第五次课_686405974

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乃氏图 ω : 0 → +∞ 和 ω : 0 → ∞ 的 部分关于实轴对称
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1.典型环节的乃氏图 （1） 比例环节
jV
G ( jω ) = K
G ( jω ) = K
∠G ( jω ) = 0
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（2） 积分环节
1 G ( jω ) = jω
G ( jω ) =
1
ω → 0
ω
ω → ∞ ω → +∞
1 = 2 2 1+ ω T 2 1 1 2ω 2T 2 + ω 4T 4 ) + 4ω 2T 2 (
35
2
1 + ω 2T 2 1 = = 2 2 2 (1 + ω T ) 2
ω → ∞
G ( j 0 ) = 1∠0 G ( + j∞ ) = 0∠ 90°
ω → +∞
1 j 2
45°
1 2
= ∠G ( jω )
1 G ( jω ) = jωT + 1
ui ( t ) = sin ωt
1 G (s) = Ts + 1
“正弦传递函数”
12
3. 傅立叶变换与拉普拉斯变换
拉氏变换 傅立叶变换 1. 积分限不同
X (s) = ∫ X (ω ) = ∫
+∞
0 +∞
x(t )e dt x(t )e
ui ( t ) = sin ωt
U i ( s) =
uo ( t ) = ?
1 G (s) = , T = RC Ts + 1
ω
s2 + ω 2
1 ω 1T = 2 U o ( s ) = U i ( s )G ( s ) = 2 2 2 s + ω Ts + 1 s + ω s + 1 T
ωT ω s 2 2 2 2 1 T +ω 1 + T ω + 1 + T 2ω 2 = + 2 2 s +1 T s + ω2 s 2 + ω 10
23
例1.
1 G (s) = , T = RC Ts + 1
G ( jω ) = G ( s ) s = jω G ( jω ) = 1
1 = jω RC + 1
(ω RC )
2
+1
24
∠G ( jω ) = arctan ω RC
例2.
K G (s) = s (T1s + 1)(T2 s + 1)
(
)(
)
3~ 4
e -ζωnt xo ( t ) = 1 sin (ωd t + θ ) 1( t ) 2 1 ζ
ts =
极点的实部决定衰减速度 虚部决定振荡频率 随着 ζ 的减小，振荡幅度加大。
ζωn
1
一阶系统的单位阶跃响应曲线
1 t xo (t ) = 1 e T 1( t ) dxo (t ) 1 = dt t =0 T
幅
相
实
2
虚
2
A (ω ) = G ( jω ) = U (ω ) + V (ω ) V (ω ) φ (ω ) = ∠G ( jω ) = arctan U (ω )
17
G ( jω ) = U (ω ) + jV (ω ) = A (ω ) cos φ (ω ) + j sin φ (ω ) = A (ω ) e
，求幅频、相频特性
1 1 1 G ( jω ) = K jω T1 jω + 1 T2 jω + 1
=K
1
ω
e
π j 2
1
(T1ω )
K
2
+1
e
j ( tg -1T1ω )
1
(T2ω )
2
+1
e
j ( tg -1T2ω )
=
ωHale Waihona Puke (T1ω )2+1
(T2ω )
2
+1
e
π j tg 1T1ω tg 1T2ω 2
2
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
Step Response 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
zeta=0.1 0.3 0.5 0.7 0.9
Amplitude
0
5
10
15 Time (sec)
20
25
30
3
0 < ζ <1
s1,2 = ζωn ± jωn 1 ζ
上节回顾——一阶、二阶系统
Xo (s) 1 1T = = X i ( s ) Ts + 1 s + 1 T
1 t xo (t ) = 1 e T 1( t )
ts = ( 3 ~ 4 ) T
欠阻尼二阶系统
2 X o ( s) ωn == X i (s) s + ζωn + jωn 1 ζ 2 s + ζωn jωn 1 ζ 2
输出信号稳态响应的幅值
A(ω) = G( jω)
与正弦输入信号的幅值之比 ——幅频特性 输出信号稳态响应相对于正弦输入信号的相移 ——相频特性 φ (ω ) = ∠G ( jω16 )
幅频特性 相频特性
} 频率特性 { 虚频特性
jφ (ω )
实频特性
G ( jω ) = A (ω ) e
= U (ω ) + jV (ω )
Amplitude
一、频率特性的基本概念 频率响应 ——控制系统对正弦输入信号的稳态响应 频率特性 ——系统对不同频率正弦输入信号的响应特性 电路 机械 热 …
对不同频率的输入信号，输出响应不同
8
1.频率特性的物理背景
sin ωt
A (ω ) sin ωt + (ω )
稳态响应
9
2. RC电路网络正弦输入的稳态响应
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1 1 ωT = j G ( jω ) = 2 2 1 + ω 2T 2 jωT + 1 1 + ω T 1 1 ω 2T 2 ) 1 2( ωT j G ( jω ) = 2 2 2 1+ ω T 1 + ω 2T 2
1 1 2 1 2 2 (1 ω T ) + (ωT ) G ( jω ) = 2 2 2 1+ ω T 2
19
Im
Re
20
Re Im
21
s +1 G (s) = ( s + 5) ( s 2 + 4s + 13) 1 + jω G ( jω ) = = 2 2 jω + 5 ) ( jω ) + 4 jω + 13 ( 5 + jω ) (13 ω + 4ω j ) ( jω + 1
22
2.5 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
25
G ( jω ) =
K
ω
(T1ω )
2
+1
(T2ω )
2
+1
e
π j tg 1T1ω tg 1T2ω 2
A (ω ) =
K
ω
π
2
(T1ω )
2
+1
(T2ω )
2
+1
(ω ) =
arctan(T1ω ) arctan(T2ω )
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二、极坐标图——乃奎斯特图
乃奎斯特（H.Nyquist) 1889~1976， 美国Bell实验室 著名科学家
+∞ 0
1 G ( jω ) = RC ( jω ) + 1
X (ω ) = ∫
+∞ ∞
x(t )e dt
st
x(t )e jωt dt
14
t Tω uO ( t ) = e T + 1 + T 2ω 2
1
(ωT )
2
+1
sin ωt tan 1 (ωT )
正弦传递函数仅描述系统稳态输入输出信号之 间的幅值、相位关系； 传递函数还可以描述系统的瞬态过程
ω
ωT
ωT ω s 1 T 2 + ω 2 1 + T 2ω 2 1 + T 2ω 2 UO ( s ) = + 2 + 2 2 s +1 T s +ω s + ω2
ωT
uo (t ) = L1[U o ( s )]
t Tω 1 ωT T uo (t ) = e + sin ωt + cos ωt 2 2 2 2 2 2 1+ T ω 1+ T ω 1+ T ω
超调量
Mp = e
ζπ
1ζ 2
调整时间
ts ≈
3 4
ζωn
第四章 控制系统的频率特性
1.频率特性的基本概念 2.极坐标图 3.对数坐标图 4.由频率特性曲线求系统传递函数 5.控制系统的闭环频响
6
时域瞬态响应法 直观， 但不充分
特殊的时域响应 图表、曲线 对应关系
7
1 s +1 1 ( s + 1)( 0.1s + 1)
2
2ζ T ω arctan 1 T 2ω 2 ∠G ( jω ) = 180 arctan 2ζ T ω 1 T 2ω 2
1 ω ≤ T 1 ω > T