高二数学5月月考试题 理(必修一到选修4) 新人教A版

综合测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是( )A ．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B ．语句“当a >1时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”不是命题C ．命题“矩形的对角线互相垂直且平分”是真命题D ．命题“当a >4时，方程x 2－4x ＋a ＝0有实根”是假命题 答案 D2．如果命题“綈p 且綈q ”是真命题，那么下列结论中正确的是( )A ．“p 或q ”是真命题B ．“p 且q ”是真命题C ．“綈p ”为真命题D ．以上都有可能解析 若“綈p 且綈q ”是真命题，则綈p ，綈q 均为真命题，即命题p 、命题q 都是假命题，故选C.答案 C3．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，则双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±4xD ．y ＝±14x解析 由椭圆的离心率e ＝c a ＝32，可知c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴b a ＝12，故双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，选A.答案 A4．若θ是任意实数，则方程x 2＋y 2sin θ＝4表示的曲线不可能是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆解析 当sin θ＝1时，曲线表示圆． 当sin θ<0时，曲线表示的双曲线． 当sin θ>0时，曲线表示椭圆． 答案 C5．曲线y ＝x 3＋1在点(－1,0)处的切线方程为( ) A ．3x ＋y ＋3＝0 B ．3x －y ＋3＝0 C ．3x －y ＝0D ．3x －y －3＝0解析 y ′＝3x 2，∴y ′| x ＝－1＝3，故切线方程为y ＝3(x ＋1)，即3x －y ＋3＝0. 答案 B6．下列命题中，正确的是( )A ．θ＝π4是f (x )＝sin(x －2θ)的图像关于y 轴对称的充分不必要条件B ．|a |－|b |＝|a －b |的充要条件是a 与b 的方向相同C ．b ＝ac 是a ，b ，c 三数成等比数列的充分不必要条件D ．m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件答案 A7．函数f (x )＝x 2＋a ln x 在x ＝1处取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， 又f ′(x )＝2x ＋ax ，∴由题可知，f ′(1)＝2＋a ＝0，∴a ＝－2. 当a ＝－2时，f ′(x )＝2x －2x ＝2(x －1)(x ＋1)x ， 当0<x <1时，f ′(x )<0. 当x >1时，f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取得极值． 故选B. 答案 B8．设P 是椭圆x 29＋y 24＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则cos ∠F 1PF 2的最小值是( )A ．－19B ．－1 C.19D.12解析 由椭圆方程a ＝3，b ＝2，c ＝5， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 1|22|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|F 1F 2|2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝(2a )2－(2c )2－2|PF 1||PF 2|2|PF 1|·|PF 2| ＝162|PF 1|·|PF 2|－1.∵|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝9， ∴cos ∠F 1PF 2≥162×9－1＝－19，故选A.答案 A9．给出下列三个命题： ①若a ≥b >－1，则a 1＋a ≥b1＋b；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则m (n －m )≤n2；③设P (x 1，y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝2时，圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析 考查不等式的性质及其证明，两圆的位置关系．显然命题①正确，命题②用“分析法”便可证明其正确性．命题③：若两圆相切，则两圆心间的距离等于4或2，二者均不符合，故为假命题．故选B.答案 B10．如图所示是y＝f(x)的导数图像，则正确的判断是()①f(x)在(－3,1)上是增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)在(2,4)上是减函数，在(－1,2)上是增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④解析从图像可知，当x∈(－3，－1)，(2,4)时，f(x)为减函数，当x∈(－1,2)，(4，＋∞)时，f(x)为增函数，∴x＝－1是f(x)的极小值点，x＝2是f(x)的极大值点，故选B.答案 B11．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是直线l：x＝a2c(c2＝a2＋b2)上一点，且PF1⊥PF2，|PF1|·|PF2|＝4ab，则双曲线的离心率是()A. 2B. 3C. 2D. 3解析 设直线l 与x 轴交于点A ，在Rt △PF 1F 2中，有|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|·|P A |，则|P A |＝2ab c ，又|P A |2＝|F 1A |·|F 2A |，则4a 2b 2c 2＝(c －a2c )·(c ＋a 2c )＝c 4－a 4c 2，即4a 2b 2＝b 2(c 2＋a 2)，即3a 2＝c 2，从而e ＝c a ＝ 3.选B.答案 B12．设p ：f (x )＝x 3＋2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q ：m ≥8xx 2＋4对任意x >0恒成立，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增，则f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即3x 2＋4x ＋m ≥0对任意x ∈R 恒成立，故Δ≤0，即m ≥43；m ≥8x x 2＋4对任意x >0恒成立，即m ≥(8x x 2＋4)max ，因为8x x 2＋4＝8x ＋4x ≤2，当且仅当x ＝2时，“＝”成立，故m ≥2.易知p 是q 的必要不充分条件．答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．以x 24－y 212＝－1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为________．解析 ∵双曲线y 212－x 24＝1的焦点坐标为(0，±4)，顶点坐标为(0，±23)，∴椭圆的顶点坐标为(0，±4)，焦点坐标为(0，±23)，在椭圆中a ＝4，c ＝23，b 2＝4.∴椭圆的方程为x 24＋y 216＝1. 答案 x 24＋y 216＝114．给出下列三个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数；②奇函数的图像一定过原点；③函数y ＝sin2x ＋cos2x 的最小正周期为π，其中假．命题的序号是________． 解析 ①不正确，如x ＝π4时tan x ＝1，当x ＝9π4时tan x ＝1，而9π4>π4，所以tan x 不是增函数；②不正确，如函数y ＝1x 是奇函数，但图像不过原点；③正确．答案 ①②15．若要做一个容积为324的方底(底为正方形)无盖的水箱，则它的高为________时，材料最省．解析 把材料最省问题转化为水箱各面的面积之和最小问题，然后列出所用材料和面积关于边长a 的函数关系式．设水箱的高度为h ，底面边长为a ，那么V ＝a 2h ＝324，则h ＝324a 2，水箱所用材料的面积是S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋1296a ，令S ′＝2a －1296a 2＝0，得a 3＝648，a ＝633，∴h ＝324a 2＝324(633)2＝333，经检验当水箱的高为333时，材料最省． 答案 33316．设m ∈R ，若函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，则m 的取值范围是________．解析 因为函数y ＝e x ＋2mx (x ∈R)有大于零的极值点，所以y ′＝e x ＋2m ＝0有大于0的实根．令y 1＝e x ，y 2＝－2m ，则两曲线的交点必在第一象限．由图像可得－2m >1，即m <－12.答案 m <－12三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a ，b ，c 的值．解 本题涉及了3个未知量，由题意可列出三个方程即可求解． ∵y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)， ∴a ＋b ＋c ＝1.①又∵在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切， ∴4a ＋2b ＋c ＝－1. ②∴y ′＝2ax ＋b ，且k ＝1. ∴k ＝y ′| x ＝2＝4a ＋b ＝1，③联立方程①②③得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－11，c ＝9.18．(12分)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，直线l ：y ＝－x ＋22与以原点为圆心、以椭圆C 1的短半轴长为半径的圆相切．求椭圆C 1的方程．解 ∵e ＝63，∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝23，∴a 2＝3b 2.∵直线l ：y ＝－x ＋22与圆x 2＋y 2＝b 2相切， ∴222＝b ，∴b ＝2.∴b 2＝4，a 2＝12. ∴椭圆C 1的方程是x 212＋y 24＝1.19．(12分)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax (a >0)，设F (x )＝f (x )＋g (x )． (1)求函数F (x )的单调区间；(2)若以函数y ＝F (x )(x ∈(0,3])图像上任意一点P (x 0，y 0)为切点的切线的斜率k ≤12恒成立，求实数a 的最小值．解 (1)F (x )＝f (x )＋g (x )＝ln x ＋a x (x >0)，则F ′(x )＝1x －a x 2＝x －ax 2(x >0)，∵a >0，由F ′(x )>0，得x ∈(a ，＋∞)， ∴F (x )在(a ，＋∞)上单调递增； 由F ′(x )<0，得x ∈(0，a )， ∴F (x )在(0，a )上单调递减．∴F (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)由(1)知F ′(x )＝x －a x 2(0<x ≤3)，则k ＝F ′(x 0)＝x 0－a x 20≤12(0<x 0≤3)恒成立，即a ≥(－12x 20＋x 0)max ，当x 0＝1时，－12x 20＋x 0取得最大值12， ∴a ≥12，∴a min ＝12.20．(12分)已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交轨迹于两点P ，Q ，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．解 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线． ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2的方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)，与抛物线方程联立消去y 得x 2－4kx －4＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.又易得点R 的坐标为(－2k ，－1)．∴RP →·RQ →＝(x 1＋2k ，y 1＋1)·(x 2＋2k ，y 2＋1)＝(x 1＋2k )(x 2＋2k )＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝(1＋k 2)x 1x 2＋(2k ＋2k )(x 1＋x 2)＋4k 2＋4 ＝－4(1＋k 2)＋4k (2k ＋2k )＋4k 2＋4 ＝4(k 2＋1k 2)＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，∴RP →·RQ →≥4×2＋8＝16，即RP →·RQ →的最小值为16.21．(12分)已知函数f (x )＝x 2－8ln x ，g (x )＝－x 2＋14x .(1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，求a 的取值范围；(3)若方程f (x )＝g (x )＋m 有唯一解，试求实数m 的值．解 (1)因为f ′(x )＝2x －8x ，所以切线的斜率k ＝f ′(1)＝－6，又f (1)＝1，故所求的切线方程为y －1＝－6(x －1)，即y ＝－6x ＋7.(2)因为f ′(x )＝2(x ＋2)(x －2)x， 又x >0，所以当x >2时，f ′(x )>0；当0<x <2时，f ′(x )<0.即f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减．又g (x )＝－(x －7)2＋49，所以g (x )在(－∞，7)上单调递增，在(7，＋∞)上单调递减，欲使函数f (x )与g (x )在区间(a ，a ＋1)上均为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2，a ＋1≤7，解得2≤a ≤6.故a 的取值范围是[2,6] (3)原方程等价于2x 2－8ln x －14x ＝m ，令h (x )＝2x 2－8ln x －14x ，则原方程即为h (x )＝m .因为当x >0时原方程有唯一解，所以函数y ＝h (x )与y ＝m 的图像在y 轴右侧有唯一的交点．又h ′(x )＝4x －8x －14＝2(x －4)(2x ＋1)x，且x >0， 所以当x >4时，h ′(x )>0；当0<x <4时，h ′(x )<0.即h (x )在(4，＋∞)上单调递增，在(0,4)上单调递减，故h (x )在x ＝4处取得最小值，从而当x >0时原方程有唯一解的充要条件是m ＝h (4)＝－16ln2－24.22．(12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点M (4,1)，直线l ：y ＝x ＋m 交椭圆于A ，B 两点．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l 不过点M ，试问直线MA ，MB 与x 轴能否围成等腰三角形？解 (1)根据题意，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为e ＝32，a 2－b 2＝c 2，所以a 2＝4b 2.又椭圆过点M (4,1)，所以16a 2＋1b 2＝1，则可得b 2＝5，a 2＝20，故椭圆的方程为x 220＋y 25＝1.(2)将y ＝x ＋m 代入x 220＋y 25＝1并整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－20＝0，Δ＝(8m )2－20(4m 2－20)>0，得－5<m <5.设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8m 5，x 1x 2＝4m 2－205.k1＋k2＝y1－1x1－4＋y2－1 x2－4＝(y1－1)(x2－4)＋(y2－1)(x1－4)(x1－4)(x2－4).上式分子＝(x1＋m－1)(x2－4)＋(x2＋m－1)·(x1－4) ＝2x1x2＋(m－5)(x1＋x2)－8(m－1)＝2(4m2－20)5－8m(m－5)5－8(m－1)＝0，即k1＋k2＝0.所以直线MA，MB与x轴能围成等腰三角形．。

高中数学学习材料唐玲出品高二数学月考试题学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（共60分）1.（5分）给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b,c=d,则a+c=b+d”，对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题的个数是( )A.0B.2C.3D.42.（5分）“tanα=1”是“α=”的…( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.（5分）x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（5分）已知全集S=R,A S,B S,若命题p:∈（A∪B）,则命题“p”是…（）A. AB.∈BC.A∩BD.∈（A）∩（B）5.（5分）命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是（）A.原函数与反函数的图象关于y=-x对称B.原函数不与反函数的图象关于y=x对称C.存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称D.存在原函数与反函数的图象关于y=x对称6.（5分）方程x2+xy=x的曲线是( )A.一个点B.一条直线C.两条直线D.一个点和一条直线7.（5分）已知点O(0,0),A(1,-2),动点P满足|PA|=3|PＯ|,则P点的轨迹方程是( )A.8x2+8y2+2x-4y-5=0B.8x2+8y2-2x-4y-5=0C.8x2+8y2+2x+4y-5=0D.8x2+8y2-2x+4y-5=08.（5分）方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是( )A.-16<m<25B.C.D.9.（5分）已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆有相同的焦点,并且经过点(3,-2),则此椭圆的方程为( )A.B.C.D.10.（5分）已知点（m，n）在椭圆8x2＋3y2＝24上，则2m＋4的取值范围是（）．A. B.C. D.11.（5分）设F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.直角三角形12.（5分）(文科做)过椭圆＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )A. B. C.D.(理科做)设a＞1，则双曲线的离心率e的取值范围是（）．A. B. C.（2，5） D.评卷人得分二、填空题（共20分）13.（5分）命题“xR，x0≤1或”的否定为____________________________．14.（5分）已知命题p：x2－x≥6，q：x Z，“p且q”与“非q”同时为假命题，则x的取值为________．15.（5分）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________．16.（5分）已知椭圆+ =1上一点P与椭圆两焦点F1、F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|=____________.评卷人得分三、解答题（共70分）17.（10分）已知p、q都是r的必要条件，s 是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：（1）s是q的什么条件？（2）r是q的什么条件？（3）p是q的什么条件？18.（12分）在直角坐标系中,求点(2x+3-x2,)在第四象限的充要条件.19.（12分）椭圆过(3,0)点,离心率e=,求椭圆的标准方程.20.（12分）椭圆ax2+by2=1与直线x+y-1=0相交于A、B,C是AB的中点,若|AB|=2,OC 的斜率为,求椭圆的方程.21.（12分）如图，已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点B1、B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为，求这个椭圆的方程.22. (文科做)（12分）椭圆（a，b＞0）的两个焦点为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥F1F2，，．求椭圆C的方程．(理科做)已知直线y=ａx+1与双曲线３x2-y2=1交于A、B两点,(1)若以AB为直径的圆过坐标原点,求实数a的值;(2)是否存在这样的实数a,使A、B两点关于直线对称?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.高二数学参考答案一、选择题1.答案：B解析：原命题为真,逆否命题为真,逆命题,否命题为假.“a=b,c=d”的否定为“a≠b或c≠d”.2.答案：B解析：若“tanα=1”，则α=kπ+，α不一定等于;而若“α=”,则tanα=1，∴“tanα=1”是“α＝”的必要而不充分条件，选B.3.答案：B解析：若x2+(y-2)2=0x=0且y-2=0x(y-2)=0,但当x(y-2)=0时x2+(y-2)2=0,如x=0,y=3.4.答案：D解析：因为p:2∈(A∪B),所以p:2(A∪B)，即2A且2 B.所以2∈SA且2∈ B.故2∈(A)∩(B).5.答案：C解析：原函数与反函数的图象关于y=x对称的否定是存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称.6.答案：C解析：由x2+xy=x,得x(x+y-1)=0.∴x=0或x+y-1=0，它们表示两条直线.7.答案：A解析：设P点的坐标为(x,y),则,整理,得8x2+8y2+2x-4y-5=0.8.答案：B解析：∵方程表示焦点在y轴上的椭圆,∴∴.9.答案：C解析：由题设,知椭圆的方程为(a＞b＞0),则故所求的椭圆方程为10.答案：A解析：方程可化为，故椭圆焦点在y轴上，又，，所以，故.11.答案：D解析：由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=8.由题可得|PF1|-|PF2|=2，则|PF1|=5，|PF2|=3.又|F1F2|=2c=4，∴△PF1F2为直角三角形.12.答案：B解析：由P，再由∠F1PF2＝60°，有＝2a，从而可得e＝，故选B．答案：B解析：.∵a＞1，∴，∴，∴，故选B．二、填空题13.答案：x R，x＞1且x2≤414.答案：－1，0，1，2解析：∵“非q”为假命题，则q为真命题；又“p且q”为假命题，则p为假命题，∴x2－x＜6，即x2－x－6＜0且．解得－2＜x＜3且，∴x＝－1，0，1，2．15.答案：．解析：由条件知4b＝2a＋2C．∴2b＝a＋c，4b2＝a2＋c2＋2ac，4（a2－c2）＝a2＋c2＋2ac，即5c2＋2ac－3a2＝0，解得．16.答案：48解析：两焦点的坐标分别为F1（-5，0）、F2（5，0），由PF1⊥PF2,得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100.而|PF1|+|PF2|=14，∴（|PF1|+|PF2|）2=196，100+2|PF1|·|PF2|=196，|PF1|·|PF2|=48.三、解答题17.答案：解：（1）由图知：∵q s.s r q.∴s是q的充要条件.(2)∵p q,q s r,∴p是q的充要条件.（3）∵q s r p,∴p是q的必要不充分条件.解析：将已知r、p、q、s的关系作一个“”图（如图）.18.答案：解：该点在第四象限或2＜x＜3.所以该点在第四象限的充要条件是或2＜x＜3.解析：第四象限点的横、纵坐标都小于零.19.答案：解:当椭圆的焦点在x轴上时，∵a=3,,∴c=.从而b2=a2-c2=9-6=3,∴椭圆的方程为当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=3,,∴.∴a2=27.∴椭圆的方程为.∴所求椭圆的方程为20.答案：解法一:设A(x1,y1)、B(x2,y2),代入椭圆方程并作差得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y)=0.2而,=k=,OC代入上式可得b=a.再由|AB|=|x2-x1|=2,其中x1、x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0的两根,故()2-4·=4,将b=a代入得a=,∴b=.∴所求椭圆的方程是x2+y2=3.解法二:由得(a+b)x2-2bx+b-1=0.设A(x1,y1)、B(x2,y2),则∵|AB|=2,∴.①设C(x,y),则x==,y=1-x=,∵OC的斜率为,∴=.代入①,得a=,b=.∴椭圆方程为.解析：点评:解法一利用了设点代入、作差,借助斜率的解题方法,称作“差点法”,解法二是圆锥曲线弦长的基本求法,是利用两点间的距离公式求得.21.答案：如题图，由椭圆中心在原点，焦点在x轴上知，椭圆方程的形式是(a＞b ＞0)，再根据题目条件列出关于a、b的方程组，求出a、b的值.解：设椭圆方程为(a＞b＞0).由椭圆的对称性知，|B1F|=|B2F|，又B1F⊥B2F，因此△B1FB2为等腰直角三角形.于是|OB2|=|OF|，即b=c.又|FA|=,即a-c=，且a2=b2+c2.将以上三式联立，得方程组解得所求椭圆方程是.解析：点评：要熟练掌握将椭圆中的某些线段长用a、b、c表示出来，例如焦点与各顶点所连线段的长等.这将有利于提高解题能力.22. 答案：(文科)解：因为点P在椭圆C上，所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3．在Rt△PF1F2中，，故椭圆的半焦距，从而b2＝a2－c2＝4，所以椭圆C的方程为．(理科)答案：解:(1)由消去y,得(3-a2)x2-2ax-2=0.①依题意即且. ②设A(x1,y1),B(x2,y2),则∵以AB为直径的圆过原点,∴OA⊥OB.∴x1x2+y1y2=0.但y1y2=a2x1x2+a(x1+x2)+1,由③④,,.∴.解得a=±1且满足②.(2)假设存在实数a,使A、B关于对称,则直线y=ax+1与垂直,∴a,即a=-2.直线l的方程为y=-2x+1.将a=-2代入③得x1+x2=４.∴AB中点横坐标为2,纵坐标为y=-2×2+1=-3.但AB中点(2,-3)不在直线上,即不存在实数a,使A、B关于直线对称.。

人教版A 版第一章高二数学选择性必修第一册第一章空间向量与立体几何章末测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）在正四面体P ABC -中，棱长为2，且E 是棱AB 中点，则PE BC ⋅的值为()A ．1-B ．1C D ．73【答案】A 【解析】如图所示由正四面体的性质可得：PA BC ⊥可得：0PA BC ⋅=E 是棱AB 中点()12PE PA PB \=+u u u r u u u r u u u r ()111122cos12012222PE BC PA PB BCPA BC PB BC \+-o u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选：A【点睛】本题考查空间向量的线性运算，考查立体几何中的垂直关系，考查转化与化归思想，属于中等题型.2．（2020·宜昌高二期末）已知PA =（2，1，﹣3），PB =（﹣1，2，3），PC =（7，6，λ），若P ，A ，B ，C 四点共面，则λ＝（）A ．9B ．﹣9C ．﹣3D ．3【答案】B【解析】由P ，A ，B ，C 四点共面，可得,,PA PB PC 共面，(2,2,33)(7,6,)xPA yPB x y x y C y P x λ∴=+=-+-+=，272633x y x y x y λ-=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩，解得419x y λ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩.故选:B.3．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（）A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{}a b c ，，中基向量与基底{}e f g ，，基向量对应相等【答案】C【解析】A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底,所以A 错.B 项，空间基底有无数个,所以B 错.D 项中因为基底不唯一，所以D 错.故选C .4．（2020·全国高二课时练习）若直线l 的方向向量为(1,2,3)a =-,平面α的法向量为(3,6,9)n =--,则()A ．l α⊂B ．//l αC ．l α⊥D ．l 与α相交【答案】C【解析】∵直线l 的方向向量为()1,2,3a =-，平面α的法向量为()3,6,9n =--，∴13a n =-，∴a n ，∴l α⊥．故选C ．5．（2020·河北新华.石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为()A ．16B ．14C ．16-D ．14-【答案】A【解析】如图，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()()()()1100,012,121,002M N O D ，，，，，，，，，∴()()11,1,2,1,2,1MN OD =-=--．则1111cos ,6MN OD MN OD MN OD ⋅===．∴异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为16,故选A．6．（2020·吉化第一高级中学校）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（）A ．23B．3C ．23D ．13【答案】A【解析】设1AB=11BD BC DC ∴===，1BDC ∆面积为3211C BDC C BCDV V --=131********d d ∴⨯⨯=⨯⨯∴=2sin 3d CD θ∴==7．（2020·延安市第一中学高二月考）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B 上的一点，且1(02)A M λλ=<<，设点N 为ME 的中点，则点N 到平面1D EF 的距离为（）A 3λB ．22C ．23λD ．55【答案】D【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则M （2，λ，2），D 1（0，0，2），E （2，0，1），F （2，2，1），1ED ＝（﹣2，0，1），EF ＝（0，2，0），EM ＝（0，λ，1），设平面D 1EF 的法向量n ＝（x ，y ，z ），则12020n ED x z n EF y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取x ＝1，得n ＝（1，0，2），∴点M 到平面D 1EF 的距离为：d ＝||5||55EM n n ⋅==，N 为EM 中点，所以N 到该面的距离为55故选：D．8．（2019·黑龙江大庆四中高二月考）已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =u u u r ，()2,1,2OB =u u u r，()1,1,2OP =uu u r，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A ．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B ．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D ．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+，根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q .故选：C.二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）9．（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B E A B⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-，因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B uuu r不垂直，故A 错误；1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =所以(1,2,1)n =，同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误；在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确；三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2242R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确.故选：CD.10．（2020·福建厦门。

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时,运行程序如下,,当时,,则,故选D.【考点】程序框图二次函数2.过点引直线分别交轴正半轴于两点，当面积最小时，直线的方程是__________．【答案】【解析】设直线方程为(当且仅当即时取等号 ) .【点晴】本题主要考查直线方程和重要不等式，属于中档题型.但是本题比较容易犯错，使用该公式时一定要牢牢抓住一正、二定、三相等这三个条件，如果不符合条件则：非正化正、非定构定、不等作图（单调性）.平时应熟练掌握双钩函数的图像，还应加强非定构定、不等作图这方面的训练，并注重表达的规范性，才能灵活应对这类题型.3.如图，输入时，则输出的________.【答案】【解析】由算法流程图提供的算法程序可知：当时，输出，应选答案C。

4.二项式的展开式中常数项是（）A．-28B．-7C．7D．28【答案】C【解析】常数项，故选B.【考点】二项式的展开式.5.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A中，若，则，所以是正确的；对于B中，若，则和互为共轭复数，所以是正确的；对于C中，设，若，则，，所以是正确的；对于D中，若，则，而，所以不正确，故选D.【考点】复数的概念与运算.6.设函数（1）若时，解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）当时，||+||，利用零点分段法解不等式或者利用图象解不等式；（2）若不等式的对一切恒成立，则，因为时，，故恒成立，，．试题解析：（1）解：||+||，即或或或或所以原不等式的解集为[]（2）||+||对一切恒成立,,恒成立，即恒成立，当时，，【考点】1、绝对值不等式解法；2、函数的最值.7.已知函数，设为的导函数，根据以上结果，推断_____________.【答案】【解析】.8.用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.9.若，则的值是（）A．6B．4C．3D．2【答案】D【解析】略10.某长方体的三视图如右图，长度为的体对角线在正视图中的投影长度为，在侧视图中的投影长度为，则该长方体的全面积为（）A．B．C．6D．10【答案】B【解析】由三视图设长方体中同一顶点出发的三条棱长为、、，则有，解方程组得到，所以该长方体的面积为，故选B.【考点】1、空间几何体的三视图；2、空间几何体的表面积.11.利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变成时，左边增加了（）A．1项B．项C．项D．项【答案】D【解析】由题意得，当时，不等式的左侧为，当时，不等式的左侧为，所以变成时，左边增加了，共有项，故选D.【考点】数学归纳法.12.已知圆与圆的公共点的轨迹为曲线，且曲线与轴的正半轴相交于点．若曲线上相异两点满足直线的斜率之积为．（1）求的方程；（2）证明直线恒过定点，并求定点的坐标．【答案】（1）；（2）证明见解析，．【解析】（1）确定，可得曲线是长轴长，焦距的椭圆，即可求解椭圆的方程；（2）分类讨论，设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用韦达定理，结合直线的斜率之积为，即可证直线恒过定点，并求出定点的坐标．试题解析：（1）设⊙，⊙的公共点为,由已知得，，故，因此曲线是长轴长，焦距的椭圆，所以曲线；（2）由曲线的方程得，上顶点，记，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线AB的斜率存在，设直线，代入椭圆：①因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，故，又，，由，得即所以化简得：，故或，结合知，即直线恒过定点．【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系的应用．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系的应用、判定直线过定点问题等知识点的综合考查，解答中设出直线的方程，代入椭圆的方程，利用判别式和根与系数的关系及韦达定理，结合直线的斜率之积为是解答本题的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题．13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos＝．（1）求cos B的值；（2）若，b＝2，求a和c的值．【答案】（1）（2）【解析】解：(1)∵cos＝，∴sin＝， 2分∴cos B＝1－2sin2＝. 5分(2)由可得a·c·cos B＝2，又cos B＝，故ac＝6， 6分由b2＝a2＋c2－2ac cos B可得a2＋c2＝12， 8分∴(a－c)2＝0，故a＝c，∴a＝c＝10分【考点】解三角形点评：解决的关键是根据诱导公式以及二倍角公式和向量的数量积结合余弦定理来求解，属于中档题。

高二数学练习题一、选择题（每小题5分，共60分）1.设1z i =+（i 是虚数单位），则22z z+= ( ) A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ． 1i +2．曲线23-+=x x y 上一点0P 处的切线平行于直线41y x =+，则点0P 一个的坐标是 （ ） A ．（0，-2） B. (1, 1) C. (-1, －4) D. (1, 4) 3．设y x ,为正数, 则)41)((yx y x ++的最小值为 （ ）A. 6B.9C.12D.154．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的 倾斜角为 （ ） A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角5．如图,用与底面成30︒角的平面截圆柱得一椭圆截线,则该椭圆的 离心率为 A ．12B．3C．2D ．非上述结论[]326y 2x 3x 12x 50,3=--+．函数在上的最大值与最小值分别是 （ ）A.5 , -15B.5 , 4C.-4 , -15D.5 , -168、已知{}n b 为等比数列，52b =，则99212=⋅⋅⋅b b b 。

若{}n a为等差数列，第5题图52a =，则{}n a 的类似结论为（ ）A 99212=⋅⋅⋅a a aB 99212=+++a a a C 92921⨯=⋅⋅⋅a a a D 92921⨯=+++a a a 9.已知曲线3lnx 4xy 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为（ ）A. 3B. 2C. 1D. 1210.设R a ∈，若函数x e y ax3+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）A ．3->a B. 3-<a C. 31->a D. 31-<a()2111.f x ln(2)b 2x b x =-++∞若在(-1,+)上是减函数，则的取值范围是（ ）A.[-1，+∞]B.（-1，+∞）Ｃ.(]1,-∞- D.（-∞，-1）12.如右图，求阴影部分的面积是（ ） A. 32 B. 329- C.332 D. 335二、填空题（每小题4分，共16分）121)3(z z i -12、若复数z =4+29i,z =6+9i,则复数的实部为 。

人教A版（新教材）高二选择性必修第一册重点题型N1第一章空间向量与立体几何考试范围：1.1空间向量及其运算；1.2空间向量基本定理；1.3空间向量及其运算的坐标表示；考试时间：100分钟；命题人：LEOG学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题型1、利用向量方法解决立体几何的证明问题1．已知向量＝（1，x2，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），若，，共面，则x 等于（）A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或0【考点】共线向量与共面向量．【分析】利用共面向量定理直接求解．【解答】解：∵向量＝（1，x2，2），＝（0，1，2），＝（1，0，0），，，共面，∴，m≠0，n≠0，∴（1，x2，2）＝（n，m，2m），∴，解得x2＝m＝1，∴x＝±1．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，考查共面向量定理等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．如果向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，2），＝（1，﹣1，m）共面，则实数m的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】共线向量与共面向量．【分析】由各量共面，可知存在x，y，使得，列出方程组，求出实数m的值．【解答】解：∵向量＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，2），＝（1，﹣1，m）共面，∴存在x，y，使得，∴（2，﹣1，3）＝（﹣x+y，4x﹣y，2x+my），∴，解得x＝，y＝，m＝1．∴实数m的值是1．故选：B．【点评】本题考查实数值的求法，共面向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知，﹣1，3），，4，﹣2），，3，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．1B．2C．3D．4【考点】共线向量与共面向量．【分析】由向量、、共面得出＝x+y，列方程组可求得λ的值．【解答】解：向量、、共面，则＝x+y，其中x，y∈R；则（1，3，λ）＝（2x，﹣x，3x）+（﹣y，4y，﹣2y）＝（2x﹣y，﹣x+4y，3x﹣2y），∴，解得x＝1，y＝1，λ＝1．故选：A．【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共面定理的应用问题，是基础题．4．已知，，若与共线，则（）A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝10C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝9【考点】共线向量与共面向量．【分析】利用向量平行的性质直接求解．【解答】解：∵，，与共线，∴，解得x＝6，y＝9．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，则实数λ等于（）A．B．C．D．【考点】共线向量与共面向量．【分析】由已知中＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若、、三向量共面，我们可以用向量、作基底表示向量，进而构造关于λ的方程，解方程即可求出实数λ的值．【解答】解：∵＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2）∴与不平行，又∵、、三向量共面，则存在实数X，Y使＝X+Y即解得λ＝故选：D．【点评】本题考查的知识点是共线向量与共面向量及平面向量基本定理，其中根据、、三向量共面，与不共线，则可用向量、作基底表示向量，造关于λ的方程，是解答本题的关键题型2、空间向量平行和垂直坐标表示1．若向量＝（0，1，﹣1），＝（1，1，0），且（+λ）⊥，则实数λ的值是（）A．﹣1B．0C．﹣2D．1【考点】空间向量的数量积运算．【分析】利用向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵（+λ）⊥，∴（+λ）•＝+＝+λ×（0+1+0）＝0，解得λ＝﹣2．故选：C．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．2．已知向量＝（1，1，0），＝（﹣1，0，1）且k与互相垂直，则k＝（）A．B．C．D．【考点】空间向量的数量积运算．【分析】根据与互相垂直，（k+）•＝0，列出方程求出k的值．【解答】解：∵向量，，∴k+＝（k﹣1，k，1）；又与互相垂直，∴（k+）•＝0，即（k﹣1）×1+k＝0，解得k＝．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积的应用问题，是基础题目．3．已知＝（﹣1，﹣2，1），＝（1，x，﹣2）且•＝﹣13，则x的值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】空间向量的数量积运算．【分析】根据空间向量数量积的坐标运算，列方程求出x的值．【解答】解：＝（﹣1，﹣2，1），＝（1，x，﹣2），所以•＝﹣1﹣2x﹣2＝﹣13，解得x＝5．故选：C．【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标运算问题，是基础题．4．已知，且，则x•y＝（）A．B．2C．D．﹣1【考点】空间向量的数量积运算．【分析】由，可得存在实数k使得＝k（），利用向量相等即可得出．【解答】解：＝（1+2x，4，4+y），＝（2﹣x，3，2y﹣2），∵，∴存在实数k使得＝k（），∴，解得x＝，y＝4．∴x•y＝2．故选：B．【点评】本题考查了向量坐标运算性质、向量共线定理、空间向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．已知向量＝（﹣1，2，3），＝（2，y，0），且，那么y等于（）A．﹣1B．4C．﹣4D．1【考点】空间向量的数量积运算．【分析】，可得＝0，解得y．【解答】解：∵，∴＝﹣2+2y+0＝0，解得y＝1．故选：D．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．已知向量＝（2m+1，3，m﹣1），＝（2，m，﹣m），且∥，则实数m的值等于（）A．B．﹣2C．0D．或﹣2【考点】共线向量与共面向量．【分析】根据两向量平行的充要条件建立等式关系，然后解二元一次方程组即可求出m 的值．【解答】解：∵空间平面向量＝（2m+1，3，m﹣1），＝（2，m，﹣m），且∥，∴（2m+1，3，m﹣1）＝λ（2，m，﹣m）＝（2λ，λm，﹣λm），∴，解得m＝﹣2．故选：B．【点评】本题主要考查了平空间向量共线（平行）的坐标表示，以及解二元一次方程组，属于基础题．7．已知＝（λ+1，0，1），＝（3，2μ﹣1，2），其中λ，μ∈R，若∥，则λ+μ＝（）A．0B．1C．2D．3【考点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】根据可得出，然后即可得出，从而解出λ，μ即可．【解答】解：∵∥，∴设，∴（3，2μ﹣1，2）＝（kλ+k，0，k），∴，解得，∴λ+μ＝1．故选：B．【点评】本题考查了共线向量基本定理，向量坐标的数乘运算，相等向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．8．已知向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，则y+z＝（）A．﹣8B．﹣12C．8D．12【考点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】直接利用向量共线定理得到，再利用向量相等的坐标表示求出y和z，即可得到答案．【解答】解：因为向量＝（2，1，﹣5），＝（4，y，z），且∥，所以，则有，解得y＝2，z＝﹣10，所以y+z＝﹣8．故选：A．【点评】本题考查了空间向量共线定理的应用，涉及了空间向量的坐标表示以及空间向量相等的充要条件的应用，属于基础题．9．已知向量，且，则x+y的值为（）A．11B．6C．7D．15【考点】共线向量与共面向量；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】由向量平行的充要条件可得答案，【解答】解：向量，且，则＝λ，即（x，3，4）＝（6，y，12），解得x＝2，y＝9，则x+y＝2+9＝11，故选：A．【点评】本题考查向量平行的充要条件，属于基础题．10．已知空间向量＝（3，1，3），＝（﹣1，λ，﹣1），且∥，则实数λ＝（）A．﹣B．﹣3C．D．6【考点】共线向量与共面向量．【分析】由∥，可设k＝，可得，解出即可得出．【解答】解：∵∥，∴可设k＝，∴，解得λ＝k＝﹣．故选：A．【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．题型3、空间向量的夹角应用1．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），O是坐标原点，+与的夹角为120°，则λ的值为（）A．±B．C．﹣D．±【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】首先求出空间向量的坐标，及向量的模，进一步利用向量的夹角求出结果．【解答】解：因为+λ＝（1，0，0）+λ（0，﹣1，1）＝（1，﹣λ，λ），所以＝，＝，（+λ）•＝2λ，所以cos 120°＝＝﹣，所以λ＜0，且4λ＝﹣解得：λ＝﹣．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：空间向量的数量积，空间向量的模及夹角的运算．属于基础题型．2．已知：＝（x，4，1），＝（﹣2，y，﹣1），＝（3，﹣2，z），∥，⊥，求：（1），，；（2）（+）与（+）所成角的余弦值．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】（1）由向量的平行和垂直可得关于xyz的关系式，解之即可得向量坐标；（2）由（1）可得向量与的坐标，进而由夹角公式可得结论．【解答】解：（1）∵，∴，解得x＝2，y＝﹣4，故＝（2，4，1），＝（﹣2，﹣4，﹣1），又因为，所以＝0，即﹣6+8﹣z＝0，解得z＝2，故＝（3，﹣2，2）（2）由（1）可得＝（5，2，3），＝（1，﹣6，1），设向量与所成的角为θ，则cosθ＝＝【点评】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式，属基础题．3．已知＝（3，﹣2，﹣3），＝（﹣1，x﹣1，1），且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（，+∞）【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】根据两个向量的夹角是钝角，则两个向量的夹角的余弦小于零，从而得到两个向量的数量积小于零，用坐标形式表示向量的数量积，解不等式，得到变量的范围．【解答】解：∵与的夹角为钝角，∴cos＜，＞＜0．且与不共线∴•＜0．且（3，﹣2，﹣3）≠λ（﹣1，x﹣1，1）∴﹣3﹣2（x﹣1）﹣3＜0．且x≠∴x的取值范围是（﹣2，）∪（，+∞）．故选：B．【点评】两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．4．已知＝（1，1，1），＝（0，y，1）（0≤y≤1），则cos＜，＞最大值为（）A．B．C．D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】【解法一】利用作图法，构造正方体，考虑极端情况，可快速得出答案；【解法二】根据两向量的数量积求出夹角的余弦值cos＜，＞，再利用换元法求出它的最大值即可．【解答】解：【解法一】利用作图法，构造正方体，设正方体的棱长为1，如图所示；则＝＝（1，1，1），＝＝（0，y，1），且E在线段D′C′上移动，当E在D′位置时，cos＜，＞＝＝＝；当E在C′位置时，cos＜，＞＝＝＝为最大值．【解法二】∵＝（1，1，1），＝（0，y，1）（0≤y≤1），∴•＝y+1，||＝，||＝，∴cos＜，＞＝＝；设t＝，则t2﹣1＝y2，∴y＝（1≤t≤），∴f（t）＝•＝（+）；设sinα＝，则1≥sinα≥，即≤α≤，∴g（α）＝（+sinα）＝（cosα+sinα）＝sin（α+），∴当α＝时，g（α）取得最大值为＝．故选：D．【点评】本题考查了利用向量的数量积求夹角的应用问题，也考查了函数在闭区间上的最值问题，是基础题目．5．已知空间三点A（﹣1，2，1），B（0，1，﹣2），C（﹣3，0，2）（1）求向量的夹角的余弦值，（2）若向量垂直，求实数k的值．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】（1）＝（1，﹣1，﹣3），＝（﹣2，﹣2，1），计算可得＝．（2）∵向量垂直，可得•＝3+（3k ﹣1）﹣k＝0，即可得出．【解答】解：（1）＝（1，﹣1，﹣3），＝（﹣2，﹣2，1），||＝＝，＝3．＝﹣2+2﹣3＝﹣3．∴＝＝＝﹣．（2）∵向量垂直，∴•＝3+（3k﹣1）﹣k＝0，3×11+（3k﹣1）×（﹣3）﹣9k＝0，解得k＝2．【点评】本题考查了向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．题型4、空间向量模的坐标表示1．已知＝（1﹣t，2t﹣1，0），＝（3，t，t），则|﹣|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】根据空间向量的坐标表示与数量积定义，利用二次函数的性质求出|﹣|的最小值．【解答】解：＝（1﹣t，2t﹣1，0），＝（3，t，t），则﹣＝（2+t，1﹣t，t），∴＝（2+t）2+（1﹣t）2+t2＝3t2+2t+5＝3+，∴t＝﹣时|﹣|取得最小值为＝．故选：B．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与模长的计算问题，是基础题．2．若向量，，则＝（）A．B．C．3D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】利用向量坐标运算法则求解＝（3，0，﹣1），由此能求出的值．【解答】解：∵向量，，∴＝（3，0，﹣1），∴＝＝．故选：D．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，是基础题．3．已知＝（1﹣t，1，0），＝（2，t，t），则|﹣|的最小值是（）A．1B．C．D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】利用向量的坐标运算法则得到＝（1+t，t﹣1，t），从而||＝＝，由此能求出当t＝0时，|﹣|取最小值．【解答】解：∵＝（1﹣t，1，0），＝（2，t，t），∴＝（1+t，t﹣1，t），∴||＝＝，∴当t＝0时，|﹣|取最小值．故选：B．【点评】本题考查向量的模的最小值的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知空间向量＝（t，1，t），＝（t﹣2，t，1），则|﹣|的最小值为（）A．B．C．2D．4【考点】空间向量及其线性运算；空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由已知求得，再由向量模的计算公式求||，利用配方法求最值．【解答】解：∵＝（t，1，t），＝（t﹣2，t，1），∴＝（2，1﹣t，t﹣1），则|﹣|＝，∴当t＝1时，|﹣|取最小值为2．故选：C．【点评】本题考查向量的坐标运算与向量模的求法，训练了利用配方法求最值，是基础题．5．已知空间三点A（0，2，3），B（2，5，2），C（﹣2，3，6），则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积为6．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，1，3）．可得＝﹣4，，．可得cos∠BAC＝．可得sin∠BAC＝．以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝••sin∠BAC．【解答】解：＝（2，3，﹣1），＝（﹣2，1，3）．∴＝﹣4+3﹣3＝﹣4，＝＝，＝＝．∴cos∠BAC＝＝＝﹣．∴sin∠BAC＝＝．∴以AB，AC为邻边的平行四边形的面积S＝••sin∠BAC＝×＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．题型5、平面的法向量的求法与应用1．若两个向量＝（1，2，3），＝（3，2，1），则平面ABC的一个法向量为（）A．（﹣1，2，﹣1）B．（1，2，1）C．（1，2，﹣1）D．（﹣1，2，1）【考点】平面的法向量．【分析】设平面ABC的一个法向量＝（x，y，z），则，由此能求出平面ABC的一个法向量．【解答】解：两个向量，设平面ABC的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝﹣1，得平面ABC的一个法向量为（﹣1，2，﹣1）．故选：A．【点评】本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），则平面α的法向量可以是（）A．（1，0，1）B．（1，0，﹣1）C．（0，1，1）D．（﹣1，1，0）【考点】平面的法向量．【分析】求出＝（2，2，0），＝（0，0，2），设平面α的法向量＝（x，y，z），由，能求出平面α的法向量．【解答】解：∵平面α经过三点O（0，0，0），A（2，2，0），B（0，0，2），∴＝（2，2，0），＝（0，0，2），设平面α的法向量＝（x，y，z），则，取x＝﹣1，得＝（﹣1，1，0），∴平面α的法向量可以是（﹣1，1，0）．故选：D．【点评】本题考查平面的法向量的求法，考查平面的法向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．已知A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5）（1）求平面ABC的一个法向量；（2）证明：向量与平面ABC平行．【考点】平面的法向量．【分析】（1）设＝（x，y，z）为平面ABC的一个法向量，则有•＝0且•＝0，由此求出平面ABC的一个法向量；（2）假设存在实数m、n，使＝m+n，利用向量相等列出方程组求出m、n的值，即可证明结论成立．【解答】解：（1）∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），∴＝（﹣2，﹣1，3），＝（1，﹣3，2），设＝（x，y，z）为平面ABC的一个法向量，则有•＝（x，y，z）•（﹣2，﹣1，3）＝﹣2x﹣y+3z＝0，•＝（x，y，z）•（1，﹣3，2）＝x﹣3y+2z＝0；由，解得，令x＝y＝z＝1，得平面ABC的一个法向量为（1，1，1）；（2）证明：若存在实数m、n，使＝m+n，即（3，﹣4，1）＝m（﹣2，﹣1，3）+n（1，﹣3，2），则，解得，所以＝﹣+，即向量∥平面ABC．【点评】本题考查了空间向量的坐标运算问题，也考查了求平面法向量的应用问题，是基础题．4．已知向量＝（1，2，1），＝（0，1，﹣2），则平面ABC的一个法向量可以是（）A．（5，﹣2，﹣1）B．（﹣6，2，2）C．（3，1，﹣2）D．（4，﹣3，1）【考点】平面的法向量．【分析】平面ABC的一个法向量与向量，的数量积都为0．【解答】解：由＝（1，2，1），＝（0，1，﹣2），知：在A中，∵，∴平面ABC的一个法向量可以是（5，﹣2，﹣1），故A正确；在B中，，故B错误；在C中，，故C错误；在D中，，故D错误．故选：A．【点评】本题考查平面的法向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意法向量的性质的合理运用．5．设平面α内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、（﹣1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）A．（﹣1，﹣2，5）B．（﹣1，1，﹣1）C．（1，1，1）D．（1，﹣1，﹣1）【考点】平面的法向量．【分析】利用非零向量⇔即可找出平面的法向量．【解答】解：∵（﹣1，1，﹣1）•（1，2，1）＝﹣1+2﹣1＝0，（﹣1，1，﹣1）•（﹣1，1，2）＝1+1﹣2＝0，∴向量（﹣1，1﹣1）是此平面的法向量．故选：B．【点评】正确理解平面的法向量是解题的关键．6．在三角形ABC中，A（1，﹣2，﹣1），B（0，﹣3，1），C（2，﹣2，1），若向量与平面ABC垂直，且||＝，则的坐标为（2，﹣4，﹣1）或（﹣2，4，1）．【考点】空间两点间的距离公式；平面的法向量．【分析】根据条件求出平面的法向量，结合向量的长度公式即可得到结论．【解答】解：设平面ABC的法向量为＝（x，y，z），则＝0，且•＝0，∵＝（﹣1，﹣1，2），＝（1，0，2），∴，即，令z＝1，则x＝﹣2，y＝4，即＝（﹣2，4，1），若向量与平面ABC垂直，∴向量∥，设＝λ＝（﹣2λ，4λ，λ），∵||＝，∴•|λ|＝，即|λ|＝1，解得λ＝±1，∴的坐标为（2，﹣4，﹣1）或（﹣2，4，1），故答案为：（2，﹣4，﹣1）或（﹣2，4，1）【点评】本题主要考查空间向量坐标的计算，根据直线和平面垂直求出平面的法向量是解决本题的关键．7．已知点A（1，0，0），B（0，，0），C（0，0，1）求平面ABC的一个法向量．【考点】平面的法向量．【分析】由已知中A，B，C三点的坐标，我们可以求出向量，的坐标，进而根据平面的法向量与平面内任一向量都垂直，其数量积均为0，可以构造法向量坐标的方程组，解方程组可得答案．【解答】解：∵点A（1，0，0），B（0，，0），C（0，0，1）∴＝（﹣1，，0），＝（﹣1，0，1），设平面ABC的一个法向量为则，即令x＝1，则即为平面ABC的一个法向量【点评】本题考查的知识点是用向量语言表述线面垂直关系，其中根据平面的法向量与平面内任一向量都垂直，数量积均为0，构造关于法向量坐标的方程组是解答的关键．8．若和分别为平面α和平面β的一个法向量，且α⊥β，则实数λ＝3．【考点】平面的法向量．【分析】由于α⊥β，可得＝0，解出即可得出．【解答】解：∵α⊥β，∴，∴＝λ﹣6+3＝0，解得λ＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、面面垂直的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．已知平面α的法向量为＝（3，﹣1，2），＝（﹣3，1，﹣2），则直线AB与平面α的位置关系为（）A．AB∥αB．AB⊂αC．AB与α相交D．AB⊂α或AB∥α【考点】平面的法向量．【分析】由＝﹣，即可判断出位置关系．【解答】解：∵＝﹣，∴∥，∴直线AB与平面α的位置关系为相交．故选：C．【点评】本题考查了线面位置关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．若，，是平面α内的三点，设平面α的法向量，则x：y：z＝2：3：（﹣4）．【考点】平面的法向量．【分析】求出、的坐标，由•＝0，及•＝0，用y表示出x和z的值，即得法向量的坐标之比．【解答】解：，∴．故答案为2：3：﹣4．【点评】本题考查平面的法向量的性质以及两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．。

南阳一中2012——2013学年秋期第一次月考高二数学试题命题人：宋起克刘明江审核：李建寅考试时间：2012、10 注意事项：1、本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分160分。

2、将第Ⅰ卷答案涂在答题卡上，考试结束只交答题卡和答题卷。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分）1、某数列既是等差数列，又是等比数列，则这个数列为（）A 、常数列B 、公差为零的等差数列C 、公比为1的等比数列D 、这样的数列不存在 2、下列数列中是递增数列的是（）A ．1，3,5，2，4,6B ．42-=n a nC ．nn a n 1+=D ．na n 1=3、已知数列2、6、10、14、32……那么72是这个数列的第几项（）A ．23B ．24C ．19D ．25 4.已知数列11110，21110，31110，…，1110n ，…，使数列前n 项的乘积不超过510的最大正整数n 是（）A ．9B ．10C ．11D ．12 5、数列11111,2,3,4,24816⋅⋅⋅前n 项的和为（ ）A ．2212nn n ++ B ．22121n n n -+-+C ．2212n n n ++-D ．12212+++-nn n 6、若数列}{n a 的前n 项的和32n n S =-，那么这个数列的通项公式为（）A.13()2n n a -=B.113()2n n a -=⨯ C.32n a n =- D.11,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩ 7、在等差数列{}n a 中，前15项的和1590S =，8a 为（）A.3B.4C.6D.128、数列{a n }、{b n }的通项公式分别是a n =an+b(a ≠0，a 、b ∈R)，b n =q n-1(q>1)，则数列{a n }、{b n }中，使a n =b n 的n 值的个数是（）A 、2B 、1C 、0D 、可能为0，可能为1，可能为29、在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2110(2)n n n a a a n +--+=≥，则214n S n --=（）Ａ．2- Ｂ．0 Ｃ．1 Ｄ．210、设2a =3,2b =6,2c=12,则数列a,b,c 成()A.等比B.等差C.非等差也非等比D.既等差也等比11、某厂去年产值是a 亿元，计划今后五年内年产值平均增长率是10%．则从今年起到第5年末的该厂总产值是()A 、11×(1.15-1)a 亿元B 、10×(1.15-1)a 亿元C 、11×(1.14-1)a 亿元D 、10×(1.14-1)a 亿元解：（Ⅰ）当2n时，11(1)2(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，得12(2,3,4,)n n a a n --==⋅⋅⋅.所以数列}{n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列.……5分 所以2 1.n a n =-…………………………………6分 （Ⅱ）12231111n n nT a a a a a a -=++⋅⋅⋅+()()11111335572121n n =+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯-+ 111111111[()()()()]21335572121n n =-+-+-++--+ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+……………10分由10021209n n T n =>+，得1009n >，满足100209n T >的最小正整数为12.…………………12分 22.解：（Ⅰ）由已知可得，n n n q a a )41(11==-，n b n n 3)41(log 3241==+23-=∴n b n 13,n n b b +-=}{n b ∴为等差数列，其中11,3b d ==.-------4分（Ⅱ）1(32)()4n n n n c a b n ==-23111114()7()(32)()4444nn S n =⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅①23411111111()4()7()(35)()(32)()444444n n n S n n +=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+-⋅② ① -②得234131111113[()()()()](32)()4444444n n n S n +=++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+--⋅ 112)41)(23(411])41(1[)41(341+-----⋅+=n n n1)41()23(21+⋅+-=n n 1)41(381232+⋅+-=∴n n n S . （Ⅲ）nn n c )41()23(⋅-=n n n n n n c c )41()23()41()13(11⋅--⋅+=-++11311()[(32)]9()(1)444n n n n n ++=--=-⋅- 当1n =时，n n c c =+1，当2n ≥时，1n n c c +<121()4n max c c c ∴===. 若2114n c m m ≤+-对一切正整数n 恒成立，则211144m m +-≥即可 2450m m ∴+-≥，即5-≤m 或1≥m .四．附加题：解：⑴232=a ，253-=a ⑵当2≥n 时，21222212(22)1212n n n n a a n a a n ---=--⎧⎪⎨=+-⎪⎩ 121222+=∴-n n a a )2(212121222222-=-+=-∴--n n n a a a}2{2-∴n a 是一个以2122-=-a 为首项，以21为公比等比数列，则n n n a 21)21()21(212-=⋅-=--n n a 2122-=∴⑶13599S a a a a =+++⋅⋅⋅+奇12498(22)(24)(298)a a a a =+-⨯+-⨯+⋅⋅⋅+-⨯ 12498()2(2498)a a a a =+++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+4802)21(49-=。

2.绝对值不等式的解法课后篇巩固探究A组1.已知集合A={x|x2-5x+6≤0},B={x||2x-1|>3},则A∩B等于()A.{x|2≤x≤3}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x≤3}D.{x|-1<x<3}{x|2≤x≤3},B={x|x>2或x<-1},则A∩B={x|2<x≤3}.2.若a>2,则关于x的不等式|x-1|+a>2的解集为()A.{x|x>3-a}B.{x|x>a-1}C.⌀D.R|x-1|+a>2可化为|x-1|>2-a,因为a>2,所以2-a<0,故原不等式的解集为R.3.不等式|3x-4|>x2的解集为()A.(-4,1)B.(-1,4)C.⌀D.(-∞,-4)∪(1,+∞)|3x-4|>x2可得3x-4>x2或3x-4<-x2,解3x-4>x2得无解;解3x-4<-x2得-4<x<1,故原不等式的解集为(-4,1).4.不等式<0的解集是()A.{x|-3<x<5}B.{x|-3<x<5,且x≠2}C.{x|-3≤x≤5}D.{x|-3≤x≤5,且x≠2}|x-2|>0,且x≠2,所以原不等式等价于|x-1|-4<0,即|x-1|<4,所以-4<x-1<4,即-3<x<5.又x≠2,故原不等式的解集为{x|-3<x<5,且x≠2}.5.不等式|2x-log2x|<|2x|+|log2x|的解集为()A.(0,1)B.(1,2)C.(1,+∞)D.(2,+∞)|a-b|≤|a|+|b|中,“=”成立的条件是ab≤0,“<”成立的条件是ab>0,所以2x·log2x>0.又x>0,所以log2x>0,解得x>1.6.不等式|2x-1|<3的解集为.2x-1|<3⇔-3<2x-1<3⇔-1<x<2.-1,2)7.不等式|x+3|>|2-x|的解集是.|x+3|>|2-x|得(x+3)2>(2-x)2,整理得10x>-5,即x>-,故原不等式的解集为.8.若关于x的不等式|ax+2|<6的解集为(-1,2),则实数a=.0明显不符合题意.由|ax+2|<6得-8<ax<4.当a>0时,有-<x<,因为不等式的解集为(-1,2),所以解得两值相矛盾舍去.当a<0时,有<x<-,则解得a=-4.综上,a=-4.49.已知函数f(x)=(a∈R).(1)若a=3,解不等式:f(x)≥2;(2)若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.当a=3时,不等式f(x)≥2即为≥2,所以|x+1|+|x-3|-2≥4,所以|x+1|+|x-3|≥6.于是或从而x≥4,或x≤-2.故原不等式解集为{x|x≥4或x≤-2}.(2)f(x)的定义域为R,即不等式|x+1|+|x-a|-2≥0恒成立,所以|x+1|+|x-a|≥2恒成立.而g(x)=|x+1|+|x-a|的最小值为|a+1|,于是|a+1|≥2,解得a≥1,或a≤-3.故实数a的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).10.已知函数f(x)=|x+a|+|2x-1|(a∈R).(1)当a=1时,求不等式f(x)≥2的解集;(2)若f(x)≤2x的解集包含,求a的取值范围.当a=1时,不等式f(x)≥2可化为|x+1|+|2x-1|≥2.①当x≥时,不等式为3x≥2,解得x≥,故x≥;②当-1≤x<时,不等式为2-x≥2,解得x≤0,故-1≤x≤0;③当x<-1时,不等式为-3x≥2,解得x≤-,故x<-1.综上,原不等式的解集为.(2)因为f(x)≤2x,所以|x+a|+|2x-1|≤2x,所以不等式可化为|x+a|≤1,解得-a-1≤x≤-a+1.由已知得解得-≤a≤0.故a的取值范围是.B组1.不等式的解集为()A.[0,1)B.(0,1)C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.(-∞,0]∪(1,+∞),所以<0,解得0<x<1.2.导学号26394014关于x的不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为()A.(-∞,-4]∪[4,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.[-1,4]D.(-∞,1]∪[2,+∞)|x+3|-|x-1|≤4,又|x+3|-|x-1|≤a2-3|a|对任意实数x恒成立,所以a2-3|a|≥4,即a2-3|a|-4≥0,解得|a|≥4或|a|≤-1(舍去).故选A.3.在实数范围内,不等式||x-2|-1|≤1的解集为.-1≤|x-2|-1≤1,即0≤|x-2|≤2,解得0≤x≤4.4.若不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为.|3x-b|<4得-4<3x-b<4,即<x<.因为不等式|3x-b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则故5<b<7.5.导学号26394015解不等式|2x+1|+|x-2|+|x-1|>4.x≤-时,原不等式化为-2x-1+2-x+1-x>4,解得x<-.当-<x≤1时,原不等式化为2x+1+2-x+1-x>4,4>4,矛盾.当1<x≤2时,原不等式化为2x+1+2-x+x-1>4,解得x>1.由1<x≤2,则1<x≤2.当x>2时,原不等式化为2x+1+x-2+x-1>4,解得x>.由x>2,则x>2.综上所述,原不等式的解集为.6.导学号26394016已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.解(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|得-2x+6≥4,解得x≤1;当2<x<4时,f(x)≥4-|x-4|无解;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|得2x-6≥4,解得x≥5.所以f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x),则h(x)=由|h(x)|≤2,解得≤x≤.因为|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以于是a=3.。

高二数学高中数学新课标人教A版试题答案及解析1.做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为( ) A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】将区间均分成个小区间，记第个区间为，此区间长为，用小矩形面积近似代替相应的小曲边梯形的面积，则近似地等于速度曲线与直线t＝0，t＝a，t轴围成的曲边梯形的面积．依题意得，∴解得a＝3.【考点】定积分的概念.2.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【答案】A【解析】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A42=12种安排方法，甲在星期二有A32=6种安排方法，甲在星期三有A22=2种安排方法，总共有12+6+2=20种；故选A．3.设是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】D【解析】对于A中，若，则，所以是正确的；对于B中，若，则和互为共轭复数，所以是正确的；对于C中，设，若，则，，所以是正确的；对于D中，若，则，而，所以不正确，故选D.【考点】复数的概念与运算.4.已知复数，则（）A．B．z的实部为1C．z的虚部为﹣1D．z的共轭复数为1+i【答案】C【解析】由题意可得，所以A错；C,D均错。

所以选B5.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为．（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．【答案】(1) (2) 最大值是，最小值是．【解析】(1)利用函数为奇函数,建立恒等式⋯①,切线与已知直线垂直得⋯②导函数的最小值得⋯③.解得的值;(2)通过导函数求单调区间及最大值,最小值.试题解析：(1)因为为奇函数，所以即，所以， 2分因为的最小值为，所以， 4分又直线的斜率为，因此，，∴． 6分(2)单调递增区间是和． 9分在上的最大值是，最小值是． 12分【考点】奇函数的性质,求函数的导数,及通过导数研究函数的单调区间及最值.6.用反证法证明命题“如果，那么”时，假设的内容应是 ( )A．B．C．且D．或【答案】C【解析】略7.用反证法证明命题“设为实数，则方程没有实数根”时，要做的假设是A．方程至多有一个实根B．方程至少有一个实根C．方程至多有两个实根D．方程恰好有两个实根【答案】A【解析】至少有一个实根的反面为没有实根 ,所以选A.8.已知与之间的一组数据：则与的线性回归方程为必过点（）A．B．C．D．【答案】D【解析】回归直线必过点（），而，，所以回归直线过点，故选D.【考点】线性回归直线方程9.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴，而为减函数，∴当时，函数取得最小值，最小值为1，∴.【考点】1.恒成立问题；2.函数的单调性；3.对数式.10.已知,函数,若.(1)求的值并求曲线在点处的切线方程;(2)设,求在上的最大值与最小值.【答案】（1）（2）在上有最大值1,有最小值.【解析】解:(1) ,由得,所以;当时,, ,又,所以曲线在处的切线方程为,即; 6分(2)由(1)得,又, , ,∴在上有最大值1,有最小值.- 12分【考点】导数的运用点评：主要是根据导数的几何意义求解切线方程以及函数的最值，属于中档题。

学期综合测评(一)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．若函数f (x )的导数为－2x 2＋1，则f (x )可以等于( ) A ．－2x 3＋1 B ．x ＋1 C ．－4x D ．－23x 3＋x答案 D解析 选项A 中函数的导数为f ′(x )＝－6x 2；选项B 中函数的导数为f ′(x )＝1；选项C 中函数的导数为f ′(x )＝－4；选项D 中函数的导数为f ′(x )＝－2x 2＋1.故选D.2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题； ②“若lg x 2＝0，则x ＝－1”的逆命题；③“若x ≠y 或x ≠－y ，则|x |≠|y |”的逆否命题． 其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 B解析 对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x ＝－1，则lg x 2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x |＝| y |，则x ＝y 且x ＝－y ”，它是假命题，故选B.3．若集合P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }，则P 是綈Q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 ∵Q ＝{x |x ≤0或x ≥5，x ∈R }， ∴綈Q ＝{x |0<x <5，x ∈R }， ∴P ⇒綈Q ，但綈Q ⇒/P ，∴P 是綈Q 的充分不必要条件，选A.4．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( ) A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0 C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 因为全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定綈p 是特称命题：∃x 0∈M ，綈p (x 0)，所以綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0，故选C.5．已知命题p ：∃x 0∈R ，x 0－2>lg x 0，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题 答案 C解析 对于命题p ：取x ＝10，则有10－2>lg 10， 即8>1，故命题p 为真命题； 对于命题q ，取x ＝－π2，则sin x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝－1， 此时sin x >x ，故命题q 为假命题，因此命题p ∨q 是真命题，命题p ∧q 是假命题， 命题p ∧(綈q )是真命题，命题p ∨(綈q )是真命题， 故选C.6．我们把离心率之差的绝对值小于12的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C ：x 24－y 212＝1，则下列双曲线中与C 是“相近双曲线”的为( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 22＝1C ．y 2－2x 2＝1 D.y 29－x 272＝1 答案 B解析 双曲线C 的离心率为2，对于A ，其离心率为2，不符合题意；对于B ，其离心率为3，符合题意；对于C ，其离心率为62，不符合题意；对于D ，其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 1引圆x 2＋y 2＝a 2的切线，切点为T .延长F 1T交双曲线右支于P 点，若M 为线段F 1P 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |与b －a 的大小关系为( )A ．|MO |－|MT |>b －aB ．|MO |－|MT |＝b －aC ．|MO |－|MT |<b －aD ．不确定 答案 B解析 ∵F 1T 是圆的切线， ∴OT ⊥TF 1，∵|OF 1|＝c ，|OT |＝a ，∴|F 1T |＝|OF 1|2－|OT |2＝c 2－a 2＝b . 设接双曲线的右焦点为F 2， 连接PF 2，则|OM |＝12|PF 2|，又∵|F 1M |＝|MP |，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴12|PF 1|－12|PF 2|＝a ， ∴|PM |－|OM |＝a ， ∴b ＋|TM |－|OM |＝a ， ∴|OM |－|TM |＝b －a ，故选B.8．函数y ＝x 2e x的单调递减区间是( ) A ．(－1,2)B ．(－∞，－1)与(1，＋∞)C ．(－∞，－2)与(0，＋∞)D ．(－2,0) 答案 D解析 y ′＝(x 2e x )′＝2x e x ＋x 2e x ＝x e x (x ＋2)．∵e x >0，∴x e x(x ＋2)<0，即－2<x <0，故函数y ＝x 2e x的单调递减区间是(－2,0)．故选D.9．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数f (x )在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x )的图象可能是( )答案 C解析 因为f (x )在x ＝－2处取得极小值，所以在x ＝－2附近的左侧f ′(x )<0，当x <－2时，xf ′(x )>0；在x ＝－2附近的右侧f ′(x )>0，当－2<x <0时，xf ′(x )<0，故选C.10．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为( )A ．1∶2B ．1∶πC ．2∶1D ．2∶π答案 C解析 设圆柱的高为x ，底面半径为r ，则r ＝6－x 2π，圆柱体积V ＝π⎝ ⎛⎭⎪⎫6－x 2π2x ＝14π(x 3－12x 2＋36x )(0<x <6)，V ′＝34π(x －2)(x －6)．当x ＝2时，V 最大．此时底面周长为6－x ＝4,4∶2＝2∶1，故选C.11．如图，F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，过一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，则垂足Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线答案 A解析 延长垂线F 1Q 交F 2P 的延长线于点A ，在等腰三角形APF 1中，|PF 1|＝|AP |，从而|AF 2|＝|AP |＋|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|OQ |＝12|AF 2|＝a .12．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且|AK |＝2|AF |，则△AFK 的面积为( )A ．4B ．8C ．16D ．32答案 B解析 ∵抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，准线为x ＝－2，∴K (－2,0)．设A (x 0，y 0)，如右图所示，过点A 向准线作垂线，垂足为B ，则B (－2，y 0)．∵|AK |＝2|AF |， 又|AF |＝|AB |＝x 0－(－2)＝x 0＋2， ∴由|BK |2＝|AK |2－|AB |2，得y 20＝(x 0＋2)2， 即8x 0＝(x 0＋2)2，解得x 0＝2，y 0＝±4.∴△AFK 的面积为12|KF |·|y 0|＝12×4×4＝8，故选B.第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x ∈{正实数}，使x <x ”的否定为________，是________(填“真”或“假”)命题．答案 ∀x ∈{正实数}，使x ≥x 假解析 原命题的否定为“∀x ∈{正实数}，使x ≥x ”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当FB →⊥A B →时，此类椭圆称为“黄金椭圆”，可推算出“黄金椭圆”的离心率e ＝________.答案5－12解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧|AB |2＝a 2＋b 2，|BF |＝b 2＋c 2＝a ，|AF |＝a ＋c ，∵B F →⊥B A →，∴|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，∴(a ＋c )2＝a 2＋b 2＋a 2， ∴c 2＋ac －a 2＝0.∴e 2＋e －1＝0，又0<e <1， ∴e ＝5－12. 15．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫a >12，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a 的值等于________．答案 1解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (x )在(0,2)上的最大值为－1. 当x ∈(0,2)时，f ′(x )＝1x －a ，令f ′(x )＝0得x ＝1a.又a >12，∴0<1a<2.当f ′(x )>0时，x <1a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 上递增；当f ′(x )<0时，x >1a，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，2上递减．∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a －a ·1a＝－1，∴ln 1a＝0，得a ＝1.16．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k 等于________．答案223解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.∴x 1＋x 2＝42－k2k 2，x 1x 2＝4.由抛物线定义得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2， 又∵|AF |＝2|BF |，∴x 1＋2＝2x 2＋4，∴x 1＝2x 2＋2，代入x 1x 2＝4，得x 22＋x 2－2＝0， ∴x 2＝1或－2(舍去)，∴x 1＝4， ∴42－k2k 2＝5，∴k 2＝89，经检验Δ>0，又∵k >0，∴k ＝223.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，集合B ＝{y |y ＝x 2－2x ＋a }，集合C ＝{x |x 2－ax －4≤0}，命题p ：A ∩B ＝∅，命题q ：A ⊆C .(1)若命题p 为假命题，某某数a 的取值X 围； (2)若命题p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围． 解 ∵y ＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋a －1≥a －1，∴B ＝{y |y ≥a －1}，A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，C ＝{x |x 2－ax －4≤0}． (1)由命题p 是假命题，可得A ∩B ≠∅，即得a －1≤2，∴a ≤3.(2)∵“p ∧q 为假命题”，则其反面为“p ∧q 为真命题”， ∴p ，q 都为真命题，即A ∩B ＝∅且A ⊆C ，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a －1>2，1－a －4≤0，4－2a －4≤0，解得a >3.∴实数a 的取值X 围为a ≤3.18．(本小题满分12分)已知命题p ：∃x 0∈[－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，命题q ：∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，若命题p∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，某某数a 的取值X 围．解 因为∃x 0∈ [－1,1]，满足x 20＋x 0－a ＋1＞0，所以只需(x 20＋x 0－a ＋1)max ＞0，即3－a ＞0，所以命题p 真时，a ＜3.因为∀t ∈(0,1)，方程x 2＋y 2t 2－2a ＋2t ＋a 2＋2a ＋1＝1都表示焦点在y 轴上的椭圆，所以t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＋1＞1，t 2－(2a ＋2)t ＋a 2＋2a ＞0，即(t －a )[t －(a ＋2)]＞0，对t ∈(0,1)恒成立，只需a ＋2≤0或a ≥1，得a ≤－2或a ≥1， 所以命题q 为真时，a ≤－2或a ≥1.因为p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p ，q 两个命题一真一假． 若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜3，－2＜a ＜1，所以－2＜a ＜1.若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥3，a ≤－2或a ≥1，所以a ≥3.综上所述：a 的取值X 围是(－2,1)∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝x 3－kx 2＋x (k ∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k <0时，求函数f (x )在[k ，－k ]上的最小值m 和最大值M . 解 f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1. (1)当k ＝1时，f ′(x )＝3x 2－2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋23>0， ∴f (x )在R 上单调递增．(2)当k <0时，f ′(x )＝3x 2－2kx ＋1，其开口向上，对称轴x ＝k3，且过点(0,1)．①当Δ＝4k 2－12＝4(k ＋3)(k －3)≤0， 即－3≤k <0时，f ′(x )≥0，f (x )在[k ，－k ]上单调递增．∴m ＝f (x )min ＝f (k )＝k ，M ＝f (x )max ＝f (－k )＝－2k 3－k .②当Δ＝4k 2－12>0，即k <－3时，令f ′(x )＝0 得x 1＝k ＋k 2－33，x 2＝k －k 2－33，且k <x 2<x 1<0.∴m ＝min{f (k )，f (x 1)}，M ＝max{f (－k )，f (x 2)}．又f (x 1)－f (k )＝x 31－kx 21＋x 1－k ＝(x 1－k )(x 21＋1)>0， ∴m ＝f (k )＝k ，又f (x 2)－f (－k )＝x 32－kx 22＋x 2－(－k 3－k ·k 2－k )＝(x 2＋k )[(x 2－k )2＋k 2＋1]<0， ∴M ＝f (－k )＝－2k 3－k .综上，当k <0时，f (x )的最小值m ＝k ， 最大值M ＝－2k 3－k .20．(本小题满分12分)设椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上，C 1的中心及C 2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表：(1)求曲线C 1，C 2(2)设直线l 过抛物线C 2的焦点F ，l 与椭圆交于不同的两点M ，N ，当OM →·ON →＝0时，求直线l 的方程．解 (1)由题意，可知点(－2,0)是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值X 围，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22在椭圆上． 设椭圆C 1的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由此可得a ＝2，24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222b 2＝1，∴b 2＝1，∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 2＝1.由点(3，－23)，(4，－4)在抛物线C 2上，知抛物线开口向右． 设其方程为y 2＝2px (p >0)，∴12＝6p ，∴p ＝2， ∴抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由(1)，知F (1,0)．当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 2＝1，得l 与椭圆C 1的两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，∴OM →·ON →＝14≠0，∴直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，Δ＝64k 4－4(1＋4k 2)(4k 2－4)＝48k 2＋16>0，x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2.∵OM →·ON →＝0，∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k (x 1－1)·k (x 2－1)＝(1＋k 2)·x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝(1＋k 2)·4k 2－41＋4k 2－k 2·8k 21＋4k2＋k 2＝0，解得k ＝±2，∴直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0.21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值X 围．解 由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d ，得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c .因为f ′(x )－9x ＝0，即ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*)由于a >0，所以“f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a . 又Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝9a －1a －9≤0，得1≤a ≤9，即a 的取值X 围是[1,9]．22．(本小题满分12分)如图，抛物线E ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A .点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO |为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N .(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN |； (2)若|AF |2＝|AM |·|AN |，求圆C 的半径． 解 (1)抛物线y 2＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO |＝5， 所以|MN |＝2|CO |2－d 2＝25－4＝2.(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 204，y 0，则圆C 的方程为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2042＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 202x ＋y 2－2y 0y ＝0.由x ＝－1，得y 2－2y 0y ＋1＋y 202＝0，设M (－1，y 1)，N (－1，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 202＝2y 20－4>0，y 1y 2＝y 22＋1.由|AF |2＝|AM |·|AN |，得|y 1y 2|＝4， 所以y 202＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－6，从而|CO |2＝334，|CO |＝332，即圆C 的半径为332.word - 11 - / 11。

高中数学学习材料唐玲出品不等式选讲练习1一、选择题1．不等式x2－|x|－2<0(x∈R)的解集是()A．{x|－2<x<2} B．{x|x<－2或x>2}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<－1或x>1}2．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，||f（x1）－f（x2）＜||x2－x1恒成立”的只有()A．f(x)＝1x B．f(x)＝|x|C．f(x)＝2x D．f(x)＝x23．(2013·淮安模拟)设集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x||x－b|>2，x∈R}．若A ⊆B，则实数a，b必满足()A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥34．(2013·江门模拟)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，则a的值为()A．－2 B．2C．－1 D．15．(2013·许昌模拟)对于任意实数a、b，若|a－b|≤1，|2a－1|≤1，则|4a－3b＋2|的最大值为()A．3 B．4C．5 D．66．若|a－c|<b，则下列不等式不成立的是()A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|a|＋|b|C．b>|c|－|a| D．b<|a|－|c|二、填空题7．已知a和b是任意非零实数，则|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为____________．8．(2013·黄冈中学训练题)已知不等式|x－3|≤x＋a2(a∈R)的解集为A，若A≠∅，则a 的取值范围是____________．9．如果关于x 的不等式|x －3|－|x －4|<a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．10．(2013·天津模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝____________．三、解答题11. 已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a的取值范围．12．函数f (x )＝ax ＋b ，当|x |≤1时，都有|f (x )|≤1，求证：|b |≤1，|a |≤1.13．(2013·郑州模拟)设f (x )＝2|x |－|x ＋3|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．不等式选讲练习21．(2013·鸡西模拟)若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( ) A ．最大值3＋2 2 B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值62．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( ) A ．M ＝1 B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定3．(2013·广东调研)已知a ，b 为实数，且a >0，b >0.则⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2的最小值为( ) A ．7 B ．8C ．9D ．104．设a >b >c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值( ) A ．2 B ．3C ．4D ．6 5．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝（1a －1）（·1b －1）（1c－1） 则必有( )A ．0≤M <18 B.18≤M <1 C ．1≤M <8 D ．M ≥86．(2014·黄冈模拟)若不等式t t 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0，2]上恒成立，则a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤16，1 B.⎣⎡⎦⎤213，1 C.⎣⎡⎦⎤16，413 D.⎣⎡⎦⎤16，22 二、填空题7 .若0<α<β<π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则a 与b 的大小关系是________.8．若P ＝x 1＋x ＋y 1＋y ＋z 1＋z(x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为________. 9．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值为________．10．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则a ＋1＋b ＋1的最大值为________．三、解答题11．(2014·茂名质检)若实数x 、y 、m 满足|x －m |＞|y －m |，则称x 比y 远离m .(1) 若x 2－1比1远离0，求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a ，b ，证明：a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab .12. 已知a ，b 为实数，且a >0，b >0，c >0.证明：a 2＋b 2＋c 2＋2111()a b c++≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．13．(2013·南昌调研)已知x ＋y >0，且xy ≠0.(1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 211()x y+恒成立，试求实数m 的取值范围或值．。

2—=1上的一点M 到焦点F 1的距离为2, N 是MF 1的中点，O 为原点,则|0N|等于二•填空题：本大题共 4小题，每小题6分，共24分。

2 26•椭圆5x ky -5的一个焦点是(0,2)，那么k 二 7.椭圆的焦点在y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是 1 : 4,短轴长为8,则椭圆的标准方程是 __________________ .2 2 &已知点(0, 1)在椭圆5 + m = 1内，贝y m 的取值范围是 ______________________________________________ .W I I I2 29 •椭圆 + 2m = 1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是 __________________寸3m + 1 2m第二章圆锥曲线与方程单元测试A 组题(共100分) 一•选择题：本大题共 5题，每小题7分，共35分。

在每小题给出的四个选项中, 项是符合题目要求的。

1已知坐标满足方程 F(x,y)=O 的点都在曲线C 上，那么 (A )(B ) (C ) (D ) 只有曲线C 上的点的坐标都适合方程 凡坐标不适合 F(x,y)=O 的点都不在 在曲线C 上的点的坐标不一定都适合 不在曲线C 上的点的坐标有些适合F(x,y)=0 C 上 F(x,y ) =0 F(x,y ) =0,有些不合适 F(x,y ) =0 2•至俩坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是 (A ) x - y= 0 3•已知椭圆方程为 (B) x + y=0 2m ^= 1，焦点在 (C ) |x|=|y| (D) y=|x|x 轴上，则其焦距等于 (A) 2 8- m 2(B) 2 2 2 - | m|(C ) 2 ,m 2- 8( D ) 2 | m| - 2 22x4.已知椭圆 -25(A) 2(B)4(C ) 8(D) 325.已知F 是椭 2x ~2 a= 1(a>b>0)的左焦点，P 是椭圆上的一点，PF 丄x 轴，OP // AB(O 为原点), 则该椭圆的离(A)■- 2 2(B)(C )(D)三•解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

从化中学2013--2014学年度第二学期5月考试高二级理科数学试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，答卷共4页，总共8页. 满分150分，考试用时120分钟.第一部分 选择题(40分)一、选择题（每小题5分，共40分）1．复数iiz -+=23的虚部为（ ） A ． i B ．1- C ．1 D ． i -2. 已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数a 的值为3．412x x-()的展开式中常数项为 A ．12 B ．12-C ．32D ．32-4．若数列{}n a 的前n 项由流程图（如图）的输出依次 给出，则数列的通项公式n a =（ ）A 、1(1)2n n -B 、1(1)2n n +C 、1n -D 、n5．已知()f x =，若1230x x x <<<，则312123()()()f x f x f x x x x 、、的大小关系是（ ） A 、312123()()()f x f x f x x x x <<B 、312132()()()f x f x f x x x x << C 、321321()()()f x f x f x x x x <<D 、321231()()()f x f x f x x x x <<6. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有 A.120个 B.80个 C.40个 D. 20个7．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 分别是其左右焦点，点P 在椭圆上，若122PF PF =，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦8. 设函数2(0)()2(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨ >⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4第二部分 非选择题（110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9. 函数xe x xf )3()(-=的单调递增区间为 ． 10．曲线0,x =x y sin =与直线,04x y π==所围成的封闭图形的面积为____________．11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的 体积为 .12.21==，与的夹角为3π， 那么a b a b +⋅-=13. 设函数1(), 0()2(), 0xx f x g x x ⎧<⎪=⎨⎪>⎩ ，若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是 .14. 设面积为S 的平面四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i ai =，P 是该四边形内任意一俯视图正视图左视图(第10题图)点， P 点到第i 条边的距离记为i h ，若31241234a a a a k ====，则412()i i Sih k ==∑．类比上述结论，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，Q 是该三棱锥内的任意一点，Q 点到第i 个面的距离记为i H ，相应的正确命题是 ；三、解答题（共80分，要求写出详细解答过程或证明过程）15.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．16. （本小题满分12分）已知函数23()cos 3sin 2f x x x x =-+． （Ⅰ） 求函数)(x f 的最小正周期（Ⅱ）已知A B C ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若)(=A f ，2,3==b a ，求ABC ∆的面积S ．图5 (2)17．（本小题满分14分）如图所示，已知AB 为圆O 的直径，点D 为线段AB 上一点，且13AD DB =，点C 为圆O上一点，且BC =． 点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ，PD DB =． （1）求证：PA CD ⊥；（2）求二面角C PB A --的余弦值．18.已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥，令11n n n b a a +=⋅．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++<（1n ≥）19．（本题满分14分）已知椭圆2214y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ． （1）求曲线C 的方程；（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；第17题图20.(本题满分14分) 已知函数(1)()ln 1a x f x x a R x -=-∈+，．(Ⅰ)若2x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；(Ⅱ)若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；(Ⅲ)设,m n 为正实数，且m n >，求证：2ln ln nm n m n m +<--．2013-2014学年高二下学期5月考试 数学（理）试题 （参考答案）一、选择题： 1C 2 A 3 C 4B 5C 6 C 7 B 8C 二、填空题：9. ),2(+∞10.12-11.73π13.4-14. 若31241234S S S S K ====，则413()i i V iH K ==∑ 三、解答题：15解：（1）根据题意，有39151860,182.39153x y yx +++++=⎧⎪⎨=⎪+++⎩+ 解得9,6.x y =⎧⎨=⎩…………………2分0.15p ∴=，0.10q =．补全频率分布直方图如图所示． ………4分 （2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有210=45⨯人，“非网购达人”有310=65⨯人． …………………6分故ξ的可能取值为0，1，2，3；)03463101(0)6C C P C ξ=== ， 12463101(1)2C C P C ξ===，21463103(2)10C C P C ξ===，30463101(3)30C C P C ξ===．…………………………10分所以ξ的分布列为：01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………12分 16. 解：（Ⅰ）=)(x f 32cos 22x x +)3x π=+…4分则所以f(x ）的最小正周期为π， ……………6分． （Ⅱ） 因为0)(=A f )03A π+=，解得3π=A 或π65=A ，又b a <，故3π=A ………………8分 由B b A a sin sin =，得1sin =B ,则2π=B ,6π=C , …………10分 所以23sin 21==C ab S . …………………………………12分17．（本小题满分14分）解析：（Ⅰ）法1：连接CO ，由3AD DB =知，点D 为AO 的中点，又∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥， BC =知，60CAB ∠=，∴ACO ∆为等边三角形，从而CD AO ⊥．-----------------3分 ∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD ⊥，-----------------5分由PDAO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴PA CD ⊥． -----------------6分 （注：证明CD ⊥平面PAB 时，也可以由平面PAB ⊥平面ACB 得到，酌情给分．）法2：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆中设1AD =，由3AD D B =BC =得，3DB =，4AB =，BC =∴2BD BC BC AB ==，则BDC BCA ∆∆∽， ∴BCA BDC ∠=∠，即CD AO ⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，-----------------5分 由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴P A ⊥． -----------------6分 法3：∵AB 为圆O 的直径，∴AC CB ⊥，在Rt ABC ∆BC =得，30ABC ∠=，设1AD =，由3AD DB =得，3DB =，BC = 由余弦定理得，2222cos303CD DB BC DB BC =+-⋅=， ∴222CD DB BC +=，即C⊥． -----------------3分∵点P 在圆O 所在平面上的正投影为点D ， ∴PD ⊥平面ABC ，又CD ⊂平面ABC ， ∴PD CD⊥，----------5分 由PD AO D =得，CD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，∴P A ⊥． -----------------6分（Ⅱ）法1：（综合法）过点D 作DE PB ⊥，垂足为E ，连接CE ． -----------------7分由（1）知CD ⊥平面PAB ，又PB ⊂平面PAB ，∴CD PB ⊥，又DE CD D =， ∴PB ⊥平面CDE ，又CE ⊂平面CDE ， ∴CE PB ⊥，-----------------9分∴DEC ∠为二面角C PB A --的平面角． -----------------10分由（Ⅰ）可知CD =，3PD DB ==，（注：在第（Ⅰ）问中使用方法1时，此处需要设出线段的长度，酌情给分．）∴PB =2PD DB DE PB ⋅===， ∴在Rt CDE ∆中，tan 2CD DEC DE ∠===，∴cos 5DEC ∠=C PB A --的余弦值为5．------14分法2：（坐标法）以D 为原点，DC 、DB 和DP 的方向分别 为x 轴、y 轴和z 轴的正向，建立如图所示的空间直角坐标系． ----------------8分（注：如果第（Ⅰ）问就使用“坐标法”时，建系之前先要证明CD AB ⊥，酌情给分．） 设1AD =，由3AD DB =BC =得，3PD DB ==，CD =， ∴(0,0,0)D，C ，(0,3,0)B ，(0,0,3)P ， ∴(3,0,3)PC =-，(0,3,3)PB =-，(CD =， 由CD ⊥平面PAB，知平面PAB的一个法向量为(CD =． -----------------10分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则PC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn ，即30330y y z -=-=⎪⎩，令1y=，则x =1z =， ∴,1)=n ，-----------------12分 设二面角C PB A --的平面角的大小为θ，则cos 5||5CD CD θ⋅===-⋅n |n |-----------------13∴二面角C PB A --的余弦值为5．-----------------14分18. 解：（1）由题意知()111223n n n n n S S S S n -----=-+≥即()1123n n n a a n --=+≥-------2分∴()()()112322n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+-------3分()1221222225222212213n n n n n n ----=++++=++++++=+≥----5分检验知1n =、2时，结论也成立，故21n n a =+． -------7分（2）由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n nn n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭ -------10分 故()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦---------12分1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭． ---------14分19．（本题满分14分）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=，即2b =．所以双曲线C 的方程为2214y x -=． …………………………………6分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+， ………………………………………7分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩……………………………………………8分 整理，得()22224240k x k x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+． ……………………………10分 同理可得，21244k x k +=-． …………………………………………………12分所以121x x ⋅=． ……………………………………………………………14分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+． ……………………………………………7分 因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++． ……………8分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-． …………………………………10分所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++． …………………………12分 所以121x x ⋅=． ……………………………………………………14分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++， ……………6分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩……………………………………8分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦，解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++． ……………………………………10分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=． ……………………………………………14分20.(本题满分14分) 解: （Ⅰ）21(1)(1)()(1)a x a x f x x x +--'=-+2222(1)2(22)1.(1)(1)x ax x a x x x x x +-+-+==++由题意知'(2)0f =，代入得94a =，经检验，符合题意。

第一讲 不等式和绝对值不等式达标检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若a >b >c ，则1b －c －1a －c( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．小于等于0D ．大于等于0解析：∵a >b >c ，∴a －c >b －c >0， ∴1a －c <1b －c ，∴1b －c －1a －c>0.故选A. 答案：A2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b解析：∵a ＋b >0，b <0， ∴a >－b >0,0>b >－a ， ∴a >－b >b >－a . 答案：C3．若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值是( ) A.3322B ．2333C.323 D ．23 2 解析：由log x y ＝－2得y ＝1x 2，而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3232.答案：A4．已知|x －a |<b 的解集为{x |2<x <4}，则实数a 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由|x －a |<b 得，a －b <x <a ＋b ， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a ＋b ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1.答案：C5．函数y ＝|x －4|＋|x －6|的最小值为( ) A ．2 B ． 2 C ．4D ．6解析：y ＝|x －4|＋|x －6|≥|x －4＋6－x |＝2. 答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1解析：y ＝x －122x －2＋12x －2＝x －12＋12x －1≤－21－x2·121－x＝－1.答案：C7．若对任意x ∈R ，不等式|x |≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－1 B ．|a |≤1 C ．|a |＜1D ．a ≥1解析：取a ＝0时，|x |≥0恒成立， 所以a ＝0符合，可以排除A ，D. 取a ＝1时，|x |≥x 恒成立，所以a ＝1符合，从而排除C ，所以正确答案为B. 答案：B 8．使3－|x ||2x ＋1|－4有意义的x 所满足的条件是( )A ．－3≤x <32B ．－52<x ≤3C ．－3≤x <－52或32<x ≤3D ．－3≤x ≤3解析：使式子有意义的x 所满足的条件为⎩⎪⎨⎪⎧3－|x |≥0，|2x ＋1|－4>0，或⎩⎪⎨⎪⎧3－|x |≤0，|2x ＋1|－4<0.即⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤3，|2x ＋1|>4，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，2x ＋1>4或2x ＋1<－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧－3≤x ≤3，x >32或x <－52.∴－3≤x <－52或32<x ≤3.故选C.答案：C9．一个长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c 且a ＋b ＋c ＝9，当长方体体积最大时，长方体的表面积为( ) A ．27 B ．54 C ．52D ．56解析：∵9＝a ＋b ＋c ≥33abc ，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时取得最大值27∴abc ≤27， 此时其表面积为6×32＝54.故选 B. 答案：B10．若a >0，b >0，a ＋b ＝1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2－1的最小值是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b2－1＝1－a 1＋a1－b1＋ba 2b 2＝1＋a1＋bab＝2ab＋1，∵a ＋b ＝1，∴2ab ≤1. ∴ab ≤14，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1≥9. 答案：D11．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：因为－4≤|x ＋3|－|x －1|≤4，且|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意x 恒成立， 所以a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0， 解得a ≥4，或a ≤－1.答案：A12．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，若a 2x ＋b 21－x≥m 恒成立，则m 的最大值是( )A ．(a －b )2B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 2解析：∵a 2x ＋b 21－x ＝[a 2x ＋b 21－x][x ＋(1－x )]＝a 2＋b 2＋a 21－x x ＋b 2x 1－x≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当a 21－x x ＝b 2x1－x时等号成立．所以m ≤(a ＋b )2，m 的最大值为(a ＋b )2，选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为________． 解析：法一：当x >12时，原不等式转化为4x ≤6⇒x ≤32；当－12≤x ≤12时，原不等式转化为2≤6，恒成立；当x <－12时，原不等式转化为－4x ≤6⇒x ≥－32.由上综合知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32.法二：原不等式可化为|x －12|＋|x ＋12|≤3，其几何意义为数轴上到12，－12两点的距离之和不超过3的点的集合．数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤32时，满足题意，则原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤3214．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b2cd的最小值是________．解析：因为x ，a ，b ，y 成等差数列，所以x ＋y ＝a ＋b ，又x ，c ，d ，y 成等比数列，所以xy ＝cd ，a ＋b2cd＝x ＋y 2xy＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x y ＋y x＋2≥2x y ·yx＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，取等号． 答案：415．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．解析：(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋xa y≥1＋a ＋2a ，∴1＋a ＋2a ≥9，即a ＋2a －8≥0，故a ≥4. 答案：416. 下面四个命题：①若a >b ，c >1，则a lg c >b lg c ； ②若a >b ，c >0，则a lg c >b lg c ； ③若a >b ，则a ·2c >b ·2c； ④若a <b <0，c >0，则c a >c b.其中正确命题有________．(填序号)解析：②不正确，因为0<c <1时，lg c <0.①③④正确． 答案：①③④三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)设x 、y 、z >0，且x ＋3y ＋4z ＝6，求x 2y 3z 的最大值．解析：∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ，∴x 2y 3z ≤1(当x2＝y ＝4z 时，取“＝”)．∴x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1.18．(12分)已知ab ≠0，且a >b ，试比较1a 与1b的大小．解析：1a －1b ＝b －a ab，∵ab ≠0，a >b ，∴b －a <0， 如果ab <0，b －a ab >0，∴1a >1b ， 如果ab >0，b －a ab <0，∴1a <1b. 19．(12分)解不等式|2x －4|－|3x ＋9|<1. 解析：①当x >2时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >22x －4－3x ＋9<1⇒x >2.②当－3≤x ≤2时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ －3≤x ≤2－2x －4－3x ＋9<1⇒－65<x ≤2.③当x <－3时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－3－2x －4＋3x ＋9<1⇒x <－12.综上所述知不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－65或x <－12.20．(12分)已知a >0，b >0，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9.证明：因为a >0，b >0，所以 a ＋b ＋1a ≥33a ·b ·1a＝33b >0.①同理可证a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0.②由①，②结合不等式的性质得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1b ＋1a 2 ≥33b ×331b＝9，当a ＝b ＝1时，取等号．21．(13分)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上所述，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立． 则m 的取值范围为(－∞，5]． 法二：当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为 (－∞，5]．22．(13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小． 解析：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为|x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|. 因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立． 又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号成立， 所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立．d2(x)＝2|y|＋|y－20|≥21，当且仅当y＝1时，等号成立．故点P的坐标为(3,1)时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45.②当0≤y≤1时，由于“L路径”不能进入保护区，所以d＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|＋1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|，此时，d1(x)＝|x＋10|＋|x－14|＋|x－3|，d2(y)＝1＋|1－y|＋|y|＋|y－20|＝22－y≥21.由①知，d1(x)≥24，故d1(x)＋d2(y)≥45，当且仅当x＝3，y＝1时等号成立．综上所述，在点P(3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L路径”长度之和最小．。

1.1空间向量及其运算（精讲）思维导图常见考法考点一概念的辨析【例1】（2020·全国高二课时练习）下列命题中，假命题是（）A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等【一隅三反】1．（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则,a b 一定不共面；③若三个向量,a b c ，两两共面，则,a b c ，三个向量一定也共面；④已知三个向量,a b c ，，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++.其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．32.（2020·全国高二课时练习）在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p xa yb zc =++.其中正确命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3考法二空间向量的线性运算【例2】（2020·江西赣州.高二期中（理））在四面体ABCD 中，点F 在AD 上，且2AF FD =，E 为BC 中点，则EF 等于（）A ．1223EF AC AB AD→→→→=+-B ．112223EF AC AB AD→→→→=--+C ．112223EF AC AB AD→→→→=-+D ．112223EF AC AB AD→→→→=-+-根据三角形法则与平行四边形法则以及空间向量的加减法进行转化，一定要看最后是谁来表示。

【一隅三反】1．（2020·南昌市八一中学）如图，空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，且2OM MA =，BN NC =，则MN =（）A ．221332a b c ++B ．111222a b c +-C ．211322a b c -++D ．121232a b c -+2．（2020·宝山.上海交大附中高二期末）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若,AB a AD b ==,1AA c =，则与BM 相等的向量是（）A ．1122a b c ++B ．1122a b c --+C ．1122a b c -+D ．1122-++a b c 3．（2019·张家口市宣化第一中学高二月考）如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD +12（BC -BD ）等于（）A ．ADB ．FAC ．AFD ．EF考点三空间向量的共面问题【例3】（2020·全国高二）在下列条件中，使M 与A ，B ，C 一定共面的是（）A ．OM OA OB OC =--B ．111532OM OA OB OC =++C ．0MA MB MC ++=D ．0OM OA OB OC +++=M 与A ，B ，C 一定共面的充要条件是,1OM xOA yOB zOC x y z =++++=，【一隅三反】1．（2020·全国高二）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝______．2．（2020·全国高二）已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有1133OM xOA OB OC =++，则x ＝________.3．（2019·随州市第一中学高二期中）空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且5133PA PB xPC PD =--，则实数x 的值为（）A ．13B ．13-C ．23D ．23-4．（2020·全国高二课时练习）已知平行四边形ABCD 从平面AC 外一点O 引向量．,OE k OA OF k OB →→→→==，,OG k OC OH k OD →→→→==．求证：四点E ，F ，G ，H 共面考点四空间向量的数量积【例4】（2020·全国高二课时练习）已知平行六面体ABCD ﹣A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.（1）求AC ′的长；（如图所示）（2）求AC '与AC 的夹角的余弦值．【一隅三反】1．（2019·宁夏贺兰县景博中学高二月考（理））平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1AB,AD,AA 两两的夹角均为60°,且|AB |=1,|AD |=2,|1AA |=3,则|1AC |等于()A ．5B ．6C ．4D ．82．（2020·延安市第一中学高二月考（理））四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为矩形，2AB =，4=AD ，16AA =，1160A AB A AD ∠=∠=，则1AC 的长为（）A ．B ．46C ．D ．323．（2020·四川雨城.雅安中学高二月考（理））若空间四边形OABC 的四个面均为等边三角形，则cos ,OA BC 的值为（）A ．12B ．2C ．12-D ．04．（2020·全国高二课时练习）.1BB ⊥平面ABC ，且△ABC 是∠B ＝90°的等腰直角三角形，▱A 11B A B 、▱B 11B C C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB ＝a ，求异面直线1BA 与AC 所成的角.。