人教A版高中数学必修五2.5等比数列的前n项和课件(共21张PPT)

教学难点是公式的推导与公式的灵活运用。公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学的数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴涵了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
教学过程
实例引入
“一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二天借给穷人2万元，以后每天所借的钱数都比前一天多1万元；但借钱第一天，穷人还1分钱，第二天还2分钱，以后每天所还的钱数都是前一天的两倍，30天后互不相欠。穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出了名的，怕上当受骗，所以很为难。”你能帮助这个穷人出个主意么？
上面等式成立的条件为 。若 时，
3、在 时，根据等比数列的通项公式 ，代入公式可以得到什么样的结论？
……公式2
4、在 时，在公式1与公式2中一共牵涉几个元素，我们只要知道其中的几个就可以求出其它的？分别用在什么情况下？
公式中共有 ， ， ， ， 五个元素，类比等差数列，我们可以知道其中任意三个，就可以建立方程组求出另外两个。
若已知 与 ，则用公式1较好；若已知 与 ，则用公式2比较好。
结论：
等比数列的前 项和公式：
等比数列 的首项为 ，公比为 ，则其前 项和 ：
§2.5 等比数列的前 项和
（第一课时）
教学内容分析
本节课是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
教学目标
1、理解并掌握等比数列前 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的简单问题；

是等比数列，它的公比是q，若m+n=p+k，
则那么 aman apak
等比数列的前n项和公式的推导
由等比数列 a1 , a2 , a3 , … an , …
的前n项和
Sn a1 a2 a3 an1 an得
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
练习：an 是等比数列，S n是其前n项和，
数列 Sk , S2k Sk , S3k S2k
(k N )是否仍成等比数列？
等比数列的前n项和作业
P61习题A组：1，2，3，5，6题，B 组2，3。
255 . 256
1 (2)a1=27, a9= 243
,q<0
求等比数列 { an} 的前8项的和
{
例2.某商场今年销售计算机5000台,如果 平均每年的销售量比上一年的销售量增 加10%,那么从今年起,大约几年可使总销 售量达到30000台(结果保留到个位)?
例3如图，为了估计函数 y 9 x2 在第一象限的图
qSn
a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn
Sn qSn (a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1 )
(a1q a1q2 a1q3 a1qn1 a1qn )
a1 a1qn (1 q)Sn a1(1 qn )
Sn

a1 anq 1q
当q=1时， Sn na1
等比数列1 , 1 ,
的前8项的和.
248
解：
a1

1 2
,q

1 2
,n

8

一、复习
1、等比数列的定义
2、等比数列的通项公式
☆：已知三个量，可以求出第四个量。 （说“三”道“四”）
问题：如何来求麦子的总量？
即求：1，2，22，··，263的和； ·· ·· 令：S64=1+2+22+······+262+263 得: 2S64=
g
2+22+23+······ +263+264
，
错位相减得： S64= 264 – 1 > 1.8 ×1019
以小麦千粒重为40麦子质量超过7000亿吨！
麦粒总质量达7000亿吨——国王是拿不出的。
等比数列的求和公式
一般地，设有等比数列：a1，a2，a3，···，an··· S n= a1+ a2 + a3 + ··· + an 即：S n= a1+ a1q + a1q2 +······+ a1qn-2 + a1qn-1 qSn= a1q + a1q2 + a1q3 +······ + a1qn-1+a1qn （1-q）Sn=a1-a1qn 错位相减得：
等比数列的求和公式(q≠1)
在 a1、q、n、Sn、 an 中 知“三”求“二”பைடு நூலகம்
例2、 某制糖厂第1年制糖5万吨，如果平均每年 的产量比上一年增加10%，那么第1年起，约几年 内可使总产量达到30万吨（保留到个位）？ 解：根据题意，每年的产量比上一年增加的百 分率相同，所以从第１年起，每年的产量组成 一个等比数列｛an｝。 其中：a1=5， q=1+10%=1.1， Sn=30；
例4、设数列 为 求此数列前n项和。

思路探究：(1 )由 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 成等比数列求解．
S偶
(2 )利用
S奇
＝q ，及 S 2n＝S
奇＋S
偶求解．
合作探究
思
而
学
(1 )A (2)24 [(1)∵{a n}为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 也为等比数列， 即 7 ，S 4－7 ,9 1 －S 4 成等比数列， ∴(S 4－7 )2＝7 (9 1 －S 4)，解得 S 4＝2 8 或 S 4＝－2 1 . ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1 ＋q 2)＝S 2(1 ＋q 2)> S 2，∴S 4＝2 8 .
2
2
128
S偶
1
[解]
设等比数列为{a n }，项数为
2n ，一个项数为
2n
的等比数列中， ＝q .则 S奇
q＝ ， 2
3
3
又
an
和
a n ＋1
为中间两项，则
a
n
＋a
n
＋1
＝ 1
2
8
，即
a1q
n －1＋a 1q
n＝ ， 128
1
1
又
a
1
＝ 2
，q
＝ 2
，
1 ∴
2
·21
n
－1
1 ＋
2
·21
n
＝ 1
高中数学
数列
等比数列
等比数列的前n项 和性质及应用
学习目标
学
而
思
1．等比数列前 n 项和的变式
a 1 1 －q n