专题一 集合与常用逻辑用语、不等式

2021届高考二轮复习数学专题精品试卷专题一集合、常用逻辑用语、不等式命题方向1．集合集合考查主要是与不等式结合的交并补运算，以及Venn图的理解运用．要求掌握集合的概念、集合的表示方法、元素与集合的关系、集合之间的关系、集合之间的交并补的运算，能用Venn图表示集合之间的基本关系．2．常用逻辑用语本部分内容的考点为充分条件与必要条件，全称量词和存在量词，充分必要条件主要以其他的知识作为载体进行考查，全称量词和存在量词主要考查命题的否定．3．不等式不等式的考查主要为不等式性质的考查，不等式解法的考查，以及基本不等式的使用，题型以选择填空题为主．另外不等式作为工具在大题解题过程中进行应用．一、集合1．集合间的关系与运算（1）；（2），．2．含有个元素的集合有个子集，有个真子集．3．当集合是不等式的解集时，通常借助数轴进行求解，若集合为抽象集合时，用Venn图求解．二、逻辑用语1．充分、必要条件（1），则是的充分条件；（2），则是的必要条件；（3），则和互为充要条件．2．全称命题、特称命题及其否定（1）全称命题：，其否定为特称命题：；（2）特称命题：，其否定为全称命题：．三、不等式1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一般先将二次项系数化为正数，再判断的符号，然后解对应的一元二次方程，最后写出不等式的解．2．一元不等式的恒成立问题对于恒成立的条件为：二次项系数，；对于恒成立的条件为：．3．分式不等式对于分式不等式：先移项通分标准化，则；．4．基本不等式（1），当且仅当时，等号成立．（2）基本不等式的变形．①，当且仅当时，等号成立；①，当且仅当时，等号成立．一、选择题．1．若集合，，则（）A．B．C．D．2．已知均为的子集，且，则（）A．B．C．D．3．已知全集，，，指出图中阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．4．已知集合，，则中的元素个数为（）A．2B．3C．4D．55．已知集合，，若，则（）A．B．C．0D．16．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．57．已知集合，，，则集合的真子集的个数是（）A．B．C．D．8．设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知命题：，，则它的否定形式为（）A．，B．，C．，D．，10．已知且，．则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件11．设，，则下列不等式中，恒成立的是（）A．B．C．D．12．已知函数，则使得成立的的取值范围是（）A．B．C．D．13．若，则函数的最小值为（）A．3B．4C．5D．614．若正实数，满足，则的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题．15．已知，，，若不等式对已知的及任意实数恒成立，则实数最大值为_______．一、选择题．1．若集合，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有（）A．2B．3C．4D．83．命题“若，则或”的否定是（）A．若，则或B．若，则且C．若，则或D．若，则且二、填空题．4．在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在，使得，则的最小值为__________．一、选择题．1．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（）A．0B．1C．2D．32．已知集合，，且，，，记，则（）A．B．C．D．3．已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．4．对于任意两个正整数，，定义某种运算“”如下：当，都为正偶数或正奇数时，；当，中一个为正偶数，另一个为正奇数时，，则在此定义下，集合中的元素个数是（）A．10个B．15个C．16个D．18个5．（多选）给定数集合M，若对于任意，有，且，则称集合M为闭集合，则下列说法中不正确的（）A．集合为闭集合B．集合为闭集合C．正整数集是闭集合D．若集合为闭集合，则为闭集合6．命题“，，使得”的否定形式是（）A．，，使得B．，，使得C．，，使得D．，，使得7．已知函数，则不等式成立的一个充分不必要条件为（）A．B．C．D．8．已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（）A．3B．4C．5D．69．函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，其中均大于0，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．1610．（多选）已知，为正实数，则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，为正实数，则C．若，则D．若，则二、填空题．11．已知集合，，且，则实数的取值范围是_________．12．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是__________．一、选择题．1．【答案】D【解析】因为或，所以，故选D．【点评】本题主要考查了几何的运算，掌握并集的定义是解题的关键，属于基础题型．2．【答案】B【解析】解法一：，，据此可得，故选B．解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，矩形区域CDFG表示集合N，满足，结合图形可得：，故选B．【点评】本题考查了几何的抽象概念，需要借助Venn图来进行求解，属于基础题．3．【答案】C【解析】因为，，所以，，因为，所以，由图易知，图中阴影部分表示的集合是，故图中阴影部分表示的集合是，故选C．【点评】本题考查的知识点是Venn图表达几何的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键．4．【答案】B【解析】因为集合，，所以，故选B．【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．5．【答案】B【解析】因为，所以，．又或，且，得．因为，所以，即，故选B．【点评】本题考查了集合中元素的互异性以及集合的运算，属于基础题．6．【答案】C【解析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为，，，集合，，中元素个数分别为A．，B．，C．，则A．，B．，C．，，因为A．B．C，且，，，所以，即，故选C．【点评】本题考查集合多面手问题的应用，考查学生转化问题的能力和应用不等关系解题的思想，属于中档题．7．【答案】D【解析】由题意可知共有个元素集合，所以集合的真子集的个数，故选D．【点评】考查了集合的表示与集合关系，先确定集合中元素的个数是解本题的关键．8．【答案】A【解析】，，，可得“”是“”的充分条件；由，①当时，可得，即；①当时，可得，即；可得“”不是“”的必要条件；所以“”是“”充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了不等式性质的理解和应用，解题的关键是正确理解充分条件和必要条件的判断方法．9．【答案】D【解析】因为命题的否定，需要修改量词并且否定结论，所以命题：，，则它的否定形式为：，，故选D．【点评】本题主要考查含有量词的命题否定，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，本题属于基础题．10．【答案】A【解析】若且，则，所以p是q成立的充分条件，当时，满足，但是不满足且，所以p不是q成立的必要条件，综上所述：p是q成立的充分不必要条件，故选A．【点评】本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）若是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（3）若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．11．【答案】B【解析】对于A选项，，所以，，所以，，A选项错误；对于B选项，，则，由不等式的基本性质可得，B选项正确；对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C选项错误；对于D选项，若，由A选项可知，，由不等式的基本性质可得，D 选项错误，故选B．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质，属于基础题．12．【答案】C【解析】令，则，，所以，所以，令，则，因为，所以，所以，所以在单调递增，所以由，得，所以，解得，故选C．【点评】此题考查不等式恒成立问题，考查函数单调性的应用，解题的关键是换元后对不等式变形得，再构造函数，利用函数的单调性解不等式．13．【答案】D【解析】①，①，①，当且仅当，即时取等号，①函数的最小值为6，故选D．【点评】本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．14．【答案】C【解析】变形得，因为，是正实数，则，当且仅当时，取最小值，故选C．【点评】在基本不等式中，遇到已知条件为时，需要先变形为，然后利用乘“”法展开计算，再根据“一正二定三相等”的步骤计算最值．二、填空题．15．【答案】5【解析】，当且仅当，即时，取等号，因为不等式对恒成立，所以对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，令，．故答案为5．【点评】本题考查了利用基本不等式求解最值及不等式恒成立与最值求解的相互转化，体现了转化思想的应用．一、选择题．1．【答案】D【解析】设，当时，，满足题意；当时，是二次函数，依题可知，，因为，所以恒大于等于0，即，所以，解得．【点评】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论．2．【答案】D【解析】，因为，所以，因此，对应实数的值为，，，其组成的集合的子集个数有，故选D．【点评】本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题．3．【答案】D【解析】命题：“若，则或”为真命题，则其否定为：“若，则且”，故选D．【点评】本题考查命题的否定形式，注意命题的否定与否命题的区别，若原命题为“若，则”则其否命题为“若，则”，否定为“若，则”，注意一般命题与全称命题、特称命题否定的区别．二、填空题．4．【答案】【解析】依题意，依题意存在，使得，即，即，所以，所以．当且仅当，时等号成立．所以的最小值为，故答案为．【点评】求解有关表达式的最值问题，可以考虑采用的代换的方法，结合基本不等式求得最值，要注意等号成立的条件．一、选择题．1．【答案】C【解析】联立，解得或．即与相交于两点，，故中有两个元素，故选C．【点评】本题考查了集合的表示方法及集合的运算，属于基础题．2．【答案】D【解析】由题意设，，，（），则，而，①，故选D．【点评】本题考点为集合间的关系，属于中档题．3．【答案】C【解析】因为或，所以．因为，所以，故选C．【点评】本题结合函数的定义域，不等式考查集合运算，属于基础题．4．【答案】B【解析】根据定义知分两类进行考虑，一奇一偶，则，，所以可能的取值为共4个，同奇偶，则，由，所以可能的取值为，共11个，所以符合要求的共15个，故选B．【点评】本题主要考查了分类讨论思想，集合及集合与元素的关系，属于中档题．5．【答案】ACD【解析】根据对于任意，，有，且，对于A．当集合，，0，2，时，而，所以集合不为闭集合；对于B．当，时，设，，，，则，，所以集合为闭集合；对于C．设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数集不为闭集合；对于D．设，，，是闭集合，且，，而，此时不为闭集合，所以，说法中不正确的是ACD，故选ACD．【点评】本题考查了新定义的集合与元素的判定问题，解题时应深刻理解新定义的概念，适当的应用反例说明命题是否成立，属于中档题．6．【答案】B【解析】命题“，，使得”，则命题的否定为：，，使得，故选B．【点评】本题主要考查了含有量词命题的否定，比较基础．7．【答案】B【解析】可得的定义域为，和都是增函数，是定义在的增函数，，是奇函数，则不等式化为，，解得，则不等式成立的充分不必要条件应是的真子集，只有B选项满足，故选B．【点评】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，解题的关键是判断出是增函数且是奇函数，从而将不等式化为求解．8．【答案】D【解析】令二次函数，则二次函数开口向上，且对称轴为，根据二次函数对称性可知：若不等式的解集中有且只有个整数，则需要满足，即，解得，故选D．【点评】本题考查根据不等式的解集求参数，主要考查二次函数的对称性的灵活应用，考查推理能力与计算能力，是简单题．9．【答案】B【解析】因为函数（且）的图象恒过定点，又因为点在直线上，所以，即，所以，当且仅当，即取等号，所以的最小值为4，故选B．【点评】本题考查了对数函数的性质和均值不等式等知识点，运用了整体代换的思想，是高考考查的重点．10．【答案】ACD【解析】对于A，因为，为正实数，且，所以，所以，故A正确；对于B，因为，，均为正实数，且，所以，所以，故B错误；对于C，因为，为正实数，，所，所以，C正确；对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确，故选ACD．【点评】比较大小的方法：（1）作差法，其步骤：作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论．（2）作商法，其步骤：作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论．（3）构造函数法：构造函数，利用函数单调性比较大小．（4）赋值法和排除法：可以多次取特殊值，根据特殊值比较大小，从而得出结论．二、填空题．11．【答案】【解析】由题意可得：，据此结合题意可得：，即，即实数的取值范围是．【点评】本题主要考查集合的表示方法，由集合间的关系求解参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．12．【答案】【解析】由图知实数的取值范围是，其中为直线与相切时的值，即．【点评】本题以分段函数为载体，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．。

专题二集合与常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合与常用逻辑用语1．集合的概念、运算(1)集合元素的三个特性：确定性、互异性、无序性，是判断某些对象能否构成一个集合或判断两集合是否相等的依据．(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)集合间的关系：子集、真子集、空集、集合相等，在集合间的运算中要注意空集的情形．(4)重要结论A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔B⊆A.2．命题(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)含有量词的命题的否定：∀x∈M，p(x)的否定是∃x∈M，綈p(x)；∃x∈M，p(x)的否定是∀x∈M，綈p(x)．3．充要条件从逻辑观点看从集合观点看p是q的充分不必要条件(p⇒q，q⇒p)A Bp是q的必要不充分条件(q⇒p，p⇒q)B Ap是q的充要条件(p⇔q)A＝Bp是q的既不充分也不必要条件(p⇒q，q⇒p)A与B互不包含1．(2013·辽宁)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B等于() A．(0,1) B．(0,2] C．(1,2) D．(1,2]答案 D解析A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．2．(2013·北京)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．3． (2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B答案 D解析 命题p ：∀x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为∃x ∈A,2x ∉B ，选D. 4． (2013·天津)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等； ③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③答案 C解析 对于命题①，设球的半径为R ，则43π⎝⎛⎭⎫R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．5． (2013·四川)设P 1，P 2，…，P n 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点P 1，P 2，…，P n 的距离之和最小，则称点P 为点P 1，P 2，…，P n 的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点A 、B 的中位点．现有下列命题： ①若三个点A ，B ，C 共线，C 在线段AB 上，则C 是A ，B ，C 的中位点； ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点A ，B ，C ，D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)答案①④解析∵|CA|＋|CB|≥|AB|，当且仅当点C在线段AB上等号成立，即三个点A，B，C，∴点C在线段AB上，∴点C是A，B，C的中位点，故①是真命题．如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，P是AB的中点，CH⊥AB，点P，H不重合，则|PC|>|HC|.又|HA|＋|HB|＝|P A|＋|PB|＝|AB|，∴|HA|＋|HB|＋|HC|<|P A|＋|PB|＋|PC|，∴点P不是点A，B，C的中位点，故②是假命题．如图(2)，A，B，C，D是数轴上的四个点，若P点在线段BC上，则|P A|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|AD|＋|BC|，由中位点的定义及①可知，点P是点A，B，C，D的中位点．显然点P 有无数个，故③是假命题．如图(3)，由①可知，若点P是点A，C的中位点，则点P在线段AC上，若点P是点B，D的中位点，则点P在线段BD上，∴若点P是点A，B，C，D的中位点，则P是AC，BD的交点，∴梯形对角线的交点是梯形四个顶点的唯一中位点，故④是真命题．题型一集合的概念与运算问题例1(1)(2012·湖北)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1 B．2 C．3 D．4(2)定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M等于()A．M B．N C．{1,4,5} D．{6}审题破题(1)先对集合A、B进行化简，注意B中元素的性质，然后根据子集的定义列举全部适合条件的集合C即可．(2)透彻理解A－B的定义是解答本题的关键，要和补集区别开来．答案(1)D(2)D解析(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．(2)N －M ＝{x |x ∈N 且x ∉M }． ∵2∈N 且2∈M ，∴2∉N －M ； 3∈N 且3∈M ，∴3∉N －M ； 6∈N 且6∉M ，∴6∈N －M . ∴故N －M ＝{6}．反思归纳 (1)解答集合间关系与运算问题的一般步骤：先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解． (2)两点提醒：①要注意集合中元素的互异性；②当B ⊆A 时，应注意讨论B 是否为∅.变式训练1 (2013·玉溪毕业班复习检测)若集合S ＝{x |log 2(x ＋1)>0}，T ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2－x 2＋x <0，则S ∩T 等于( )A ．(－1,2)B ．(0,2)C ．(－1，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 D解析 S ＝{x |x ＋1>1}＝{x |x >0}， T ＝{x |x >2或x <－2}． ∴S ∩T ＝{x |x >2}． 题型二 命题的真假与否定问题 例2 下列叙述正确的个数是( )①l 为直线，α、β为两个不重合的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；②若命题p ：∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0；③在△ABC 中，“∠A ＝60°”是“cos A ＝12”的充要条件；④若向量a ，b 满足a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4审题破题 判定叙述是否正确，对命题首先要分清命题的条件与结论，再结合涉及知识进行判定；对含量词的命题的否定，要改变其中的量词和判断词． 答案 B解析 对于①，直线l 不一定在平面α外，错误；对于②，命题p 是特称命题，否定时要写成全称命题并改变判断词，正确；③注意到△ABC 中条件，正确；④a ·b <0可能〈a ，b 〉＝π，错误．故叙述正确的个数为2. 反思归纳 (1)命题真假的判定方法：①一般命题p 的真假由涉及到的相关知识辨别；②四种命题的真假的判断根据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律；③形如p ∨q ，p ∧q ，綈p 命题的真假根据真值表判定．(2)区分命题的否定和否命题；含一个量词的命题的否定一定要改变量词． 变式训练2 给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >cb”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1，命题q ：∃x ∈R ，x 2－x －1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题只有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④答案 A解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④中綈q ：∀x ∈R ，x 2－x －1>0，由于x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54，则存在x 值使x 2－x －1≤0，故綈q 为假命题，则p ∧綈q 为假命题． 题型三 充要条件的判断问题例3 (1)甲：x ≠2或y ≠3；乙：x ＋y ≠5，则( )A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件(2)设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，12 C ．(－∞，0)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 审题破题 (1)利用逆否命题判别甲、乙的关系；(2)转化为两个集合间的包含关系，利用数轴解决． 答案 (1)B (2)A解析 (1)“甲⇒乙”，即“x ≠2或y ≠3”⇒“x ＋y ≠5”，其逆否命题为：“x ＋y ＝5”⇒“x ＝2且y ＝3”显然不正确．同理，可判断命题“乙⇒甲”为真命题．所以甲是乙的必要不充分条件．(2)綈p ：|4x －3|>1；綈q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)>0，解得綈p ：x >1或x <12；綈q ：x >a ＋1或x <a .若綈p ⇐綈q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12a ＋1>1或⎩⎪⎨⎪⎧a <12a ＋1≥1，即0≤a ≤12.反思归纳 (1)充要条件判断的三种方法：定义法、集合法、等价命题法；(2)判断充分、必要条件时应注意的问题：①要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A ；②要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．变式训练3 (1)(2012·山东)设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件． (2)设A ＝{x |xx －1<0}，B ＝{x |0<x <m }，若B 是A 成立的必要不充分条件，则m 的取值范围是( )A ．m <1B ．m ≤1C ．m ≥1D ．m >1答案 D解析 xx －1<0⇔0<x <1.由已知得，0<x <m ⇒0<x <1， 但0<x <1⇒0<x <m 成立． ∴m >1.典例 设非空集合S ＝{x |m ≤x ≤l }满足：当x ∈S 时，有x 2∈S .给出如下三个命题：①若m ＝1，则S ＝{1}；②若m ＝－12，则14≤l ≤1；③若l ＝12，则－22≤m ≤0.其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①m ＝1时，l ≥m ＝1且x 2≥1， ∴l ＝1，故①正确．②m ＝－12时，m 2＝14，故l ≥14.又l ≤1，∴②正确．③l ＝12时，m 2≤12且m ≤0，则－22≤m ≤0，∴③正确． 答案 D得分技巧 创新性试题中最常见的是以新定义的方式给出试题，这类试题要求在新的情境中使用已知的数学知识分析解决问题，解决这类试题的关键是透彻理解新定义，抓住新定义的本质，判断给出的各个结论，适当的时候可以通过反例推翻其中的结论． 阅卷老师提醒 在给出的几个命题中要求找出其中正确命题类的试题实际上就是一个多项选择题，解答这类试题时要对各个命题反复进行推敲，确定可能正确的要进行严格的证明，确定可能错误的要举出反例，这样才能有效避免答错试题．1． 已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若A ∩B ＝B ，则a 等于( )A ．－12或1 B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0答案 D解析 依题意可得A ∩B ＝B ⇔B ⊆A . 因为集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}，当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.2． (2013·浙江)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇函数”是“φ＝ π2”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 φ＝π2⇒f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx 为奇函数，∴“f (x )是奇函数”是“φ＝π2”的必要条件．又f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇒f (0)＝0⇒φ＝π2＋k π(k ∈Z )⇒φ＝π2.∴“f (x )是奇函数”不是“φ＝π2”的充分条件．3． (2012·辽宁)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))·(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0 答案 C解析 根据全称命题的否定是特称命题知． 綈p ：∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)<0.4． 已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)答案 C解析 由P ＝{x |x 2≤1}得P ＝{x |－1≤x ≤1}． 由P ∪M ＝P 得M ⊆P .又M ＝{a }，∴－1≤a ≤1. 5． 下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件 C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假 D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0 答案 C解析 易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．专题限时规范训练一、选择题1． (2013·陕西)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则∁R M 为( )A ．[－1,1]B ．(－1,1)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 D解析 由题意得M ＝[－1,1]，则∁R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．2． (2013·山东)给定两个命题p ，q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由题意知：綈p ⇐q ⇔(逆否命题)p ⇒綈q .3． (2012·湖南)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α ≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4答案 C解析 由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π4.4． (2012·湖北)命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( )A ．∃x 0D ∈∁R Q ，x 30∈QB ．∃x 0∈∁R Q ，x 30D ∈C ．∀xD ∈∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q 答案 D解析 “∃”的否定是“∀”，x 3∈Q 的否定是x 3D ∈Q .命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是“∀x ∈∁R Q ，x 3D ∈Q ”．5． 设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 A ＝{x |x －2>0}＝{x |x >2}＝(2，＋∞)，B ＝{x |x <0}＝(－∞，0)，∴A ∪B ＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，C ＝{x |x (x －2)>0}＝{x |x <0或x >2}＝(－∞，0)∪(2，＋∞)．A ∪B ＝C .∴“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 6． 下列关于命题的说法中错误的是( )A ．对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0B ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件C ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”D ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 答案 D解析 对于A ，命题綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0，因此选项A 正确．对于B ，由x ＝1可得x 2－3x ＋2＝0；反过来，由x 2－3x ＋2＝0不能得知x ＝1，此时x 的值可能是2，因此“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件，选项B 正确．对于C ，原命题的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项C 正确．7． 已知p ：2xx －1<1，q ：(x －a )(x －3)>0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[1,3]C ．[1，＋∞)D ．[3，＋∞)答案 C解析 2xx －1－1<0⇒x ＋1x －1<0⇒(x －1)(x ＋1)<0⇒p ：－1<x <1.当a ≥3时，q ：x <3或x >a ；当a <3时，q ：x <a 或x >3.綈p 是綈q 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 且q ⇒，从而可推出a 的取值范围是a ≥1. 8． 下列命题中是假命题的是( )A ．存在α，β∈R ，使tan(α＋β)＝tan α＋tan βB ．对任意x >0，有lg 2x ＋lg x ＋1>0C ．△ABC 中，A >B 的充要条件是sin A >sin BD ．对任意φ∈R ，函数y ＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 答案 D解析 对于A ，当α＝β＝0时，tan(α＋β)＝0＝tan α＋tan β，因此选项A 是真命题；对于B ，注意到lg 2x ＋lg x ＋1＝⎝⎛⎭⎫lg x ＋122＋34≥34>0，因此选项B 是真命题；对于C ，在△ABC 中，由A >B ⇔a >b ⇔2R sin A >2R sin B ⇔sin A >sin B (其中R 是△ABC 的外接圆半径)，因此选项C 是真命题；对于D ，注意到当φ＝π2时，y ＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 是偶函数，因此选项D 是假命题．综上所述，选D. 二、填空题9． 已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于________．答案 3解析 A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}， 集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}． 故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.10．设集合M ＝{y |y －m ≤0}，N ＝{y |y ＝2x －1，x ∈R }，若M ∩N ≠∅，则实数m 的取值范围是________．答案 (－1，＋∞)解析 M ＝{y |y ≤m }，N ＝{y |y >－1}，结合数轴易知m >－1.11． 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析 命题p ：a ≤12x 2－ln x 在[1,2]上恒成立，令f (x )＝12x 2－ln x ，f ′(x )＝x －1x＝(x －1)(x ＋1)x ，当1<x <2时，f ′(x )>0，∴f (x )min ＝f (1)＝12，∴a ≤12. 12．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件；②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件；③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)答案 ①④解析 对于①，当数列{a n }是等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列；但当数列 {a n a n ＋1}是等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确．对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确．对于③，当m ＝3时，相应的两条直线垂直；反过来，当这两条直线垂直时，不一定能得出m ＝3，也可能得出m ＝0，因此③不正确．对于④，由题意，得b a ＝sin B sin A ＝3，当B ＝60°时，有sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°；但当A ＝30°时，有sin B ＝32，B ＝60°或B ＝120°，因此④正确． 三、解答题13．已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.14．设集合A ＝{x |－2－a <x <a ，a >0}，命题p ：1∈A ，命题q ：2∈A .若p ∨q 为真命题，p ∧q为假命题，求a 的取值范围．解 由命题p ：1∈A ，得⎩⎨⎧ －2－a <1，a >1.解得a >1. 由命题q ：2∈A ，得⎩⎨⎧－2－a <2，a >2.解得a >2. 又∵p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，即p 真q 假或p 假q 真， 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a ≤2，即1<a ≤2， 当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，a >2，无解． 故所求a 的取值范围为(1,2]．。

第1讲 集合与常用逻辑用语1．(2016·课标全国乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－3，－32 B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，3答案 D解析 由A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >32， 得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x <3＝⎝⎛⎭⎫32，3，故选D. 2．(2016·北京)设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若|a |＝|b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为菱形，a ＋b ，a －b 表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a ＋b |＝|a －b |不一定成立；反之，若|a ＋b |＝|a －b |成立，则以a ，b 为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a |＝|b |不一定成立，所以“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件． 3．(2016·浙江)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 答案 D解析 原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合．1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一 集合的关系及运算 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．例1 (1)已知集合A ＝{x |x －1x ＋2<0}，B ＝{y |y ＝sin n π2，n ∈Z }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1<x <1}B ．{－1,0,1}C ．{－1,0}D ．{0,1}(2)若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________． 答案 (1)C (2)②④解析 (1)因为A ＝{x |x －1x ＋2<0}＝{x |－2<x <1}，B ＝{y |y ＝sin n π2，n ∈Z }＝{0，－1,1}，所以A ∩B＝{－1,0}．(2)①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，但是{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，所以①错；②④都满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③错．所以答案为②④.思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1 (1)已知集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg x }，则(∁R A )∩B 为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112D.512答案 (1)C (2)C解析 (1)因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]， B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)． 所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)． 故答案为C.(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14， ⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1， 可得M ＝⎣⎡⎦⎤0，34，N ＝⎣⎡⎦⎤23，1. 所以M ∩N ＝⎣⎡⎦⎤0，34∩⎣⎡⎦⎤23，1＝⎣⎡⎦⎤23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.故选C.热点二 四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 例2 (1)下列命题：①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ⊂β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题． 其中正确的命题序号是________．(2)已知ξ服从正态分布N (1，σ2)，a ∈R ，则“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件 答案 (1)① (2)A解析 (1)①当α⊥β时，n ⊂β可以是平面内任意一直线，所以得不到m ∥n ，当m ∥n 时，m ⊥α，所以n ⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件．所以①正确．②log 2x ＝lg xlg2，log 3x ＝lg x lg3，因为lg2<lg3，所以1lg2>1lg3，当x ∈(0,1)时，lg x lg2<lg xlg3，即log 2x <log 3x 恒成立，所以②错误．③中原命题的逆命题为：若a <b ，则am 2<bm 2，显然当m 2＝0时不正确，所以③错误．所以答案应填①. (2)由P (ξ>a )＝0.5，知a ＝1.∵二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 3(ax )3－k ⎝⎛⎭⎫1x 2k ＝a 3－k C k 3x 3－3k，令3－3k ＝0，得k ＝1，∴其常数项为a 2C 13＝3a 2＝3，解得a ＝±1，∴“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝⎛⎭⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A.思维升华 充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 跟踪演练2 (1)下列四个结论中正确的个数是( )①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R ，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R ，sin x 0>1”； ③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0. A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1]答案 (1)A (2)A解析 (1)对于①，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2，故“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，∵tan x＝1推出的是x ＝π4＋k π，k ∈Z .所以③错误．对于④，log 32≠－log 23，所以④错误．②正确．故选A. (2)由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0， 所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2.热点三 逻辑联结词、量词1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．例3 (1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假D ．“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－2或a ＝1 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a >1D ．－2≤a ≤1答案 (1)C (2)C解析 (1)△ABC 中，C >B ⇔c >b ⇔2R sin C >2R sin B (R 为△ABC 外接圆半径)，所以C >B ⇔sin C >sin B .故“C >B ”是“sin C >sin B ”的充要条件，命题p 是假命题．若c ＝0，当a >b 时，则ac 2＝0＝bc 2，故a >b ⇏ac 2>bc 2，若ac 2>bc 2，则必有c ≠0，则c 2>0，则有a >b ，所以ac 2>bc 2⇒a >b ，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件，故命题q 也是假命题，故选C.(2)命题p 为真时a ≤1；“∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”为真，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根，故Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，解得a ≥1或a ≤－2.(綈p )∧q 为真命题，即(綈p )真且q 真，即a >1.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 跟踪演练3 (1)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假(2)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________． 答案 (1)B (2)0解析 (1)由于三角函数y ＝sin x 的有界性：－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y ＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >0恒成立，即∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x >sin x ， 所以q 真．判断可知，B 正确．(2)令f (x )＝tan x ＋1，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，π4上为增函数，故f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫－π4＝0，∵∀x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1，故m ≤(tan x ＋1)min ，∴m ≤0，故实数m 的最大值为0.1．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于( ) A ．{x |－1≤x <1} B ．{x |x >－1} C ．{x |x <1}D ．{x |x ≥1}押题依据 集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇． 答案 C解析 M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，∴∁R N ＝{x |x ≤－1}， ∴M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}，故选C.2．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“Ω集合”．给出下列4个集合： ①M ＝{(x ，y )|y ＝1x }；②M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ③M ＝{(x ，y )|y ＝cos x }； ④M ＝{(x ，y )|y ＝ln x }．其中是“Ω集合”的所有序号为( ) A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．①③④押题依据 以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口． 答案 A解析 对于①，若x 1x 2＋y 1y 2＝0，则x 1x 2＋1x 1·1x 2＝0，即(x 1x 2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M ，且存在(x 2，y 2)∈M ，则x 1x 2＋y 1y 2＝1×x 2＋0×y 2＝x 2>0，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．故选A.3．设υ∈R ，则“υ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋υ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件押题依据 充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念． 答案 A解析 当υ＝0时，f (x )＝cos(x ＋υ)＝cos x 为偶函数成立；但当f (x )＝cos(x ＋υ)为偶函数时，υ＝k π，k ∈Z ，所以υ＝0时，必要条件不成立．故选A. 4．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①函数y ＝sin2x ＋cos2x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π8； ②a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ＝{x |a 1x ＋b 1>0}，B ＝{x |a 2x ＋b 2>0}，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“A ＝B ”的必要不充分条件；③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个押题依据 常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题． 答案 C解析 ①y ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，因此递增区间是⎣⎡⎦⎤0，π8； ②充分性不成立，如a 1＝1，b 1＝1，a 2＝－1＝b 2，满足a 1a 2＝b 1b 2，但A ＝{x |x ＋1>0}＝(－1，＋∞)，B ＝{x |－x －1>0}＝(－∞，－1)，A ≠B ； 必要性成立：A ＝B ⇒a 1a 2>0⇒－b 1a 1＝－b 2a 2⇒a 1a 2＝b 1b 2；③p ∨q 为真命题时，p ，q 不一定全真，因此p ∧q 不一定为真命题；④命题∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0的否定应为∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0.所以①②为真，选C.A 组 专题通关1．已知集合A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B 等于( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1}答案 A解析 A ＝{x |x >－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}， 所以有(∁R A )∩B ＝{－2，－1}，故选A.2．已知集合M ＝{x |log 2x <3}，N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }，则M ∩N 等于( ) A ．(0,8) B ．{3,5,7} C ．{0,1,3,5,7} D ．{1,3,5,7} 答案 D解析 由M 中不等式变形得：log 2x <3＝log 28， 即0<x <8，∴M ＝{x |0<x <8}， ∵N ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈N }， ∴M ∩N ＝{1,3,5,7}，故选D.3．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．12 D ．13 答案 D解析 若x ＝5∈A ，y ＝1∈A ，则x ＋y ＝5＋1＝6∈B ，即点(5,1)∈C ；同理，(5,2)∈C ，(4,1)∈C ，(4,2)∈C ，(4,3)∈C ，(3,2)∈C ，(3,3)∈C ，(3,4)∈C ，(2,3)∈C ，(2,4)∈C ，(2,5)∈C ，(1,4)∈C ，(1,5)∈C .所以C 中所含元素的个数为13，应选D. 4．已知集合M ＝{x |y ＝lg 1－xx}，N ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋3}，则(∁R M )∩N 等于( ) A ．{x |0<x <1} B ．{x |x >1} C ．{x |x ≥2} D ．{x |1<x <2} 答案 C解析 由1－x x >0得0<x <1，故M ＝{x |0<x <1}，∁R M ＝{x |x ≤0或x ≥1}，y ＝(x ＋1)2＋2≥2， 故N ＝{y |y ≥2}，则(∁R M )∩N ＝{x |x ≥2}．5．设命题甲：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ；命题乙：0<a <1，则命题甲是命题乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分又非必要条件答案 C解析 由命题甲ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，可知a ＝0时，原式＝1>0恒成立，当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a <0， 解得0<a <1，所以0≤a <1，所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命题甲是命题乙成立的必要不充分条件，故选C.6．设命题p ：函数y ＝sin2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 p 是假命题，q 是假命题，因此只有C 正确．7．已知命题p ：2xx －1<1，命题q ：(x ＋a )(x －3)>0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－3，－1] B ．[－3，－1] C ．(－∞，－1] D ．(－∞，－3]答案 C解析 由p ：2xx －1<1，得x ＋1x －1<0，－1<x <1，而p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q ，q ⇏p ，所以－a ≥1，a ≤－1.故选C.8．①命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”； ②“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充要条件； ③若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题；④对于命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.上面四个命题中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④答案 C解析 对于命题：若p ，则q ，其逆否命题是若綈q ，则綈p ，故①对；答案从A ，C 中选；②x ＝1时x 2－4x ＋3＝0成立，所以“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充分条件，当x 2－4x ＋3＝0时x ＝1或x ＝3，所以“x ＝1”不是“x 2－4x ＋3＝0”的必要条件；所以“x ＝1”是“x 2－4x ＋3＝0”的充分不必要条件．故②错，故选C.9．已知集合M ＝{x |x 2<4}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}，则集合M ∩N ＝________.答案 (－1,2)解析 由不等式的解法，可得M ＝{x |x 2<4}＝{x |－2<x <2}，N ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，由交集的计算方法可得，M ∩N ＝{x |－1<x <2}．10．已知集合A ＝{x |－1<x ≤5}，B ＝{x |m －5<x ≤2m ＋3}，且A ⊆B ，则实数m 的取值范围是________．答案 [1,4]解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m －5≤－1，2m ＋3≥5，解得1≤m ≤4.故应填[1,4]． 11．“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的______________．(空格处请填写“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 答案 充分不必要条件解析 f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增⇒f ′(x )＝a －sin x ≥0在R 上恒成立⇒a ≥(sin x )max ＝1，所以“a >1”是“函数f (x )＝a ·x ＋cos x 在R 上单调递增”的充分不必要条件．12．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题．其中真命题的序号是________．答案 ①④解析 对①，因命题“若α＝β，则cos α＝cos β”为真命题，所以其逆否命题亦为真命题，①正确；对②，命题“∃x 0∈R ，使得x 20－x 0>0”的否定应是：“∀x ∈R ，均有x 2－x ≤0”，故②错；对③，因为由“x 2＝4”得x ＝±2，所以“x 2＝4”是“x ＝－2”的必要不充分条件，故③错；对④，p ，q 均为真命题，由真值表判定p 且q 为真命题，故④正确．B 组 能力提高13．下列说法中，不正确的是( )A ．已知a ，b ，m ∈R ，命题“若am 2<bm 2，则a <b ”为真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0－2>0”的否定是：“∀x ∈R ，x 2＋x －2≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“x >3”是“x >2”的充分不必要条件答案 C解析 A 正确，因为此时m 2>0；B 正确，特称命题的否定就是全称命题；C 不正确，因为命题“p 或q ”为真命题，那么p ，q 有一个真，p 或q 就是真命题；D 项，小集合是大集合的充分不必要条件．故选C.14．已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1]答案 A解析 ∵p ∨q 为假命题，∴p 和q 都是假命题．由p ：∃x 0∈R ，mx 20＋2≤0为假命题， 得綈p ：∀x ∈R ，mx 2＋2>0为真命题，∴m ≥0.①由q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0为假命题，得綈q ：∃x 0∈R ，x 20－2mx 0＋1≤0为真命题，∴Δ＝(－2m )2－4≥0⇒m 2≥1⇒m ≤－1或m ≥1.②由①和②得m ≥1.故选A.15．下列选项错误的是( )A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件C ．若“命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0”，则“綈p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0”D ．若“p ∨q ”为真命题，则p ，q 均为真命题答案 D解析 对于若“p ∨q ”为真命题，则p 、q 中至少有一个为真命题，∴D 选项错误．故选D.16．已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0，若3∈M,5∉M ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25]解析 ∵集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |ax －5x 2－a <0， 得(ax －5)(x 2－a )<0，当a ＝0时，显然不成立，当a >0时，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －5a ()x －a (x ＋a )<0， 若a <5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <3<5a ，a ≥1，解得1≤a <53； 若a >5a ，只需满足⎩⎪⎨⎪⎧ 5a <3<a ，a ≤5，解得9<a ≤25，当a <0时，不符合条件，综上，答案为⎣⎡⎭⎫1，53∪(9,25]． 17．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．答案 ②④解析 对于①：取k ＝12，点(1,1)∈{(x ，y )|x 2≥y }，但(12，12)∉{(x ，y )|x 2≥y }，故①是不具有性质P 的点集．对于②：∀(x ，y )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，则点(x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1内部，所以对0<k <1，点(kx ，ky )也在椭圆2x 2＋y 2＝1的内部，即(kx ，ky )∈{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，故②是具有性质P 的点集．对于③：(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝54，点(12，－12)在此圆上，但点(14，－14)不在此圆上，故③是不具有性质P 的点集．对于④：∀(x ，y )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，对于k ∈(0,1)，因为(kx )3＋(ky )3－(kx )2·(ky )＝0⇒x 3＋y 3－x 2y ＝0，所以(kx ，ky )∈{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，故④是具有性质P 的点集．综上，具有性质P 的点集是②④.。

不等式与线性规划1．已知实数a ，b ，c ，( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2＜100 答案 D解析 由于此题为选择题，可用特值排除法找正确选项． 对选项A ，当a ＝b ＝10，c ＝－110时，可排除此选项； 对选项B ，当a ＝10，b ＝－100，c ＝0时，可排除此选项； 对选项C ，当a ＝10，b ＝－10，c ＝0时，可排除此选项． 故选D.2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0， 则z ＝x ＋y 的最大值为________．答案 32解析 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0的可行域为以A (－2，－1)，B (0,1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12为顶点的三角形内部及边界，如图，过C ⎝⎛⎭⎫1，12时取得最大值32.3．(2016·上海)设x ∈R ，则不等式|x －3|<1的解集为________． 答案 (2,4)解析 －1<x －3<1，即2<x <4，故解集为(2,4)．4．(2016·上海)设a >0，b >0，若关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋y ＝1，x ＋by ＝1无解，则a ＋b 的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 由已知得，ab ＝1，且a ≠b ， ∴a ＋b >2ab ＝2.1.利用不等式性质比较大小，利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点；2.一元二次不等式常与函数、数列结合考查一元二次不等式的解法和参数取值范围；3.利用不等式解决实际问题.热点一 不等式的解法 1．一元二次不等式的解法先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． 2．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x )g (x )≥0(≤0)⇔f (x )g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. 3．指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解．例1 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为__________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，若f (x 0)>0，则x 0的取值范围是________________．答案 (1)9 (2)(－∞，0]∪(1，＋∞) 解析 (1)由值域为[0，＋∞)，可知当x 2＋ax ＋b ＝0时有Δ＝a 2－4b ＝0，即b ＝a 24，∴f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝x 2＋ax ＋a 24＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. ∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 解得－c <x ＋a 2<c ，－c －a 2<x <c －a2.∵不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)， ∴⎝⎛⎭⎫c －a 2－(－c －a2)＝2c ＝6，解得c ＝9.(2)当x 0≤0时，由03x>0，得x 0≤0；当x 0>0时，由log 2x 0>0，得x 0>1，所以x 0的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞)．思维升华 (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．跟踪演练1 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝________. (2)不等式22x x－＜4的解集为________．答案 (1)52(2)(－1,2)解析 (1)由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a >0，所以不等式的解集为(－2a,4a )，即x 2＝4a ，x 1＝－2a ，由x 2－x 1＝15，得4a －(－2a )＝15，解得a ＝52.(2)∵22x x－＜4＝22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，解得－1<x <2.热点二 基本不等式的应用利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值)；(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值)．例2 (1)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，若a ⊥b ，则2m ＋4n 的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．4D ．8(2)已知正实数x ，y 满足xy ＋x ＋y ＝17，则x ＋2y ＋3的最小值为________． 答案 (1)C (2)12解析 (1)因为向量a ＝(m,2)，b ＝(1，n －1)，a ⊥b ， 所以m ＋2(n －1)＝0，即m ＋2n ＝2. 所以2m＋4n≥22m·4n＝22m ＋2n＝222＝4(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＝4n ，m ＋2n ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝0.5时，等号成立)，所以2m ＋4n 的最小值为4，故选C.(2)由题意，得y ＝17－x x ＋1>0，x >0，则0<x <17，所以x ＋2y ＋3＝x ＋34－2x x ＋1＋3＝(x ＋1)＋36x ＋1≥2(x ＋1)·36x ＋1＝12，当且仅当x ＝5时取等号，故x ＋2y ＋3的最小值为12.思维升华 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．跟踪演练2 (1)若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则a a ＋1＋bb ＋1的最大值为________．(2)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤8时，z ＝x a ＋yb(a ≥b >0)的最大值为2，则a ＋b 的最小值为( )A ．4＋2 3B ．4－2 3C ．9D ．8答案 (1)23(2)D解析 (1)∵正数a ，b 满足a ＋b ＝1， ∴a a ＋1＋bb ＋1＝a (b ＋1)＋b (a ＋1)(a ＋1)(b ＋1)＝2ab ＋a ＋b ab ＋a ＋b ＋1＝2ab ＋1ab ＋2＝2(ab ＋2)－3ab ＋2＝2－3ab ＋2 ≤2－3⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋2＝2－314＋2＝23，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，∴a a ＋1＋b b ＋1的最大值为23.(2)画出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(包括边界)所示．由z ＝x a ＋y b (a ≥b >0)，得y ＝－ba x ＋bz .当直线y ＝－bax ＋bz 经过点A 时，z 有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝8，得A (2,6)，∴2a ＋6b ＝2，即1a ＋3b ＝1.∵a ＋b ＝(a ＋b )(1a ＋3b )＝4＋b a ＋3ab ，令ba ＝t ，则0<t ≤1， ∴a ＋b ＝4＋t ＋3t ，0<t ≤1.令f (t )＝4＋t ＋3t ，0<t ≤1，则f ′(t )＝1－3t 2＝t 2－3t 2<0，∴y ＝f (t )在(0,1]上是减函数．∴(a ＋b )min ＝f (1)＝4＋1＋3＝8.故选D. 热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．例3 (1)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为__________．(2)若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形，则其表示的区域面积为( ) A ．1或14B.12或18 C ．1或12D.12或14答案 (1)4 (2)D解析 (1)可行域为△ABC 及其内部，其中A (1,1)，B (0,2)，C (－1,0)，当直线z ＝3x ＋y 过点A 时取最大值4.(2)直线kx －y ＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx －y ＋1＝0垂直于y 轴(如图(1))或与直线x ＋y ＝0垂直(如图(2))时才符合题意．所以S ＝12×1×1＝12或S ＝12×22×22＝14.思维升华 (1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得．跟踪演练3 (1)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤2，则z ＝4x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[0,8]C ．[2,8]D ．[2,10](2)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．[－1，＋∞)C ．[－1,1]D ．[－1,1)答案 (1)B (2)C 解析 (1)作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图知当目标函数z ＝4x ＋y 经过点B (2,0)时z 取得最大值，最大值为4×2＋0＝8；当目标函数z ＝4x ＋y 经过点O (0,0)时z 取得最小值，最小值为4×0＋0＝0，所以z ＝4x ＋y 的取值范围是[0,8]，故选B. (2)由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1,1].1．若点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.12 C.14D.18押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合． 答案 D解析 因为点A (a ，b )在第一象限，且在直线x ＋2y ＝1上，所以a >0，b >0，且a ＋2b ＝1， 所以ab ＝12·a ·2b ≤12·(a ＋2b 2)2＝18，当且仅当a ＝2b ＝12，即a ＝12，b ＝14时，“＝”成立．故选D.2．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容．往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式． 答案 D解析 由定义知，不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立， ∵x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.3．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，3x －y －3≤0，x ≥12，y ≥1，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．2 B.52 C.72D ．5押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点． 答案 B解析 由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中阴影部分所示的四边形ABCD 及其内部．因为目标函数z ＝x ＋2y 可化为y ＝－x 2＋z 2，其表示过可行域上的点(x ，y )，斜率为－12且在y轴上的截距为z 2的直线；由图可知，当z ＝x ＋2y 过点D (12，1)时，z 取得最小值z min ＝12＋2＝52.故选B. 4．若不等式x 2＋2x <a b ＋16ba 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )A ．(－4,2)B ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－2,0)押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点． 答案 A解析 不等式x 2＋2x <a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于不等式x 2＋2x <⎝⎛⎭⎫a b ＋16b a min .因为对任意a ，b ∈(0，＋∞)，a b ＋16b a ≥2a b ·16b a ＝8(当且仅当a b ＝16ba，即a ＝4b 时取等号)，所以x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选A.A 组 专题通关1．已知a >b ，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．ln a >ln b B.1a <1bC ．a 2>abD ．a 2＋b 2>2ab答案 D解析 只有当a >b >0时A 成立；只有当a ，b 同号时B 成立；只有当a >0时C 成立；因为a ≠b ，所以D 恒成立，故选D.2．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋12，x ≤0，则“0<x <1”是“f (x )<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当0<x <1时，f (x )＝log 2x <0， 所以“0<x <1”⇒“f (x )<0”；若f (x )<0，则⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x <0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－2x ＋12<0，解得0<x <1或－1<x ≤0，所以－1<x <1， 所以“f (x )<0”D ⇒/“0<x <1”．故选A. 3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋2y －2≥0，2x －y －2≤0，则目标函数z ＝3x ＋4y 的最小值为( )A ．1B ．3 C.265 D ．－19答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x ＋2y －2≥02x －y －2≤0，表示的平面区域如图所示(图中阴影部分)，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线z ＝3x ＋4y 经过点(－1，32)时，z 取得最小值，最小值为3.4．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是( ) A ．－5 B ．－12C.12 D ．5答案 B解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0表示的可行域如图阴影部分所示．y －1x －1表示可行域内的点(x ，y )与点P (1,1)连线的斜率．结合图形可知，当点(x ，y )取直线2x ＋y －2＝0与x －y ＋1＝0的交点A (13，43)时，y －1x －1取得最小值，最小值为－12.5．若不等式tt 2＋9≤a ≤t ＋2t 2在t ∈(0,2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤16，1 B.⎣⎡⎦⎤16，22 C.⎣⎡⎦⎤16，413 D.⎣⎡⎦⎤213，1答案 D解析 ∵t t 2＋9＝1t ＋9t ，而t ＋9t 在区间(0,2]上单调递减，∴t ＋9t ≥2＋92＝132，t t 2＋9＝1t ＋9t ≤213(当且仅当t ＝2时等号成立)．又t ＋2t 2＝1t ＋2t 2＝2⎝⎛⎭⎫1t ＋142－18， ∵1t ≥12，∴2⎝⎛⎭⎫1t ＋142－18≥1(当且仅当t ＝2时等号成立)．故a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤213，1. 6．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．0答案 A解析 先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0表示的平面区域，可得点(2,0)，(0,2)．要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0表示的平面区域的面积为4，那么直线kx －y ＋2＝0与直线x ＝2的交点应为(2,4)，将其代入kx －y ＋2＝0，得k ＝1.7．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y元，则y ＝20×4＋10×⎝⎛⎭⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x，即x ＝2时取得等号．8．已知x >0，y >0，若2y x ＋8xy >m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－4,2)解析 由题意可得m 2＋2m 应小于2y x ＋8x y 的最小值，所以由基本不等式可得2y x ＋8xy≥2 2y x ·8xy＝8， 所以m 2＋2m <8⇒－4<m <2.9．设0<a <1，集合A ＝{x ∈R |x >0}，B ＝{x ∈R |2x 2－3(1＋a )x ＋6a >0}，D ＝A ∩B ，求集合D .(用区间表示)解 令g (x )＝2x 2－3(1＋a )x ＋6a ， 其对称轴方程为x ＝34(1＋a )，Δ＝9(1＋a )2－48a ＝9a 2－30a ＋9＝3(3a －1)(a －3)． ①当0<a ≤13时，Δ≥0，x ＝34(1＋a )>0，g (0)＝6a >0，方程g (x )＝0的两个根分别为0<x 1＝3a ＋3－9a 2－30a ＋94<x 2＝3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，∴D ＝A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；②当13<a <1时，Δ<0，则g (x )>0恒成立，所以D ＝A ∩B ＝(0，＋∞)． 综上所述，当0<a ≤13时，D ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a ＋3－9a 2－30a ＋94∪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋3＋9a 2－30a ＋94，＋∞；当13<a <1时，D ＝(0，＋∞)． 10．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(按交通法规限制50≤x ≤100)(单位：千米/小时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)行车所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x ，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]．(2)y ＝2 340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2 340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．B 组 能力提高11．设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r ＜p B ．q ＝r ＞p C ．p ＝r ＜q D ．p ＝r ＞q答案 C解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， 故f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12 ＝f (ab )＝p . 故p ＝r ＜q .选C.12．已知正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，且使1m ＋16n 取得最小值，若曲线y ＝x α过点P (m 5，n 4)，则α的值等于( ) A ．－1 B.12 C ．2 D ．3答案 B解析 因为正实数m ，n 满足m ＋n ＝1，所以1m ＋16n ＝m ＋n m ＋16m ＋16n n ＝n m ＋16mn ＋17≥25，当且仅当m ＝15，n ＝45时，1m ＋16n 取得最小值．所以曲线y ＝x α过点P (125，15)，即15＝(125)α，所以α＝12.13．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0所表示的平面区域为D ，若直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋2＝0与平面区域D 有公共点，则实数m 的取值范围为( ) A ．(－4,0) B ．[－4,0]C ．(－∞，－4)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 D解析 如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1，y ≥0对应的平面区域D 是以点(－1,0)，(0,1)和(1,0)为顶点的三角形．直线(m ＋2)x －(m ＋1)y ＋2＝0可化为m (x －y )＋2x －y ＋2＝0，该直线恒过点(－2，－2)．若直线与平面区域D 有公共点，经过点(1,0)时，直线的斜率取得最小值23，经过点(－1,0)时，直线的斜率取得最大值2，则23≤m ＋2m ＋1≤2.解得m ≤－4或m ≥0，故实数m 的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．14．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)解 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60 (0≤x <20)，13(200－x ) (20≤x ≤200).(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x (0≤x <20)，13x (200－x ) (20≤x ≤200)，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13[x ＋(200－x )2]2＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时．。

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

第五节二次函数与一元二次方程、不等式课标要求1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.2.结合二次函数的图象，会判断一元二次方程根的个数，以及二次函数的零点与一元二次方程根的关系.3.掌握利用二次函数的图象解一元二次不等式.必备知识·整合〔知识梳理〕1.一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0（a，b，c为常数，且a≠0）.提醒解不等式ax2+bx+c＞0(＜0)时,不要忘记讨论当a=0时的情况.2.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ=b2−4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象一元二次方程ax2+ bx+c=0(a>0)的根有两个相异实根x1，x2(x1<x2)有两个相等实根x1=x2=−b2a没有实根ax2+bx+c>0(a> 0)的解集{x|x<x1或x>x2}{xx≠−b2a}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}⌀⌀提醒a＞0时的一元二次不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间. 知识拓展1.简单分式不等式（1）f(x)g(x)≥0(≤0)⇔{f(x)g(x)≥0(≤0),g(x)≠0.（2）f(x)g(x)＞0(＜0)⇔f(x)g(x)＞0(＜0).2.不等式ax2+bx+c＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.（1）不等式ax2+bx+c＞0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0, c＞0或{a＞0,Δ＜0.（2）不等式ax2+bx+c＜0对任意实数x恒成立⇔{a=b=0,c＜0或{a＜0,Δ＜0.〔课前自测〕1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.（1）ax2+bx+c<0为一元二次不等式.( × )（2）若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )（3）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，那么不等式ax2+bx+ c<0的解集一定不是空集.( √ )（4）x−ax−b≥0等价于(x−a)(x−b)≥0.( × )2. [2020全国Ⅰ，1，5分]已知集合A={x|x2−3x−4<0}，B={−4,1,3,5}，则A∩B=( D )A. {−4,1}B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}[解析]由x2−3x−4<0解得−1<x<4，所以A={x|−1<x<4}，因为B={−4,1,3,5}，所以A∩B={1,3}.3. [2021辽宁大连质检]若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x−12<x<13}，则a−b的值是( A )A. −10B. −14C. 10D. 144. 易错题不等式(x−2)(3−2x)≥0的解集为( B )A. (32,+∞) B. [32,2] C. [2,+∞) D. (−∞,32][解析]由(x−2)(3−2x)≥0，得(x−2)(2x−3)≤0，解得32≤x≤2，故原不等式的解集为[32,2].易错提醒本题容易忽视二次项的符号致错.5. （新教材改编题）若关于x的不等式x2−2ax+18>0恒成立，则实数a的取值范围为(−3√2,3√2).[解析]由题意得4a2−4×18<0，解得−3√2<a<3√2.关键能力·突破考点一一元二次不等式的解法角度1 简单分式不等式的解法例1≥0的解集为( C )（1）不等式1−x2+xA. [−2,1]B. (−∞,−2)∪(1,+∞)C. (−2,1]D. (−∞,−2]∪(1,+∞)≥2的解集为( B )（2）[2022山东烟台二中模拟]不等式3x−2x+3A. (−∞,−3]∪[8,+∞)B. (−∞,−3)∪[8,+∞)C. (−3,8]D. (−∞,−3)∪(8,+∞)−2≥0，[解析]原不等式可化为3x−2x+3≥0，即(x−8)(x+3)≥0且x+3≠0，即x−8x+3∴x<−3或x≥8.所以原不等式的解集为(−∞,−3)∪[8,+∞).方法感悟将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为整式不等式（组）即可求解.角度2 不含参数的不等式的解法例2（1）[2022重庆八中模拟]已知集合A={3,8},B={x|x2−x−6≤0}，则A∩(∁R B)=( B )A. {3}B. {8}C. {−2,3,8}D. {−2}[解析]由x2−x−6≤0，得−2≤x≤3，则B ={x|x 2−x −6≤0}=[−2,3],∁R B ={x|x <−2或x >3} ，则A ∩(∁R B)={8} .（2） [2022广东潮州月考]不等式0<x 2−x −2≤4 的解集为{x|−2≤x < −1或2<x ≤3} .[解析]原不等式等价于{x 2−x −2>0，x 2−x −2≤4，即{x 2−x −2>0，x 2−x −6≤0，即{(x −2)(x +1)>0，(x −3)(x +2)≤0，解得{x >2或x <−1，−2≤x ≤3. 借助数轴，如图所示，原不等式的解集为{x|−2≤x <−1或2<x ≤3} .方法感悟解一元二次不等式的步骤角度3 含参数的不等式的解法例3 解关于x的不等式ax2−2≥2x−ax(a∈R).[答案]原不等式可化为ax2+(a−2)x−2≥0.①当a=0时，原不等式可化为x+1≤0，解得x≤−1.②当a>0时，原不等式可化为(x−2a )(x+1)≥0，解得x≥2a或x≤−1.③当a<0时，原不等式化为(x−2a)(x+1)≤0.当2a >−1，即a<−2时，解得−1≤x≤2a；当2a=−1，即a=−2时，解得x=−1；当2a <−1，即−2<a<0时，解得2a≤x≤−1.综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤−1}；当a>0时，不等式的解集为{x|x≥2a 或x≤−1}；当−2<a<0时，不等式的解集为{x|2a≤x≤−1}；当a=−2时，不等式的解集为{−1}；当a<−2时，不等式的解集为{x|−1≤x≤2a}.方法感悟含参数的一元二次不等式的解题策略（1）二次项中若含有参数应讨论参数是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，需要讨论判别式Δ与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，需要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.1. [2023广东湛江模拟]已知全集U=R，集合A={x|2x2−3x−2<0,x∈R}，B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B=( B )A. (12,1)∪(1,3) B. [2,3) C. {0,1} D. {1}[解析]由2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)<0，得−12<x<2，所以A={x−12<x<2}，则∁U A={xx≤−12或x≥2}，又B={x12<x<3}，则(∁U A)∩B={x|2≤x<3}=[2,3).2. [2023山东济南一模]不等式x−12x+1≥0的解集为(−∞，−12)∪[1,+∞).[解析]x−12x+1≥0⇒{(x−1)(2x+1)≥0，2x+1≠0⇒x≥1或x<−12.3. 求不等式12x2−ax>a2(a∈R)的解集. [答案]原不等式可化为12x2−ax−a2>0，即(4x+a)(3x−a)>0，令(4x+a)(3x−a)=0，解得x1=−a4，x2=a3.当a>0时，不等式的解集为{x<x−a4或x>a3}；当a=0时，不等式的解集为{x|x≠0}；当a<0时，不等式的解集为{x|x<a3或x>−a4}.考点二三个两次的关系例4 [2021广东东莞高三期末]多选题若不等式ax2−bx+c>0的解集是(−1,2)，则( AD )A. 相应的一元二次函数的图象开口向下B. b >0 且c >0C. a +b +c >0D. 不等式ax 2−cx +b ≤0 的解集是R[解析]由题意知a <0 ，所以A 正确；由题意可得−1 ，2是方程ax 2−bx +c =0 的两个根，所以{−1+2=ba ，−1×2=c a ，所以{b =a,c =−2a ，得b <0,c >0 ，所以B 不正确；因为−1 是方程ax 2−bx +c =0 的根，所以把x =−1 代入方程得a +b +c =0 ，所以C 不正确；把b =a ，c =−2a 代入不等式ax 2−cx +b ≤0 ，可得ax 2+2ax +a ≤0 ，因为a <0 ，所以x 2+2x +1≥0 ，此时不等式的解集为R ，所以D 正确. 方法感悟（1）一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.（2）给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应一元二次函数的图象开口方向及与x 轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.4. 已知关于x 的不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，则不等式cx 2+bx +a <0 的解集是( A ) A. {x −1<x <12} B. {x <x −1或x >12} C. {x −12<x <1}D. {x <x −12或x >1}[解析]因为ax 2+bx +c >0(a ≠0) 的解集是{x|−1<x <2} ，所以−1 ，2是方程ax 2+bx +c =0 的两实数根，且a <0 ，由根与系数的关系得{−1+2=−ba ，−1×2=ca ， 所以b =−a ，c =−2a ，所以不等式cx 2+bx +a <0⇒−2ax 2−ax +a <0 ，即2x 2+x −1<0 ，解得−1<x <12 ,故不等式cx 2+bx +a <0 的解集为{x −1<x <12} .考点三 一元二次不等式恒成立问题角度1 在R 上的恒成立问题例5 不等式ax(x +1)−1<0 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 (−4,0] .[解析]由ax(x +1)−1<0 ，得ax 2+ax −1<0 .当a =0 时，−1<0 恒成立；当a ≠0 时，有{a <0，Δ=a 2+4a <0⇒−4<a <0 .综上所述，实数a 的取值范围是(−4,0] .角度2 在给定区间上的恒成立问题例6 [2022广东深圳月考]若对于任意的x ∈[0,2] ，不等式x 2−2x +a >0 恒成立，则a 的取值范围为( B ) A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (0,+∞)D. [1,+∞)[解析]不等式x 2−2x +a >0 可化为a >−x 2+2x ，设f(x)=−x 2+2x ，x ∈[0,2] ，则f(x)=−(x −1)2+1 ，当x =1 时，f(x)max =f(1)=1 ，所以实数a 的取值范围是(1,+∞) .角度3 给定参数范围的恒成立问题例7 若mx2−mx−1<0对任意m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围是(1−32,1+32).[解析]设g(m)=mx2−mx−1=(x2−x)m−1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则{g(1)<0, g(2)<0,即{x2−x−1<0, 2x2−2x−1<0,解得1−√32<x<1+√32，故x的取值范围为(1−√32,1+√32).方法感悟（1）解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数.（2）一元二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论（也可采用分离参数的方法求解）.5. 函数f(x)=x2+ax+3.（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]当x∈R时，x2+ax+3−a≥0恒成立，只需Δ=a2−4(3−a)≤0，即a2+4a−12≤0，解得−6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[−6,2].（2）当x∈[−2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；[答案]由题意，可得x2+ax+3−a≥0在[−2,2]上恒成立，令g(x)=x2+ ax+3−a,则有①g(x)中Δ≤0或②{Δ>0,−a2<−2,g(−2)=7−3a≥0或③{Δ>0,−a2>2,g(2)=7+a≥0,解①得−6≤a≤2，解②得无实数解，解③得−7≤a<−6.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[−7,2].（3）当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围. [答案]令ℎ(a)=xa+x2+3.当a∈[4,6]时，ℎ(a)≥0恒成立，只需{ℎ(4)≥0,ℎ(6)≥0,即{x2+4x+3≥0, x2+6x+3≥0,解得x≤−3−√6或x≥−3+√6.∴实数x的取值范围是(−∞,−3−√6]∪[−3+√6,+∞).考点四一元二次方程根的分布例8 [2023湖南益阳开学考]已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0. [解析]设函数f(x)=x2+2mx+2m+1.（1）若方程有两根，其中一根在区间(−1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围；[答案]易知f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(−1,0)和(1,2)内，画出示意图，得{ f(0)=2m +1<0，f(−1)=2>0，f(1)=4m +2<0，f(2)=6m +5>0，∴{m <−12，m ∈R m <−12，m >−56，∴−56<m <−12 .（2） 若方程两根均在区间(0,1) 内，求m 的取值范围.[答案]易知f(x) 的图象与x 轴的交点在区间(0,1) 内，画出示意图，得{ f(0)>0，f(1)>0，Δ≥0，0<−m <1，∴{ m >−12，m >−12，m ≥1+√2或m ≤1−√2，−1<m <0，∴−12<m ≤1−√2 .方法感悟一元二次方程根的分布一般要考虑以下几点： （1）一元二次函数图象的开口方向； （2）一元二次函数对应方程的根的判别式；（3）一元二次函数图象的对称轴与区间的关系； （4）一元二次函数在区间端点处函数值的符号.6. [2023广东茂名期中]已知方程2x 2−(m +1)x +m =0 有两个不等的正实根，则实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) . [解析]设f(x)=2x 2−(m +1)x +m ， 由{Δ>0，−−(m+1)2×2>0，f(0)>0，得{(m +1)2−8m >0，m >−1，m >0，∴{m <3−2√2或m >3+2√2，m >−1,m >0，∴0<m <3−2√2 或m >3+2√2 ，即实数m 的取值范围为(0,3−2√2)∪(3+2√2,+∞) .分层突破训练 基础达标练1. 不等式−x 2+3x +10>0 的解集为( A ) A. (−2,5) B. (−∞,−2)∪(5,+∞) C. (−5,2)D. (−∞,−5)∪(2,+∞)[解析]由x 2−3x −10<0 ，解得−2<x <5 .2. 多选题 下列不等式的解集为R 的是( BC ) A. x 2+2√5x +5>0 B. x 2+6x +10>0 C. −x 2+x −2<0D. 2x 2−3x −3<0[解析]对于A 选项，x 2+2√5x +5=(x +√5)2>0 ，故解集为{x|x ≠−√5} ； 对于B 选项，x 2+6x +10=(x +3)2+1>0 ，解集为R ； 对于C 选项，−x 2+x −2=−(x −12)2−74<0 ，解集为R ；对于D 选项，2x 2−3x −3<0 ，对应的二次函数图象开口向上，Δ=9−4×2×(−3)=33>0 ，故不等式的解集不是R .故选BC.3. [2023山东东营模拟]设x ∈R ，则“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的( B ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件[解析]由x 2≤3x ，得0≤x ≤3 ，所以“x ≤3 ”是“x 2≤3x ”的必要不充分条件.4. [2022江苏南通模拟]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是( A ) A. (−∞,−2]B. (−∞,−2)C. (−∞,0]D. (−∞,0)[解析]当x ∈R 时，不等式x 2−2x −1−a ≥0 恒成立，故Δ=(−2)2+4(1+a)≤0 ，解得a ≤−2 ，故实数a 的取值范围是(−∞,−2] . 5. [2022湖北华中师大一附中模拟]不等式2x+1≤1 的解集是( A ) A. (−∞,−1)∪[1,+∞) B. (−∞,−1]∪[1,+∞) C. (−∞,−1)D. (−1,1)[解析]原不等式可化为2x+1−1≤0 ，即x−1x+1≥0 ，得(x −1)(x +1)≥0 且x +1≠0 ，得x <−1 或x ≥1 ，所以原不等式的解集为(−∞,−1)∪[1,+∞) . 6. [2022天津耀华中学模拟]对于任意实数x ，不等式(a −1)x 2−2(a −1)x −4<0 恒成立，则实数a 的取值范围是( D ) A. (−∞,3)B. (−∞,3]C. (−3,1)D. (−3,1][解析]当a =1 时，−4<0 恒成立； 当a ≠1 时，有{a −1<0,Δ<0, 解得−3<a <1 .综上，实数a 的取值范围是(−3,1] .7. 已知二次函数f(x)=(m +2)x 2−(2m +4)x +3m +3 的图象与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则实数m 的取值范围为(−2,−12) . [解析]由题意得，(m +2)⋅f(1)<0 ， 即(m +2)⋅(2m +1)<0 ， ∴−2<m <−12 ，即m 的取值范围为(−2,−12) .8. [2023辽宁丹东期末]某种杂志以每本2.5 元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1 元，销售量就可能减少2 000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.[解析]设定价为x 元，销售总收入为y 元，由题意得，y =(80 000−x−2.50.1×2 000)x =−2 0000x 2+130 000x ，因为要使提价后的销售总收入不低于20万元，所以y =−20 000x 2+130 000x ≥200 000 ，解得52≤x ≤4 ，所以要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为4元.9. [2023河北保定模拟]已知集合A ={x ∈R ||x +2|<3} ，集合B ={x ∈R ∣x−m x−2<0} ，且A ∩B =(−1,n) ，则m = −1 ，n = 1.[解析]A ={x ∈R ||x +2|<3}={x|−5<x <1} ，B ={x ∈R ∣x−m x−2<0}={x ∣(x −m)(x −2)<0} ，因为A ∩B =(−1,n) ，所以−1 是方程(x −m)(x −2)=0 的根，则−1−m =0 ，解得m =−1 ，所以B ={x|−1<x <2} ，A ∩B =(−1,1) ，则n =1 .10. [2022广东化州第三中学月考]已知集合A ={−5,−1,2,4,5} ，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A 有且只有一个公共元素，这个不等式可以是(x +4)(x −6)>0 （答案不唯一）.[解析]不等式(x +4)(x −6)>0 的解集为{x|x >6或x <−4} ，解集中只有−5 在集合A 中.11. [2021江西南昌莲塘第一中学模拟]已知f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 . （1） 解关于a 的不等式f(1)>0 ； [答案]∵f(x)=−3x 2+a(6−a)x +6 ， ∴f(1)=−3+a(6−a)+6=−a 2+6a +3 ， ∴ 原不等式可化为a 2−6a −3<0 ， 解得3−2√3<a <3+2√3 .∴ 原不等式的解集为{a|3−2√3<a <3+2√3} .（2） 若不等式f(x)>b 的解集为(−1,3) ，求实数a ,b 的值.[答案]f(x)>b 的解集为(−1,3) 等价于方程−3x 2+a(6−a)x +6−b =0 的两根为−1 ，3， 即{−1+3=a(6−a)3,−1×3=−6−b3,解得{a =3±√3,b =−3.能力强化练12. [2022重庆南开中学模拟]三位同学合作学习，对问题“已知不等式xy ≤ax 2+2y 2 对任意x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] 恒成立，求a 的取值范围”提出了各自的解题思路.甲说：“可视x 为变量，y 为常量来分析.” 乙说：“寻找x 与y 的关系，再进行分析.” 丙说：“把字母a 单独放在一边，再进行分析.”参考上述思路，或自己的其他解法，可求出实数a 的取值范围是( B ) A. [1,+∞)B. [−1,+∞)C. [−1,4)D. [−1,6][解析]选择用丙的方法.因为xy ≤ax 2+2y 2 ，x ∈[1,2] ，y ∈[2,3] ， 所以xy −2y 2≤ax 2 等价于xy−2y 2x 2≤a ，即yx −2(yx )2≤a . 令y x =t ，则t ∈[1,3] .原式化为t −2t 2≤a 对任意t ∈[1,3] 恒成立，因为t −2t 2=−2(t −14)2+18 ，所以当t =1 时，(t −2t 2)max =−1 . 所以−1≤a ，即a ∈[−1,+∞) . 故选B.13. [2022重庆质量检测]若方程x 2+(m −2)x +6−m =0 的两根都大于2，则m 的取值范围是(−6,−2√5] .[解析]令f(x)=x 2+(m −2)x +6−m ，其图象的对称轴方程为x =2−m 2，由题意得，{2−m2>2，f(2)>0，Δ≥0，即{2−m2>2,4+2m −4+6−m >0,(m −2)2−4(6−m)≥0,解得−6<m ≤−2√5 ，故m 的取值范围是(−6,−2√5] .14. [2023江苏南京二模]已知定义在R 上的奇函数f(x) 满足f(1−x)+f(1+x)=2 ，当x ∈[0,1] 时，f(x)=2x −x 2 ，若f(x)≥x +b 对一切x ∈R 恒成立，则实数b 的最大值为−14 .[解析]因为f(1+x)+f(1−x)=2 ，所以f(x) 的图象关于点(1,1) 中心对称， 当x ∈[−1,0] 时，f(x)=−f(−x)=x 2+2x ，作出f(x) 的图象和直线y =x +b ，如图所示，结合图象可得，只需当x ∈[−1,0] 时，f(x)=x 2+2x ≥x +b 即可， 即b ≤(x +12)2−14 ， 故b ≤−14 .故b的最大值为−1.415. 某地区上年度电价为0.8元/kW⋅h，年用电量为a kW⋅h.本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅h至0.75元/kW⋅h之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k）.该地区电力的成本价为0.3元/kW⋅h.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y（元）与实际电价x（元/kW⋅h）的函数关系式；kW⋅h，∴下调电价后的总用电量为(a+ [答案]下调电价后新增的用电量为kx−0.4k)kW⋅h，x−0.4)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75).∴y=(a+kx−0.4（2）设k=0.2a，问：电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%？注：收益＝实际用电量×（实际电价−成本价）.)(x−0.3)≥a×(0.8−0.3)×(1+20%)，0.55≤x≤[答案]由已知得(a+0.2ax−0.40.75，整理得x2−1.1x+0.3≥0,0.55≤x≤0.75,解得0.60≤x≤0.75.故电价最低定为0.60元/kW⋅h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.+b，关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3). 16. 已知函数f(x)=x+ax（1）求实数a，b的值；[答案]因为关于x的不等式xf(x)<0的解集为(1,3)，所以不等式x2+bx+a<0的解集为(1,3)，所以{1+3=−b，1×3=a，解得{a=3,b=−4，所以f(x)=x+3x−4.（2）求关于x的不等式xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)的解集；[答案]由xf(x)<(m−3)(x−1)(m∈R)，得x2+3−4x<(m−3)(x−1)，即x2−(m+1)x+m<0，即(x−1)(x−m)<0.所以当m<1时，不等式的解集为(m,1)；当m=1时，不等式无解；当m>1时，不等式的解集为(1,m).（3）若不等式f(2x)−k⋅2−x−2k≥0在R上恒成立，求实数k的取值范围.[答案]令t=2x(t>0)，则f(t)−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t+3t −4−kt−2k≥0在(0,+∞)上恒成立，即t 2−(2k+4)t+3−kt≥0在(0,+∞)上恒成立，即t2−(2k+4)t+3−k≥0在(0,+∞)上恒成立，令g(t)=t2−(2k+4)t+3−k.当2k+42≤0，即k≤−2时，g(t)图象的对称轴在y轴的左侧，所以g(0)=3−k≥0，即k≤3，所以k≤−2；当2k+42>0 ，即k >−2 时，g(t) 图象的对称轴在y 轴的右侧，则Δ=(2k −4)2−4(3−k)≤0 ，所以3−√52≤k ≤3+√52 .综上，k ≤−2 或3−√52≤k ≤3+√52 .素养综合练17. [2022河北石家庄二中模拟]若函数f(x) 满足对任意的x ∈[n,m](n <m) ，都有n k ≤f(x)≤km 成立，则称函数f(x) 在区间[n,m](n <m) 上是“被k 约束的”.若函数f(x)=x 2−ax +a 2 在区间[1a ,a](a >0) 上是“被2约束的”，则实数a 的取值范围是( A )A. (1,2]B. (1,√323]C. (1,√2]D. (√2,2] [解析]由题意得12a ≤x 2−ax +a 2≤2a 对任意的x ∈[1a ,a](a >0) 都成立.由a >1a 且a >0 ，得a >1 ，则f(1a )=1a 2−1+a 2>2−1=1>12a 恒成立. 由f(a)=a 2−a 2+a 2=a 2≤2a ，且a >1 ，得1<a ≤2 .因为a >1 ，所以f(1a )=1a 2−1+a 2<1−1+a 2=a 2 .f(x)=x 2−ax +a 2 图象的对称轴方程为x =a 2 ，由f(a 2)=3a 24≥12a ， 得a ≥√233 .因为√233<1 ，所以a 的取值范围为(1,2] .故选A.。

专题01 集合、常用逻辑用语、不等式 （选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国高三专题练习）用()C A 表示非空集合A 中的元素个数，定义A B *＝()()()()()()()(),,C A C B C A C B C B C A C A C B ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩若{1,2}A =，22{|()(2)0}B x x ax x ax =+++=，且1A B *=，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则()C S 等于（ ） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】B 【详解】因为()2C A =，*1A B =，所以()1C B =或()3C B =， 由20x ax，得120,x x a ==-，关于x 的方程220x ax ++=，当=0∆时，即a =±()3C B =，符合题意；当0>∆时，即a <-a >易知0， -a 不是方程220x ax ++=的根，故()4C B =，不符合题意；当<0∆时，即a -< 220x ax ++=无实根， 若a =0，则B ={0}，()1C B =，符合题意，若0a -<或0a <<()2C B =，不符合题意.所以{S =-，故3C S .故选：B.2．（2021·上海浦东新·上外浦东附中高一月考）向量集合(){},,,S a a x y x y ==∈R ，对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，则称S 为“C 类集”，现有四个命题： ①若S 为“C 类集”，则集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数）也是“C 类集”； ②若S 、T 都是“C 类集”，则集合{},M a b a S b T =+∈∈也是“C 类集”； ③若1A 、2A 都是“C 类集”，则12A A ⋃也是“C 类集”；④若1A 、2A 都是“C 类集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“C 类集”． 其中正确的命题有（ ） A ．①② B ．①③④C ．②③D ．①②④【答案】D 【详解】①若S 为“C 类集”，则对于任意α，S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1S λαλβ+-∈，对于集合{}M a a S μ=∈（μ为实常数），可得对于任意,M μαμβ∈，以及任意()0,1λ∈都有()+1M λμαλμβ-∈，故正确；②若S 为“C 类集”，则对于任意1α，1S β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()111S λαλβ+-∈， 若T 为“C 类集”，则对于任意2α，2T β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()221T λαλβ+-∈，可得对于任意1212,M M ααββ+∈+∈，以及任意()0,1λ∈，都有()()()12121M λααλββ++-+∈，故正确； ③若1A 为“C 类集”，则对于任意1α，11A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1111A λαλβ+-∈， 若2A 为“C 类集”，则对于任意2α，22A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()2221A λαλβ+-∈， 设12M A A =，M 为12,A A 中元素的合并而得，且不重复，不符合“C 类集”的定义，故错误；④若1A 为“C 类集”，则对于任意1α，11A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()1111A λαλβ+-∈， 若2A 为“C 类集”，则对于任意2α，22A β∈，以及任意()0,1λ∈，都有()2221A λαλβ+-∈， 设12M A A =，M 为12,A A 中元素的公共部分，且不为空集，符合“C 类集”的定义，故正确；故选：D.3．（2021·河南南阳中学高一月考）在整数集Z 中，被4除所得余数k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}4k n k n Z =+∈，0,1,2,3k =．给出如下四个结论：①[]20151∈；②[]22-∈；③[][][][]0123Z =；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“[]0a b -∈”．其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】因为201550343=⨯+，故[]20153∈，故①错误， 而242-=+，故[]22-∈，故②正确.若整数a ，b 属于同一“类”，设此类为[]{}()0,1,2,3r r ∈， 则4,4a m r b n r =+=+，故()4a b m n -=-即[]0a b -∈，若[]0a b -∈，故-a b 为4的倍数，故,a b 除以4的余数相同，故a ，b 属于同一“类”， 故整数a ，b 属于同一“类”的充要条件为[]0a b -∈，故④正确. 由“类”的定义可得[][][][]0123Z ⋃⋃⋃⊆，任意c Z ∈，设c 除以4的余数为{}()0,1,2,3r r ∈，则[]c r ∈， 故[][][][]0123c ∈⋃⋃⋃，所以[][][][]0123Z ⊆⋃⋃⋃， 故[][][][]0123Z ⋃⋃⋃=，故③正确. 故选：C.4．（2021·全国高一专题练习）对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和.给定集合{2,3,4,5}S =，定义集合(){},T f A A S A =⊆≠∅，则集合T 的元素的个数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B 【详解】当集合A 为单元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,5，此时()f A 可取2,3,4,5；当集合A 为双元素集时，可取{}{}{}{}{}{}2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，此时()f A 可取5,6,7,8,9； 当集合A 为三元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，此时()f A 可取9,10,11,12， 当集合A 为四元素集时，可取{}2,3,4,5，此时()f A 可取14，综上可知()f A 可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14，共12个值，所以T 的元素个数为12， 故选：B.5．（2021·全国）非空集合A 具有下列性质：①若x 、y A ∈，则xA y∈；②若x 、y A ∈，则x y A +∈，下列判断一定成立的是（ ） （1）1A -∉；（2）20202021A ∈；（3）若x 、y A ∈，则xy A ∈；（4）若x 、y A ∈，则x y A -∉. A ．（1）（3）B ．（1）（2）C ．（1）（2）（3）D ．（1）（2）（3）（4）【答案】C 【详解】 由①可知0A ∉.对于（1），若1A -∈，对任意的x A ∈，0x ≠，则1xx A -=∈-， 所以，()0x x A =+-∈，这与0A ∉矛盾，（1）正确； 对于（2），若0x ≠且x A ∈，则1xA x=∈，211A ∴=+∈，321A =+∈， 依此类推可得知，n N *∀∈，n A ∈，2020A ∴∈，2021A ∈，20202021A ∴∈，（2）正确； 对于（3），若x 、yA ，则0x ≠且0y ≠，由（2）可知，1A ∈，则1A y∈，所以，1x xy A y=∈，（3）正确； 对于（4），由（2）得，1,2A ∈，取 2,1x y ==，则1x y A -=∈，所以（4）错误. 故选：C.6．（2021·北京市陈经纶中学高一月考）设集合S ，T ，S N *⊆，T N *⊆，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足：①对于任意,x y S ∈，若x y ≠，都有xy T ∈②对于任意,x y T ∈，若x y <，则yS x∈；下列命题正确的是（ ） A ．若S 有4个元素，则S T 有7个元素 B ．若S 有4个元素，则S T 有6个元素 C ．若S 有3个元素，则S T 有5个元素 D ．若S 有3个元素，则S T 有4个元素【答案】A 【详解】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21pS p ∈，若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =，又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p pp p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i qp i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==，即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =，此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即S T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .7．（2021·上海高一期中）已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉，M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是 A ．11 B ．12 C ．15 D ．16【答案】A 【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A.8．（2021·全国高一专题练习）已知集合U =R ，2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2【答案】C 【详解】图中阴影部分表示的集合为()U C B A ⋂．∵2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，∴[]2,1,0,1,2A =--，()(),00,2B =-∞⋃，∴(){}0,2U C B A ⋂=．故选C ．9．（2021·全国）已知集合{}*115M x N x =∈≤≤，集合1A ，2A ，3A 满足. ①每个集合都恰有5个元素 ②1A 2A 3A M =集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为(1,2,3)i X i =，则1X 2+X +3X 的值不可能为 A ．37 B ．39C ．48D ．57【答案】A 【详解】分析：求出集合M={x ∈N*|1≤x ≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，由题意列举出集合A 1，A 2，A 3，排除选项B 、C 、D ，由此能求出结果．详解：由题意集合M={x ∈N*|1≤x ≤15}={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}， 当A 1={1，4，5，6，7}，A 2={3，12，13，14，15}，A 3={2，8，9，10，11}时， X 1+X 2+X 3=8+18+13=39，故排除B 选项；当A 1={1，4，5，6，15}，A 2={2，7，8，9，14}，A 3={3，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+16+16=48，故排除C 选项；当A 1={1，2，3，4，15}，A 2={5，6，7，8，14}，A 3={9，10，11，12，13}时， X 1+X 2+X 3=16+19+22=57，故排除D 选项． ∴X 1+X 2+X 3的值不可能为37． 故选A ．10．（2021·全国高一专题练习）对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算“※”，法则如下：当m 、n 都是正奇数时，m ※n =m n +；当m 、n 不全为正奇数时，m ※n =mn .则在此定义下，集合{}**(,)|16,,M a b a b a N b N ※==∈∈中的元素个数是A ．7B ．11C ．13D ．14【答案】C 【详解】试题分析：从定义出发，抓住m 、n 的奇偶性对16实行分拆是解决本题的关键，当m 、n 同奇时，根据m ※n m n =+将16分拆两个同奇数的和，有1153135117997115133151+=+=+=+=+=+=+=+，共有8对；当m 、n 不全为奇数时，根据m ※n mn =将16分拆两个不全为奇数的积，再算其组数即可，此时有116284482161⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，共5对.∴共有8513+=个，故选C.11．（2021·全国高一专题练习）集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,x y z S ∈且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是 A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉ B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈ C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈ D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∉【答案】B 【详解】试题分析：从集合S 的定义，(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z <<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有x y z w <<<或w x y z<<<或y z w x <<<或z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈，选B ．12．（2021·江苏高一专题练习）对于集合A ，定义了一种运算“⊕”，使得集合A 中的元素间满足条件：如果存在元素e A ∈，使得对任意a A ∈，都有e a a e a ⊕=⊕=，则称元素e 是集合A 对运算“⊕”的单位元素.例如：A R =，运算“⊕”为普通乘法；存在1R ∈，使得对任意a R ∈，都有11=a a a ⨯=⨯，所以元素1是集合R 对普通乘法的单位元素.下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A R =，运算“⊕”为普通减法；②{}|,m n m n A A A m n m N n N **⨯⨯=⨯∈∈表示阶矩阵，，运算“⊕”为矩阵加法；③{}|A X X M =⊆（其中M 是任意非空集合），运算“⊕”为求两个集合的交集. 其中对运算“⊕”有单位元素的集合序号为（ ） A ．①② B ．①③C ．①②③D ．②③【答案】D 【详解】 试题分析：①若，运算“⊕”为普通减法，而普通减法不满足交换律，故没有单位元素；②A ={|m n m n A A ⨯⨯表示m n ⨯阶矩阵，}，运算“⊕”为矩阵加法，其单位元素为全为0的矩阵；③（其中是任意非空集合），运算“⊕”为两个集合的交集，其单位元素为集合，故答案为D.13．（2021·浙江省桐庐中学）已知0a >，函若数()32249ax x f a x x =+-+在[]2,1--总有()86f x a ≥+且[]1,1,74x ax m ∀∈-+≤，则m 取值范围是（ ）A ．[6，+∞)B ．[)14,+∞C ．[12，+∞)D ．(6，12]【答案】B 【详解】()86f x a ≥+在[]2,1--上恒成立即()3260124a x x x +--≥+在[]2,1--上恒成立，故()()211260x a x x x ⎡⎤+-++-≥⎣⎦在[]2,1--上恒成立， 当1x =-时，()()211260x a x x x ⎡⎤+-++-=⎣⎦， 当21x -≤<-时，10x +<，故()21260a x x x -++-≤，所以2621xa x x -≤-+在[)2,1--上恒成立，令()()()2223622711353x x g x x x x x x x--===-+-+-+--，令3t x =-，则45t <≤，而7y t t=+在(]4,5为增函数，故2373245t t <+≤，所以()37735435x x <-+-≤-，故()10873g x ≤<， 所以()g x 在[)2,1--的最小值为107，故1007a <≤.因为[]1,1,74x ax m ∀∈-+≤恒成立，故7474m a m a ⎧≥+⎪⎨≥-+⎪⎩对于任意1007a <≤恒成立，所以146m m ≥⎧⎨≥⎩即14m ≥.故选：B.14．（2021·河南高三月考（理））已知点1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点M在直线:l x a =-上运动，若12F MF ∠的最大值为60︒，则椭圆C 的离心率是（ ） A ．13B ．12CD【答案】C 【详解】由题意知，()1,0F c -，()2,0F c ，直线l 为x a =-，设直线1MF ，2MF 的倾斜角分别为α，β， 由椭圆的对称性，不妨设M 为第二象限的点，即(),M a t -，()0t >，则tan t c aα=-，tan t c a β-=+.12F MF βα∠=-，()12222222tan tan 222tan tan 1tan tan 21t tct c c cc a c a F MF t b t b b b t c a t βαβααβ---+-∴∠=-====≤==++-+-当且仅当2b t t=，即t b =时取等号，又12tan F MF ∠得最大值为tan 60c b =︒=c ∴=，即2223c c a =-，整理得c a =C故选：C.15．（2021·全国高三模拟预测）已知0x y >>，*n N ∈，则下列结论正确的是（ ） A．sinyx<B．221x y xy +-+的最小值为12 C ．1122n n n nx y nx y x y---≥⋅- D．(y x x y xy ⋅≥【答案】C 【详解】记(0,1)y t x =∈有tan t t >，则sin t =>，易知1x =时有sin y x >A 错误；2222311124333x x y xy y x ⎛⎛⎫+-+=-+-+≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当且仅当2x y ==时取等号，所以最小值为13，B 错误；记(0,1)y t x=∈，则1122n n n n x y nx y x y ---≥⋅-等价于1122(1)0n n t t n t -+-+-≥， 记1122()(1)nn f t ttn t -+=-+-，则112211()22n n n n f t n t t +--+=-'+， ∴()()3221()1104n nf t n t t +-"=--≥，即()f t '单调递增，有()(1)0f t f '<'=，∴()f t 单调递减，则有()(1)0f t f >=，不等式得证，C 正确； 取2x =，1y =，有2(y x x y xy ⋅=<=D 错误．故选：C16．（2021·南京市第十三中学）已知21()ln (0)2f x a x x a =+>若对于任意两个不等的正实数1x ，2x ，都有()()12122f x f x x x ->-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．[)1,+∞C ．(]3,3-D ．[)1,2e【答案】B 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-， 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数，所以()()200,0ag x x x a x'=+-≥>>恒成立， 分离参数得()2a x x ≥-，而当0x >时，()2x x -在1x =时有最大值为1， 故1a ≥. 故选：B17．（2021·全国高三专题练习（文））若实数,a b 满足()()221ln 2ln 1a b a b-≥+-，则a b +=（ ）A B C ．2D 【答案】C 【详解】证明不等式ln 1x x ≥+， 令()ln 1g x x x =--，()11g x x'=-， 故()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=，故ln 1x x ≥+证明成立；又因为2211a b +-≥21a b -，且仅当a =1b 时成立 又因为()()221ln ln 2ln a aa b b b-≥=- 故与题意联立，得()()221ln ln 2ln a aa b b b-==- 令t =2a b ，故有1ln t t -=，解得1t =时成立，综上联立：2a b=1与a =1b解得a ，b 故选：C.18．（2021·银川三沙源上游学校高二月考（理））在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC ∆的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（ ）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣【答案】C 【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又(0,)2A π∈，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A Cc C C C C ++====+， 因为ABC 为锐角三角形，所以02C <<π，2B AC ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221212222b c b c t t bc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 由对勾函数单调性知12y t t =+在35⎛ ⎝⎭上单调递减，在53⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，当t =时，y =35t =时，4315y =；当53t =时，5915y =；所以5915y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b c bc +的取值范围是5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.19．（2021·北京昌平·临川学校高三期末）已知函数221()4()ln x f x k x k x -=++，[)2,k ∈+∞，曲线()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行，则12x x +的取值范围为（ ） A ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【详解】 由题设，2121()4()1f x k x k x '=-++⋅-且x ∈(0,)+∞，令1t x=∈(0,)+∞， 要使()y f x =上总存在两点()11,M x y ，()22,N x y ，使曲线()y f x =在,M N 两点处的切线互相平行， ∴若22()()4()1g t f x t k t k'==-++-，121211t t x x =≠=，∴在(0,)+∞上总存在()g t m =有两个解分别为1t 、2t ，而()g t 的对称轴22()t k k=+，故12121224()x x t t k x x k ++==+，而21212()4x x x x +<，∴121212244()x x k x x k x x +=+>+，整理得1212x x k k+>+，[)2,k ∈+∞上2[3,)k k+∈+∞， ∴1213x x +>即可.故选：B 二、多选题20．（2021·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）对任意,A B R ⊆，定义{},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂.例如，若{1,2,3},{2,3,4}A B ==，则{1,4}A B ⊕=，下列命题中为真命题的是（ ） A ．若,A B R ⊆且A B B ⊕=，则A =∅ B ．若,A B R ⊆且A B ⊕=∅，则A B = C ．若,A B R ⊆且A B A ⊕⊆，则A B ⊆ D ．若,A B R ⊆，则()()R RA B A B ⊕=⊕【答案】ABD 【详解】根据定义()()R R A B A B A B ⎡⎤⊕=⋂⋂⎣⎦⎡⎤⎣⎦.对于A ：若A B B ⊕=,则()A B B =R ,()R A B ⋂=∅,()()R R A B B B A ⋂=⇒⊆,()R B A B A =⋂∅⇒⊆,∴A =∅,故A 正确;对于B ：若A B ⊕=∅,则()R A B =∅,()R A B ⋂=∅,A B A A B ⋂=⇒⊆,A B B B A ⋂=⇒⊆,∴A B =,故B 正确;对于C ：若 A B A ⊕⊆,则A B A ⊕⊆,()R A B A ⋂⊆,则B A ⊆.故C 错; 对于D ：左边()()()R RRA B A B AB ⊕=,右边()(){}()()()RRRR RRA B A B A A B AB B =⎡⎤⎡⎤⊕=⋂⎣⎣⎦⎦⋂所以左=右.故D 正确.故选：ABD.21．（2021·福建高三模拟预测）两个集合A 和B 之间若存在一一对应关系，则称A 和B 等势，记为AB ．例如：若A 为正整数集，B 为正偶数集，则AB ，因为可构造一一映射()2x Af x x ∈=．下列说法中正确的是（ ） A ．两个有限集合等势的充分必要条件是这两个集合的元素个数相同 B ．对三个无限集合A 、B 、C ，若A B ，B C ，则A CC ．正整数集与正实数集等势D ．在空间直角坐标系中，若A 表示球面：2222x y z z ++=上所有点的集合，B 表示平面xOy 上所有点的集合，则AB【答案】ABD 【详解】对于A 选项，设有限集合{}12,,,n A a a a =，{}12,,,m B b b b =，充分性：若AB ，则两个集合A 和B 之间若存在一一对应关系，则对任意的()1,2,,i a i n A =∈，存在i b B ∈，使得i a 与i b 对应，故m n =，充分性成立.必要性：若m n =，即集合A 、B 的元素个数相等， 可构造映射f ，使得()()1,2,,i i b f a i n ==，故AB ，必要性成立，A 对；对于B 选项，对三个无限集合A 、B 、C ， 若AB ，对任意的a A ∈，存在唯一的b B ∈，使得a 与b 对应，又因为B C ，则存在唯一的c C ∈，使得b 与c 对应，故对任意的a A ∈，存在唯一的c C ∈，使得a 与c 对应，故A C ，B 对； 对于C 选项，正整数集与正实数集不等势，理由如下：假设正整数集N *与正实数集R +等势，则存在N *与R +的一个一一对应ϕ，将与N *中n 对应的元素()n ϕ记为n r ，则R +中的元素可以排成一列：1r 、2r 、、n r 、，显然R +中至少有一个单位长度的区间不包含1r ，不妨设此区间为[]11,2I =，将[]1,2三等分，则41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦、5,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦中至少有一个区间不含2r ，以2I 表示此区间，将2I 三等分，其左、右两个区间至少有一个不含3r ，记为3I ， 依此类推，可得一列闭区间n I 满足： （i ）123I I I ⊃⊃⊃，且n I 的长度趋于0；（ii ）n n r I ∉，1n =、2、3、.所以，1n n I ∞=≠∅，但对任意的m N *∈，1m n n r I ∞=∉，换言之，1n n I ∞=不在R +中，这是不可能的，这一矛盾说明，N *与R +不等势，C 错； 对于D 选项，如下图所示：球面方程为()22211x y z ++-=，球面与z 轴的正半轴交于点()0,0,2E ，对于球面上任意一点F （不与点E 重合），设直线EF 交平面xOy 于点C ， 则球面上的点F （不与点E 重合）与平面xOy 内的点C 能建立一一对应关系， 假定在平面xOy 上有一理想的点称之为无穷远点，它与点E 对应，这样A B ，D 对.故选：ABD.22．（2021·山东德州·高二期末）我们把有限集合A 中的元素个数用()card A 来表示，并规定()card 0∅=，例如{}1,2,3A =，则()card 3A =.现在，我们定义()()()()()()()()card card ,card card *card card ,card card A B A B A B B A A B ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，已知集合{}220x A x e x =+-=，()(){}2ln 10B x x ax x aex =--+=，且*1A B =，则实数a 不可能在以下哪个范围内（ ） A ．21,e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】BCD 【详解】对于集合A ，由220x e x +-=，可得22x e x =-，作出函数x y e =与函数22y x =-的图象如下图所示：所以，函数x y e =与函数22y x =-的图象有两个公共点，故()card 2A =. 因为()()card card 1A B A B *=-=，所以，()card 1B =或3.对于集合B ，由()()2ln 10x ax x aex --+=，显然0x >，由ln 0x ax -=，可得ln xa x=，由210x aex -+=，可得11a x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设()ln xf x x=，()11g x x e x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象共有1个或3个交点， ()21ln xf x x -'=，当0x e <<时，()0f x '>，此时函数()f x 单调递增， 当x e >时，()0f x '<，此时函数()f x 单调递减，()()max 1f x f e e==，且当1x >时，()0f x >.()2221111x g x e x ex -⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，当01x <<时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，()()min 21g x g e==， 作出直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象，如下图所示：由图象可知，当0a ≤、1a e =或2a e=时，直线y a =与函数()f x 、()g x 在()0,∞+上的图象共有1个公共点.故选：BCD.23．（2021·江苏省天一中学）设1e ，2e 为单位向量，满足1222e e -≤，12a e e =+，123b e e =+，则a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的可能取值为（ ）A ．1920B ．2029C ．2829D ．1【答案】CD 【详解】设单位向量1e ，2e 的夹角为α，由1222e e -≤，两边平方得54cos 2α-≤，解得3cos 14α≤≤，又12a e e =+，123b e e =+，212||()2a e e ∴=+=||106cos b =+且44cos a b α=+⋅cos 22cos b ba a θ∴==+⋅⋅=244cos cos 53cos αθα+∴=+，令2cos t θ=，则844cos 4353cos 353cos t ααα+==-++ 3cos 14α≤≤，2953cos 84α∴≤+≤，81323,53cos 387α⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦所以84283,1353cos 29α⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦，即2cos θ的取值范围为28,129⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：CD24．（2021·大名县第一中学高二月考）数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线22|:1|C x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列四个结论，其中正确结论是（ ）A ．图形关于y 轴对称B ．曲线C 恰好经过6个整点（即横､纵坐标均为整数的点）C ．曲线CD ．曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于3 【答案】ABD 【详解】对于A ，将x 换成x -方程不变，所以图形关于y 轴对称，故A 正确；对于B ，当0x =时，代入可得21y =，解得1y =±，即曲线经过点(0,1),(0,1)-，当0x >时，方程变换为2210y xy x -+-=，由224(1)0x x ∆=--≥，解得x ⎛∈ ⎝⎦，所以x 只能去整数1， 当1x =时，20y y -=，解得0y =或1y =，即曲线经过(1,0),(1,1)，根据对称性可得曲线还经过(1,0),(1,1)--，故曲线一共经过6个整点，故B 正确；对于C ，当0x >时，由221x y xy +=+可得222212x y x y xy ++-=≤，（当x y =时取等号），222x y ∴+≤，C 上y C 上任意一点，故C 错误；对于D ，如图所示，在x 轴上图形的面积大于矩形ABCD 的面积：1122S =⨯=，x 轴下方的面积大于等腰三角形ABE 的面积：212112S =⨯⨯=，所以曲线C 所围成的“心形”区域的面积大于213+=，故D 正确；故选：ABD三、双空题25．（2021·全国高二单元测试）等差数列{}n a 中15141024a a a a ++=+，且513a a =，则5a =______；若集合{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中有2个元素，则实数λ的取值范围是______.【答案】12 9(2,)4【详解】空1：设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为15141024a a a a ++=+，且513a a =，所以有：11111114139244432a a d a d a d a a d a d ++++=++=⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩，因此51444212a a d =+=+⨯=； 空2：由（1）知：112211(1)4(1)2322n na n n d n n n n n a a a =+-⋅=+-⋅=++++由122nn a a a λ<++⇒+122nna a a λ+++<，设212322nn nna a a n nb ++++==， 222111(1)3(1)34222n n n n n n n n n n b b n ++++++--+-==+-， 显然当1n =时，21b b >，当2,n n N *≥∈时，110n n n n b b b b ++<⇒-<，因此从第2项起，数列是递减数列， 12345972,,,244b b b b ====，所以数列{}n b 的最大项为252b =，因为{}*122nn n N a a a λ∈<+++∣中有2个元素，所以不等式 12()2nna a a λ+++<*只有两个不同正整数根，而数列{}n b 的最大项为252b =，因此2n =一定是不等式()*的解， 因此一定有：924λ<<.故答案为：9(2,)426．（2021·全国）设,A B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩ ,01x Bn x B ∉⎧=⎨∈⎩，①若A B ⊆.则对任意x R ∈，(1)m n -=______； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则,A B 的关系为______． 【答案】0B R AC =【详解】解：①∵A ⊆B ．则x ∉A 时，m=0，m （1-n ）=0． x ∈A 时，必有x ∈B ，∴m=n=1，m （1-n ）=0． 综上可得：m （1-n ）=0．②对任意x ∈R ，m+n=1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ，B 的关系为A=∁R B ． 故答案为0，A=∁R B ．27．（2021·海淀·北京市八一中学）已知a b c ，，是ABC ∆的三边长，关于x 的方程21122x c a +-=的解集中只有一个元素，方程322cx b a +=的根为0x =，则ABC ∆的形状为________；若a b ，为关于230x mx m +-=的两个实数根，则实数m 的值_________． 【答案】等边三角形 12- 【详解】关于x 的方程211022x c a +-=的解集中只有一个元素,12()02b c a ∴∆=--=,即2a b c +=，方程322cx b a +=的根为0x =，∴a b =， ∴a b c ==，故三角形为等边三角形.a b ，为关于230x mx m +-=的两个实数根,,3a b m ab m ∴+=-=-,即2120m m +=， 解得12=-m故答案为：等边三角形；-12四、填空题28．（2021·上海桃浦中学高一月考）已知集合B 和C ，使得{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C ⋃=，B C =∅，并且C 的元素乘积等于B 的元素和，写出所有满足条件的集合C =___________. 【答案】{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7. 【详解】{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10B C =，,B C ∴中所有元素之和为121055++⋅⋅⋅+=； 若C 中仅有一个元素，设{}C a =，则55a a =-，解得：552a =，不合题意； 若C 中有且仅有两个元素，设{}(),C a b a b =<，则()55ab a b =-+， 当6a =，7b =时，()55ab a b =-+，{}6,7C ∴=；若C 中有且仅有三个元素，设{}(),,C a b c a b c =<<，则()55abc a b c =-++； 当1a =，4b =，10c =时，()55abc a b c =-++，{}1,4,10C ∴= 若C 中有且仅有四个元素，设{}(),,,C a b c d a b c d =<<<， 则()55abcd a b c d =-+++，当1a =，2b =，3c =，7d =时，()55abcd a b c d =-+++，{}1,2,3,7C ∴=； 若C 中有且仅有五个元素，若{}1,2,3,4,5C =，此时1234512055⨯⨯⨯⨯=>，∴C 中最多能有四个元素；综上所述：{}6,7C =或{}1,4,10或{}1,2,3,7. 故答案为：{}6,7或{}1,4,10或{}1,2,3,7.29．（2021·山东高考真题）集合M ，N ，S 都是非空集合，现规定如下运算：M N S =()()(){|x x M N N S S M ∈⋃且}x MNS ∉．假设集合{}A x a x b =<<，{}B x c x d =<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f 满足：（1）0ab <，0cd <；0ef <；（2）b a dc f e -=-=-；（3）b ad c fe +<+<+．计算A B C =____________________________________．【答案】{|x c x e <≤或}b x d ≤< 【详解】a b c d +<+，得a c d b -<-；a b c d -=-，得a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理d f <，∴b d f <<．由(1)(3)可得0a c e b d f <<<<<<．∴{}A B x c x b ⋂=<<，{}B C x e x d ⋂=<<，{}C A x e x b ⋂=<<．A B C ={|x c x e <≤或}b x d ≤<．故答案为：{|x c x e <≤或}b x d ≤<30．（2021·上海市实验学校高三月考）已知集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，若3,5M M ∈∉，则实数a 的取值范围是____________． 【答案】(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭【详解】由集合M ＝25|0ax x x a -⎧⎫<⎨⎬-⎩⎭，得(ax －5)(x 2－a )<0， 当a ＝0时，得20x >，显然不满足题意， 当a >0时，原不等式可化为(50x x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，5a，则解得x <5x a<，所以只需满足5355aa<⎨⎪≤⎪⎩，解得513a ≤<；5a >，则解得x <5x a<<所以只需满足535a ⎧<<⎪⎨⎪⎩9<a ≤25，当a <0时，当0x >时，(ax －5)(x 2－a )<0恒成立，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围是(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭．31．（2021·上海市建平中学高三开学考试）有限集S 的全部元素的积称为该数集的“积数”，例如{}2的“积数”为2，{}2,3的“积数”为6，1111,,,,23n ⎧⎫⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭的“积数”为1!n ，则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为___________. 【答案】1010 【详解】先利用数学归纳法证明一个结论：对于有限非空数集{}123,,,,n A a a a a =，积数和12(1)(1)(1) 1.n n S a a a =+++-当1n =时，11111n S a a S =+-==，成立； 假设(1)n k k =≥时，12(1)(1)(1)1k k S a a a =+++-当1n k =+时，()11111k k k k k k k k S S a S a S S a ++++=++⋅=++⋅12112(1)(1)(1)1(1)(1)(1)k k k a a a a a a a +=+++-++++ 121(1)(1)(1)(1)1k k a a a a +=++++-综上可得，N *∀∈，12(1)(1)(1) 1.n n S a a a =+++- 则数集*1,22021,M x x n n N n ⎧⎫==≤≤∈⎨⎬⎩⎭的所有非空子集的“积数”的和为： 1111345202211111123420212342021⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++-=⨯⨯⨯⨯- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2022110102=-= 故答案为：1010.32．（2021·长宁·上海市延安中学高三月考）已知函数()24222x a x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨⎪<⎩，若对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x f x =，则实数a 的取值范围是______．【答案】04a ≤<【详解】解：设函数()24,2x g x x x+=≥的值域为A ，函数()2,2x a h x x -=<的值域为B ， 因为对任意的[)12,x ∈+∞，都存在唯一的()2,2x ∈-∞，满足()()21f x fx =， 则A B ⊆，且B 中若有元素与A 中元素对应，则只有一个.当[)12,x ∈+∞时，()244x g x x x x+==+， 因为44x x +≥=，当且仅当4x x =，即2x =时，等号成立， 所以[)4,A =+∞，当()2,2x ∈-∞时，()2,2x a h x x -=< ①当2a ≥时，()2,2a x h x x -=<，此时()22,a B -=+∞， 224a -∴<，解得24a ≤<，②当2a <时，()2,2,2a x x a x a h x a x --⎧<=⎨≤<⎩， 此时()h x 在(),a -∞上是减函数，取值范围是()1,+∞，()h x 在[),2a 上是增函数，取值范围是)21,2a -⎡⎣，224a -∴≤，解得02a ≤<，综合得04a ≤<.故答案为：04a ≤<33．（2021·湖南岳阳楼·岳阳一中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且点D 满足2CD DA =，BD =1cos 4ABC ∠=，则2c a +的最大值为____________.【详解】解：由题意得,BD BA AD BD BC CD =+=+， 所以322BD BA BC CD AD =+++,因为2CD DA =，所以32BD BA BC =+， 两边平方得，222944BD BA BC BA BC =++⋅， 所以221844cos c a BA BC ABC =++⋅∠， 得22184c a ac =++， 所以218(2)3c a ac =+-，即2318(2)22c a a c =+-⋅⋅， 因为2222c a ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当2a c =时取等号， 所以22332(2)182222c a c a a c +⎛⎫+-=⋅⋅≤ ⎪⎝⎭， 令2c a t +=，则223188t t -≤，因为0t >，所以得0t <≤所以当且仅当2a c =时， 2c a +。