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函数与极限
一、 函数 二、 连续与间断 三、 极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义: 设 D R , 函数为特殊的映射:
f :D
定义域
f (D) R
值域
其中 f (D) y y f (x), x D
图形:
y
C (x , y) y f (x), x D
( 一般为曲线 )
y f (x)
lim
xx0
f
(x)
f
(x0 )
lim y 0
x0
x x x0 , y f (x0 x) f (x0)
f (x0 ) f (x0 ) f (x0 )
0, 0, 当 x x0 时, 有
f (x) f (x0 )
2. 函数间断点
第一类间断点 第二类间断点
可去间断点 跳跃间断点 无穷间断点 振荡间断点
即
m m f (c) n f (d) M mn
由介值定理, 存在 [a,b], 使
m f (c) n f (d ) f ( )
mn
即
m f (c) n f (d ) (m n) f ( )
三、 极限
1. 极限定义的等价形式 (以 x x0为例 )
lim f (x) A
xx0
" "
3, [ f (x
5)],
x8 x8
,求
f (5) .
解: f (5) f [ f (10) ] f (10 3) f (7) f [ f (12) ]
f (12 3 ) f (9) 6
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
5)],
x8 x8
, 求 f (5) .
6. 设 f (sin x 1 ) csc2 x cos2 x , 求 f (x). sin x
4.
解:
f
(
x
)
e
x
2
,
f [ (x)] e 2(x)
由
e 2 (x) 1 x
得 (x) ln(1 x) ,
x (,0]
5.
已知
f
(x)
x f
x
(a x)2
相同
(3)
f
(x)
x0
, ,
x0 x0
与(x) f [ f (x)]
相同
2. 下列各种关系式表示的 y 是否为 x 的函数? 为什么?
(1) y 1 sin x 1
不是
(2)
y max sin x , cos x ,
x
[
0,
π 2
]
是
(3) y arcsin u , u 2 x2 不是
例6. 设 f (x) 在 [a , b] 上连续, 且 a c d b , 证明:
必有一点 [a ,b], 使
m f (c) n f (d ) (m n) f ( )
证: f (x) C[a,b], f (x)在[a,b] 上有最大值M
及最小值m, 故
(m n)m m f (c) n f (d) (m n)M
解: 设其为 x 的 k 阶无穷小, 则
3
lim
x0
x2 xk
x C 0
因
3
lim
x0
x2 xk
x
lim 3 x0
x2 x3k
x lim 3 x0
x 123k
(1
x
3 2
)
故 k1 6
阅读与练习
1. 求 f (x) (1 x)sin x 的间断点, 并判别其类型. x (x 1)(x 1)
x
存在, 则 f (x) 必在 ( , )内有界.
证: 令lim f (x) A, 则给定 0, X 0,当 x X
x
时, 有
A f (x) A
又 f (x) C[X , X ] , 根据有界性定理, M1 0 , 使
取
f (x) M1 , x [X , X ]
y M1 f (x)
解:
f
(sin
x
1 sin
) x
1 sin 2
x
sin
2
x
1
(sin x 1 )2 3
f (x) x2 3
sin x
例1. 设 f (x) f ( xx1) 2x , 其中 x 0 , x 1 ，求 f (x).
解: 利用函数表示与变量字母的无关的特性 .
令
t
x1 x
,
即
x
1 1t
O
D
x
2. 特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
3. 反函数
设函数 f : D f (D) 为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f (D) D
4. 复合函数
给定函数链 f : D1 f (D1) g : D g(D) D1
D
g g(D)D1
f g f
则复合函数为 f g : D f [g(D) ]
[
( x1
f
)
2f ((xf 1)()x2 )时ff(,(xx11))fff(((xxx)22)f)]2[0(f, 2)(xF2f()x(1x)1F)f f((xx(1x2)2)
)f(0x0,2
)]
故由零点定理知 , 存在 (x1 , x2 ), 使 F ( ) 0, 即
f ( ) f (x1) f (x2 ) .
求
lim
(1
2x
3x
)
1 x
.
解:
x
令 f (x)
(1
2x
3x
1
)x
3
(13) x
(32) x
1
1 x
则
1
3 f (x) 33x
利用夹逼准则可知 lim f (x) 3 .
x
作业
P75 4 (1) , (4) ; 5 ; 8 ; 9 (2) , (3) , (6) ; 10; 11 ; 12 ; 13
6. 判断极限不存在的方法
例7. 求下列极限：
(1) lim (sin
x
(2)
lim
x1
1 x2 sinπ x
x 1 sin
x)
(3)
lim
x0
1 1
x x
cot x
提示: (1) sin x 1 sin x
2sin x 1 x cos x 1 x
2
2
2sin
1
cos x 1 x
2( x 1 x)
lim [ f (x) A] 0
xx0
(即 f (x) A 为无穷小)
f (x0 ) f (x0 ) A
xn (xn x0) , xn n x0 ,
有
lim
n
f
(xn )
A
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的性质 ; 无穷小的比较 ;
常用等价无穷小:
sin x ~ x
,
代入原方程得
f
(11t )
f
(t)
2 1t
,
即
f
(11x)
f
(x)
2 1 x
令
1 1 x
uu1 ,
即
x
1 1u
,
代入上式得
f (uu1)
f
(11u )
2(u1) u
,
即
f ( xx1)
f
(11x)
2( x1) x
画线三式联立
f (x) x 1 1 1 x 1 x
二、 连续与间断
1. 函数连续的等价形式
解: lim (1 x)sin x 1 sin1 x 1 x (x 1)(x 1) 2 x = –1 为第一类可去间断点 lim f (x)
x1
x = 1 为第二类无穷间断点
lim f (x) 1, lim f (x) 1
x 0
x 0
x = 0 为第一类跳跃间断点
2. 求
lim
x0
2 1
tan x ~ x
1 cos x
~
1 2
x2
arctan x ~ x arcsin x ~ x ln(1 x) ~ x
ex1~ x
ax 1 ~ x ln a (1 x) 1 ~ x
4. 两个重要极限
(1) lim sin 1 0
(2) lim(1 1 ) 1 或 lim(1
1
) e
0
0
注: 代表相同的表达式 5. 求极限的基本方法
3. 闭区间上连续函数的性质
有界定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 .
a (1cos x2
x)
,
例2. 设函数 f (x)
1,
x0 x0
ln(b x2) , x 0
在 x = 0 连续 , 则 a = 2 , b = e .
提示:
f (0 ) lim a (1 cos x) a
2x 1 x
)
~
2x 1 x
e
lim (
x0
cos sin
x x
2x 1 x
)
e2
复习: 若 lim u(x) 0, lim v(x) , 则有
x x0
x x0
lim v(x)u(x)
lim 1 u(x) v(x) exx0
x x0
lim v(x) ln1 u(x)
exx0
例8. 确定常数 a , b , 使 lim (3 1 x3 a x b) 0
