酒店房客的最优分配
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酒店房客的最优分配
1. 常规策略
1.1模型建立
记两类房客分别为k=1(标准间）和k=2（商务间），星期一到星期日为i（或j，l）=1到i（或j,l）=7,k类房客的需求单上（表1和表2）从第i天入住到第j天的房间数为jikd,,，k类客房的报价单上（表3和表4）从第i天入住到第j天的价格为jikR,,，k类房间第l天的可提供量（表5）为lkC,。设分配k类客房从第i天入住到第j天的房间数为jikX,,，这是问题的决策变量。以酒店收入为最大目标，可以建立如下的整数线性规划模型。
,,,,,,,maxjikkikjikXR
,7,...,2,1,.;2,1,,,,,jidtXSKjikjik9
),(),,(,lksjikji),(,,,,lkSCXlkjik｛(k,i,j)/i≤l≤j｝,k=1,2;l=1,2,…,7,
,2,1,;2,1,2,1,0,,jijikXjik；整数，…,7
首先对这个模型做几点解释，第一个约束表示两类客房的分配量都不应超出各自的需求量，当然，由于分配量越大收入越大，所以当以收入最大为目标时，分配会尽量满足需求；第2个约束要求在连续若干天入住时，每天分配的房间数都不应超过当天房间的提供量，其中S(k,l)表示这样一些从i到j的集合，如S（1,3）=｛（1,1,3），（1,1,4），（1,1,5），（1,1,6）,(1,1,7),(1,2,3),(1,2,4)（1,2,5）（1,2,6）（1,2,7）,(1,3,3),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6），（1,3,7）｝，另外，按照符号下标的定义应有i≤j,但是考虑到编程计算简单起见，不做这样的规定,而只需当i>j时令jikd,,=0，按照约束条件自然就有)(0,,jiXjik。
1.2函数模型求解
采用LINGO软件求解线性规划模型（1），程序见附录1。
输出有428行，前4行为
Global optimal solution found at iteration: 9
Objective value: 137403.
Variable Value Reduced Cost
DEMAND(1.1.1) 2.000000 0.000000
这个结果告诉我们，计算最优解一共用了9次迭代，最优目标值为1374103元的收入，表示按计算结果分配客房将有1374103元的收入。输出中的VAR（1，i，j）是kjiX,,，即标准间的最优分配方案，将它整理成表6，VAR（2，i，j）是jkiX,,，将它整理成表7。计算结果中标示行
Row Slack or Surplus Duai price
之后的数据为模型（1）的每一个式子对应的结果。第1行对应目标函数值，第2行到第99行对应与第1个约束条件的第98个不等式，其数值表示按最优方案分配后原需求单上的欠缺房间数，在表6和表7中列入分配数值后面的括号内（没有括号的表示不欠缺，商务间没有欠缺）。第100行到113行对应于第2个约束
的14个不等式。表示每天客房的剩于数量，分别填在表6和表7的最后一行。
表6 旅行社标准间分配方案（单位:间）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
星期一 2 20 6 10 15 18 7
星期二 5 0 8 10 0 20
星期三 12 17 0（14） 0(9) 27(3)
星期四
0 3（3） 0(15) 20
星期五 0(30) 0(27) 20
星期六 18 10
星期天 22
当日空房 22 11 0 23 0 0 24
表7 旅行社标准间分配方案（单位:间）
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
星期一 12 8 6 10 5 4 7
星期二 9 12 10 9 5 2
星期三 12 7 6 5 2
星期四
8 7 5 1
星期五 5 8 24
星期六 26 18
星期天 0
当日空房 28 22 18 27 25 13 66
从表6和表7可以看出，从星期五到星期日标准间房源紧张，不能满足需求，而商务间都有空置的客房，于是，应该采用一些灵活的策略，充分利用好闲置的房间，提高酒店收益。
2.免费升级策略
所谓免费升级，是在标准间不够分配，而商务间有剩余的情况下，将一部分商务间按对标准间的需求进行分配并收费，上面的计算结果表明，有条件实施这种策略。
ijkd,,ijkR,,jkC,k=1（标准间），k=2(商务间），i j,l=1,2,…,7的意义同前。设需要标准间，分配也是标准间从第i到j天的房间数为jilX,,，需要标准间，而分配商务间从第i天入住到第j天的房间数为jiX,,2，模型（1）变为ljijiXlji,,,,,max＋jiljiljiXR,,2,,,,＋jijijiXR,,2,2,,,2，
S.t.ljiX,,＋jidXljiji,,,,,,2,1=1,2,;i,j,=1,2,…7,
,2,1,;2,1,,,,2,,2,2jijidXjiji…7,
,,),(),,(,,,,jlliSjiljiljiCXliS.｛1,i,j/i≤l≤j｝,l=1,2,…7,
),2(,,2),2()2,..(,,,,,2,lSCXllsjiujiujiu｛(2,i,j)/i≤l≤j｝,u=1,2,l=1,2,…7,
0,,,2,,,,jiuljiXX,整数，u=1,2,i,j=1,2,…7。
对这个模型做几点解释，在目标函数中需要标准间，但分配商务间的客房价格是（标准间的价格）；第1个约束表示需要标准间，而分配为两类客房的总和不超出对标准间的需求；第2个约束条件是商务间分配和需求的关系，第3个约束条件为标准间的房源限制，第4个约束条件为商务间的房源限制。
采用LINGO软件求解整数线性规划模型（2），程序见附录2。
计算输出中最优目标值为1448613元，VAR(1,i,j)是jilX,,，即需要标准间，分配也是标准间的分配方案，将结果整理在表8中。
表8 免费升级时标准间分配方案
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
星期一 0 20 6 10 12 18 7
星期二 5 0 8 10 10 19
星期三 10 17 0 3 30
星期 0 0 15 20 四
星期五 0 0 0
星期六 18 10
星期天 0
输出中，var21(i,j)是jIX,,2,1，即需要标准间，而分配商务间的分配方案，将结果整理在表9中。
表9 免费升级时需要标准间，而分配商务间的分配方案
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
星期一 2 0 0 0 3 0 0
星期二 0 0 0 0 0 1
星期三 0 0 14 0 0
星期四
0 0 0 0
星期五 0 0 20 星期六 0
星期天 22
将表8和表9的对应项求和，即ijlX,,＋ijX,,2,1，得到为满足标准间需要的客房实际分配数量，再与常规策略的表6比较，可以计算出免费升级与常规策略相比时实际分配的增减值，结果列入表10，其中数字a/b的a表示免费升级的分配总量，b表示增减量（b=0时略去）。存在一个现象是分配给只住星期三一晚的客房数减少2间，而分配给从星期三入住到星期五，星期六和星期日的客房数分别增加14,3和3间，星期四入住到星期五和星期六的客房数分别增加3和15间。这种改进有利于提高酒店的收益。
表10 免费升级时需要标准间，而分配两类房间的分配方案
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
星期一 2 20 6 10 15 18 7
星期二 5 0 8 10 10 20
星期三 10/-2 17 14/14 3/3 30/3
星期四 0
6/3 15/15 20
星期五 0 0 20
星期六 10
星期天 22 输出中VAR22（i，j）是jiX,,2，即需要商务间，分配商务间的分配方案，将结果整理在表11中。与常规策略的表7比较，可以发现，仅有的区别是这里不在分配客房给星期五入住1天和2天的商务间客户（表11中数字用空心题表示），其原因是为了最大的经济收入，将这些客房分配给了星期三和星期四入住标准间的住宿时间比较长的顾客了。
表11 免费升级时商务间分配方案
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期天
星期一 12 8 6 10 5 4 7
星期二 9 12 10 9 5 2
星期三 12 7 6 5 2
星期四 8
7 5 1
星期五 0 0 24
星期六 26 18 星期天 0
4. 折扣优惠活动
所谓的优惠政策，是在首选价位客房无法满足需求，而其他价位客房有剩余的情况下，采用打折优惠的办法鼓励部分顾客改变原来的需求，选择其他价位客房。
jikd,,，ikC,k=1(标准间),k=2（商务间），i，j,l=1,2,…,7的意义同前，记需要第i类房，而分配到第k类房从第j天的价格为kjiR,,，需要与分配的客房类型不同时折扣因子为α（0
jikujuikukjiukXR,,,,,,,,,),)1((max
,2,1,,2,1,..,,,,,jikdXtsjikujiuk…，7
),(,,),(),,,(,,,,,,lksCXikiksjikujiujiku｛（u，k,i,j）/i≤l≤j｝,k-1,2,l-1,2,…,7
,0,,,jikuX整数，u,k=1,2,i,j=1,2,…7,
其中ik,= 1，k=u
0,k≠u.在前两个模型的基础上很容易解释这个模型，只需注意第1个约束是ujikX,,,而不是,,,,jikuX对u求和不超出对k类房的需求。
取折扣因子α=0.9，采用LINGO软件求解整数线性规划模型（3），程序见附录3.输出的前4行为
、Global optimal solution found at iteration; 94
Objective value; 1480658.
Variable value Reduced Cost
ALPHA 0.9000000 0.000000
即算法在迭代94次后收敛到全局最优解。目标值为1480658元，比常规策略的目标值1374103元提高7.75％，比免费升级策略的目标值1448613元提高2.21％.
采用折扣优惠策略与常规策略显然是不相容的，因为后者不能利用另一类空闲的房间。折扣优惠策略与免费升级策略有什么关系呢？在商务间房源紧张，不能满足需求时，折扣优惠策略与免费
