华夏精英教育-高中数学线性规划解题类型研究 2

2021年高中数学简单的线性规划问题（2）教案苏教版必修5【三维目标】：一、知识与技能1.巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；2.会用画网格的方法求解整数线性规划问题．3.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力二、过程与方法引导学生如何使用网格法三、情感、态度与价值观1.培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的的能力2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新【教学重点与难点】：重点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．难点：用画网格的方法求解整数线性规划问题．【学法与教学用具】：1. 学法：学生在建立数学模型中，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组。

可采用分组讨论，各组竞争，自主总结，部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞2.教学方法：讲授法，多媒体直观教学3.教学用具：直角板、投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1.什么是目标函数？线形目标函数？线形规划？可行解？可行域？2.当满足不等式组111xyy x⎧-≤⎪≥⎨⎪≤+⎩时，目标函数的最大值是二、研探新知，质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 设满足约束条件组1320101x y zy zxy++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求的最大值和最小值。

解：由知，代入不等式组消去得210101y x x y -≥⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，代入目标函数得，作直线：，作一组平行线：平行于，由图象知，当往左上方移动时，随之增大，当往右下方移动时，随之减小，所以，当经过时，max 202146u =-⨯+⨯+=，当经过时，，所以，，．例2 已知满足不等式组230236035150x y x y x y -->⎧⎪+-<⎨⎪--<⎩，求使取最大值的整数．解：不等式组的解集为三直线：，：，：所围成的三角形内部（不含边界），设与， 与，与交点分别为，则坐标分别为，，，作一组平行线：平行于：，当往右上方移动时，随之增大，∴当过点时最大为，但不是整数解，又由知可取，当时，代入原不等式组得， ∴； 当时，得或， ∴或；当时，， ∴， 故的最大整数解为或．说明：最优整数解常有两种处理方法，一种是通过打出网格求整点，关键是作图要准确；另一种是本题采用的方法，先确定区域内点的横坐标范围，确定的所有整数值，再代回原不等式组，得出的一元一次不等式组，再确定的所有相应整数值，即先固定，再用制约．例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180吨．该公司有8辆载重为6吨的A 型卡车与4辆载重为10吨的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返的次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的成本费为A 型车320元，B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆的方案，使公司花费的成本最低．解：设每天调出A 型车辆，B 型车辆，公司花费成本元，则约束条件为*10463101800804,x y x y x y x y N ⎧+≤⎪⨯+⨯≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，即*1045300804,x y x y x y x y N⎧+≤⎪+≥⎪⎪≤≤⎨⎪≤≤⎪⎪∈⎩，目标函数为．作出可行域（图略，见课本第80页图3-3-11），当直线经过直线与轴的交点时，有最小值．但不是整点．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是，经过的整点是，它是最优解．因此，公司每天调出A 型车8辆时，花费成本最低．四、巩固深化，反馈矫正1.设满足约束条件组1320102x y z y z x y ++=⎧⎪+≥⎪⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩，求的最大值和最小值；五、归纳整理，整体认识1.本节课主要内容：（1）巩固图解法求线性目标函数的最大值、最小值的方法；（2）用画网格的方法求解整数线性规划问题。

高中线性规划一、概述线性规划是数学中的一个分支，用于解决最优化问题。

在高中数学中，线性规划通常是在给定一些约束条件下，寻找一个目标函数的最大值或最小值。

本文将详细介绍高中线性规划的基本概念、解题步骤和示例。

二、基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是通过最大化或最小化一个线性函数来达到某种目标。

目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中c1、c2、...、cn为常数，x1、x2、...、xn为变量。

2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列约束条件。

约束条件通常表示为一组线性不等式或等式。

例如，ax1 + bx2 + ... + zxn ≤ d，其中a、b、...、z为常数，x1、x2、...、xn为变量，d为常数。

3. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

4. 最优解：在所有可行解中，使目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。

三、解题步骤高中线性规划的解题步骤如下：1. 确定问题：明确问题的目标和约束条件。

2. 建立数学模型：将问题转化为数学形式，确定目标函数和约束条件。

3. 绘制图形：根据约束条件绘制图形，确定可行解的区域。

4. 确定顶点：在可行解的区域内，确定顶点（极值点）。

5. 计算目标函数值：计算每个顶点对应的目标函数值。

6. 比较目标函数值：比较所有顶点对应的目标函数值，找出最优解。

四、示例假设某公司生产两种产品A和B，每天生产时间为8小时。

产品A每件利润为100元，产品B每件利润为200元。

生产一件产品A需要2小时，生产一件产品B 需要4小时。

公司希望最大化每天的利润。

1. 确定问题：最大化每天的利润。

2. 建立数学模型：目标函数：Z = 100A + 200B（最大化利润）约束条件：2A + 4B ≤ 8（生产时间约束）非负约束：A ≥ 0，B ≥ 03. 绘制图形：根据约束条件绘制图形，可行解区域为一个三角形。

4. 确定顶点：可行解区域的顶点为(0, 0)，(0, 2)，(4, 0)。

创作线性规划的常见题型及其解法答案课题重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．归纳起来常见的命题探究角度有：1．求线性目标函数的最值．2．求非线性目标函数的最值．3．求线性规划中的参数．4．线性规划的实际应用．本节主要讲解线性规划的常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y≥3，x －y≥－1，2x －y≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b，通过求直线的截距z b的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组⎩⎨⎧ x ＋y≥3，x －y ≥－1，2x －y≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，所以B(2,1)，zmin ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝5，所以A(4,5)，zmax ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎨⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x≥1，(1)设z ＝y 2x －1，求z 的最小值； (2)设z ＝x2＋y2，求z 的取值范围； (3)设z ＝x2＋y2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围．点(x ，y)在不等式组表示的平面区域内，y 2x －1＝12·y －0⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －12表示点(x ，y)和⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0连线的斜率；x2＋y2表示点(x ，y)和原点距离的平方；x2＋y2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2表示点(x ，y)和点(－3,2)的距离的平方．【解析】(1)由约束条件⎩⎨⎧ x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x≥1，作出(x ，y)的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，225． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C(1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B(5,2)．∵z＝y 2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0连线的斜率，观察图形可知zmin ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x2＋y2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin ＝|OC|＝2，dmax ＝|OB|＝29．∴2≤z≤29．(3)z ＝x2＋y2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是：可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，dmin ＝1－(－3)＝4，dmax ＝错误!＝8∴16≤z≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z＝ax＋by．求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－abx＋zb，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z的最值．(2)距离型：形一：如z＝，z＝，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离；形二：z＝(x－a)2＋(y－b)2，z＝x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z＝yx，z＝ay－bcx－d，z＝ycx－d，z＝ay－bx，此类目标函数常转化为点(x,y)与定点所在直线的斜率．【提醒】注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( ) A ．10 B ．8C ．3D ．2 【解析】作出可行域如图中阴影部分所示， 由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(5,2)时，对应的z 值最大．故zmax ＝2×5－2＝8．【答案】B2．(2015·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条的最大值6y ＋x ＝z 则目标函数⎩⎨⎧ x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，件为( )A ．3B ．4C．18 D．40【解析】作出约束条件对应的平面区域如图所示，当目标函数经过点(0,3)时，z取得最大值18．【答案】C 3．(2013·高考陕西卷)若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为( )A．－6B．－2C．0 D．2【解析】如图，曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z＝2x－y，则y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－2,2)时，z取得最小值，此时z＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy所表示的区域⎩⎨⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0为不等式组M 中，上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．112．－D 13．－C 【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得．13斜率的最小值为－OM ，故1)，－A(3 【解析】C＝z 则⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x≤2，y≤2，x ≤2y ，满足y ，x ．已知实数5的取值范围．2x ＋y －1x －1【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y)与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧ x ＋y≤2y －x≤2，y≥1，则x2＋y2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x ，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎨⎧ x≥0，2x －y≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示， 则根据图形可知，点B(1,0)到直线2x －y ＝0的，故最小距离为255＝|2×1－0|22＋1＝d 距离最小，．255255【答案】 所表示的平⎩⎨⎧ x≥1，x －2y ＋3≥0，y≥x ．设不等式组8面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB|的最小值等于( )4．B 285．A 2．D 125．C，所表示的⎩⎨⎧ x≥1x －2y ＋3≥0y≥x【解析】不等式组平面区域如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝1．点A(1,1)到直线3x －4y －9＝0的距离d ＝|3－4－9|5＝2，则|AB|的最小值为4．【答案】B角度三：求线性规划中的参数所表示的平面区⎩⎨⎧ x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4．若不等式组9的k 分为面积相等的两部分，则43＋kx ＝y 域被直线值是( )37．B 73．A 34．D 43．C【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73． 【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足k，则4的最小值为－x －y ＝z 且⎩⎨⎧ x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0，的值为( )A ．2B ．－212．－D 12．C【解析】D 作出线性约束条件的可行域．⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y≥0 当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值． 当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意． 当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点所围成的三角形区域，当C(0,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k ，0B ，A(2,0)时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k ，0B 经过点x －y ＝z 直线．12＝－4⇒k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件取得最大值的最优解ax －y ＝z 若⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.不唯一，则实数a 的值为( )12或2．1 B 或－12．A C ．2或1 D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，则zA ＝2，zB ＝－2a ，zC ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zA ＝zB ＞zC 或zA ＝zC ＞zB 或zB ＝zC ＞zA ，解得a ＝－1或a ＝2． 法二：目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ，令l0：y ＝ax ，平移l0，则当l0∥AB 或l0∥AC 时符合题意，故a ＝－1或a ＝2．【答案】D3≤s≤5下，当⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，x ＋y≤s，y ＋2x≤4.．在约束条件12时，目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8]，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4－s ，y ＝2s －4，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，由 【解析】则交点为B(4－s,2s －4)，y ＋2x ＝4与x 轴的交点为A(2,0)，与y 轴的交点为C′(0,4)，x ＋y ＝s 与y 轴的交点为C(0，s)．作出当s ＝3和s ＝5时约束条件表示的平面区域，即可行域，如图(1)(2)中阴影部分所示．(1) (2)当3≤s＜4时，可行域是四边形OABC 及其内部，此时，7≤zmax＜8；当4≤s≤5时，可行域是△OAC′及其内部，此时，zmax ＝8．综上所述，可得目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的取值范围是[7，8]．【答案】D13．(2015·通化一模)设x ，y 满足约束条件a ，则32的最小值为x ＋2y ＋3x ＋1＝z 若⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，的值为________．表示过错误!，而错误!＋1＝x ＋2y ＋3x ＋1∵【解析】点(x ，y)与(－1，－1)连线的斜率，易知a ＞0，∴可作出可行域，由题意知y ＋1x ＋1的最小值是14，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝错误!＝错误!＝错误!⇒a ＝1．【答案】1角度四：线性规划的实际应用14．A ，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是________元．【解析】 设生产A 产品x 件，B 产品y 件，生产利润⎩⎨⎧ 3x ＋y≤11，x ＋3y≤9，x∈N，y∈N，满足约束条件y ，x 则为z ＝300x ＋400y ．画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的整点，显然z ＝300x ＋400y 在点A 处取得最大值，由＝zmax 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋y ＝11，x ＋3y ＝9，方程组300×3＋400×2＝1 700．故最大利润是1 700元．【答案】1 70015．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【解析】(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y)＝2x ＋3y ＋300．错误!整理得错误!约束条件为(2)目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300．作出可行域．如图所示：初始直线l0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，有最大值．由w 时，A 经过点⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50，y ＝50. 最优解为A(50,50)，所以wmax ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元．一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y－a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞)【解析】根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)＜0．即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24．【答案】B2．(2015·临沂检测)若x ，y 满足约束条件)(的最小值是y －x ＝z 则⎩⎨⎧ x≥0，x ＋2y≥3，2x ＋y≤3，A ．－3B ．03．D 32．C【解析】作出不等式组⎩⎨⎧x≥0，x ＋2y≥3，2x ＋y≤3表示的可行域(如图所示的△ABC 的边界及内部)．平移直线z ＝x －y ，易知当直线z ＝x －y 经过点C(0,3)时，目标函数z ＝x －y 取得最小值，即zmin ＝－3．【答案】A3．(2015·泉州质检)已知O 为坐标原点，A(1,2)，点P 的坐标(x ，y)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y|≤1，x≥0，则z ＝OA→·OP →的最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【解析】如图作可行域，z ＝OA →·OP →＝x ＋2y ，显然在B(0,1)处zmax ＝2．【答案】D则⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，x<2，x ＋y －1≥0，满足：y，x ．已知实数4z ＝2x －2y －1的取值范围是( )5]，[0．B ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤53，5．A ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－53，5．D ⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫53，5．C 【解析】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知的取值z ，即1－1)－2×(－1≤z<2×2－232×－132×．⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－53，5范围是 【答案】D5．如果点(1，b)在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取的整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．0【解析】由题意知(6－8b ＋1)(3－4b ＋5)＜0，即．1应取的整数为∴b，2＜b ＜78∴，0＜2)－(b ⎝⎛⎭⎪⎪⎫b －78 【答案】B6．(2014·郑州模拟)已知正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y)在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )2)，(0．2)B ，3－(1．A)3＋1，(0．2)D ，1－3(．C【解析】如图，根据题意得C(1＋3，2)． 作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点取范围的边界y ＋x ＝－z 时，2)，3＋C(1和B(1,3)的取y ＋x ＝－∴z ，3＋1－2<z<＋)3＋(1值，即－．2)，3－(1值范围是【答案】A7．(2014·成都二诊)在平面直角坐标系xOy所表示的平面区⎩⎨⎧y≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，为不等式组P 中，域上一动点，则直线OP 斜率的最大值为( )13．2 B ．A1．D 12．C【解析】作出可行域如图所示，当点P 位于．1＝(kOP)max 时，(1,1)的交点⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝1，【答案】D8．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y)|x ＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x ＋y ，x －y)|(x ，y)∈A}的面积为( )A ．2B ．114．D 12．C【解析】不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≤1，x≥0，y≥0，所表示的可行域如图所示，设a ＝x ＋y ，b ＝x －y ，则此两目标函数的范围分别为a ＝x ＋y∈[0,1]，b ＝x －y∈[－1,1]，又a ＋b ＝2x∈[0,2]，a －b ＝2y∈[0,2]，∴点坐标(x ＋y ，x －y)，即点(a ，b)满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤a≤1，－1≤b≤1，0≤a＋b≤2，0≤a－b≤2，作出该不等式组所表示的可行域如图所示，由图示可得该可行域为一等腰直角三角形，其面积S ＝12×2×1＝1．【答案】B9．设x ，y满足约束条件⎩⎨⎧3x －y －2≤0，x －y≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z ＝ax ＋by(a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞) D．(4，＋∞)【解析】作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by(a>0，b>0)过点A(1,1)时取最大值，∴a＋b ＝4，ab≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝4，∵a＞0，b ＞0，∴ab∈(0，4]．【答案】B上，⎩⎨⎧x≥0，y≥x，x ＋y≤4：Ω在区域y)，P(x ．设动点10过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A ．π B．2πC ．3π D．4π【解析】作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以AB 为直径的圆的面积的．4π＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫42π×＝S 最大值【答案】D11．(2015·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y≥－1，x －y≥2，3x ＋y≤14，若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数a 的取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图所示．易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即－a ＝1或－a ＝－3，∴a＝－1或a ＝3．【答案】B12．(2014·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y≥a，x －y≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3【解析】法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7．法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1) 图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A(－3，－2)，则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．zmax ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项．当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B(1,2)，则目标函数z＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．zmin ＝1＋3×2＝7，满足题意．【答案】B13．若a≥0，b≥0，且当⎩⎨⎧x≥0，y≥0，x ＋y≤1时，恒有ax ＋by≤1，则由点P(a ，b)所确定的平面区域的面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π2【解析】因为ax ＋by≤1恒成立，则当x ＝0时，by≤1恒成立，可得y≤1b (b≠0)恒成立，所以0≤b≤1；同理0≤a≤1．所以由点P(a ，b)所确定的平面区域是一个边长为1的正方形，面积为1．【答案】C14．(2013·高考北京卷)设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2．求得m 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，43B ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，13 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－53 【解析】当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m ＜0．如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域． 上的点，只需可行1－x 12＝y 要使可行域内包含的下方即可，即1－x 12＝y 在直线m)，m －(域边界点．23＜－m ，解得1－m 12＜－m【答案】C表示的平面⎩⎨⎧ x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0．设不等式组15区域为D ．若指数函数y ＝ax 的图象上存在区域D 上的点，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)【解析】平面区域D 如图所示．要使指数函数y ＝ax 的图象上存在区域D 上的点，所以1＜a≤3．【解析】A16．(2014·高考福建卷)已知圆C ：(x －a)2＋(y 若圆心⎩⎨⎧ x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y≥0.：Ω，平面区域1＝b)2－C∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a2＋b2的最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．49【解析】由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界．∵圆C与x轴相切，∴b＝1．显然当圆心C 位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6,1)处时，amax ＝6．∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37．【解析】C 17．在平面直角坐标系中，若不等式组错误!表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( ) A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)【解析】已知直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y＝k(x－1)－1位于y＝－x和x＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域．所以直线y ＝k(x－1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．当直线y＝k(x－1)－1与y＝x平行时不能形成三角形，不平行时，由题意可得k＞1时，也可形成三角形，综上可知k＜－1或k ＞1．【答案】D 18．(2016·武邑中学期中)已知实数x，y满足)(的最大值为y ＋2x ＝z 则⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1≥0，|x|－y －1≤0， A ．4 B ．6C ．8D ．10【解析】区域如图所示，目标函数z ＝2x ＋y 在点A(3,2)处取得最大值，最大值为8．【答案】C19．(2016·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约，则8最大值为的3y －x ＝z 时，⎩⎨⎧ y≥xx ＋3y≤4x≥m 束条件实数m 的值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1【解析】画出可行域如图所示，目标函数z ＝x取到最大z 时，C ，当直线过点z 3－x 3＝y 变形为3y －值，又C(m ，m)，所以8＝m －3m ，解得m ＝－4．【答案】A20．(2016·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点的坐标均满足不等式组⎩⎨⎧ x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan∠AOB 的最大值等于( )A ．94B ．47C ．34D ．12 【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，观察图形可知当A 为(1,2)，B 为(2,1)时，tan∠AOB 取得最大值，此时由于tan α＝kBO ＝12，tan β＝kAO ＝2，故tan∠AOB ＝tan (β－α)＝tan β－tan α1＋tan βtan α＝2－121＋2×12＝34． 【解析】C二、填空题21．(2014·高考安徽卷)不等式组⎩⎨⎧ x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表示的平面区域的面积为________． 【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知S△ABC＝12×2×(2＋2)＝4． 【答案】422．(2014·高考浙江卷)若实数x ，y 满足．________的取值范围是y ＋x 则⎩⎨⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x≥1， 【解析】作出可行域，如图，作直线x ＋y ＝0，向右上平移，过点B 时，x ＋y 取得最小值，过点A时取得最大值．由B(1,0)，A(2,1)得(x ＋y)min ＝1，(x ＋y)max ＝3．所以1≤x＋y≤3．【答案】[1,3]23．(2015·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条的最大值y －3x ＝z 则目标函数⎩⎨⎧ x≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，件为____．【解析】根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，∵z＝3x －y ，∴y＝3x －z ，当该直线经过点A(2,2)时，z 取得最大值，即zmax ＝3×2－2＝4．【答案】424．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y≥－1，则w＝x2＋y2－4x －4y ＋8的最小值为________．【解析】目标函数w ＝x2＋y2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以wmin ＝92． 【答案】9225．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧ 2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y≥0所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．【解析】如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O 到直线x ＋y －2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，∴|OM|min＝|－2|12＋12＝2． 【答案】226．(2016·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一个生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得的最大利润是______万元．【解析】设生产甲产品x 吨，生产乙产品y吨，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0，y≥0，3x ＋y≤13，2x ＋3y≤18，利润z ＝5x ＋3y ，作出可行域如图中阴影部分所示，求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知当x ＝3，y ＝4，即生产甲产品3吨，乙产品4吨时可获得最大利润27万元．【答案】2727．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：总种植成本)最大，则黄瓜的种植面积应为________亩．【解析】设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 亩，y 亩，总利润为z 万元，则目标函数为z ＝(0.55×4x－1.2x)＋(0.3×6y－0.9y)＝x ＋0.9y ．线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤50，1.2x ＋0.9y≤54，x≥0，y≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y≤50，4x ＋3y≤180，x≥0，y≥0.画出可行域，如图所示．作出直线l0：x ＋0．9y ＝0，向上平移至过点A 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝50，4x ＋3y ＝180，解得A(30,20)．【答案】3028．(2015·日照调研)若A 为不等式组⎩⎨⎧ x≤0，y≥0，y －x≤2表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中的那部分区域的面积为________．【解析】平面区域A 如图所示，所求面积为S ＝12×2×2－12×22×22＝2－14＝74． 74【答案】 29．(2014·高考浙江卷)当实数x ，y 满足恒成立，则实y≤4＋1≤ax 时，⎩⎨⎧ x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x≥1数a 的取值范围是________．【解析】画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z≤4恒成立，则即可，解⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤2a＋1≤4，1≤a≤4，数形结合知，满足a>0．321≤a≤的取值范围是a ．所以321≤a≤得 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1，32【答案】 30．(2015·石家庄二检)已知动点P(x ，y)在正六边形的阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形的边长为2，若使目标函数z ＝kx ＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则k 的值为________．【解析】由目标函数z ＝kx ＋y(k>0)取得最大值的最优解有无穷多个，结合图形分析可知，直线kx ＋y ＝0的倾斜角为120°，于是有－k ＝tan 120°＝－3，所以k ＝3． 【答案】331．设m ＞1，在约束条件⎩⎨⎧y≥x，y≤mx，x ＋y≤1下，目标函数z ＝x ＋my 的最大值小于2，则m 的取值范围．【解析】变换目标函数为y ＝－1m x ＋z m ，由于m>1，所以－1<－1m<0，不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义，只有直线y ＝－1m x ＋z m在y 轴上的截距最大时，目标函数取得最大值．显然在点A 处取得最大值，由y ＝mx ，x ＋y ＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11＋m ，m 1＋m ，所以目标函数的最大值zmax ＝11＋m ＋m21＋m<2，所以m2－2m －1<0，解得1－2<m<1＋2，故m 的取值范围是(1,1＋2)．【答案】(1,1＋2)32．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ y≥1，y≤2x－1，x ＋y≤m，若目标函数z ＝x －y 的最小值的取值范围是[－2，－1]，则目标函数的最大值的取值范围是________．【解析】不等式组表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，目标函数可变形为y ＝x －z ，当z 最小时，直线y ＝x －z 在y 轴上的截距最大．当z 的最小值为－1，即直线为y ＝x ＋1时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标为(2,3)，此时m ＝2＋3＝5；当z 的最小值为－2，即直线为y ＝x ＋2时，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，y ＝2x －1，可得此时点A 的坐标是(3,5)，此时m ＝3＋5＝8．故m 的取值范围是[5,8]．目标函数z ＝x －y 的最大值在点B(m －1,1)处取得，即zmax ＝m －1－1＝m －2，故目标函数的最大值的取值范围是[3,6]．【答案】[3,6]33．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎨⎧ x ＋4y≥4，x ＋y≤4，x≥0.令点集T ＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．【解析】线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x＋y＝4上，故T中的点共确定6条不同的直线．【答案】6 34．(2011·湖北改编)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b．若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为__________．【解析】∵a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，∴a·b＝2(x＋z)＋3(y－z)＝0，即2x＋3y－z＝0．又|x|＋|y|≤1表示的区域为图中阴影部分，∴当2x＋3y－z＝0过点B(0，－1)时，zmin＝－3，当2x＋3y－z＝0过点A(0,1)时，zmin＝3．∴z∈[－3,3]．【答案】[－3,3] 35．(2016·衡水中学模拟)已知变量x，y满足使y)，(x 且有无穷多个点⎩⎨⎧ x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0约束条件目标函数z ＝x ＋my 取得最小值，则m ＝________．【解析】作出线性约束条件表示的平面区域，如图中阴影部分所示．若m ＝0，则z ＝x ，目标函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解只有一个，不符合题意．若m≠0，则目标函数z ＝x ＋my 可看作斜率为，z m＋x 1m ＝－y 的动直线1m － ，由数形结合知，使目标0＞1m，则－0＜m 若函数z ＝x ＋my 取得最小值的最优解不可能有无穷多个；，数形结合可知，当动直0＜1m，则－0＞m 若线与直线AB 重合时，有无穷多个点(x ，y)在线段1m取得最小值，即－my ＋x ＝z 上，使目标函数AB＝－1，则m＝1．综上可知，m＝1．【答案】1。

高中数学中的线性规划问题解析在高中数学学习中，线性规划是一个重要的概念和工具。

它是一种数学建模方法，用于解决在给定约束条件下的最优化问题。

线性规划通常涉及到一组线性方程和不等式，以及一个目标函数，我们的目标是找到满足约束条件的最优解。

一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括目标函数、约束条件和可行域。

目标函数是需要最大化或最小化的函数，通常表示为一个线性方程。

在线性规划中，我们的目标是找到使目标函数取得最大或最小值的变量值。

约束条件是限制变量取值的条件，通常表示为一组线性不等式。

这些约束条件可以是资源的限制、技术条件或其他限制。

可行域是满足所有约束条件的变量取值集合。

可行域通常是一个多边形或多维空间中的区域，它表示了问题的可行解的范围。

二、线性规划的求解方法线性规划可以使用图像法、代数法或单纯形法等方法进行求解。

图像法是一种直观的方法，通过绘制约束条件和目标函数的图像来找到最优解。

在二维平面上，可行域是一个多边形，最优解是目标函数与可行域的交点。

在三维空间中，可行域是一个多面体，最优解是目标函数与可行域的交点。

代数法是一种代数计算的方法，通过解线性方程组来找到最优解。

我们可以将约束条件转化为等式，然后求解线性方程组。

通过代数方法，我们可以得到最优解的具体数值。

单纯形法是一种高效的算法，通过迭代计算来找到最优解。

单纯形法将线性规划问题转化为一个线性规划表格，并通过一系列的操作来逐步逼近最优解。

单纯形法是一种通用的求解线性规划问题的方法，可以处理任意维度的问题。

三、线性规划的应用线性规划在实际生活中有广泛的应用。

例如，在生产计划中，我们可以使用线性规划来确定最优的生产数量和资源分配方案，以最大化利润或最小化成本。

在物流管理中，我们可以使用线性规划来确定最优的运输路径和货物分配方案，以最小化运输成本或最大化运输效率。

线性规划还可以应用于金融领域、市场营销、资源管理等各个领域。

通过合理地建立数学模型，我们可以利用线性规划的方法来解决实际问题，提高决策的科学性和有效性。

高中数学线性规划类型及求解策略作者：张满君来源：《天津教育·上》2020年第07期【摘要】本文结合教学实践中常见的线性规划类型，探讨解答相关类型题目的注意事项及解答技巧，希望可以给教师在线性规划的讲解上带来一些帮助。

【关键词】高中数学;线性规划;求解策略中图分类号：G633.65 文献标识码：A 文章编号：0493-2099（2020）19-0117-02一、线性目标函数最值问题及其解答策略分析求解线性目标函数的最值问题属于考试的基础题型，多出现于选择题和填空题，因为其难度不大，学生较为容易掌握。

遇到这类问題时，学生需要根据题目要求，采用图解法一步步求解，这类题型的关键点就是需要学生认真审题，在全面清楚地了解题目要求后再动笔解答，切忌粗心大意。

最大值。

题目分析：学生具体解答时应该根据题设条件画出数值的可行域，而后将目标函数平移，结合可行域具体分析得出题目要求的最大值。

具体可行域如右图1所示：由图一我们可以非常明了地得出函数z=3x+2y图像在可行域的移动范围，越往右上角移动其数值越大，联立方程组进行求解，可以得出A点的具体坐标为（10，20），代入方程组z=3x+2y可以得出其最大值为70。

点评：该类型题目基本没有难度，教师应该让学生明确解题的具体步骤，保证看清题目以免因为粗心大意失分。

具体解题过程，首先应该正确地画出可行域的范围，准确地计算出直线方程的交点坐标。

其次，应该看清题目给出的问题，是求最大值还是最小值，而后根据得出的可行域和极点坐标，保证目标函数图像移动方向的正确性。

最后综合分析得出正确答案。

二、非线性目标函数极值问题及其解答策略分析线性规划中还存在一类求极值题型，其目标函数不是线性函数，难度相比线性目标函数有所增加，采用平移图像的方法无法直接得出结论。

但是在解题中仍然需要画出正确的可行域范围，而后学生需要认真观察非线性目标函数，查看其是否是特殊的图像函数，具体如圆、椭圆、抛物线等，而后借助其具体性质进行求解。

高中线性规划引言概述:线性规划是数学中的一种优化方法，用于解决最大化或者最小化目标函数的问题。

在高中数学中，线性规划是一个重要的概念，它可以应用于各种实际问题，如资源分配、生产计划等。

本文将详细介绍高中线性规划的概念、应用以及解题方法。

一、线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或者最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。

目标函数通常表示为Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn，其中ci为常数，xi 为变量。

1.2 约束条件：线性规划的解必须满足一组约束条件，这些条件通常表示为一组线性不等式或者等式。

例如，Ax ≤ b，其中A是一个矩阵，x和b是向量。

1.3 可行解和最优解：满足所有约束条件的解称为可行解。

在可行解中，使目标函数达到最大或者最小值的解称为最优解。

二、线性规划的应用领域2.1 生产计划：线性规划可以用于确定最佳的生产计划，以最大化利润或者最小化成本。

通过考虑资源约束和市场需求，可以确定每种产品的生产量。

2.2 资源分配：线性规划可以用于确定资源的最佳分配方式，以最大化资源利用率或者最小化浪费。

例如，可以确定每一个部门的资源分配，以满足不同项目的需求。

2.3 运输问题：线性规划可以用于解决运输问题，即确定如何将货物从供应地点运送到需求地点，同时最小化运输成本。

三、线性规划的解题方法3.1 图形法：对于二维问题，可以使用图形法来解决线性规划问题。

通过绘制目标函数和约束条件的图形，可以确定最优解所在的区域。

3.2 单纯形法：对于多维问题，单纯形法是一种常用的解题方法。

该方法通过迭代计算，逐步接近最优解。

3.3 整数规划：在某些情况下，变量的值必须是整数。

这种情况下，可以使用整数规划方法来解决问题。

整数规划通常比线性规划更复杂，需要使用特定的算法进行求解。

四、线性规划的局限性4.1 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中往往存在非线性因素。

线性规划问题中目标函数常见类型梳理线性规划问题中目标函数的求解是线性规划问题的重点也是难点，对于目标函数的含义学生往往理解的不深不透，只靠死记硬背，生搬硬套，导致思路混乱，解答出错。

本文将有关线性规划问题中目标函数的常见类型梳理如下，以期对大家起到一定的帮助。

一 基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）例1.已知实数x 、y 满足约束条件0503x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则24z x y =+的最小值为（ ）A ．5B ．-6C ．10D ．-10 分析：将目标函数变形可得124zy x =-+，所求的目标函数的最小值即一组平行直线12y x b =-+在经过可行域时在y 轴上的截距的最小值的4倍。

解析：由实数x 、y 满足的约束条件，作可行域如图所示：当一组平行直线L 经过图中可行域三角形ABC 区域的点C 时，在y 轴上的截距最小，又(3,3)C -，故24z x y =+的最小值为min 234(3)6z =⨯+⨯-=-，答案选B 。

点评：深刻地理解目标函数的含义，正确地将其转化为直线的斜率是解决本题的关键。

二 直线的斜率型例2.已知实数x 、y 满足不等式组2240x y x ⎧+≤⎨≥⎩,求函数31y z x +=+的值域.解析：所给的不等式组表示圆224x y +=的右半圆(含边界)，1z x =+可理解为过定点(1,3)P --，斜率为z 的直线族．则问题的几何意义为：求过半圆域224(0)x y x +≤≥上任一点与点(1,3)P --的直线斜率的最大、最小值．由图知，过点P 和点(0,2)A 的直线斜率最大，max 2(3)50(1)z --==--．过点P 所作半圆的切线的斜率最小．设切点为(,)B a b ，则过B 点的切线方程为4ax by +=．又B 在半圆周上，P 在切线上，则有22434a b a b ⎧+=⎨--=⎩解得25a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此m i n 33z =。

高中线性规划线性规划是数学中一种重要的优化方法，可以用来解决各种实际问题。

它的目标是在给定的约束条件下，寻找一个线性模型的最优解。

在高中数学中，线性规划是一个重要的内容，学生需要了解其基本概念、解题方法和应用领域。

一、线性规划的基本概念线性规划是一种数学模型，它的目标是在一组线性约束条件下，寻找一个线性函数的最大值或最小值。

线性规划的基本要素包括决策变量、目标函数和约束条件。

1. 决策变量：决策变量是问题中需要决定的未知量，用来表示问题的解。

通常用x1、x2、x3...等符号表示。

2. 目标函数：目标函数是需要最大化或最小化的线性函数，它通常与问题的目标相关。

目标函数的形式可以是线性函数，也可以是线性函数的凸或凹组合。

3. 约束条件：约束条件是问题中的限制条件，它们限制了决策变量的取值范围。

约束条件通常是一组线性不等式或等式。

二、线性规划的解题方法解线性规划问题的常用方法有图形法和单纯形法。

1. 图形法：图形法适用于二维线性规划问题。

通过绘制目标函数和约束条件的图形，找到可行域和最优解。

可行域是满足所有约束条件的解集合，最优解是目标函数在可行域上取得最大或最小值的解。

2. 单纯形法：单纯形法适用于多维线性规划问题。

它是一种迭代算法，通过不断交换基变量和非基变量，找到最优解。

单纯形法的基本思想是从一个初始基可行解开始，通过迭代计算，不断改进目标值，直到找到最优解。

三、线性规划的应用领域线性规划在实际生活中有广泛的应用，涉及经济、工程、物流、资源分配等领域。

1. 生产计划：线性规划可以用来优化生产计划，确定最佳的生产数量和资源分配，以最大化利润或最小化成本。

2. 运输问题：线性规划可以用来解决运输问题，确定最佳的货物运输方案，以最小化运输成本。

3. 供应链管理：线性规划可以用来优化供应链管理，确定最佳的供应商选择、库存控制和订单分配策略，以最大化供应链效益。

4. 投资组合：线性规划可以用来优化投资组合，确定最佳的资产配置比例，以最大化投资回报或最小化风险。

高中数学解题方法系列：线性规划中的11种基本类型及策略一.线性目标函数问题当目标函数是线性关系式如（）时，可把目标函数变形为 ，则可看作在上的截距，然后平移直线法是解决此类问题的常用方法，通过比较目标函数与线性约束条件直线的斜率来寻找最优解.一般步骤如下：1.做出可行域;2.平移目标函数的直线系,根据斜率和截距,求出最优解.二.非线性目标函数问题的解法当目标函数时非线性函数时，一般要借助目标函数的几何意义，然后根据其几何意义，数形结合，来求其最优解。

近年来，出现了求目标函数是非线性函数的范围问题.这些问题主要考察的是等价转化思想和数形结合思想,出题形式越来越灵活,对考生的能力要求越来越高.常见的有以下几种：1． 比值问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。

例2已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6] （B ）（－∞，95]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6]解析 y x是可行域内的点M （x ，y ）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM 过点（52，92）时，y x取得 最小值95；当直线OM 过点（1，6）时，y x取得最大值6.答案A 2．.距离问题当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点距离的平方，这样目标函数的最值就转化为PQ 距离平方的最值。

例3已知⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，求x 2＋y 2的最大值与最小值. 解析作出不等式组表示的平面区域（如图）.设x 2＋y 2＝z ，则z 是以原点为圆心的圆的半径的平方.当圆x 2＋y 2＝z 过点B （2，3）时，z 取得最大值，从而z 取得最大值z max ＝22＋32＝13； 当圆x 2＋y 2＝z 与直线AC ：2x ＋y －2＝0相切时，z 取得最小值，从而z 取得最小值. 设切点坐标为（x 0，y 0），则⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＋y 0－2＝0，y 0x 0·（－2）＝－1. z ax by c =++0b ≠a z c y x b b -=-+z c b-y 在轴y a z x b-=-(,)P x y (,)Q b a 22()()z x a y b =-+-(,)P x y (,)Q a b解得x 0＝45，y 0＝25.因此，z min ＝（45）2＋（25）2＝45. 故，当x ＝2，y ＝3时，x 2＋y 2取得最大值13；当x ＝45，y ＝25时，x 2＋y 2取得最小值45. 3． 截距问题例4 不等式组表示的平面区域面积为81，则的最小值为_____解析 令，则此式变形为，z 可看作是动抛物线在y 轴上的截距，当此抛物线与相切时，z 最小，故答案为 4．.向量问题 例5已知点P 的坐标（x ，y ）满足：及A （2，0），则的最大值 解析=||·cos ∠AOP 即为在上的投影长 由∴·cos ∠AOP 的最大值为5.5线性变换问题例6 在平面直角坐标系x O y 中，已知平面区域A ＝{（x ，y ）|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{（x ＋y ，x －y ）|（x ，y ）∈A }的面积为.解析令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，则x ＝u ＋v 2，y ＝u －v 2. 由x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0得u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0.因此，平面区域B 的图形如图.其面积为S ＝12×2×1＝1.6线性规划的逆向问题例8 给出平面区域如图所示.若当且仅当x ＝23，y ＝45时，目标函数z ＝ax －y 取最小值，则实数a 的取值范围是.解析当直线y ＝ax －z （a ＜0）过点（23，45），且不与直线AC ，BC 重合时,－z 取得最大值，从而z 取得最小值.k AC ＝4523－1＝－ 125，k BC ＝45－123＝－ 310.所以，实数a 的取值范围是（－ 125，－ 310）. x+y 00x y x a ≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩2x y +2z x y =+2y x z =-+2y x z =-+y x =-14-⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x OP OA OA ⋅u u u r u u u r u u u u r OP OA OA⋅u u u r u u u r u u u u r OP OP uuu r OA u u u r ，，M y x y x )25(2553,034⇒⎩⎨⎧=+=+-OP u u u r7、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。