第六节 高斯公式和斯托克斯公式一、高斯公式定理1：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P或()⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβαcos cos cos这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上 点()z y x ,,出的法向量的方向余弦。
证明：我们只需证明三个等式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Pdydz dv x P ，⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Qdzdx dv y Q ，⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Rdxdy dv z R证明等式最重要的是处理好积分区域！ 证明⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω=∂∂Rdxdy dv z R（如图1） 例1：计算⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2222，其中∑为椭球面12222=++z y x 的内侧。
解：利用高斯公式⎰⎰∑++dxdy zx dzdx yz dydz xy2222=()⎰⎰⎰∑++-dxdydz x z y 2222()()⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+--+-=++-=123222222121212222222222221342122y x y x y x y x dxdy y x y x y x dzz y xdxdy()⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+--=123223201232212dr r r r r d πθ ⎰=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=2423sin cos sin 32cos sin 22ππdt t t t t tr ⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2053sin 322sin 32sin 322ππdt t t t πππ5225332232543223232322-=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-= 例2:计算曲面积分⎰⎰∑++xdzdx ydydz dxdy e z ，其中积分曲面∑为)20(22≤≤+=z y x z ，并取下侧。
华工微积分微积分是数学中的一门重要分支，研究函数的变化及其应用。
它由微分学和积分学组成，涵盖了导数、极限、微分、积分等概念和方法。
微积分广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，为解决实际问题提供了强大的工具。
微积分的基础概念是导数。
导数表示函数在某一点上的变化率，可以用来描述函数的斜率和曲线的切线。
导数的定义是函数在某一点附近的极限，即：\[f'(x) = \lim_{\triangle x \to 0} \frac{f(x+\triangle x) -f(x)}{\triangle x}\]导数可以用来求函数的极值。
当导数为零时，函数的斜率为零，意味着函数在该点取得极值（最大值或最小值）。
我们可以通过求函数的导数和解导函数为零的方程来求出函数的极值点。
在求函数的导数时，常用的方法包括使用导数的基本性质和运算法则。
例如，常数的导数为零，幂函数的导数可以通过幂函数的导数公式计算，常用的导函数公式还有三角函数的导数、指数函数的导数等。
运算法则包括求和差的导数、乘积的导数和商的导数，通过运用这些法则，我们可以更快地求出复杂函数的导数。
在微积分中，极限是一个重要的概念。
极限表示函数在某一点或者无穷远处的趋势。
当自变量趋近于某一值时，函数的极限可以用来描述函数在该点附近的行为。
例如，当自变量趋近于无穷时，函数的极限可以用来描述函数的增长趋势，这被称为函数的无穷极限。
函数的无穷极限可以是有限的，也可以是无穷的。
通过计算极限，我们可以确定函数在某一点的连续性和导数的存在性。
微分是微积分的重要部分，它表示函数在某一点的微小变化量。
微分的计算可以通过导数及其基本性质来实现。
例如，微分的链式法则可以用来求复合函数的微分。
在实际应用中，微分可以用来近似计算函数的变化量和解决优化问题。
积分是微积分的另一个重要概念，它表示函数在某一区间上的累加效果。
积分可以用来计算函数的面积、曲线的长度、重心等。
我们可以通过求解定积分来计算函数在某一区间上的累加效果，定积分的计算可以通过不定积分和积分的基本性质来实现。
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
