离散时间马氏链 -回复

马氏链模型在基因遗传中的应用摘要：马尔可夫模型是研究离散时间、离散状态随机转移过程的有力工具。

本文利用状态转移的无后效性，通过定义状态和状态概率构造转移概率矩阵建立马氏模型，并讨论此模型在基因遗传中的应用。

关键词：马尔可夫模型；概率矩阵；基因遗传1 引言随着科技的进步，人们为了提高产量，越来越注重遗传学的研究。

豆子的茎秆有黄有绿，猪的毛有白有黑，人类会出现色盲等先天性疾病，这些都是基因遗传的结果。

无论是人，还是动植物的基因从一代到下一代的转移都是随机的，并且无后效性，于是马氏链成为遗传学的工具。

本文将利用马氏链建立一个属于完全优势基因遗传的模型，并讨论该模型在基因遗传中的应用。

2 模型的建立在自然界中，生物个体的遗传特征是由两个基因决定的，用A表示优势基因，用a表示劣势基因。

于是个体就有三种基因类型，即是两个优势基因AA，称为优种，优势基因与劣势基因各一个Aa，称为混种，两个劣势基因aa，称为劣种。

若个体的基因类型为优种或混种时，外部特征为优势，如豆子的茎秆是绿色，个体的基因类型为劣种时，外部特征是劣势，如豆子的茎秆是黄色。

生物繁殖时，一个后代从父本和母本中各继承一个基因，即后代属于哪一种基因类型完全由父母的基因类型决定，与再上一代的基因类型无关，满足马氏链模型中的无后效性。

下面利用马尔可夫模型来比较一下混种繁殖和优种繁殖两种繁殖形式，哪种更好?在繁殖的过程中用一混种与一个个体交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去，称为混种繁殖。

建立马氏链模型描述在混种繁殖下各代具有三种基因类型的概率，并讨论稳态情况。

用基因类型优种AA（第一种），混种Aa（第二种）和劣种aa（第三种）定义状态，状态概率表示第代个体具有第种基因类型的概率，记作。

当用混种Aa与优种AA交配时，后代的基因类型只能是AA和Aa，其概率各为½，当用混种Aa与Aa交配时，后代的基因类型可以是AA，Aa和aa，其概率分别为¼，½，¼，当用混种Aa与劣种aa交配时，后代的基因类型只能是Aa 和aa，其概率各为½，由此可以写出转移概率矩阵为设初始混种与优种交配，即，由（，为转移概率矩阵）式计算任意时段的状态概率，计算结果如下表，混种繁殖下三种基因类型的状态概率（初始与优种交配）由此表可以看出，当时，表明经过足够多代繁殖以后，优种、混种、劣种的比例接近于下面我们通过计算验证这个猜想。

2014-2015随机过程参考题一.判断题1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布． （ ） 2．对于独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11n nk k k k E X E X ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∏∏． （ ）3．若12(,,)n F x x x 是随机向量1=,,)n X X X （的联合分布函数，则它对每个变量都是单调不减的． （ ） 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性． （ ） 5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性． （ ） 6．参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布． （ ）7．复合P o i s s o n 过程一定是计数过程． （ ） 8．若随机变量X 服从周期为d 的格点分布，则对自然数n 总有{}0P X nd =>．（ ） 9．设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等． （ ） 10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （ ） 11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定． （ ） 12．对独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11n nk k k k Var X Var X ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∑∏． （ ）13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。

（ ）14．若一个随机过程的协方差函数,s t γ（）只与时间差t s -有关，则它一定是宽平稳过程． （ ） 15．参数为λ的泊松过程中，第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布．（ ） 16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性． （ ） 17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新． （ ） 18．更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数． （ ） 19．马尔科夫链具有无后效性． （ ） 20．Poisson 过程是更新过程． （ ） 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。

马氏链的极限分布和平稳分布马氏链是一种离散时间随机过程，具有马氏性质，即未来的状态只与当前的状态有关，而与过去的状态无关。

马氏链的极限分布和平稳分布是研究马氏链长期行为的重要概念。

在本文中，我们将详细介绍马氏链的极限分布和平稳分布的概念、性质以及计算方法。

首先，我们来介绍一下马氏链的极限分布。

马氏链的极限分布是指在长时间内，马氏链的状态分布趋于稳定的分布。

也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布将不再发生变化，而是收敛到一个固定的分布。

这个分布就是马氏链的极限分布。

马氏链的极限分布具有以下性质：1. 极限分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的极限分布就是唯一的。

2. 极限分布与初始分布无关：马氏链的极限分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。

3. 极限分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的极限分布是存在的。

接下来，我们来介绍马氏链的平稳分布。

平稳分布是指在长时间内，马氏链的状态分布保持不变的分布。

也就是说，当时间趋于无穷大时，马氏链的状态分布不再发生变化，而是保持在一个固定的分布。

这个分布就是马氏链的平稳分布。

马氏链的平稳分布具有以下性质：1. 平稳分布存在唯一性：对于任意一个马氏链，只要它满足一定的条件，它的平稳分布就是唯一的。

2. 平稳分布与初始分布无关：马氏链的平稳分布与初始状态的概率分布无关，只与转移概率矩阵有关。

3. 平稳分布是不可约的：如果一个马氏链是不可约的，即任意两个状态之间都是可达的，那么它的平稳分布是存在的。

在实际应用中，我们常常需要计算马氏链的极限分布和平稳分布。

下面，我们将介绍一些常用的计算方法。

对于有限状态的马氏链，可以通过迭代法来计算极限分布和平稳分布。

迭代法的基本思想是从一个初始的概率分布开始，通过不断地迭代计算，直到收敛到极限分布或平稳分布为止。

具体的迭代计算方法有很多种，常用的有幂法、Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法等。

离散时间马氏链例题离散时间马氏链（离散时间马尔科夫链）是一种随机过程，其中每个状态的未来转变仅依赖于其当前状态，而不依赖于过去的状态或转变。

以下是离散时间马氏链的一个简单例题：天气预报问题假设明天的天气仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。

如果今天下雨，那么明天下雨的概率为0.7；如果今天不下雨，那么明天下雨的概率为0.4。

我们要求出今天下雨并且四天后仍然下雨的概率（假设α=0.7，β=0.4）。

解：定义状态：我们可以定义两个状态，状态0表示不下雨，状态1表示下雨。

建立转移概率矩阵：根据题目描述，我们可以得到以下的转移概率矩阵P：P = [0.6 0.4; 0.3 0.7]其中，P(i, j)表示从状态i转移到状态j的概率。

3. 应用马氏链的性质：我们知道马氏链的性质是未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。

因此，我们可以使用转移概率矩阵来计算四天后仍然下雨的概率。

我们从今天下雨（状态1）开始，想要知道四天后仍然下雨的概率。

我们可以通过连续应用转移概率矩阵来计算这个概率：今天下雨并且四天后仍然下雨的概率= P(1, 1)^4但是这是错误的，因为我们不能直接取四次方。

正确的做法是，考虑所有可能的路径，即在这四天中，天气可能如何变化。

例如，它可能一直保持下雨，或者可能在中间某天下雨然后再次下雨等等。

我们需要考虑所有这些可能性。

但是，对于较大的n值，直接计算所有路径是不切实际的。

我们可以使用一种称为“稳态概率”的概念来简化计算。

稳态概率是指，当时间趋于无穷大时，马氏链处于某个特定状态的概率。

在这个例子中，我们可以计算出稳态概率，然后用它来估计四天后下雨的概率。

然而在这个特定的例子中，由于转移概率矩阵不是对称的，因此没有简单的公式可以直接计算出n步转移概率。

我们需要使用矩阵的n次幂来计算这个概率。

但是注意，我们不能简单地取P(1,1)的四次幂，因为那将假设每天都独立地下雨，而实际上每天的天气都依赖于前一天的天气。

随机过程之离散参数马⽒链前⾔随机过程讨论的是随机变量随时间的变化情况，根据统计时间节点的连续与否和随机变量变化的连续与否可分为以下四种类型：· 连续型随机过程：变量连续、时间节点连续· 离散型随机过程：变量离散、时间节点连续· 连续随机序列：变量连续、时间节点离散· 离散随机序列：变量离散、时间节点离散本篇⽂章⾥介绍的是状态离散、时间节点离散的随机过程的⼀种。

Markov链，简称马⽒链。

马⽒链的代表性质是马⽒性，简单来讲就是在知道现在的前提下，将来与过去⽆关。

这说明现在就已经保留了⾜够的信息量可以⽤来影响未来，⽽不需要过去的陈旧的信息（有些许量变质变的味道）马⽒链的描述描述马⽒链时⼀般使⽤转移概率矩阵来刻画状态之间的转移关系，⾏列排开矩阵表⽰状态i到j。

当然，简单的转化关系绘制状态转移图可能会更加鲜明。

这些矩阵元素表⽰的是状态转移性质，⾃然有的会变，有的不会变。

我们这⾥讨论的是概率不随时间变化的情况。

当马⽒链状态总数有限时，状态转移概率矩阵阶数有限。

常⽤马⽒链描述的过程有粒⼦在直线上的随机游动【左右原地不动带有吸收壁带有反射壁等】等在针对⼀些过程构建模型时，⾸先要找到随时间不同的随机变量。

然后找到状态之间的转移规律，根据规律可以得到概率转移矩阵。

推导的时候注意对问题的理解，选择合适的⽅式去表达。

马⽒链的判定及性质1. ⼀种判定⽅法是直接⽤马⽒性，另⼀种见下图。

其主要原理在于引⼊另⼀个独⽴同分布的随机变量⼀起决定下⼀状态是什么。

引⼊的这个随机变量与我们要讨论的随机变量是相互独⽴的，那么转移概率就由这个函数关系唯⼀确定。

2. 时齐马⽒链的⼀个性质是其完全由初始状态的概率分布和转移规律决定。

CK⽅程上述两个部分主要阐述的是异步转移概率，CK⽅程主要刻画的是n步转移概率。

主要思想在于像树⼀样层层展开，就是矩阵乘法。

在推导过程中可以证明P^{(n)}=PP^{(n-1)}⼊⼿，类似数学归纳。