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薄壁杆件力学 主扇形静矩

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05材料力学第五章

05材料力学第五章

对称弯曲（平面弯曲）
一般情况下，工程中受弯杆件的横截面都至少有一个通 过几何形心的对称轴，因而整个杆件都有一个包含轴线的纵 向对称面。如下图，当作用于杆件的外力都在这个纵向对称 平面上时，可以想象到，弯曲变形后的轴线也将是位于这个 对称面内的一条曲线。这种情况的变形我们就称为平面弯曲 变形，简称为平面弯曲。 q
C A b a c D B
RA
RB
P2=P
解
(1)求支座反力
RA RB P 60 kN
(2)计算C 横截面上的剪力QSC和弯矩 MC .
看左侧
QSC P 60kN 1
M C P1 b 6.0kN.m
(3)计算D横截面上的剪力QSD 和弯矩 MD . 看左侧
QSD R A P1 60 60 0
不论在截面的左侧或右侧向上的外力均将引起正值的弯矩, 而向下的外力则引起负值的弯矩. 左侧梁段 顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩 逆时针转向的外力偶引起负值的弯矩
右侧梁段
逆时针转向的外力偶引起正值的弯矩 顺时针转向的外力偶引起负值的弯矩
左顺右逆为正
求弯曲内力的法则
任一截面的剪力Q=∑[一侧横向力的代数和]
支座的简化
载荷的简化
对称弯曲
纵向对称面
外力作用在此 纵向对称面内
变形后的轴线仍 在纵向对称面内
简支梁：一端固定绞支座一端可动铰支座
RAx A RAy
m
A
P
B
y
RBy
求内力——截面法 RAx A
RAy
m
P
B
剪力 弯曲构件内力 弯矩 1、弯矩M 构件受弯时，横截面上其作用面垂 RAy 直于截面的内力偶矩. 2、 剪力QS 构件受弯时，横截面上其作用线平行 于截面的内力.

理论力学 第五章 平面图形的几何性质)

理论力学 第五章 平面图形的几何性质)
A2 1200mm2 , xc2 5mm, yc2 60mm
2)、求形心
C2
120
c(19.7;39.7)
zc
Ai xci A1xc1 A2 xc2
A
A1 A2
45 700 51200 19.7mm)
700 1200
C1
80
x yc
Ai yci A1 yc1 A2 yc2
A
2 x2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
4、惯性矩与极惯性矩的关系：
y
I p
2dA
A
( y2 x2 )dA
A
x
dA y
y2dA
A
x2dA
A
Ix Iy
o
x
图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于 此图形对该两轴交点的极惯性矩。
2. 矩形矩形截面和圆截面的惯性矩 （1） 矩形截面
y
dA对y轴的微静矩:
dSx ydA dS y xdA
x
dA
y
o
Sx
ydA
A
x
Sy
xdA
A
分别定义为图形对x和y轴的静矩，或称一次矩。 2、量纲：［长度］3；单位：m3、cm3、mm3。 3、静矩的值可以是正值、负值、或零。
y
x
dA
y
o
4、静矩和形心的关系
由静力学合力矩定理， 平面图形形心坐标公式：
A
A1 A2
C2
c(-20.3;34.7)
C1
x
80
351100 20.3(mm) 10110 8010
yc
Ai yci A1 yc1 A2 yc2

《材料力学》课程讲解课件附录I平面图形几何性质

《材料力学》课程讲解课件附录I平面图形几何性质

解：
y
d
S x
yd A
A
2 yb( y) d y
0
b(y)
C
xc
yc
d
2 y2
R2 y2 d y d3
0
12
x
d
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
b( y) 2 R2 y2
29
yc
Sx A
d3 12 πd 2 8
2d 3π
y
2、求对形心轴 xc 的惯性矩
Ix
πd 4 64 2
3、惯性积是对轴而言。
y
z
dA
4、惯性积的取值为正值、负值、零。
y
5、规律：
o
z
20
5、规律：
Izy
zydA
A
0
y
dA z z dA
y
y
z
o
两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴，则 图形这一对坐标轴的惯性积为零。
21
对比记忆 静矩、形心；惯矩和惯性半径；它们都是反映截
面面积关于坐标轴分布情况的物理量。 静矩=（面积）（形心坐标） 惯矩=（面积）（惯性半径）2
z
o
dA y
z
全面积对z轴的惯性矩: I z y2dA,
2 z2 y2
全面积对y轴的惯性矩: I y A z2dA
A
15
Iz y2dA, I y z2dA
A
A
y
z
dA
y
o
z
2、量纲：［长度］4；单位：m4、cm4、mm4。 2 z2 y2
3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。
A

极惯性矩常用计算公式[精华]

极惯性矩常用计算公式[精华]

极惯性矩常用计算公式[精华]极惯性矩常用计算公式:Ip=?Aρ^2dA矩形对于中线(垂直于h边的中轴线)的惯性矩:b*h^3/12三角形:b*h^3/36圆形对于圆心的惯性矩:π*d^4/64环形对于圆心的惯性矩:π*D^4*(1-α^4)/64;α=d/D?16-1 静矩和形心平面图形的几何性质一般与杆件横截面的几何形状和尺寸有关，下面介绍的几何性质表征量在杆件应力与变形的分析与计算中占有举足轻重的作用。

静矩:平面图形面积对某坐标轴的一次矩，如图?-1所示。

定义式:， (?-1)量纲为长度的三次方。

由于均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标和。

则由此可得薄板重心的坐标为同理有所以形心坐标， (?-2) 或，由式(?-2)得知，若某坐标轴通过形心，则图形对该轴的静矩等于零，即，;，则;反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。

静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。

如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。

设第i块分图形的面积为，形心坐标为，则其静矩和形心坐标分别为， (?-3)， (?-4)【例I-1】求图?-2所示半圆形的及形心位置。

【解】由对称性，，。

现取平行于轴的狭长条作为微面积所以读者自己也可用极坐标求解。

【例I-2】确定形心位置，如图?-3所示。

【解】将图形看作由两个矩形?和?组成，在图示坐标下每个矩形的面积及形心位置分别为矩形?:mm2mm，mm矩形?:mm2mm，mm 整个图形形心的坐标为?16-2 惯性矩和惯性半径惯性矩:平面图形对某坐标轴的二次矩，如图?-4所示。

， (?-5)量纲为长度的四次方，恒为正。

相应定义， (?-6)为图形对轴和对轴的惯性半径。

组合图形的惯性矩设为分图形的惯性矩，则总图形对同-轴惯性矩为， (?-7)若以表示微面积到坐标原点的距离,则定义图形对坐标原点的极惯性矩(?-8) 因为所以极惯性矩与(轴)惯性矩有关系(?-9) 式(?-9)表明，图形对任意两个互相垂直轴的(轴)惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

材料力学第4章

材料力学第4章

c.静矩的量纲为[长度]3
二、静矩与形心 的关系 若将图中截面图 形看作为均质等厚的 薄板，则它的重心即 为截面图形的形心。 则重心即截面形心C 的坐标为：
z
dA
c
z z
0
y y
y
y
A
ydA A
Sz A
当截面的形心位置已 知时静矩
Sz Ay
z
A
zdA A

Sy A
S y Az
S z Ai yi
i 1 n
n S Az y i 1 i i
将上式代入
Sz Ay
S y Az
可得组合截面形心坐标的计算公式
Sz y A
Ay
i 1 n
n
i i
A
i 1
i
z
Sy A

Az
i 1 n
n
i i
A
i 1
i
4.2 惯性矩、惯性积和惯性半径
一、惯性矩
A
2
yzdA I
A
yz
1 cos (1 cos 2 ) 2
2
1 sin (1 cos 2 ) 2
Iz I y 2 Iz I y 2
sin 2 2sin cos
得到：
Iz1 I y1 Iz I y 2 Iz I y 2 cos 2 I yz sin 2 cos 2 I yz sin 2
若截面图形有一根对称轴，则此轴即为形 心主轴之一，另一形心主轴为通过截面形心并与 对称轴垂直的轴。 截面没有对称轴时，主轴的位置通过计算 来确定。将 0 代入
I y1 z1
1 1

材料力学闭口薄壁截面剪应力和单位扭转角公式推导

材料力学闭口薄壁截面剪应力和单位扭转角公式推导

材料力学闭口薄壁截面剪应力和单位扭转角公式推导剪应力公式：τ=T 2A0δ单位扭转角公式：θ=T4GA02dss1、从薄壁杆中取微段dx,在微段上去单元体abcd,设截面a点处的切应力为τ1，壁厚为δ1；b点切应力为τ2，壁厚为δ2。

根据切应力互等定理，在纵向截面ad 和bc截面上的切应力分别为τ1和τ2，剪力分别为τ1δ1dx和τ2δ2dx，有平衡条件F x=0∶τ1δ1dx=τ2δ2dx得τ1δ1=τ2δ2由于a和b是横截面上任意点，这说明在横截面上的任意点，切应力与该点处壁厚的乘积为一常数，即τδ=C在图（c）面积微元δds上的微剪力为τδds,他对横截面内任意点O的矩为dT=τδds∙ρ，ρ为O点到面积微单元所在截面中心线切线的垂直距离。

沿截面中心线积分得T=τδds∙ρs =τδρdss式中ρds为图中三角形OAB面积的两倍，所以积分ρdss是截面中线所围面积A0的两倍，即T=τδ∙2A0于是可求得τ=T 2A0δ此即闭口薄壁截面杆扭转时，横截面上任意点的切应力公式。

2、由圆轴扭转可得，相对扭转角公式：θ=dφdx=γρ=τρG注意：这里的ρ是一个变量可得ρ=τ所以2A0=ρdss =τθGdss=T2A0δθGdss=12A0θGdsδs故θ=T4GA02dsδs。

建筑结构静力计算手册(可在线计算)

建筑结构静力计算手册（可在线计算）建筑结构静力计算手册(可在线计算)极致计算书//0>.建筑结构静力计算手册(二)对称及反对称均布荷载作用下任第一章:截面属性及常用数学函意截面的弯矩及扭矩数的计算第一节常用数学公式及常数的符号推导对称荷载反对称荷载一代数表达式的展开及分解(三)对称及反对称集中荷载作用下任意截面的弯矩及扭矩二三角函数的展开及分解对称荷载反对称荷载三双曲线函数的展开及分解(四)连续水平圆弧梁在均布荷载作用下四微分计算的弯矩、剪力及扭矩五积分计算二、简支吊车梁的内力计算六函数展开式(一)内力计算七矩阵计算最大弯矩和最单台吊车两台吊车第二节截面的力学特性计算不利截面位置最大剪力单台吊车两台吊车各种截面的力学特性计算T形截面的形心及惯性矩系数计算 (二)最大弯矩及最大剪力计算第三节立体体积计算三、下撑式组合梁的内力计算图1 图2 图3 第四节受弯构件变形计算第五节开口薄壁杆件约束扭转时的内力计算图形相乘法计算一、符号说明虚梁反力计算二、截面的抗扭特性计算第五节杆件分段比值函数计算三、单跨薄壁梁受约束扭转时的内力计算第六节常用常数值和常用单位与法定四、截面的扇性几何特性计算计量单位之间的换算第三章:连续梁计算第二章:单跨梁计算第一节等截面连续梁的计算第一节相关符号说明等跨梁在常用荷载作用下的内力及挠度计算第二节单跨梁的内力及变位计算1、两跨梁2、三跨梁3、四跨梁悬臂梁简支梁4、五跨梁5、无限跨梁一端简支另一端固定梁不等跨梁在均布荷载作用下的内力计算两端固定梁带悬臂的梁1、两跨梁2、三跨梁3、半无限跨梁第三节单跨梁的内力计算一、简支梁的弯矩及剪力计算等跨等截面连续梁支座弯矩计算二、梁的固端弯矩计算不等跨等截面连续梁支座弯矩计算(-)均布荷载作用下的固端弯矩计算第二节梁跨内弯矩与挠度的计算(二)集中及梯形荷载下的固端弯矩计算 1、梁跨内最大弯矩计算1) 集中荷载作用下的固端弯矩计算2、梁跨内最大弯矩处横坐标X0的计算 2) 梯形荷载作用下的固端弯矩计算3、梁在均布荷载作用下的跨内最大弯 (三)三角形荷载作用下的固端弯矩计算矩计算 (四)外加力矩作用下的固端弯矩计算4、梁在均布荷载作用下的跨内最大挠度值计算第四节其他形式的单跨粱计算5、梁在均布荷载作用下的跨内最大挠一、圆弧梁的内力计算度对应的X0值的计算 (一)符号说明第1页共2页。

第三章 截面的几何性质


[例3-4] 计算图示箱式截面对水平形心轴z的惯性矩Iz。 500
C
·
z
(mm)
50
50
500
yC
y C外 400
z’
解：选参考系 yz 确定形心位置：
· C ·1 C ·
z
yC
y C内 425
C2
500 800 400 400 550 425 500 800 400 550 369.44 mm
I yc、I zc、I yczc
tan 2 0
2
2 I yczc I yc I zc
I yc I zc I yc 0 I yc I zc 2 I yczc I zc0 2 2
[例3-5] 在矩形内挖去一与上边内切的圆，求图形的 形心主轴。(b=1.5d)
I y0 I y I z I y Iz 主惯性矩： 2 2 I z0 I2 yz
2
I y0z0
I y Iz 2
sin 2 0 I yz cos 2 0 0
tan 2 0
2 I yz I y Iz
i 1
n
i 1
Ai
zc
Sy A

i 1 n
Ai z i
i 1
n
Ai
[例3-1]
试确定左图的形心。
zc
C2
C yc , zc
C1
y
A1 z1 A2 z2 A1 A2 10 80 5 10 110 65 39.74 mm 10 80 10 110 A1 y1 A2 y2 yc A1 A2 10 80 40 10 110 5 19.74 mm 10 80 10 110

闭口薄壁杆件


于是单元体abcd的ab边相对于cd也发生了微小的相对错 动，引起单元体abcd的剪切变形。 如图所示：ab边对cd 边相对错动的距离是：
aa' Rd
m
n

d c
m
a e R a e b d b

e
e

d
dx
n

直角abc的角度改变量：
aa ' d R ad dx
1
MC
2
T2
x
B
1
C
2
M
x
0 M B MC T2 0 T2 M B MC＝477.5 2 955N m
3 T3 3
MD
x
D
M
x
0 M D T3 0 T3 M D＝ 637N m
横截面3-3处的扭矩T3也可以利用3—3截面左边的受力平 衡来解决。
max 不超过材料的许用剪切应力
故强度条件为：
。 （4-10）
max
讨论： max 的确定 对于等截面直杆， max 发生在Tnmax 处（扭转最大的截面 处），即：
max
Tn max Wn
（4-11）
对于阶梯形轴，因为Wn不是常量， max 不一定发生在Tnmax 所在的截面。这就要求综合考虑扭矩Tn和抗扭截面模量Wn两 者的变化情况来确定。
§4-6 非圆截面杆扭转的概念 §4-7 薄壁杆件的自由扭转
§4-1 扭转的概念
一、引例
F
F
二、概念
M
作用于杆件上的外力，为两个大小相等、方向相反、且作 用平面垂直于杆件轴线的力偶时，杆件中任意两个横截面即会 发生绕杆件轴线相对转动，这种形式的变形就称为扭转变形。

理论力学 第五章 平面图形的几何性质

10
y
2)、求形心
xc
Ax
A
i ci
A1 xc1 A2 xc 2 A1 A2
C2

c(-20.3;34.7)
C1 80
35 1100 20.3(mm) 10 110 80 10
i ci
x
yc
A y
A
A1 y c1 A2 y c 2 A1 A2
60 1100 34.7(mm) 10 110 80 10
§5-3
极惯性矩
y
dA
定义：I p dA
2 A
I p：极惯性矩
极惯性矩恒为正 单位：长度4

x
O
圆截面
d
2
I p A dA
1、实心圆截面——

O
d
I P dA 2 d
2 2 A A
d 2 0
1 4 2 d d 32
y 10
A2 1200mm2 , xc 2 5mm, yc 2 60mm
2)、求形心
C2
120
c(19.7;39.7)
C1
A1 xc1 A2 xc 2 zc A A1 A2 45 700 5 1200 19.7mm) 700 1200
i ci
Ax
80
2 2 A A 2 A c 2 2 A A
y
I x I xc a 2 A I y I yc b A
2
yc xc
x
b
c
a
y
dA yc
xc
——平行移轴公式
o
x
•图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平 行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距 平方的乘积；
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薄壁杆件力学主扇形静矩
薄壁杆件力学是固体力学的一个分支，专门研究薄壁结构（如桥梁、建筑框架、航空航天器等）的力学行为。

在薄壁杆件的分析中，主扇形静矩是一个重要的概念，它对于理解杆件的受力特性和进行稳定性分析具有重要意义。

主扇形静矩，又称为扇形惯性矩或扇形面积矩，是描述截面形状对某一点转动惯性的量度。

在薄壁杆件中，由于截面形状通常较为复杂，不能简单地用常规的惯性矩来描述其受力特性。

因此，引入主扇形静矩来更准确地描述杆件截面在不同方向上的转动惯性。

主扇形静矩的计算通常涉及到复杂的积分运算，需要根据杆件截面的具体形状和尺寸来确定。

在计算过程中，需要选择合适的坐标系和积分路径，以确保计算结果的准确性。

在薄壁杆件的分析中，主扇形静矩的应用主要体现在以下几个方面：
稳定性分析：通过计算杆件截面的主扇形静矩，可以评估杆件在不同方向上的稳定性。

这对于预测杆件在受力过程中的变形和失稳行为具有重要意义。

应力分析：主扇形静矩还可以用于计算杆件截面上的应力分布。

通过对比不同方向上的主扇形静矩，可以了解杆件在不同受力状态下的应力特点，从而为杆件的设计和优化提供依据。

优化设计：在薄壁杆件的设计过程中，通过调整杆件截面的形状和尺寸，可以优化其主扇形静矩的分布。

这有助于提高杆件的承载能力和稳定性，同时降低材料消耗和制造成本。

总之，主扇形静矩是薄壁杆件力学中一个重要的概念，它对于理解杆件的受力特性和进行稳定性分析具有重要意义。

在未来的研究中，可以进一步探讨主扇形静矩在复杂薄壁结构分析中的应用，以及如何通过优化杆件截面形状来提高其力学性能。