高中数学人教A版必修五3.4基本不等式(一)ppt课件

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b2(一)学习目标 1.理解基本不等式的内容及证明(重点)；2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小；3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式(难点).预习教材P97－98完成下列问题： 知识点 重要不等式与基本不等式【预习评价】1.(1)基本不等式中的a ，b 可以是代数式吗？ (2)a ＋b 2≥ab 与⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≥ab 是等价的吗？ 提示 (1)可以.但代数式的值必须是正数，否则不成立. (2)不等价，前者条件是a ＞0，b ＞0，后者是a ，b ∈R . 2.下列不等式正确的是( ) A.a ＋1a ≥2 B.(－a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ≤－2C.a 2＋1a 2≥2D.(－a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2≤－2解析 ∵a 2＞0，故a 2＋1a 2≥2成立. 答案 C题型一 利用基本不等式比较大小【例1】 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A.a <b <ab <a ＋b2B.a <ab <a ＋b2<bC.a <ab <b <a ＋b2 D.ab <a <a ＋b2<b解析 法一 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，排除A ，C 两项.又ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，排除D 项，故选B.法二 取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b2＜b . 答案 B规律方法 利用基本不等式比较实数大小的注意事项(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积)，同时要注意结合函数的性质(单调性).(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a ＞0，b ＞0. 【训练1】 (1)已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A.m ＞nB.m ＜nC.m ＝nD.m ≥n(2)若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________.解析 (1)因为a ＞2，所以a －2＞0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2（a －2）·1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2＜2，n ＝22－b 2＜4， 综上可知m ＞n . (2)因为a ＞b ＞1， 所以lg a ＞lg b ＞0，所以Q ＝12(lg a ＋lg b )＞lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab ＜lg a ＋b 2＝R .所以P ＜Q ＜R . 答案 (1)A (2)P ＜Q ＜R 题型二 用基本不等式证明不等式【例2】 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c ≥9.证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c ) ≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.规律方法 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式. 【训练2】 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1， 证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b ) ≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc . 当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立.课堂达标1.已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b ＋2ab 的最小值是( )A.2B.2 2C.4D.5解析 ∵a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋2ab ≥21ab ＋2ab ≥41ab ·ab ＝4， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝1b ，1ab ＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立.答案 C2.若0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( ) A.12 B.a 2＋b 2 C.2abD.a解析 a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12. a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab . ∵0<a <b 且a ＋b ＝1，∴a <12.∴a 2＋b 2最大. 答案 B3.设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( ) A.6 B.4 2 C.2 6D.8解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝42， 当且仅当a ＝b ＝32时，“＝”成立. 答案 B4.设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式： ①a 2＋1＞a ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ≥4；③(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4；④a 2＋9＞6a .其中恒成立的是________(填序号).解析 由于a 2＋1－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34＞0，故①恒成立；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋b a ＋a b ≥2ab ·1ab ＋2b a ·ab ＝4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝1ab ，b a ＝a b ，即a ＝b ＝1时，“＝”成立，故②恒成立； 由于(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ＋a b ＝4.当且仅当a b ＝b a ，那么a ＝b ＝1时“＝”成立，故③恒成立；当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③. 答案 ①②③课堂小结1.两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2.在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理的拆成两项或多项或把恒等式变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.基础过关1.若a ，b ，c ＞0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.23＋2D.23－2解析 由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23⇒a (a ＋b )＋(a ＋b )c ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4－23， 而2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c ) ≥2（a ＋b ）（a ＋c ）＝24－23＝2(3－1)＝23－2.∴当且仅当a ＋b ＝a ＋c ，即b ＝c 时等号成立. 答案 D2.已知等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝a 3＋a 92，Q ＝a 5·a 7，则P 与Q 的大小关系是( ) A.P ＞Q B.P ＜Q C.P ＝QD.无法确定 解析 P ＝a 3＋a 92＞a 3·a 9＝a 5·a 7＝Q . 答案 A3.a ，b ∈R ，则判断大小关系：a 2＋b 2________2|ab |.( )A.≥B.＝C.≤D.＞解析 由基本不等式a 2＋b 2＝|a |2＋|b |2≥2|a ||b |＝2|ab |， 当且仅当|a |＝|b |时，等号成立. 答案 A4.不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________. 解析 令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0， ∴a ＝2. 答案 a ＝25.若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________. 解析 ∵a ＞0，b ＞0， ∴ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即ab －2ab －3≥0， 解得ab ≥3，即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)6.设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a ，b ，c 都是正数，∴bc a ，ca b ，abc 也都是正数. ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ，三式相加得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c . 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立. 7.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.证明 ∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ，同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c .由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.能力提升8.若2m ＋4n ＜22，则点(m ，n )必在( ) A.直线x ＋y ＝1的左下方 B.直线x ＋y ＝1的右上方 C.直线x ＋2y ＝1的左下方 D.直线x ＋2y ＝1的右上方解析 ∵22＞2m ＋4n ≥22m ·4n ＝2m2＋n ＋1， ∴m 2＋n ＋1＜32， 即m ＋2n ＜1，∴(m ，n )在x ＋2y ＝1的左下方. 答案 C9.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a ，b ∈(0，＋∞)，A ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A ，B ，C 的大小关系是( ) A.A ≤B ≤C B.A ≤C ≤B C.B ≤C ≤AD.C ≤B ≤A解析 2ab a ＋b ≤2ab2ab ≤ab ≤a ＋b 2，又∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ≥f (ab )≥f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2， 即C ≥B ≥A .答案 A10.设正数a ，使a 2＋a －2＞0成立，若t ＞0，则12log a t ________log a t ＋12(填“＞”“≥”“≤”或“＜”).解析 ∵a 2＋a －2＞0，∴a ＞1或a ＜－2(舍)， ∴y ＝log a x 是增函数，又t ＋12≥ t ，∴log a t ＋12≥log a t ＝12log a t ，当且仅当t ＝1时取等号. 答案 ≤11.设a ，b 为非零实数，给出不等式：①a 2＋b 22≥ab ；②a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22；③a ＋b 2≥ab a ＋b ；④a b ＋ba ≥2.其中恒成立的不等式有________(填序号).解析 由重要不等式a 2＋b 2≥2ab ，可知①正确；a 2＋b 22＝2（a 2＋b 2）4＝（a 2＋b 2）＋（a 2＋b 2）4≥a 2＋b 2＋2ab 4＝（a ＋b ）24＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，可知②正确；当a ＝b ＝－1时，不等式的左边为a ＋b 2＝－1，右边为ab a ＋b ＝－12，可知③不正确；当a ＝1，b ＝－1时，可知④不正确. 答案 ①②12.已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小.解 对a 2＋b 2，b 2＋c 2，c 2＋a 2分别利用不等式2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，即可比较出二者的大小. 因为a 2＋b 2≥2ab ， 所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立. 又因为a ，b 都是非负实数，所以a 2＋b 2≥22(a ＋b )，当且仅当a ＝b 时，等号成立.同理b 2＋c 2≥22(b ＋c )，当且仅当b ＝c 时，等号成立，c 2＋a 2≥22(c ＋a )，当且仅当a ＝c 时，等号成立.所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]＝2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.故a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c ).13.(选做题)设实数x ，y 满足y ＋x 2＝0，且0＜a ＜1，求证：log a (a x ＋a y )＜18＋log a 2. 证明 ∵a x ＞0，a y ＞0， ∴a x ＋a y ≥2a x ＋y ， 又∵0＜a ＜1，∴log a (a x ＋a y )≤log a 2a x ＋y ＝12log a a x ＋y ＋log a 2 ＝12(x ＋y )＋log a 2. ∵y ＋x 2＝0，∴log a (a x ＋a y )≤12(x －x 2)＋log a 2 ＝－12(x －12)2＋18＋log a 2≤18＋log a 2，又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证.。