离散时间随机过程的功率谱密度
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功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别：1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列）2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析），是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线，可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F(ω)。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的。
功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号，不具备可积分条件，因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲。
随机过程的功率谱密度
K XY
( )
2
2 2
XY
若 X (t)与Y (t)是联合平稳的，则 Z (t) X (t) Y (t) 是平稳的。
互相关系数：rXY ( )
KXY ( ) RXY ( ) mX mY
KX (0)KY (0)
XY
例1、设 X (t) sin(0t ) Y (t) cos(0t )
第五讲：小 结
平稳随机过程
严格平稳随机过程
fX (x1,, xn,t1 t,,tn t) fX (x1,, xn,t1,,tn )
广义平稳随机过程
mX (t) mX RX (t1,t2 ) RX ( ), t1 t2
平稳随机过程自相关函数性质
RX (0)
RX ( )
其中 0 为常数， 在( , )上均匀分布，求互协方差函数。
复习
频谱： S() s(t)e jtdt s(t) 1 S()e jtd 2
s(t) dt
s2(t)dt
s(t)
1
S()e jtddt
若 K XY (t1,t2 ) 0 ，则X(t)与Y(t)不相关；
联合平稳的定义： 如果随机过程X(t),Y(t)平稳，且满足
性质：
RXY (t1,t2 ) RXY ( ), t1 t2
RXY ( ) RYX ( ) KXY ( ) KYX ( )
RXY ( ) 2 RX (0)RY (0)
E[ 1 2
lim 1 T 2T
XT () 2 d]
号的平均功率按 频率分布的情况
1
E[ lim T 2T
离散时间随机过程的功率谱密度
其中
B(
z)
C
( (
z z
1 1
)( )(
z z
M M
) )
B(
z
1
)
C
( (
z z
1
1
1
)( )(
z z
1
M
1
) )
1
M
26020/7/19
包含了单位 圆之内的全 部 包零 含点 了和单极位 点 圆之外的全 部零点和极 点6
例 设 RX (m) a m , a 1 ，求SX (z) 和SX ()
1
解 SX (z)
amzm amzm
m
m0
az z (1 a2 )z 1 az z a (z a)(1 az)
(1 a2 )
a1 a
(1 az1)(1 az) (a1 a) (z1 z)
将 z e jT 代人上式，即可求得
SX
()
a 1
a 1 a
a
2 cosT
27020/7/19
)
，则
lim E
N
X (t) Xˆ (t) X (mT )
RX
(t
mTs
)
n
RX
(nTs
mTs
)
sin(ct n ct n
)
0
这说明，[X (t) Xˆ (t)] 正交 X (mT)
又
合，
Xˆ
(t)
N n
N
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
[X (t) Xˆ (t)] 正交
13
证明 第一步：
RX ( ) 是确知函数，维纳-辛钦定理：RX ( ) SX () SX () 带宽有限，RX ( ) 是带限确定信号，由香农 采样定理可知
13-信号的功率谱密度解析
第 4 章随机信号与线性系统陈明东南大学移动通信国家重点实验室chenming@随机过程和随机信号的概念当用随机过程来表示一组信号时，此时的随机过程就被称为随机信号。
4.1 随机信号的功率谱密度确定性信号的频谱信号的频谱特性是描述信号的一个重要指标。
对于确定性信号，其Fourier 变换可以反映其频谱特性。
()cos2n n s t a ntp ¥==åj2ˆ()()d ftsf s t etp ¥-?=òFourier分解的物理意义各种频率成份的振动频谱与光谱进行对比光谱红橙黄绿青蓝紫频谱如何反应随机信号的频谱？由于随机信号实际上是一族确定性信号，要从统计意义上反映其频谱特性，需要用功率谱密度的概念。
4.1.1连续时间随机信号的功率谱密度若()X t 是一个定义于¡上的连续时间随机过程，则[,]T T -上的平均功率为{}21()d 2TT TP E X t tT-=ò利用Fourier 变换的Parseval 等式，可以得到()X t 在(),-ゥ上的平均功率为2j2lim 1lim ()e d d 2TTT ftTT P P E X t t fT ¥-p -?=殪镲镲犏=睚犏镲犏镲镲腩蝌从上式可以看出，下式所定义的关于频率f 的函数2j21()lim ()e d 2TftX TT S f E X t tT -p -禳镲镲=睚镲镲镲铪ò反映了随机信号功率在单位频率上的分布情况，因此定义函数()X S f 为连续时间随机过程()X t 的功率谱密度。
功率谱密度的性质性质4.1 设()X t 是定义于¡上的连续时间随机过程，()X S f 是其功率谱密度，则有如下性质： ① 功率谱密度在¡上的积分为信号总功率，也即()d X P S f f ¥-?=ò。
② ≥()0X S f ,也即()X S f 是一个非负实函数。
功率谱密度的定义
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析),所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
如何用MATLAB绘制功率谱密度图形？随机产生一次数据x=randn（1，1024*8）求功率谱密度。
如何应用MATLAB画出来横坐标为频率（Frequency(hz)））纵坐标为功率谱密度（Power Spectrum Magn itude (dB))的图形？MATLAB程序为：function [t,omg,FT,IFT] = prefourier(Trg,N,OMGrg,K)% 输入参数：% Trg : 二维矢量，两个元素分别表示时域信号的起止时间；% N : 时域抽样数量；% OMGrg: 二维矢量，两个元素分别表示频谱的起止频率；% K : 频域抽样数量。
% 输出参数：% t : 抽样时间；% omg : 抽样频率；% FT : 实现傅里叶变换的矩阵~U~及系数；% IFT : 实现傅里叶逆变换的矩阵~V~及系数。
T = Trg(2)-Trg(1);t = linspace(Trg(1),Trg(2)-T/N,N)';OMG = OMGrg(2)-OMGrg(1);omg = linspace(OMGrg(1),OMGrg(2)-OMG/K,K)';FT = T/N*exp(-j*kron(omg,t.'));IFT = OMG/2/pi/K*exp(j*kron(t,omg.'));end在另一个脚本文件中：clc;clear ;close all;N=1024*8;K=500;OMGrg=[0,100];Trg=[0,1];[t,omg,FT,IFT] = prefourier(Trg,N,OMGrg,K);% f0=10;% f=sin(2*pi*f0*t);f=randn(N,1);F=FT*f;figure;plot(t,f);figure;plot(omg/2/pi,abs(F).^2);高斯白噪声的功率谱理论上为一直线，除非它是在某些特定情况下成立，比如经过了滤波器。
随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析
A RX (t , t ) e j d
说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0
j
d
0
Ae e
j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：
S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e
jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2
功率谱密度分析在信号处理中的应用
功率谱密度分析在信号处理中的应用信号是随着时间变化的电压，电流，电磁波等物理量。
信号分析是从信号中获取有用信息的过程。
这种信号常常是含有噪声的，并且要从中提取出所需的信息。
由于信号需要先进行预处理，因此，信号处理是一个复杂的任务。
在信号处理领域，功率谱密度分析是一种常用的技术，被广泛应用于信号处理和系统分析中。
一、功率谱密度分析的基本概念功率谱密度分析的目标是确定一个信号在不同频率下的功率，这是一种分析信号的频域方法。
功率谱密度是指信号在一个频带内的功率的分布，单位是瓦特/赫兹（W/Hz）。
功率谱密度分析的输出结果一般呈现为功率谱密度图，它描述了信号的能量随着频率的变化而变化的情况。
功率谱密度的计算主要基于伯努利-欧拉定理，即将复变量表示为实部与虚部的和。
对于一个实值信号x(t)，其傅里叶变换H(f)如下所示：H(f)=∫x(t)exp[-2πi f t]dt然后，对于信号x(t)和其复共轭x* (t)，可以计算出它们的积：P(f)=x(t)×x*(t)其中，t 代表时间，f 代表频率。
对于连续时间信号，P(f) 被称为功率谱密度，表示频率 f 的功率。
对于离散时间信号，其内积被替换为求和，并且功率谱密度的单位变为瓦特/赫兹（W/Hz）。
二、功率谱密度分析的应用功率谱密度分析在信号处理中有着广泛的应用，下面我们主要介绍其在音频处理和图像处理中的应用：1. 音频处理中的功率谱密度分析音频信号的功率谱密度是指一段时间内声音量随着频率变化的标志。
在音频处理中，功率谱密度分析可以用于识别音频信号的特定频率成分，并清除噪声。
在使用数字信号处理算法对音频信号进行无噪声处理时，功率谱密度图经常被使用。
通过检测功率谱密度的凸起与波峰，可以识别音频信号的某些特定频率。
功率谱密度分析还可以用于滤波器设计。
具体地说，使用功率谱密度可以确定所需滤波器的特性，例如通带的大小、截止频率等，从而设计出能清除干扰和噪声的专用滤波器。
第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程
第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？● 相关函数与功率谱的关系● 功率谱的应用● 采样定理● 白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间脉冲x(t)，设x(t)是时间t 的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。
即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以重新得到：——称为非周期性三十天拉热函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流) ，则上式左边代表x(t)在时间(-∞, ∞) 区间的总能量（单位阻抗）。
因此，等式右边的被积函数X X (ω)2表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称X X (ω)2为能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度变换一个信号的惟教变换是否存在，可能需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不牵涉到。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然洪可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法常量应用于随机过程，必须对过程的待测函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数x T (t):图2.1 x (t)及其截取函数当x(t)为有限值时，裁取函数x T (t)满足绝对可积条件。
因此，x T (t)的傅里叶变换存在，有很明显，式的变化）x T (t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达用2T 除上式等号用的两端，可以得到等号于两边取集合平均，可以得到:令T→∞，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
功率谱与功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西,常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的（能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息,所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别： 1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数;而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列） 2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛;而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析),是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线,可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F（ω）。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的.功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号,不具备可积分条件,因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲.所以标准叫法是功率谱密度。
离散时间随机过程的功率谱密度分解
S X z
m
m R ( m ) z X
(e jT ) S X () 式中 z e jT , S X
RX ( m ) 为 S X z 的逆z变换
RX (m)
1
式中，D为在 S X z 的收敛域内环绕z平面原点逆 时针旋转的一条闭合围线。
2018/10/25
10
连续时间 确知信号
S (t )
采样 S (n) S (nT )
c sin(c (t nTs )) s(t ) s(nTs ) c (t nTs ) n
香农采样定理
离散时间 确知信号
S ( n)
2018/10/25
11
连续时间 平稳随机过程
lim 是均方意义下的极限（均方极限）：
1 2 f c c
2018/10/25 2
2
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
序列 RX (m) 的傅里叶变换存在的充要条件是 满足绝对可和条件：即
m
RX ( m )
定义 X (n) 的功率谱密度为序列 RX (m) 的傅 里叶变换，并记为 S X ( )
2018/10/25
S X ( )
RX (m)
在 m0时
1 2q
q
q
S X ( )e jmT d
q
1 E[ X (n)] RX (0) 2q
S
q
X
( )d
2018/10/25
4
3 谱分解 ① z变换定义
在离散时间系统的分析中，常把广义平稳离 散时间随机过程的功率谱密度定义为 RX ( m )的z变 换，并记为S X z ，即
硕士生现代信号处理-经典谱分析 已读
Leabharlann 自相关函数估计的一致性证明
估计方差:
V[R ˆ a 'x (m r ) ]E [R ˆ'x 2 (m ) ]E 2 [R ˆ'x (m )]
E [R ˆ'x 2 (m ) ]R x 2(m ) m N 1 当 Nm 时
VR a ˆx ' (r m )(N N m )2k N ( N m m 1 R 1x 2 )(k)R x(km )R x(km )
则：
R ˆx ' (m) N1 1mppN n N p 1 x 1 x m ((n n m m ))x x((n n))
0mN1 N1m0
N|m|np|m |
R ˆx '(m ) N 1 |m |n x N (n m )x * N (n )|m | N 1
R ˆx '(m )0 |m |N 1
T 2 T T
2 T 2 T
6.1 预备知识
• 信号的平均功率：
lim1 T E[|x(t)|2]dt
T2T T
• 定义功率谱密度：
Px()T l i m E[|X(2T T,)|2]
对广义平稳随机过程，有
lim 1TE [x |(t)|2]d tE [x |(t)|2]
T 2T T
N l i m Va[R ˆr'x(m)]0
6.1 预备知识
5. 随机信号自相关函数的计算方法2
i) 估计式：
R ˆx(m )N 1n x N (nm )x* N (n ),m N 1
N1 ppNnNp11xxm((nnmm))xx**((nn))
0mN1 N1m0
np|m|
NN mR ˆx'(m), mN1 R ˆx(m )0,|m |N1
估计方差:
V[R ˆ a 'x (m r ) ]E [R ˆ'x 2 (m ) ]E 2 [R ˆ'x (m )]
E [R ˆ'x 2 (m ) ]R x 2(m ) m N 1 当 Nm 时
VR a ˆx ' (r m )(N N m )2k N ( N m m 1 R 1x 2 )(k)R x(km )R x(km )
则：
R ˆx ' (m) N1 1mppN n N p 1 x 1 x m ((n n m m ))x x((n n))
0mN1 N1m0
N|m|np|m |
R ˆx '(m ) N 1 |m |n x N (n m )x * N (n )|m | N 1
R ˆx '(m )0 |m |N 1
T 2 T T
2 T 2 T
6.1 预备知识
• 信号的平均功率：
lim1 T E[|x(t)|2]dt
T2T T
• 定义功率谱密度：
Px()T l i m E[|X(2T T,)|2]
对广义平稳随机过程，有
lim 1TE [x |(t)|2]d tE [x |(t)|2]
T 2T T
N l i m Va[R ˆr'x(m)]0
6.1 预备知识
5. 随机信号自相关函数的计算方法2
i) 估计式：
R ˆx(m )N 1n x N (nm )x* N (n ),m N 1
N1 ppNnNp11xxm((nnmm))xx**((nn))
0mN1 N1m0
np|m|
NN mR ˆx'(m), mN1 R ˆx(m )0,|m |N1
功率谱密度
N − m −1 n =0
∑x x
n n+m
=
N−m ˆ φ xx (m) N m N
N ˆ′ (m)] = ( N − m ) 2Var[φ ˆ ( m)] < Var[φ ˆ ( m)] Var[φ xx xx xx N
ˆ′ (m)] = φ ( m) − E[φ ˆ′ (m)] = φ xx (m), 有偏估计，偏倚Bias[φ xx xx xx
1 1 2 ∗ X N ( e jω ) X N X (ω ) ( e jω ) = N N
( X N (ω ) = ∑ x(n)e − jωn )
ˆ 1 2 X N (ω )是周期性的，直接将X N (ω )的模的平方除以N求得的功率谱的估计为周期图Pxx (ω ) = I N (ω ) = X (ω ) N ˆ 1 E[φ xx (m)] = N w(m) = 1 N
Dr. JI ZHEN
11
4.1周期图法的改进-窗口处理法
适当设计窗口谱函数W1 (e jω )与周期图卷积， ˆ 1 π Pxx (ω ) = I N (θ )W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π ˆ 1 π E[ Pxx (ω )] = E[ I N (θ )]W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π 1 π 而E[ I N (θ )] = Pxx (φ )W (e j (θ −φ ) )dφ ∫ π − 2π ˆ E[ Pxx (ω )] = Pxx (ω ) *W (e jω ) *W1 (e jω ) 如果W1 (e jω )的主瓣宽度大于W (e jω )的主瓣宽度，可以进一步平滑谱估计，减少方差。
ˆ ˆ Pxx (ω ) = Pxx (−ω ) = =
∑x x
n n+m
=
N−m ˆ φ xx (m) N m N
N ˆ′ (m)] = ( N − m ) 2Var[φ ˆ ( m)] < Var[φ ˆ ( m)] Var[φ xx xx xx N
ˆ′ (m)] = φ ( m) − E[φ ˆ′ (m)] = φ xx (m), 有偏估计，偏倚Bias[φ xx xx xx
1 1 2 ∗ X N ( e jω ) X N X (ω ) ( e jω ) = N N
( X N (ω ) = ∑ x(n)e − jωn )
ˆ 1 2 X N (ω )是周期性的，直接将X N (ω )的模的平方除以N求得的功率谱的估计为周期图Pxx (ω ) = I N (ω ) = X (ω ) N ˆ 1 E[φ xx (m)] = N w(m) = 1 N
Dr. JI ZHEN
11
4.1周期图法的改进-窗口处理法
适当设计窗口谱函数W1 (e jω )与周期图卷积， ˆ 1 π Pxx (ω ) = I N (θ )W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π ˆ 1 π E[ Pxx (ω )] = E[ I N (θ )]W1 (e j (ω −θ ) )dθ ∫ 2π −π 1 π 而E[ I N (θ )] = Pxx (φ )W (e j (θ −φ ) )dφ ∫ π − 2π ˆ E[ Pxx (ω )] = Pxx (ω ) *W (e jω ) *W1 (e jω ) 如果W1 (e jω )的主瓣宽度大于W (e jω )的主瓣宽度，可以进一步平滑谱估计，减少方差。
ˆ ˆ Pxx (ω ) = Pxx (−ω ) = =
功率谱密度： power spectral density
(2)
式中T为离散随机信号的抽样间隔时间。
当利用随机信号的N个抽样值来计算其自相关估值时，即可得到功率谱估计为
(3)
可见，随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频率域和时间域来表征随机信号的基本特征。按上式计算功率谱估值，其运算量往往很大，通常采用快速傅里叶变换算法，以减少运算次数。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：
f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积。 另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。
定义：对于具有连续频谱和有限平均功率的信号或噪声，表示其频谱分量的单位带宽功率的频率函数。 应用学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
式中T为离散随机信号的抽样间隔时间。
当利用随机信号的N个抽样值来计算其自相关估值时，即可得到功率谱估计为
(3)
可见，随机信号的功率谱与自相关函数互为傅里叶变换的关系，这两个函数分别从频率域和时间域来表征随机信号的基本特征。按上式计算功率谱估值，其运算量往往很大，通常采用快速傅里叶变换算法，以减少运算次数。
尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(ohm)时的实际功率。此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：
f(t) 的谱密度和 f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积。 另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。
定义：对于具有连续频谱和有限平均功率的信号或噪声，表示其频谱分量的单位带宽功率的频率函数。 应用学科：通信科技（一级学科）；通信原理与基本技术（二级学科）
在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
离散时间随机过程的功率谱密度
R(m)
自相关 函数
DFT
S ( )
功率谱 密度
功率谱密度的采样定理
功率谱密度的采样定理
❖ 证明：
功率谱密度的采样定理
连续时间
采样
离散时间
平稳随机 X (t)
X (n) 平稳随机
过程
过程
自相关 函数
Rc ( )
FT
功率谱 密度
Sc ()
R(m)
自相关 函数
DFT
S ( )
功率谱 密度
4 白噪声 SECTION 《随机信号分析》教学组
小结
1
小结
2
小结
3
4
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的相关函数
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
奈奎斯特频率
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
离散时间随机过程的功率谱密度
平稳离散时间随机过程的功率谱密度
性质
离散时间随机过程的功率谱密度
❖ 例7. ❖ 解：
确定时间 确知信号
S(t)
离散时间 确知信号
S(n)
平稳随机过程的采样定理
连续时间
平稳随机 X (t)
过程
离散时间
X (n) 平稳随机
过程
自相关 函数
Rc ( )
FT
功率谱 密度
Sc ()
R(m)
自相关 函数
DFT
S ( )
功率谱 密度
平稳随机过程的采样定理
理想白噪声
定义
理想白噪声
自相关函数
理想白噪声
自相关系数
随机过程的功率谱密度
xyf X Y ( x , t1 , y , t 2 ) d xd y
互协方差函数： K X Y ( t1 , t 2 ) R X Y ( t1 , t 2 ) m X ( t1 ) m Y ( t 2 ) 互相关系数： r ( ) XY 广义联合平稳的定义：
三、互功率谱密度及其性质
G XY ( ) E { lim 1 2T
T
T
X T ( ) YT ( )}
j t
其中： X T ( )
T
xT (t ) e
dt
YT ( )
T
T
yT (t )e
j t
dt
j
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
2
1
1
时间平 均功率
功率谱密度：信 1 1 2 号的平均功率按 E[ Tlim 2T X T ( ) d ] 频率分布的情况 2
T
T
2T 2
X T ( ) d
2
E [ lim
1 2T
T
T
x (t ) d t ]
2
1 2 1 2
R XY ( t1 , t 2 ) m X ( t1 ) m Y ( t 2 )
两随机过程的相互关系：
f X Y ( x 1 , , x n , y1 , , y m , t1 , t n , t1 , , t m )
f X ( x 1 , , x n , t1 , t n ) f Y ( y1 , , y m , t1 , , t m )
1 2T
T
X T ( ) YT ( )}
第三章随机过程的功率谱密度
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
，本题中
则自相关函数具有如下形式
显然 因此 所以自相关函数为
§3.3 平稳随机过程的自相关函数时 间和等效功率谱带宽
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关 联程度。
自相关时间从数量上直 观描述随机过程的在时
间上关联范围。
• 功率谱密度函数描述随机过程的平均功率 沿频率轴的分布。
等效功率带宽从数量上 直观描述随机过程在频
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性；
• 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。
将时间范围扩展至 ，即
设
互功 率谱密度
则
3.4.2 互功率谱的物理意义 设实随机过程 ，它由两随机过程 和 相加： 自相关函数为
对自相关函数取时间平均
则 的功率谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
• 自相关函数反映随机过程在不同时刻的关
联程度。
功率谱密度函数
• 互相关函数反映多个随机过程在不同时刻
的关联程度。
互功率谱密度函数
3.4.1 互功率谱
• 随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的 绝对可积和能量可积条件。
谱线；
零带宽上有限
四.随机过程的功率谱密度
2
随机过程的平均功率
2 E X ( T , ) X 1 T 1 d 2 lim E x ( t ) dt lim T 2T T 2 T 2T
功率谱密度
1 P lim T 2T
1 E x ( t ) dt T 2
1 s (t ) 2
S ( )e jt d
信号s(t)的总能量为
E s 2 (t )dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的 能量等于频域内信号的能量。即 2 1 2 E s (t )dt S ( ) d 2 其中
互谱密度
定义两个截取函数 xT (t ) , yT (t) 为
x(t ) xT (t ) 0
t T 其他
y (t ) yT (t ) 0
t T 其他
二者满足绝对可积的条件，则
xT (t ) yT (t )
X X (T , ) X Y (T , )
S X ( )e j d
对于广义平稳随机过程
RX (t , t ) RX ( ) A RX (t , t ) A RX ( ) RX ( )
则
S X ( ) RX ( )e j d
1 RX ( ) 2
S X ( )e j d
2S X ()
d n X( t ) dn t
2n S X ()
S ( 0 )
X(t )e j0 t
RX ( )e j0
例
已知零均值平稳过程X(t)的
6 S X ( ) 4 , 求RX ( )与DX t . 2 5 4
随机过程的平均功率
2 E X ( T , ) X 1 T 1 d 2 lim E x ( t ) dt lim T 2T T 2 T 2T
功率谱密度
1 P lim T 2T
1 E x ( t ) dt T 2
1 s (t ) 2
S ( )e jt d
信号s(t)的总能量为
E s 2 (t )dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的 能量等于频域内信号的能量。即 2 1 2 E s (t )dt S ( ) d 2 其中
互谱密度
定义两个截取函数 xT (t ) , yT (t) 为
x(t ) xT (t ) 0
t T 其他
y (t ) yT (t ) 0
t T 其他
二者满足绝对可积的条件，则
xT (t ) yT (t )
X X (T , ) X Y (T , )
S X ( )e j d
对于广义平稳随机过程
RX (t , t ) RX ( ) A RX (t , t ) A RX ( ) RX ( )
则
S X ( ) RX ( )e j d
1 RX ( ) 2
S X ( )e j d
2S X ()
d n X( t ) dn t
2n S X ()
S ( 0 )
X(t )e j0 t
RX ( )e j0
例
已知零均值平稳过程X(t)的
6 S X ( ) 4 , 求RX ( )与DX t . 2 5 4
随机过程的自相关函数与其功率谱密度是傅里叶变换关系
随机过程的自相关函数与其功率谱密度是傅里叶变换关系随机过程是一个随时间变化的信号，每个时间点上都有一定的随机性。
我们可以用一个随机变量来描述每个时间点上的取值。
这个随机变量的集合就是一个随机过程。
自相关函数是用来描述随机过程在不同时间点上的相关性的函数。
它表示了随机过程在不同时间点上的取值之间的相关程度。
具体来说，自相关函数R(t1,t2)表示了时刻t1和t2上的信号值之间的相关性。
它的定义如下：R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]其中，X(t1)和X(t2)是随机过程在时刻t1和t2上的取值，E[.]表示期望操作。
功率谱密度是用来描述随机过程在频域上的特性的函数。
它表示了随机过程在不同频率上的功率分布情况。
具体来说，功率谱密度S(f)表示了随机过程在频率f上的功率。
它的定义如下：S(f)=，F{R(t)}，^2其中，R(t)是随机过程的自相关函数，F{.}表示傅里叶变换操作。
自相关函数和功率谱密度之间存在一个重要的关系，即它们通过傅里叶变换相关联。
具体来说，自相关函数是功率谱密度的傅里叶变换的模的平方，而功率谱密度是自相关函数的傅里叶变换的伪谱密度。
这个关系可以用下面的公式表示：R(t1, t2) = ∫S(f)e^(j2πft)df其中，∫表示积分操作，e^(j2πft)是复指数函数，代表了频率f上的旋转。
这个关系的意义是，自相关函数和功率谱密度提供了从时域到频域和从频域到时域的映射。
我们可以通过自相关函数计算功率谱密度，也可以通过功率谱密度计算自相关函数。
总结起来，自相关函数和功率谱密度是通过傅里叶变换相关联的重要概念。
自相关函数描述了随机过程在不同时刻上的相关性，而功率谱密度描述了随机过程在不同频率上的功率分布情况。
它们的傅里叶变换关系提供了从时域到频域和从频域到时域的映射。
这个关系在信号处理和随机过程分析中具有重要的应用价值。
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设X(n)为广义平稳离散时间随机过程，或简称
为广义平稳随机序列，具有零均值。 X(n)可以看
作对连续时间随机过程进行采样得nTs
X(n)自相关函数为:
RX (m) E[X (nT)X (nT mT )]
简写为： RX (m) E[X (n)X (n m)]
)
(3)
lim E
N
X (t) Xˆ (t) Xˆ (t)
0
(4)
lim E
N
X (t) Xˆ (t) X (t)
0
(5)
lim E
N
X
(t
)
Xˆ
(t
2
)
0
X
(t)
lim
N
N n
N
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
17
连续时间 平稳随机过程
X (t)
采样 X (n) X (nT )
离散时间
X
(t)
lim
N
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
平稳随机过程
X (n)
自相关函数
Rc ( )
FT 功率谱密度
Sc ()
自相关函数
R(m)
DFT
功率谱密度
S ( )
2020/8/6
18
三 功率谱密度的采样定理
若平稳连续时间实随机过程 Xc (t)，其自相关函数
和功率谱密度分别记为Rc ( )和Sc()，对 Xc (t)采样后所 得离散时间随机过程 X (n) X (nTs )， X (n) 的自相关函 数和功率谱密度分别记为R(m)和 S()，则有
RX
(
)
n
RX
(nTs
)
sin(c n c n
)
(1)
对a ，RX ( a) SX ()e ja , SX ()e ja的带宽也是有限。
对RX ( a) 应用香农采样定理
RX
(
a)
n
RX
(nTs
a)
sin(c n c n
)
(2)
令 a ' ，则
RX
(
)
n
RX
(nTs
a)
lim
N
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
平稳随机过程的采样定理
平稳随机过程
X (n)
自相关函数
Rc ( )
R(m) Rc (mT)
自相关函数
R(m)
功率谱密度的采样定理
FT
功率谱密度
S ( )
1 Ts
Sc ( 2nq )
n
DFT 功率谱密度
Sc ()
q
Ts
S ( )
2020/8/6
N
X (t) Xˆ (t) X (t)
0
(5)
第三步：
lim E
N
X (t) Xˆ (t)2
lim E[(X (t) Xˆ (t))X (t)] lim E[( X (t) Xˆ (t)) Xˆ (t)] 0
N
N
即
X
(t)
lim
N
Xˆ
(t)
lim
N
N nN
X
(nTs
m
m0
az z (1 a2 )z 1 az z a (z a)(1 az)
(1 a2 )
a1 a
(1 az1)(1 az) (a1 a) (z1 z)
将 z e jT 代人上式，即可求得
SX
()
a 1
a 1 a
a
2 cosT
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7
连续时间 平稳随机过程
离散时间 平稳随机过程
20
2.3 离散时间随机过程的功率谱密度
前面讨论连续时间随机过程的功率谱密度及其相关 性质，并得出重要的关系式:(维纳—辛钦公式)
随着快速傅里叶变化(FFT)算法出现以及数字信号 处理(DSP)芯片的飞速发展，对离散时间随机过程的研 究就显得非常重要。
一 离散时间随机过程的功率谱密度
1 平稳离散时间随机过程的相关函数
针旋转的一条闭合围线。
2020/8/6
5
② 性质：SX (z) SX ( 1 z)（因为RX (m) R）X (m) ③ 谱分解定理
设X(n)是广义平稳实离散随机过程，具有有理
功率谱密度函数 S。X 则z 可S分X解z为 ：
SX z B(z)B(z 1)
其中
B(
z)
C
( (
z z
1 1
)( )(
)
sin(ct n ct n
)
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16
第一步
第二步 第三步
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RX
(
)
n
RX
(nTs
)
sin(c n c n
)
(1)
RX
(
a)
n
RX
(nTs
a)
sin(c n c n
)
(2)
RX
(
)
n
RX
(nTs
a)
sin(c ( a) n c ( a) n
时间随机过程的功率谱密度定义为
并记为
，S即X z SX z RX (m)z m
R的X (zm变) 换，
m
式中 z e jT , SX (e jT ) SX ()
RX (m)为 SX z 的逆z变换
RX
(m)
1
2
j
D SX (z)zm1dz
式中，D为在 SX 的z收敛域内环绕z平面原点逆时
z z
M M
) )
B(
z
1
)
C
( (
z z
1
1
1
)( )(
z z
1
M
1
) )
1
M
包含了单位圆之内 的全部零点和极点
包含了单位圆之外 的全部零点和极点
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6
例 设 RX (m) a m , a 1，求 SX (z) 和 SX ()
1
解 SX (z)
amzm amzm
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2
2 平稳离散时间随机过程的功率谱密度
序列 RX的(m傅) 里叶变换存在的充要条件是满 足绝对可和条件：即
RX (m)
m
定义 X的(n功) 率谱密度为序列
换，并记为
S X ()
的R傅X (m里)叶变
SX ()
RX (m)e jmT
m
RX
()
1
2
SX
()e
jmT
d
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频带范围 (c,c ) ，当采样周期 Ts 1/ 2 fc 时
即频率 fs 2 fc (c 2 fc ) 时， s(t) 可唯一由其
抽样点 s(nTs ) 确定（恢复）。
s(t)
n
s(nTs
)
c
sin(c (t nTs )) c (t nTs )
n
s(nTs
)
c
Sa(c (t
nTs ))
sin(c ( a) n c ( a) n
)
(3)
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14
第二步：
令
Xˆ
(t)
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
，则
lim E
N
X (t) Xˆ (t) X (mT )
RX
(t
mTs
)
n
RX
(nTs
mTs
)
sin(ct n ct n
)
0
(t)
lim
N
N nN
X
(nTs
)
sin(ct n ct n
)
lim是均方意义下的极限（均方极限）：
若 X (t) lim，Y则(t表) 示
lim E[(X，(t)即Y，(t在))2 ] 0 时，
N
N
Y(t)和X(Nt) 的均方误差趋于零。
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13
证明 第一步：
RX ( ) 是确知函数，维纳-辛钦定理：RX ( ) SX () SX ()带宽有限，RX ( )是带限确定信号，由香农 采样定理可知
连续时间 平稳随机过程
X (t)
采样
离散时间 平稳随机过程
X (n)
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12
2 平稳随机过程的采样定理
若X (t)为平稳随机过程，具有零均值，其
功率谱密度为
S
X
(
)
S
X
(
0
)
c，则当满足
其它
条件
Ts
1 2 fc
X (nTs ) 展开为
c
X
时，可将 X (t)按它的振幅样本
R(m) E[X (n)X (n m)] E[Xc (nTs )X c (nTs mT )]
Rc (mTs ) Rc ( ) | mTs
S ( )
1 Ts
Sc (
n
2nq )
q
Ts
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19
连续时间 平稳随机过程
X (t)
采样 X (n) X (nT )
离散时间
X
(t)
3
T是随机序列相邻各值的时间间隔。
SX ()是频率为 的周期性连续函数，其周期为