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t2
0 分析：这是 型不定式，应用洛必达法则. 0 d 1 t cos x d t2 e d t 解 e dt , cos x dx dx 1
x
.
e
cos2 x
(cos x) sin x e
sin x e lim x 0 2x
4.2 微积分基本定理(79)
a
f (t )dt f (t )dt
a
x
o a
x
x x b
5
x
4.2 微积分基本定理(79)
f (t )dt
a
x
x x x
f (t )dt f (t )dt
a
x
x x x
f (t )dt ,
y
由积分中值定理得
( x )
f ( )x
f ( ), x
9
F ( x )
f ( x ) ( x t ) f ( t )dt
x
0
x
0
f ( t )dt
2
,
f ( x ) 0, ( x 0)
x
0
f ( t )dt 0,
又( x t ) f (t ) 0, 且不恒为 0， 0 t x,
( x t ) f ( t )dt 0, F ( x ) 0 ( x 0). 0
求定积分 0 (2cos x sin x 1)dx .
2
解
原式 2 sin x cos x x 0
2
2 x 0 x 1 例5 设 f ( x ) ,求 1 x 2 5
解
3 . 2
2
0
f ( x )dx .
y
2
0
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
4.2 微积分基本定理(79) 12
4.2.2 牛顿—莱布尼茨公式
定理 2（微积分基本定理）
如果 F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间[a , b]上 的一个原函数，则
证
b
a
f ( x )dx F (b) F (a ) .
已知F ( x ) 是 f ( x ) 的一个原函数，
a
x
如果上限 x 在区间[a , b]上任意变动，则对每个取 定的 x 值，定积分有一个对应值，所以它在[a , b] 上定义了一个函数，称为积分上限函数，记为：
( x ) f (t )dt .
a
4.2 微积分基本定理(79) 4
x
定理１ 如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限函数
v(t )dt s(T2 ) s(T1 ),
T1
4.2 微积分基本定理(79)
T2
其中 s(t ) v(t ).
3
2、积分上限函数
设函数 f ( x ) 在区间[a , b]上连续， 并且设 x 为
[a , b]上的一点， 考察定积分
x
a
f ( x )dx f (t )dt .
x
又 ( x ) a f ( t )dt 也是 f ( x ) 的一个原函数,
4.2 微积分基本定理(79) 13
F ( x ) ( x ) C
x [a , b ]
令 xa
a
F ( a ) ( a ) C , F (a ) C ,
(a ) f (t )dt 0 a
2、 2 . 2、4.
4.2 微积分基本定理(79)
24
4.2.3 定积分法
1、换元积分法
定理3
假设（1） f ( x ) 在[a , b]上连续；
（2）函数 x ( t ) 在[ , ]上具有连续导数； （3）当 t 在区间[ , ]上变化时， x ( t ) 的值
0
x
f ( x ) 1,
F ( x ) 2 f ( x ) 0,
F ( x ) 在[0,1]上为单调增加函数 . F (0) 1 0,
F (1) 1 f ( t)d t 0 [1 f ( t)]d t 0,
0 1
1
所以 F ( x ) 0 即原方程在 (0,1) 内只有一个解.
x 0 x 0
t cos2 tdt x
2
______
.
6、 lim
x 0
1 x2
0
(1 cos t 2 )dt x
5 2
____ .
4.2 微积分基本定理(79)
22
二、 求导数： t2 d2 y x 1 t l n tdt , 1、 设 (t 1) ,求 2 ； 1 dx y 2 t 2 l n tdt , t 2、设 g ( x )
4.2 微积分基本定理(79) 23
课堂练习题答案
一、1、0； 5 4、 ； 6 2、 f ( x ) f (a ) ； 3、 3 x ln( x 2 1) ；
1 5、 2
；
1 6、 10 .
1 二、1、 2 ； 2t ln t 5 三、1、 2 ； 6 5 3 , 0. 四、 9
21
课堂练习题
一、 填空题： x d x2 b d f ( x ))dx ____ . 2 1、 =____. 2、 a ( e d x a dx dx d 2 3 2 t ln( t 1)dt _______ . 3、 x dx 2 x2 , 0 x 1 4、 f ( x )dx ____，其中 f ( x ) . 0 2 x , 1 x 2 5、 lim
y x
2
x 2 x 0 x 0 x 1 , x2 1 x 2
2
o
1
2
x
原式 x dx xdx 2 2 00来自121
11 x dx . 2
2
17
4.2 微积分基本定理(79)
例7
求积分
1
2
1 dx . x
1 解 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 d x 2 x ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2. 例 8 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围
cos2 x
,
lim
x0
1
cos x
e dt
t2
cos2 x
x2
1 . 2e
8
例2
设 f ( x ) 在( , )内连续，且 f ( x ) 0 .
x 0 x 0
证明函数 F ( x )
加函数.
tf ( t )dt f ( t )dt
在(0, )内为单调增
4.2 微积分基本定理(79) 11
定理 （原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b]上连续， 则积分上限函数
( x ) f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b]上的一个原 a
函数.
x
定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的.
（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
F ( x ) f (t )dt C ,
a
x
x
a
f ( t )dt F ( x ) F (a ),
令x b
b
a
f ( x )dx F (b) F (a ).
牛顿—莱布尼茨公式
14
4.2 微积分基本定理(79)
b
a
f ( x )dx F (b) F (a ) F ( x ) F ( x ) a
[ x , x x ],
o
a
x x x b x
lim lim f ( ) x 0 x x 0
(或 [ x x, x])
x 0, x
( x ) f ( x ).
4.2 微积分基本定理(79) 6
补充 如果 f ( t ) 连续， a ( x )、 b( x ) 可导，
4.2.1 原函数存在定理
1、变速直线运动问题
设某物体作直线运动，已知速度 v v ( t )是时 间间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数，且 v ( t ) 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2
T1
v(t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
b a
b
微积分基本定理表明：
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [a , b] 上的增量. 它的任意一个原函数在区间
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意:
当 a b 时，
b
a
f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立.
4.2 微积分基本定理(79) 15
例4
成的平面图形的面积.
解
面积 A
π
y
0
sin xdx
0
o
cos x 2.
4.2 微积分基本定理(79)
x
18
4.2.5 小结与思考题1-2
1.积分上限函数 ( x ) f ( t )dt
a x
2.积分上限函数的导数 ( x ) f ( x ) 3.微积分基本公式
