线性规划常见题型及解法
由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围
例1、 若x 、y 满足约束条件222
x y x y ≤⎧⎪
≤⎨⎪+≥⎩
，则z=x+2y 的取值范围是 （ ）
A 、[2,6]
B 、[2,5]
C 、[3,6]
D 、（3,5]
解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将直线 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值2，
过点B （2,2）时，有最大值6，故选 A
二、求可行域的面积
例2、不等式组260
302x y x y y +-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积为
A 、4
B 、1
C 、5
D 、无穷大
解：如图，作出可行
域，△ABC 的面积即为所求，
由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选 B
三、求可行域中整点个数
例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数 A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)
2
(0,0)x y x y x y x y x y x y x y x
y
+≤≥≥⎧⎪-≤≥⎪
⎨
-+≤≥⎪⎪--≤⎩
作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得
到整点个数为13个，选 D
四,求非线性目标函数的最值
例4、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≤⎩
，则
z=x 2
+y 2
的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2
C 、13，4
5
D 、
x + y = 5
x – y + 5 = 0
O
y
x
x=3 解：如图，作出可行域,x 2+y 2
是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2
=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为
45
， 例5， 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，
则 y
x 的取值范围是（ ）.
（A ）[95，6] （B ）（－∞，9
5]∪[6，＋∞）
（C ）（－∞，3]∪[6，＋∞） （D ）[3，6]
解： y x
是可行域内的点M （x ，y ）与原点O （0，0）连线的斜率，
当直线OM 过点（52，92）时，y x 取得最小值95； 当直线OM 过点（1，6）时，y
x 取得最大值6.
四、求线性目标函数中参数的取值范围
例6、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥⎧⎪
-+≤⎨⎪≤⎩
，使z=x+ay(a>0)
取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为（ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1
解：如图，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个， 则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选 D
例7、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ）
A 、（-3,6）
B 、（0,6）
C 、（0,3）
D 、（-3,3）
解：|2x －y ＋m|＜3等价于230
230
x y m x y m -++>⎧⎨
-+-<⎩
由右图可知33
30m m +>⎧⎨-<⎩
,故0＜m ＜3，选 C
均值不等式应用
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*
,R b a ∈，则ab b a ≥+2
（当且仅当b a =时取“=”
） (2)若*
,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当
b a =时取“=”） 3.若R b a ∈,，则2
)2(
2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）两个正数 “积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三等” O
2x – y = 0
y
2x – y + 3 = 0
技巧一：凑项 例1：已知5
4x <，求函数14245
y x x =-+-的最大值。 解：
5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛
⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭
231≤-+=
当且仅当1
5454x x
-=
-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 技巧二：凑系数 例2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
解：由知，， 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 技巧三： 分离
例3. 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域。 解：
当
,即时,年（当且仅当x ＝1时取“＝”号）。
技巧四：在应用基本不等式时，若等号取不到，应结合()a
f x x x
=+的单调性 例4：求函数22
54
x y x +=
+的值域。
解：令24(2)x t t +=≥，则2
254
x y x +=+221
1
4(2)4
x t t t x =
++
=+≥+
因10,1t t t >⋅=，但1
t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，考虑单调性。 ∵1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，∴在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故5
2
y ≥。
技巧五：整体代换：
例5：正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是
解：
13
0,035)15513133121331234(34)
)()2555555555x y x y xy y x
x y x y
x y x y y x y x y x
>>+=+=∴+=++=++≥+=由得（
（
(当且仅当
31255x y y x
=时取等号)，∴3x ＋4y 的最小5 例6：正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求xy 的最小值
解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥23x y 523xy x y ∴≥ 1225
xy ∴≥ 当且仅当x ＝3y 时取等号．xy 的最小值为
1225
