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z
R
M1
M2
d M1 M 2 ?
P
o
在直角 M 1 NM 2 Q 及 直 角 M PN 1 N 中，使用勾股定 y 理知
2 2
x
d M1 P PN NM 2 ,
2
2
M1 P x2 x1 , PN y2 y1 ,
NM 2 z2 z1 ,
d
x O 1y
又如,方程组
z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
C
若方程组
中的两个曲面方程分别是
两个不平行的平面方程，即
A1 x B 1 y C 1 z D1 0
这就是空间直线的一般方程，其图形为空间直线。
作业：教材260页
4， 5， 6
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
特别,当M0在原点时,球面方程为
2
2
2
2
z
M0
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
M
x
O
y
例2. 研究方程
的曲面. 解: 配方得 可见此方程表示一个球面
表示怎样
球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5
2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)；
3. 曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解:设轨迹上的动点为 M ( x, y, z ) , 则 AM BM , 即
在直角坐标系下
有序数组 ( x, y, z ) (称为点 M 的坐标) 点 M
特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
R(0,0, z )
1 1
z
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
o
r
M
Q(0, y,0)
B( 2,3,4) , D( 2,3,1) .
E (2,3,1).
F (1, 2, 3).
解答 A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ;
E：Ⅱ；F：Ⅵ
2、点 p ( 3 , 2 , 1) 关于平面 xoy 的对称点是 ________ ，关于平面 yoz 的对称点是 ______, 关于平面 zox 的对称点是 ________ ，关于 x 轴 的对称点是 _________ ，关于 y 轴的对称点是 _________ ，关于 z 轴的对称点是 _________ ；
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
解 M1 M 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14,
2
M 2 M 3 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M 3 M1
PP1 x 2 2 2 32 x 2 11,
2 2 PP2 x 1 1 2
x 2 2,
PP1 2 PP2 , x 2 11 2 x 2 2
x 1,
所求点为 (1,0,0), ( 1,0,0).
ｎ维实空间
R ( x1, x2 ,, xn ) | xi R, i 1,2,, n
2
2
(4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
原结论成立.
M 2 M 3 M 3 M1 ,
例2
设P 在x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
P 的坐标. 到点 P2 ( 0,1,1) 的距离的两倍，求点
解 因为 P 在x 轴上， 设P点坐标为 ( x ,0,0),
定义1.如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程 (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程
则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程,
曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形.
F ( x, y, z ) 0
第七章向量代数现空间解析几何
第一节 空间直角坐标系
第一节 空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z
z 轴(竖轴)
• 坐标原点
• 坐标轴 • 坐标面
yoz 面
o xoy面
x轴(横轴)
y
y轴(纵轴)
x
Ⅲ
z
yoห้องสมุดไป่ตู้面
Ⅳ
z
S O y
两个基本问题 :
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).
x
例1. 求动点到定点
方程.
距离为 R 的轨迹
依题意
解: 设轨迹上动点为
即 故所求方程为
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R
zox 面
Ⅱ
xoy面
Ⅶ
Ⅷ
o
y
Ⅵ
Ⅰ
x
Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
练习：在空间直角坐标系中，指出 下列各点在哪个卦限？
A(1, 2,3), C (2, 3, 4),
B(2,3, 4), D(2,3, 4),
M (1,3, 7), N (6, 9, 5), P(1, 6, 4), P(1, 6, 4),
( x 1) 2 ( y 2) 2 ( z 3) 2 ( x 2) 2 ( y 1) 2 ( z 4) 2 化简得 2 x 6 y 2 z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
2 2
z
R
M1
M2
Q
o
P
N
y
x
2
M 1 P PN NM 2
2
M1 M 2
x2 x1 y2 y1 z2 z1 .
2 2
空间两点间距离公式
特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O (0,0,0)
d OM x 2 y 2 z 2 .
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
例1 求点
关于(1)
面;(2)
轴;
(3)坐标原点; (4)点 设对称点的坐标为
对称点的坐标.
(1)
(2)
(3) (4)
2. 空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、M 2 ( x 2 , y 2 , z 2 ) 为空间两点
n
两点 P( x1, x2 ,, xn )和 Q( y1 , y2 ,, yn )的距离
PQ
y1 x1 y2 x2
2
2
yn xn .
2
练习题
1.在空间直角坐标系中，指出下列 各点在哪个卦限？
A(1,2,3) , C ( 2,3,4) ,
说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
4. 空间曲线方程的概念
空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组
G( x, y, z ) 0 L F ( x, y, z ) 0
S2
S1
z
例如,方程组
2
C
表示圆柱面与平面的交线 C.
