大一高数上PPT课件

1 2 n
x3
x1
x 2 x4
xn
2.数列是整标函数
xn f (n).
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的变化趋势.
播18-28放
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
三、数列的极限
( 1)n1 观察数列{1 } n 当 n 时的 变化趋势.
n
所以,
n
lim xn C .
说明:常数列的极限等于同一常数. 小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 0, 寻找N,但不必要求最小的N.
四、数列极限的性质
1、有界性
定义: 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切自 然数 n, 恒有 xn M 成立, 则称数列 x n 有界, 否则, 称为无界.
1
1 使得当n N时, 有 xn a 成立, 2 1 1 即当n N时, xn (a , a ), 2 2
区间长度为1.
而xn无休止地反复取 1, 1 两个数,
不可能同时位Leabharlann 长度为1的区间内.事实上, { xn }是有界的, 但却发散.
注意：有界性是数列收敛的必要条件.
定理3
收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．
推论：如果一个数列有两个子数列收敛于不同的极限，那么 这个数列发散。 例如
xn 1
n1
的子列 x2k 1,
x2k 1 1
xn 发散
发散的数列也可能有收敛的子列。
五、小结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质:

x0 y1
1 4
得
y
x0 y1
1. 16
二、对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n.
方法:先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法
求出导数.
--------对数求导法
适用范围:
多个函数相乘和 数幂 u(x指 )v(x函 )的情.形
例4 设y(x(x1)43)2xex1,求y.
x 2(3 x)4 [
1
4 5 ]；
( x 1)5 2( x 2) 3 x x 1
3、 1 x sin x 1 e x [ 1 cot x e x ].
2
x
2(1 e x )
四、1、
a
2
b sin
3
t
；
2、 1 . f (t )
t4 1 五、 8t 3 .
六、2 1 . x2
dt
( tant ) (acos3 t)
3acsoe2s2cttsint
sec4 t 3a sin t
四、相关变化率
设xx(t)及y y(t)都是可导,函 而数 变量 x与y之间存在
某 种 关,从 系而 它 们 的 变 dx与 化d率 y之 间 也 存 在 一, 定 dt dt
这样两个相互依 化赖 率的 称变 为相关.变化率
解 等式两边取对数得 ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3 上式两边x求 对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
解 设时刻 t水深为 h(t),

A , 所以
,
0 , 正整数
K1
当 k K 1时 , x 2 k A
又 lim x 2 k 1 A , 所以 , 对以上 正整数 K 2
k
当 k K 2时 , x 2k 1 A .
取 N max{ 2 K 1 , 2 K 2 1 }, 当 n N 时由以上知
xn A ,
1 n
0 lni mxnyn
2)xn
2n,
yn
1 n
2 lni mxnyn
福 州 大 学 2020/4/21
5
(c)
若
{
x
n
}
是任意数列，而
lim
n
yn
0
问
lni mxnyn 0？
不一定
1)xn
1, 2n
yn
1 n
2)xn
2n,
yn
1 n
0 lni mxnyn 2 lni mxnyn
(d) 若
11
,
42 2
P5为
12P5
为1
4
11, 1 82
,
1 22
213
,L
,
Pn
为
限1 P 位n 为1 2 置坐12标21 2 为 14 2 1318L nllniimm(1[121 ([)11n 12214((2 )n1 n 1122 (122)当)n12121n)]n 1
时
2 3]
1 2
,
P
n的极 1 6
不一定
问 lnim（xn yn) 是否存在？
0 1 ) x n( 1 )n ,yn( 1 )n 1 lni m （xnyn)
2)xn( 1 )n,yn( 1 )n lni m（xnyn) 不存在，

f ( x nl) . nl (n N ) 也是 f ( x) 的周 期.
若 在周期函数 f (x)的所有周期中存在 最小的正 周期T ，则称这个最小正周期T 为 f ( x)的 基本周期 .
通常我们所说的函数的周期都是指基本周期.
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27
f ( x) sin x,cos x 的周期为T 2 , 常 f ( x) tan x,cot x 的周期为T , 用 F ( x) Asin(x B) C 的 周 期 为T 2 ,
业成绩以10％ 记入期末总评成绩。
4. 辅导答疑：
时间：待定；地点：南堂 112 答疑室。
电话：15020063032
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6
《高等数学练习册》 发放时间、地点及相关要求：
时 间：星期二、三、五（9月20、21、23日）
下午 3：00 — 5：00 地 点：文理楼 237 室 《高等数学练习册》每本售价：17元
定理 函数 f ( x) 在 D 上有界 函数 f ( x) 在 D 上既有上界又有下界.
(3) 若 M 0,xM D f ( xM ) M , 则称 f ( x) 在 D 上无界 .
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21
例6 证明：f ( x) 1 在 ( ,0) 与 (0, ) ( 0) 无界，
x
在任何不包含原点的闭区间 [a, b] 上有界 .
16
有些特殊的函数只能用语言来描述对应法则 f ，
并用约定的符号予以表示:
例1 “x R, 对应的 y 是不超过x 的最大整数”.
记作：y [x] , x R . 称为取整函数
例如：[5.3]= 5， [ - 4.9]= 5 .
当n x n 1 (n Z) 时，

3. xlim 左右极限存在并相等 x ƒ(x) 的存在性 当x<xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo-0) 左极限 x
0
0
当x>xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo+0) 左极限 x
0
应用-----主要用于分段函数 分段点处求极限
x x0 2
证明: 对 >0要使|sinx-sinxo |=2|sin 2|sin
x x0 2
cos
x x0 |<ε 2
x x0 cos 2
|≤2|sin
x x0 2
|

当 x 很 小 时,|sinx| < |x| 2|sin
x x0 2
|<|2
x x0 2
| = |x-x0|<ε
（1）、ε-x定义:
if 对 >0, x>0,st 当 |x|>x 时 , 有 |ƒ(x)-a|<ε so 称 a 为 ƒ(x) 当 x→∞时的极限 先有ε,再找x
（2）、ε-定义 if对 >0, st当0<|x-xo|< 时,有|ƒ(x)-a|<ε成立,则 limƒ(x)=a 称a是ƒ(x)当x→xo 的极限,记为 x x
iii) 极限过程可以变,但必须是型,且x一模一样 1/(x-1) =1 如:1) lim x 1 [1+(x-1)] 1 .2 x 1 1 2 x lim（1 ) = e1/2 2) lim (1+ ) = x 2 x x 2x 3) lim (1+ x 4) lim ) x = e2 x (1+

第一章 函数与极限
第一节
• • • • • 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结
函数
一、基本概念
总体. 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 元素 a∈ M, a∉ M,
y
y = f ( x)
f ( x1 )
f ( x2 )
x1
恒有
f ( x1 ) > f ( x2 ),
o
x2
则称函数 f ( x )在区间 I上 是单调减少的 ;
I
x
3．函数的奇偶性: 函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于∀x ∈ D, 有
f (− x ) = f ( x )
y
y = f ( x)
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
思考题
1 设 ∀x > 0 ， 函 数 值 f ( ) = x + 1 + x ， 求 函 数 x
前言
高等数学》 《高等数学》是研究变量及变量间依赖关系的 一门数学课程。 一门数学课程。它的内容包括一元及多元函数微 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 高等数学》共讲授192学时，共计12 192学时 12学分 《高等数学》共讲授192学时，共计12学分 高等数学》的研究方法主要应用极限法。 《高等数学》的研究方法主要应用极限法。

1 x dx ; 4
2
cos xdx 2 cos xdx ;
2 0
五、水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力，已知 闸门上水的压强 P 是 水深 h 的 函数，且有 p 9.8h(千米 米 2 ) ，若闸门高 H 3米 ，宽 L 2米 ，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水 压力 P （见教材图 5-3）.
称 f ( x ) 在区间[a, b]上可积.
三、存在定理
定理1 当函数 f (x ) 在区间[a, b]上连续时，
称 f ( x ) 在区间[a, b]上可积.
定理2
设函数 f ( x ) 在区间[a, b]上有界，且只有有限个间断点，
则 f ( x ) 在区间[a, b]上可积.
四、定积分的几何意义
A lim f ( i )x i
0 i 1
n
特殊乘积和式的极限
s lim v ( i )t i
0 i 1
n
二、定积分的定义
在 定义 设函数 f ( x ) 在[a , b]上有界， [a, b]中任意插入 若干个
分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b
f ( x ) 0,
b a f ( x )dx
A
曲边梯形的面积
例1
1 2 利用定义计算定积分 0 x dx.
解 将[0,1]区间 n 等分，分点为 xi i ，( i 1,2, , n ) n
1 小区间[ xi 1 , xi ]的长度 xi ，( i 1,2, , n ) n
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分a xdx ，( a b ) .

五、
P38
1
1 t
f
(0
0)
(1 lim t0
t)t e
lim
e
1 t
1 t
ln(1
t
)1
t0
et
lim
0
ln(1 t t2
)t
1 1 lim 1t
et0 2t
lim 1
et 0 2(1t )
1
e2
1
1
f (0 0) lim e 2 e 2 ,
t0
1
f (0) e 2
lim f (t ) f (0), f (t ) 在 t 0 处 连 续.
1)L
(n k k e x
1) x
nk
0
三、选择题. 1. D; 2. A;
P38
电气学院学习部资料库
lim ( 2 arctan x)x
x
1
lim e lim e e x
ln( 2 arctan x )x
x
x ln( 2 arctan x )
lim x ln( 2 arctan x )
§2.8 洛必达法则
P37
一、填空题. 1. 1; 2. ; 3. 1/ 2; 4. 1;
二、用洛必达法则求下列极限.
1. 2 ;
2. 0;
3. 1;
2
4. e ;
5. 1 ;
3
2
6. 对n R取正整数适合 : k n k 1
连续 k 次使用洛必达法则 得 :
lim
x
xn ex
lim
x
n(n
t0
电气学院学习部资料库
x
2
Q lim x ln( arctan x)

第一章
函数
一、集合 二、映射 三、函数
第一节 集合
1. 集合的概念 集合是指所考察的具有确定性质的对象的总体， 简称集.通常用大写字母 A,B,X,Y …表示. 组成集合的每一个对象称为该集合的元素,通 常用小写字母a,b,x,y… 表示 . 元素 x 属于集合 A , 记作 x A. 元素 x 不属于集合 A , 记作 x A ( 或 x A ) . 由有限个元素构成的集合,称为有限集; 由无限多个元素构成的集合,称为无限集合 . 不含有任何元素的集合称为空集,记作 .
f
y f ( D) y y f ( x), x D
(值域)
(对应规则)
使表达式及实际问题都有意义的自变量 集合. • 对应规律的表示方法: 解析法 、图象法 、列表法
例如, 反正弦主值
定义域 值域
例9. 绝对值函数
定义域 值 域
4. 函数的几何特性 (1) 奇偶性 若 若 则称 f (x) 为奇函数;
(4) 有界性
若 M 0 , 使得 f ( x) M , x I , 则称 f (x)
在 I 内有界, 也称它为 I 内的有界函数.
比如, y sin x 在 R 内有界; 1 y 在 [1,) 内有界, 但在 (0,) 内无界。 x
思考题： 证明 y x2 1 x
例1：X= {平面上所有三角形的全体} Y= {平面上所有圆的全体} f : X Y x y ( y是三角形 x 的外接圆 ). 例2： X { , , }, Y { a, b, c, d }, f ( ) a, f ( ) d , f ( ) b D f { , , } X R f { a, b, d } Y 设 例3： X R , Y R , 则对应关系 f : X Y

三、小结
1. 无穷小的比较
反映了同一过程中, 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 阶无穷小; 高(低)阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 低 阶无穷小 等价无穷小; 无穷小的阶.
2. 等价无穷小的代换 等价无穷小的代换:
(1 + ax ) − 1 6. lim =_________. x →0 x 3 时 7. 当x → 0时, a + x − a ( a > 0) _______阶无穷小 对于 x 是_______阶无穷小 . n 等价， 8. 当x → 0时, 无穷小 1 − cos x 与 mx 等价，则 时 m = _______, n _______ .
tan 2 x 例３ 求 lim . x →0 1 − cos x
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 = lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积， 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限． 穷小代换，而不会改变原式的极限．
2
( x + 1) sin x . 例４ 求 lim x → 0 arcsin x
解
当x → 0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x . ( x + 1) x = lim( x + 1) = 1. 原式 = lim x →0 x →0 x
不能滥用等价无穷小代换. 注意 不能滥用等价无穷小代换 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 因子作等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 对于代数和中各无穷小不能分别代换.

1. 利用导数研究函数的单调性；2. 利用定积 分求平面图形的面积。
证明题
1. 证明罗尔定理；2. 证明拉格朗日中值定理 。
答案及解析
答案：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
极限题答案及解析
计算题答案及解析
01
03 02
答案及解析
• 解析：根据极限的性质，当$x \to 0$时， $\sin x \approx x$，所以$\lim{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim{x \to 0} \frac{x}{x} = 1$。
参与讨论
积极参与课堂讨论，与同学分享学 习心得和解题经验。
04
02
第六章基本概念
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某一点的变化趋势的数学工具。对于函数$f(x)$，若在$x to a$的过程中，$f(x)$的值无限接近 于一个确定的常数$L$，则称$L$为函数$f(x)$在$x to a$时的极限。
THANKS
感谢观看
导数的性质
导数具有线性性质、可加性、可乘性、链式法则等性质。这些性质帮助我们更好地理解导数的概念， 并能够进行相关的计算和证明。
积分的定义与性质
积分的定义
积分是计算函数与坐标轴所夹图形的面积的数学工具。对于函数$f(x)$，若函数与坐标 轴所夹图形的面积为$A$，则称$A$为函数$f(x)$在区间[a,b]上的定积分。
积分的性质
积分具有线性性质、可加性、可乘性、积分中值定理等性质。这些性质帮助我们更好地 理解积分的概念，并能够进行相关的计算和证明。
03
第六章定理与公式
极限定理
极限定理
极限定理是微积分学中的基本定理之 一，它描述了函数在某点的极限行为 。根据极限定理，如果一个函数在某 点的极限存在，则该函数在该点附近 的行为可以用其极限值来描述。

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10
四、函数在区间内可导的概念
如果函数 y f (x)在区间(a,b)内的每一点都可导，
则称函数 y f (x) 在区间 (a,b) 内可导.这时，对于区间
(a,b) 内的每一个确定的 x 值，都有唯一的导数值 f (x)
与之对应，即 f (x) lim f (x x) f (x)
11
例2 已知 y x2 ，求 y 与 y x2 .
解：y x x2 x2 2xx x2
y
x = 2 x x
lim y lim 2x x 2x
x0 x
x0
所以：
y
x2
2x;
y 22 4
23
例1 求下列函数的导数：
（1） y 3x5 2sin x 4cos x 8
（2） y 2x 1 ln x
（3）
y

2
3x 5x4
（4）
y
2
x3 1
解 (1) y (3x5) (2sin x) (4cos x) (8)
3(x5) 2(sin x) 4(cos x) 0
y e xx e x e x ex 1
x x
x
利用极限 lim e t 1 1 ，得
t 0
t
y lim y lim e x ex1 e x
x x0
x0
x
由此得到 e x e x
推广：对于一般的指数函数,有导数公式：
ax ax ln a a 0,a 1
f
1 x
x
f
1
lim 1 x2 12 lim 1 1

c a
a , b, c 的相对位臵如何, 上式总成立.
a b c,
b c f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx
b c c f ( x )dx a f ( x )dx b f ( x )dx c b a f ( x )dx c f ( x )dx .
m f ( x) M ,
a mdx
b
b m (b a ) a f ( x )dx M (b a ).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 2 估计积分 0

1 3 sin x
3
dx 的值.
解
1 f ( x) , x [0, ], 3 3 sin x
xi 0,

i 1

n
f ( i )xi 0,
max{x1 , x2 ,, xn }
lim
0 i 1

n
b f ( i )xi a f ( x )dx 0.
例 1 比较积分值 0 e x dx 和 0 xdx 的大小. 解 令 f ( x ) e x x , x [2, 0]
性质5的推论： （2） b f ( x )dx b f ( x )dx (a b) . a a
证 f ( x) f ( x) f ( x) ,
b b b a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx ,
b b 即 a f ( x )dx a f ( x )dx .
f ( x )dx 0 ； a , b上 f ( x ) g ( x ) ,且 3、若在 b b a f ( x )dx a g( x )dx ，则在a , b上f ( x ) g( x ) .

第九节
函数的连续性与间断点
• 一、函数的连续性 • 二、函数的间断点 • 三、小结
一、函数的连续性
1.函数的增量
y f ( x ) x : x0 x y: f ( x0 ) f ( x )
x x x0 , 称为自变量 在点 x0的增量 x .
y f ( x ) f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
x 0 x 0
末就称函数 f ( x )在点 x 0 连续, x 0 称为 f ( x )的连续点.
例如
y 2 x 3, x0 1, x 0,
y 2x 0,
则 y 2 x 3 在 x0 1 点连续
设 x x0 x,
x 0 就是 x x0 ,
x x0 x
y f ( x0 x) f ( x0 )
y
y f ( x)
y
y y
y f ( x)
0
x x0 x 0 x x
x
0
x0 x
x0
x
2.连续的定义
y f ( x) x : x0 x0 x, x y: f ( x0 ) f ( x0 x)
当x 0时, y 0.
即 函数 y sin x对任意 x ( ,)都是连续的.
同理 y cos x对任意x (,)都是连续的 .
二、函数的间断点
x x0
lim f ( x ) f ( x0 ),
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
x 0
x 0
lim f ( x ) lim ( x 2) 2 f (0),
右连续但不左连续 , 故函数 f ( x )在点 x 0处不连续.

图 1-1
图 1-2
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
例1 判断函数 ylg(x x2 1)的奇偶性． 解 因为函数的定义域为〔－∞，+ ∞ 〕，且
f( x ) l g ( x ( x ) 2 1 ) l g ( x x 2 1 ) l g ( x x 2 1 ) ( x x 2 1 ) x x 2 1
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与
间断点
08 初等函数的连 续性
一、数列极限
定义1 在某一法那么下，当n〔n∈N+〕依次取1,2,3，…， n，…时，对应的实数排成一列数
x1， x2， x3， ， xn，
函数的对应法那么和函数的定义域称为函数的两
个要素．两个函数相等的充分必要条件是函数的定义 域和对应法那么均相同．
高等数学
01 函数 02 极限 03 无穷小与无穷大 04 极限的运算 05 两个重要极限 06 无穷小的比较 07 函数的连续与