关，则其协方差为零，且 V 0
ruv k,l E u k v l
互协方差函数
cuv k,l E u k u k v l v l
ruv k,l
uk vl
其中，u n 和 v n 分别是随机过程u n 和 v n 的均值。
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11
离散时间平稳随机过程的数字特征
对于广义平稳随机过程u n ，可以得均值
自相关函数
n
rm E unu n m
随机过程 x t 某时刻 t0 的值 x t0 是一个随机变量。
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2
2.1 离散时间平稳随机过程基础
离散时间随机过程 随机过程 x t 的样本函数 xi t 离散化，得离散样本函数，
所有离散样本函数的集合为离散时间随机过 程，表示为 x n ,有时也称为离散时间随机信号。
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r0 rm
性质2 自相关函数具有共轭对称性
r m rm
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16
互相关函数有如下性质
性质1 互相关函数具有共轭对称性
ruv m rv*u m
性质2 互相关函数ruv m 满足
ruv m
ru 0 rv 0
其中，ru 0 和 rv 0 分别为u n 和 v n 平均功率。
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17
自协方差函数
cm E un un m
rm
2
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12
例2 利用公式 c m E u n u n m
证明:1） c m c m
2） cm c0
证明:1） c m E u n u n m
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c m E un un m
rm rm cm
3
方差 平均功率
遍历性与统计平均和时间平均
设 uN 0 ,uN 1 , ,uN N 1 是样本函数uN n 的 N 个观测 值，定义时间均值为
ˆ
1 N
N n
1
uN
0
n
定义时间自相关函数为
rˆ m
1N1
Nn
uN
0
n uN
n
m
考虑到仅N个观测值，当m 0时，上式也可表示为
rˆ m
1N1
Nn
uN
m
n uN
n
m
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nN
n
r n1 N, n2 N r n1, n2
则称随机过程u n 为广义循环平稳随机过程或周期平 稳随机过程，其中，N 称为循环平稳信号的周期。
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22
一个循环平稳的离散时间随机过程，其均值为零， 自相关函数可以表示为
r n, n m E u n u n m
由于r n,n m 是关于n以 N 为周期的周期函数，可以
18
如果时间均值 均方收敛于统计均值，即
lim E
N
ˆ2 0
则称该随机过程是均值均方遍历的。
若时间自相关函数均方收敛于自相关函数， 即
lim E r m rˆ m 2 0
N
则称该随机过程是相关均方遍历的。
如果平稳随机过程满足均值均方遍历和相关均方遍历， 那么称该平稳随机过程为均方遍历（各态历经）的。
将其展开成离散傅里叶级数形式
r n, n m
N1
j 2 nl
ale N
l0
其中，al为离散傅里叶级数的系数，它可以表示为
al
1N1 r n, n
j 2 ln
me N
Nn 0
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23
令 l N，r m al，则离散傅里叶级数的系数 r m 可以表示为
rm
1N1 r n, n
m e j2 n
第2章 离散时间平稳随机过程
2019/3/14
1
2.1 离散时间平稳随机过程基础
2.1.1离散时间随机过程及其数字特征
随机过程
随机变量是指变量X 的取值由每次随机试验的结 果决定。如果每次随机试验的结果不是一个数，而是 一个随时间变化的函数xi t ，则所有可能的这些函数 的集合，称为该随机试验的随机过程，表示为x t 。
34
2.2.2 自相关矩阵的基本性质
性质1 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Hermite
矩阵，即有
RH R
证明：由自相关矩阵定义，有 RH E u n uH n H
E u n uH n H
E u n uH n
R
对于实随机过程，自相关矩阵是对称矩阵，即
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RT R
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性质2 平稳离散时间随机过程的相关矩阵是Toeplitz矩阵
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r0
r1
r1
r0
R
rM 1
rM 2
MM
rM1rM 2
r0
其中，r m 是随机过程的自相关函数，r m E u n u n m 根据相关函数共轭对称性，上式又可重写为
r0
r1
r* 1
r0
R
rM 1 rM 2
r* M 1 r* M 2
r0
因此，只需自相关函数的 M 个值就可确定 R 。
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平稳随机过程是均方遍历的，则均值和自相关 函数可以用时间平均替代集总平均。
设 uN 0 ,uN 1 , ,uN N 1 是样本函数的N个观测值，如 果该随机过程为均方遍历的，则它的数字特征可用时间
平均来估计，即
Eun
1N1
lim
N
N
n
uN
0
n
2 E un
2
rm E unu n m
通过正交解调，可得随机过程的复包络。
u n uI n juQ n =a(n)e j (n)
uI n a n cos n
uQ n a n sin n
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实现正交解调的框图
uQ n
+
LPF
xn