高等数学总习题及答案ppt课件

哈 尔
解 x 0 :f( x ) ( 3 x 2 ) 6 x ;
滨 工
x 0 :f( x ) ( x 2 ) 2 x ;
程 大 学
f(0)lim 2x2x|x|0;
x 0
x
高
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
lim2x02; x0 x
等 数 学
f (0)x l i0m f(x)x f(0)
滨
工 解 首,先 f(x)在x0处必须 ,从 连 而 续
程
大
f(00)f(00).
学
f(0 0 ) lism a in x 0 , x 0
高
等
f ( 0 0 ) li [m 1 l n x ) b ( ] b ,
数
x 0
学
b0.
对任意 a ,当 x 给 0 ,f定 (x )都 的 存 ; 在
dy
y
t
dx x t
1
1 1 t2
1 1 t2
2t
t; 2
等
数 学
1
d2y
2 t dx2
(
dy dx
)t
xt
2
1 1 t2
1 t2
4t
例8
用微分法则求函数
y
arctan1 1
x2 x2
的微分和
哈 尔 滨 工 程 大
导数.
解
dy1(111xx22)2d(11xx22)
学
高 等
1(1 11 x x2 2)2(1x2) (2(x 1)d x x 2)(2 1x2)2xdx u vduudv
6x0 lim 6;
x0 x
因 f (0 为 ) f (0 ),所以 f(0)不存 . 在

( a 0)
a a ; b b
绝对值不等式:
a b a b a b.
x a ( a 0) x a ( a 0)
a x a;
x a 或 x a;
二、函数概念
D 是一个给定的数集， 定义 设x 和y 是两个变量,
如果对于每个数 x D , 变量 y 按照一定法则总有
y
y f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
x
3．函数的奇偶性:
设D关于原点对称, 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 x
f ( x)
x
设D关于原点对称, 对于x D, 有
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R, 且a b.
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a, b)
o a x b { x a x b} 称为闭区间, 记作 [a, b] o a
二、证明 y lg x 在( 0, ) 上的单调性. 三、证明任一定义在区间( a , a ) ( a 0 ) 上的函数可表 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 四、设 f ( x ) 是以 2 为周期的函数， x 2 ,1 x 0 且 f ( x) ,试在( , ) 上绘出 0, 0 x 1 f ( x ) 的图形. 五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的 乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数. ax b 六、证明函数 y 的反函数是其本身. cx a e x ex 七、求 f ( x ) x 的反函数，并指出其定义域. x e e

[yf(x)]y [2xf (x) - x2 ]x , 即
df 1 f 1. dx 2x
f(x) 2f(x) 2xf (x) - 2x,

f(x)

e-
1 dx 2x
(C

1 e
1 dx
2x dx)
- 1 ln x
e 2 (C

1 ln x
e 2 dx)
1
常用恰当条件
P y

Q x
是否成立判别 (*)是不是全微分方程
,若(*)不是全微
分方程，但
(x, y)[P(x, y)dx Q(x, y)dy] 0 是全微分方程
则称(x, y) 0为方程(*)的积分因子,常用观察法寻找 (*)的积分因子.
例 8 判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解
令u y - x
(y - x) x(y - x) -x 3 ( y - x)2
u xu -x3u 2
两边除以 u 2 ,得
u -2 du xu -1 -x3 , dx
- du -1 xu -1 -x3 , dx
令z=u-1,
dz - xz x3 , dx
z

e
6 dy
y[
(-2
y
3
-
)e

6 dy
y dy C]
y6[-2 y-3dy c] y4 Cy6
故原方程的通解为
x2 y4 Cy6.
例 7 求微分方程 y 1- x(y - x) - x3 ( y - x)2 通解.
解 原方程可写为 (y - x) -x(y - x) - x3 ( y - x)2

2 函数 f (x) 的单调增加区间为 [0,2]， 单 调 减 少 区 间 为 [2,4] ， 曲 线
y f (x) 的拐点为 (1,3) ， f (4)
2 1 . 并在同一坐标图纸中描绘出函数 2
f (x) 图形的示意图.
y 4 3
2 1
O
123
4x
-1
y f (x)
第7题
解：在 0, 2 内 f (x) 0 ，在 2, 4内 f (x) 0
f
(x)
在区间[a, b] 上的几
^
何平均值 f ，并根据几何平均值不超过算术平均值，写出相应的积分不等式.
答
将[a, b] 作 n 等分，分点 xk
a
k
b
n
a
，
xk
ba
.
n
^
f
lim n
1
f (x1) f (x2) f (xn) n
lim ln f ( x1 )ln f ( x2 )ln f ( xn ) ba
的收敛性.
解：
I
dx
d ln ln x
3 x ln x (lnln x)a 3 (lnln x)a
当 a 1 时， I ln ln 3 1a ；
a 1 当 a 1时， I .
13.（10 分）如右图所示，一容器的侧面是由曲
线 L 绕 y 轴旋转而成，L 的方程为 x2 y2 1
的面积的 2 倍，且曲线 L 经过点 ( 0 , 1 ) ，求 L 的方程.
答
t
1 y2 dx 2
t
ydx
0
0
1 y2 2y ， y (2y)2 1
arcosh(2y) 2t C ，或 ln 2 y (2 y)2 1 2t C