高等数学课件

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本章的重点和难点
本章的重点:
(1) 会用分离变量法求解矩形，圆形域等区域上的拉普拉斯方 程的边值问题. (2)

函数的定义及其性质.
本章的难点:

函数的性质.
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第一节
圆的狄利克雷问题
9. 1.1. 定解问题的提法
9.1.2. 定解问题的付氏解法
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本章主要用付氏方法求解圆内拉普拉斯方程第一边值问题 .
（称为狄利克雷问题） 在第十一章还将对有关拉普拉斯方程做更多和更深入的问题 进行讨论
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2. 定解问题的提法 设有一个半径为 l 的无限长圆柱，把它的对称轴取作 z 轴 .假设在柱的表面上温度不随时间而改变，且与 z坐标 无关，则过了一段时间以后，在圆柱的每一点处，温度也 会稳定下来，与
(2) 同前一样, Laplace方程描述的不是一个物理现象,而描述的是一 类物理现象.他不仅可以从热传导现象来推出,还可以从其它的物理 现象来推出.例如:可以从波动方程中来推出,也可从纯数学的角度 来推出.
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调和函数: 如果一个函数 u 在某个区域 D 内连续，且满足拉普拉斯方 程，则称该函数是 D 内的调和函数，或者说，函数 u 在 D内调和
t 无关，
0,
utt 0 而方程 ut a (uxx u yy ) f ( x, y, t )
2
utt a2 (uxx u yy uzz ) f ( x, y, z, t )
(uxx u yy ) F ( x, y, t )
(1) (2)
uxx u yy uzz F ( x, y, z, t )
的方程为椭圆型方程。
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本章学习基本要求
在学习这一部分内容时,除了弄清该方程及相应定解问题的 提法与其物理背景以外,还需要掌握的内容有： (1) 掌握圆的 Dirichlet 问题 (2) 会用分离变量法解矩形，圆形域等区域上的拉普拉斯方程 （3）掌握 函数的定义及其性质. （4）掌握在一些特殊区域中对某些定解问题的求解方法； 包括解的显式表达式的导出. 的边值问题.
第九章 拉普拉斯方程的圆的狄 利克雷问题的付氏解
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第九章 拉普拉斯方程的圆的狄利克 雷问题的 付氏解
• 本章小结 • 第二节 • 第一节
本章小结
函数
圆的狄利克雷问题

函数
圆的狄利克雷问题
• 本章的重点和难点 • 本章基本要求 • 引言
本章的重点和难点
本章基本要求 引言
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1 1 ur 2 urr 0 (0 r l , 0 2 ) u rr r r u( l , ) f ( ) (0 2 )
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9. 1.1. 定解问题的提法
1.方程的导出 我们在第七,第八章中通过几个不同的物理模型推导出了两种典 型的数学物理方程即波动方程与热传导方程.
ut a2 (uxx u yy ) f ( x, y, t )
2
(二维的热传导方程.)
ut a (uxx u yy uzz ) f ( x, y, z, t ) utt a2 (uxx u yy ) f ( x, y, t )
称上面的方程为 poisson 方程(泊松方程).
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如果 F ( x, y) 0 方程(1) (2)变为
F ( x, y, z ) 0
u
xx
u yy 0
u u u
xx yy
zz
0
(3)
等式左边常简记为
u ,
即方程为
u 0
我们称方程(3)为拉普拉斯(Laplace)方程或调和方程 调和方程或 Poisson 方程还可以从多种物理问题中导出，
(三维的热传导方程
(二维的波动方程.)
utt a2 (uxx u yy uzz ) f ( x, y, z, t )
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(三维的波动方程.)
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在以上所讨论的热传导现象和波动现象中的位移函数和温
度函数，都是随时 间的变化而变化的.但有一种特殊情况， 即它们已经处于稳定状态,或者说，变化相当小，以致可以看 成与时间 这时， ut 或 变为
z
u ( x, y )
t 无关
.这时圆柱内的温度分布函数
l
u( x, y)就满足二维 Laplace 方程: u u 0 xx yy 可以把 u( x, y ) 看做圆柱任一横载面上的温度分布，其边
界是个圆： x
2
y
2
l，
2
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由于 u( x,
y ) 可以看做是圆柱任一横载面上的温度分布， z
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引
调和方程，又称
言
Laplace方程，是一类典型的椭
圆型方程，也是最 简单的椭圆型方程. 从物理观点来说，
它是描述稳恒过程的。当我们研究的问题涉及各种物理性质 是稳定(即不随时间改变)过程．可归结为椭圆型方程。如固 定电场和磁场(静电学、静磁学、直流电场)，不可压缩液体 的位流，温定热场(或称稳定的稳度场)等等，描述这些现象
2
其边界是个圆： x

y
2
l ，
2
l
这就启发我们采用极坐标.这样必须把方程
u
令
xx
u yy 0
化为极坐标系下的二维 Laplace方程 .
x r cos ,
y r sin
rr
方程为：
u

1
r
u
r

1
r
2
u 0
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设柱面上的温度由边界条件 u( l , ) f ( ) 给出 .因与 时间 t无关，无初始条件可谈 . 于是给出边值问题：
也可以从纯数学的角度推出
一个复解析函数 u i 的实部与虚部满足. Cauchy-Riemann方程
u v , x y
容易由该两方程推知
u v , x y
u 与 v 分布满足 u 0与
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v 0
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注: (1) Laplace方程与泊松方程描述的是处于稳定状态的物理现象的. 即描述与时间无关的物理现象的 ,即不含时间变量 ,所以在讨论定 解问题时,不能附加初始条件,而仅考虑边界条件.这样的问题叫做 边值问题.