统考版2022届高考数学一轮复习第1章集合常用逻辑用语不等式第1节集合教师用书教案北师大版

第一章 集合、常用逻辑用语、不等式 全国卷五年考情图解 高考命题规律把握 1.考查形式

本章在高考中一般考查2～4个小题，选择题、填空题均可能出现． 2.考查内容 从考查内容看，集合主要考查两个方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本运算．常用逻辑用语主要从四个方面考查，分别为命题及其关系、充分必要条件的判断、逻辑联结词“或”“且”“非”以及全称量词与存在量词．不等式主要考查一元二次不等式的解法和简单的线性规划问题. 集合

[考试要求] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义. 3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．

1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和∉表示． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、Venn图法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集

符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图

子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A⊆B或B⊇A 真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中

AB或

BA

集合 相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B

提醒：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图

交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合

A∩B＝{x|x∈A且x

∈B}

并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合

A∪B＝{x|x∈A或x

∈B}

补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合

∁U

A＝{x|x∈U且x

∉A}

[常用结论] (1)对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集个数为2n－2. (2)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B. 一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( ) (4)直线y＝x＋3与y＝－2x＋6的交点组成的集合是{1,4}．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生 1．若集合A＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则下列结论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A D [a＝22∉N，则a∉A，故选D.] 2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，则A∩B＝________，A∪B＝________.

(－2,1) (－∞，3) [∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}， ∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．] 3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则∁U(A∪B)＝________. [答案] {x|x是直角} 4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，则集合M∪N的子集的个数为________． 64 [∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}， ∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}， ∴M∪N的子集有26＝64个．] 考点一 集合的含义与表示 解决与集合中的元素有关问题的一般思路

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为( ) A．9 B．8 C．5 D．4 A [由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为C13C13＝9，故选A.]

2．已知a，b∈R，若a，ba，1＝{a2，a＋b,0}，则a2 021＋b2 021＝________. －1 [由已知得a≠0，则ba＝0， 所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 021＋b2 021＝(－1)2 021＋02 021＝－1.] 3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________. 0或98 [当a＝0时，显然成立；当a≠0时，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝98.] 考点二 集合间的基本关系 判断集合关系的三种方法

[典例1] (1)已知集合A＝{x|y＝1－x2，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，则 ( ) A．AB B．BA C．A⊆B D．B＝A (2)(2020·武汉模拟)集合{x|－1＜x＜3，x∈N*}的非空子集个数为( ) A．3 B．4 C．7 D．8 (3)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________． (1)B (2)A (3)(－∞，2] [(1)由1－x2≥0得－1≤x≤1，则A＝{x|－1≤x≤1}， 由－1≤m≤1得0≤m2≤1，则B＝{x|0≤x≤1}， 所以BA，故选B. (2){x|－1＜x＜3，x∈N*}＝{1,2}，其非空子集个数为3，故选A. (3)A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝∅，满足B⊆A，

此时2－a≥1＋a，即a≤12.

②若B≠∅，由B⊆A得 2－a＜1＋a2－a≥－11＋a≤3，解得12＜a≤2. 由①②知a的取值范围为(－∞，2]．] 点评：(1)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． (2)空集是任何集合的子集，当题目条件中有B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入验证，否则易增解或漏解． [跟进训练] 1．(2020·北京模拟)已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N⊆M，则在下列集合中符合条件的集合N可能是( ) A．{0,1} B．{x|x2＝1} C．{x|x2＞0} D．R A [因为0∈M,1∈M，所以{0,1}⊆M，故选A.] 2．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m＋1}，且A＝B，则m＝( ) A．0 B．1 C．±1 D．0或1 A [由题意知 m＋1＝1m2＝m，解得m＝0，故选A.] 考点三 集合的基本运算 集合运算三步骤

集合的交、并、补运算 [典例2－1] (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．6 (2)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，则A∪B等于( ) A．(－1,1) B．(0,1) C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞) (3)(2020·衡水中学模拟)已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝x2

＋2，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg(x－1)}，则阴影部分所示集合为( ) A．[1,2] B．(1,2) C．(1,2] D．[1,2) (1)C (2)C (3)B [(1)由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.

(2)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}， ∴A∪B＝(－1，＋∞)，故选C. (3)由Venn图可知，阴影部分所示集合为B∩(∁UA)． 又A＝{y|y＝x2＋2，x∈R}＝[2，＋∞)． ∴∁UA＝(－∞，2)． 又B＝{x|y＝lg(x－1)}＝{x|x＞1}． ∴B∩(∁UA)＝(1,2)． 故选B.] 点评：集合运算的常用方法 (1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解． (2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心． 根据集合的运算结果求参数 [典例2－2] (1)(2020·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( ) A．－4 B．－2 C．2 D．4 (2)(2020·秦皇岛模拟)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，则实数a的取值范围为( )