广东省陆丰市龙山中学10-11学年高二下学期5月月考(数学文)
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龙山中学2012届5月月考试题高二文科数学命题人：林文榜第一部分 选择题(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数12z i =-，则11z z +=-（ ）A ．1i + B.1i - C.1i -+ D. 1i --2.△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平方ACB ∠．若CB =a ，CA =b ，1a =，2b =，则CD =（ ）（A ）1233a b + （B ）2133a b + （C ）3455a b + （D ）4355a b + 3.已知数列{}n a 是等差数列，且1352a a a π++=，则3cos a =（ ）C ．12 D.12-4．抛物线28y x =的焦点到双曲线221124x y -=的渐近线的距离为( )A ．1BCD5. 如右图，是一程序框图，则输出结果为( )A ．49B ．511C ．712D ．6136、若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为（ ）A. 300B. 600C. 1200D. 15007．在四边形ABCD 中，AB DC =，且AC BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A.矩形B. 菱形C. 直角梯形D. 等腰梯形8.给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49. 如果函数3cos(2)y x φ=+的图像关于点4(,0)3π中心对称，那么φ的最小值为A.6πB.4πC. 3πD. 2π10如果我们定义一种运算：()()g g h g h h g h ⎧⊗=⎨<⎩≥，已知()21xf x =⊗，那么函数(1)f x -的大致图象是（ ）A ．B ．C ． D第二部分 非选择题(共100 分)二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11. 已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为________.12.设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）。
则该几何体的体积为 3m13、已知(1,2),(2,)a b λ=-=，且a 与b 的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是_________。
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点(2,)2π为圆心，2为半径的圆的直角坐标方程是15.（几何证明选讲选做题）过点D 做圆的切线切于B 点，作割线交圆于,A C 两点，其中3BD =, 4AD =,2AB =，则BC = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）.已知函数. ()f x =（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）若()2f x =，求sin 2x 的值.17．（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干组成研究小（II ）若从高校B ，C 抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C 的概率。
18.（本小题满分14分）如图所示，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，AC 与BD 相交与点O.90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE .(Ⅰ)求证：//AC平面BEF；（Ⅱ）求四面体BDEF的体积.（3）在面ADEF中找一点P，使OP与面ABF，面BEF都平行.19. (本小题满分14分)已知向量(cos,sin),(cos ,3)m x x n x xωωωω==，设函数()f x m n=⋅（I）若()f x的最小正周期为2,()f xπ求的单调递增区间；（II）若()f x的图象的一条对称轴是(02)6xπω=<<，求()f x的周期和值域。
20. (本小题满分14分)椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E交于A，B，两点，|AF|+|BF|=4，sinsin sinAFBABF BAF∠∠+∠的最小值为0.5。
（I）求椭圆E的方程；（II）若直线:l y kx m=+与椭圆E交于M，N两点（其中560m k+≠），以线段MN为直径的圆过E的右顶点，求证：直线l过定点。
21．（本小题满分14分）已知数列{}na满足()111,21n na a a n N*+==+∈（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；（Ⅱ）若数列{}nb满足nnbnbbbb a)1(44441111321+=----，证明：{}nb是等差数列；（Ⅲ）证明：() 23111123nn N a a a*++++<∈龙山中学2012届5月考（文数）答案一、选择题1. A2. B3.D4.A5.B6. C7.B8.B9.A 10.C二、填空题11．12 12. 4 13. (,4)(4,1)-∞-⋃- 14. 22(2)4x y+-= 15.3216.解：解：（Ⅰ）由题意，sin0x≠，……………2分所以，()x k k≠π∈Z. ……………3分函数()f x的定义域为{,}x x k k≠π∈Z. ……………4分（Ⅱ）因为()2f x=1)2sin43x xπ+-=，……………5分1)2sin3x x x+-=，……………7分1cos sin3x x-=，……………9分将上式平方，得11sin29x-=，……………11分所以8sin29x=. ……………12分17．………4分…12分18(Ⅰ)证明：设ACBD O =，取BE 中点G ，连结OG FG ,，所以，OG //=12DE……………2分因为DE AF //，AF DE 2=，所以AF //=OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，AO FG //. ………………4分 因为FG ⊂平面BEF ,AO ⊄平面BEF ,所以//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF ……………………7分 （Ⅱ）解：因为平面ABCD ⊥平面ADEF ，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面ADEF . …………………10分 因为DE AF //,90ADE ∠=,22===AF DA DE ，所以DEF ∆的面积为122ED AD ⨯⨯=， ………………12分 所以四面体BDEF 的体积=⨯=∆AB S DEF 3143. ………………14分 19．解:x x x x x x f ωωωωω2sin 23)2cos 1(21cos sin 3cos )(2++=+=)62sin(21πω++=x ..……4分(Ⅰ)2112,0,,()sin()2226T f x x πππωωω==>∴==++，由)(22622Z k k x k ∈+<+<-πππππ得得223k ππ-<x<23k ππ+所以f (x )的单调递增区间为))(32,322(Z k k k ∈+-ππππ.……8分(Ⅱ)因为f (x )的图象的一条对称轴是x =，∴sin()136ωππ+=±得,()362k k Z ωππππ+=+∈，从而31()k k Z ω=+∈∴21)632sin(=+πωπ，又0<ω<2，∴21,2T πωπω===.)62sin(21)(π++=x x f .∴f (x )的值域为]23,21[-.……14分20. 解(1)由椭圆的对称性，设A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，F (c ，0)，因为|AF|+|BF|=42)()()(21212121==-+--++-a y c x y c x ， 即a =2，在三角形AFB 中，由正弦定理得224||||||||sin sin sin 221222121ax c b y x AB BF AF AB BAF ABF AFB +=+==+=∠+∠∠因为0≤21x≤a 2，所以BAF ABFAFB∠+∠∠sin sin sin ≥212=b ，∴b =1. ………………5分 所求椭圆方程为1422=+y x ;………7分(Ⅱ) 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x mkx y 得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2－4=0.由题意得△>0，即m 2－1－4k 2<0.(※)设交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+22212214144418k m x x k km x x ……………………10分 因为以MN 为直径的圆过(2，0)，所以(x 1－2)(x 2－2)+y 1y 2=0， 即(x 1－2)(x 2－2) +(kx 1+m )(kx 2+m )=0，整理得5m 2+16km +12k 2=0，(m+2k)(5m+6k)=0，注意到560m k +≠故解得m =－2k .经检验，满足(※)式.m =－2k 时，直线方程为y=k (x －2)，恒过定点(2，0) ………14分21.解：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩。
解：（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。
nn a 21=+∴，12-=n n a ………………………………………………4分（2）nn b n b b b b a )1(44441111321+=---- ，n n nb n b b b 24)(21=∴-+++nn nb n b b b =-+++2)(221 ①1121)1()1(2)(2+++=+-++++n n n b n n b b b b ②②—①得nn n nb b n b -+=-++11)1(22，即1)1(2+-=-n n b n nb ③212)1(++=-+∴n n nb b n ④④—③得112-++=n n n nb nb nb ，即112-++=n n n b b b所以数列}{n b 是等差数列………………………………………………10分（3）1111212211211-++=-<-=n n n n a a设132111++++=n a a a S ，则)111(211322n a a a a S ++++< )1(21112+-+=n a S a3213212112<-=-<++n n a a a S ………………………………………………14分。
