当前位置：文档之家 › 椭圆的简单几何性质练习题

椭圆的简单几何性质练习题

  • 格式：doc
  • 大小：83.50 KB
  • 文档页数：8

课时作业(八)
[学业水平层次]
一、选择题

1．(2015·人大附中月考)焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为
3
5

的椭圆的标准方程是( )

A.x2100＋y236＝1 B.x2100＋y264＝1
C.x225＋y216＝1 D.x225＋y29＝1
【解析】 本题考查椭圆的标准方程．由题意知2b＝8，得
b＝4，所以b
2＝a2－c2
＝16，又e＝ca＝35，解得c＝3，a＝5，又
焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为x225＋y216＝1，故选C.
【答案】 C
2．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离
心率为( )

A.12 B.13

C.14 D.22
【解析】 由题意知a＝2c，∴e＝ca＝c2c＝12.
【答案】 A
3曲线x225＋y29＝1与x29－k＋y225－k＝1(0A．有相等的焦距，相同的焦点
B．有相等的焦距，不同的焦点
C．有不等的焦距，不同的焦点
D．以上都不对

【解析】 曲线
x225＋y29＝1的焦距为2c＝8，而曲线x29－k＋y
2
25－k
＝

1(0＜k＜9)表示的椭圆的焦距也是8，但由于焦点所在的坐标轴不同，
故选B.
【答案】 B
4．已知O是坐标原点，F是椭圆x24＋y23＝1的一个焦点，过F且
与x轴垂直的直线与椭圆交于M，N两点，则cos∠MON的值为( )
A.513 B．－513

C.21313 D．－21313
【解析】 由题意，a
2＝4，b2
＝3，
故c＝a2－b2＝4－3＝1.
不妨设M(1，y0)，N(1，－y0)，所以124＋y203＝1，
解得y0＝±32，
所以|MN|＝3，|OM|＝|ON|＝12＋322＝
13
2
.

由余弦定理知cos∠MON＝|OM|2＋|ON|2－|MN|22|OM||ON|＝
1322＋


13
2
2－32

2×132×
13
2

＝－
5
13
.

【答案】 B
二、填空题
5．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且
过C、D的椭圆的离心率为________．
【解析】 如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a

＝3＋5＝8，∴e＝2c2a＝48＝
1
2
.

【答案】 12
6．设AB是椭圆x2a2＋y2b2＝1的不垂直于对称轴的弦，M为AB的
中点，O为坐标原点，则kAB·kOM＝________.
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则中点M



x1＋x22，y

1＋y2

2
，

得kAB＝y2－y1x2－x1，
kOM＝y2＋y1x2＋x1，kAB·k
OM

＝y22－y21x22－x21，

b2x21＋a2y21＝a2b2，b2x22＋a2y22＝a2b
2
，
得b2(x22－x21)＋a2(y22－y21)＝0，即y22－y21x22－x21＝－
b
2
a
2
.

【答案】 －b2a2
7．(2014·天津高二检测)已知P(m，n)是椭圆x2＋y22＝1上的一个
动点，则m2＋n2的取值范围是________．
【解析】 因为P(m，n)是椭圆x
2
＋y22＝1上的一个动点，所以

m
2＋n22＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2
，又－1≤m≤1，所
以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n
2
≤2.

【答案】 [1,2]
三、解答题

8．(1)求与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的
标准方程；
(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－
6,0)，(6,0)，求焦点在x轴上的椭圆的标准方程．
【解】 (1)∵c＝9－4＝5，
∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．

设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．

∵e＝ca＝55，c＝5，∴a＝5，b2＝a2－c2＝20，
∴所求椭圆的方程为x225＋y220＝1.
(2)因椭圆的焦点在x轴上，
设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，
∵2c＝8，∴c＝4，
又a＝6，∴b2＝a2－c2＝20.

∴椭圆的方程为x236＋y220＝1.
9．(2014·菏泽高二检测)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与x轴交于点
A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝
120°，求椭圆的离心率．
【解】 不妨设A(a,0)，点P在第一象限，由题意，点P的横

坐标是a2，设Pa2，y，由点P在椭圆上，得a22a2＋y2b2＝1，y2＝34b2，即

Pa2，32b，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝
3
2
b

a
2

＝

33，所以a＝3b，所以e＝ca＝a2－b2a＝3b2－b23b＝22
3
.

[能力提升层次]
1．(2015·福州高二期末)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F
2

作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则

椭圆的离心率是( )

A.22 B.2－1

C．2－2 D.2－12
【解析】 设椭圆方程为
x2a2＋y
2
b
2
＝1(a>b>0)，

由题得|PF2|＝b2a＝2c，
即a2－c2a＝2c，
得离心率e＝2－1，故选B.
【答案】 B
2．(2014·清远高二期末)“m＝3”是“椭圆x24＋y2m＝1的离心率为
1
2
”的( )

A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

【解析】 椭圆
x24＋y2m＝1离心率为1
2
，

当0当m>4时，m－4m＝12，得m＝163，
即“m＝3”是“椭圆x24＋y2m＝1的离心率为
1
2
”的充分不必要条

件．
【答案】 A
3．(2015·济南历城高二期末)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左焦点
为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于
点P.若AP→＝2PB→，则椭圆的离心率是________．
【解析】 由AP
→＝2PB→
，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝

2c，
则离心率e＝
1
2
.

【答案】 12
4．(2014·青海省西宁)已知点A，B分别是椭圆x236＋y220＝1的左、
右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA
⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于
|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
【解】 (1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，

则AP→＝(x＋6，y)，FP→＝(x－4，y)．

由已知得




x236＋y
2
20
＝1，

x＋6x－4＋y
2
＝0，

则2x2＋9x－18＝0，解得x＝32或x＝－6.
由于y>0，只能取x＝32，于是y＝
5
2
3.

所以点P的坐标是



32，5

2
3
.

(2)直线AP的方程是x－3y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)，

则M到直线AP的距离是|m＋6|2，又B(6,0)，
于是|m＋6|2＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有

d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－59x2
＝49x－922＋15，

由于－6≤x≤6，所以当x＝92时，d取最小值15.

合集下载

椭圆的简单几何性质典型例题

椭圆的简单几何性质典型例题


25 x22
∴
y12

y22


9 25
x1

x2 x1

x2 ．
将此式代入①，并利用 x1 x2 8 的结论得
x0

4


36 25
∴
k BT

9 5

0
4 x0

5 4
．
典型例题五
例5
已知椭圆
x2 4

y2 3
1 ， F1 、 F2 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 M
典型例题七
例 7 求适合条件的椭圆的标准方程．
（1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 2， 6 ；
（2）在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为 6．
分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由
x2 a2

y2 b2
1求出 a2
148 ，
b2

37
x2
，在得方程
，∴ a2

4，
∴
x2 4

y2
1为所求．
说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．
典型例题四
例
4
椭圆
x2 25

y 9
2
1上不同三点
Ax1，y1
，
B
4，9 5

，
Cx2，y2

1．
②
由①、②，得 a2 148 ， b2 37 或 a2 52 ， b2 13 ．故所求的方程为
2.2.2椭圆的简单几何性质

2.2.2椭圆的简单几何性质


知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
椭圆的简单几何性质-课时作业

椭圆的简单几何性质-课时作业

学习资料[文档副标题][日期]世纪金榜[公司地址]椭圆的简单几何性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013·安阳高二检测)若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.2.(2013·汝阳高二检测)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=13.若焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为,则m等于( )A. B. C. D.4. (2013·新课标全国卷Ⅱ)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P 是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( )A. B. C. D.5.设椭圆+=1(a>b>0)的离心率e=,右焦点F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1,x2,则点P(x1,x2)在( )A.圆x2+y2=2上B.圆x2+y2=2内C.圆x2+y2=2外D.以上三种情况都有可能二、填空题(每小题8分,共24分)6.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值为.7.(2013·沧州高二检测)椭圆的焦点在y轴上,一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4,短轴长为8,则椭圆的标准方程为.8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.10.已知椭圆+=1(a>b>0),若椭圆的离心率e满足≤e≤,且+=2,求椭圆长轴长的取值范围.11.(能力挑战题)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,∠F1PF2=60°.(1)求椭圆离心率的范围.(2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.答案解析1.【解析】选B.由条件知2a+2c=2×2b,∴a+c=2b,从而(a+c)2=4b2=4(a2-c2),解得e==.2.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在x轴上,且解得a=5,b=4,∴方程为+=1.【变式备选】(2013·北京高二检测)离心率为,且过点(4,0)的椭圆的标准方程是( )A.+=1B.+=1或+=1C.x2+4y2=1D.+=1或+=1【解析】选D.由条件知,(4,0)为椭圆的一个顶点.若a=4且=,则b2=4,方程为+=1.若b=4且=,则a2=64,方程为+=1.3.【解析】选B.∵椭圆的焦点在x轴上,且e=,∴=,解得m=.【举一反三】若把题中“焦点在x轴上”去掉,结果会怎样?【解析】当椭圆焦点在x轴上时,由=得m=.当椭圆焦点在y轴上时,由=得m=.∴m的值是或.4.【解题指南】利用已知条件解直角三角形,将PF1,PF2用半焦距c表示出来,然后借助椭圆的定义,可得a,c的关系,从而得离心率.【解析】选D.因为PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,所以PF2=2ctan 30°=c,PF1= c.又PF 1+PF2=2c=2a,所以c==,a即椭圆的离心率为.5.【解题指南】判断点P(x1,x2)与圆的位置关系,就是判断点P与圆心(0,0)的距离与半径的大小关系,利用根与系数的关系表示成关于离心率的关系式,再判断位置关系.【解析】选B.由题意e==,∴+=(x1+x2)2-2x1x2=+=+1=2-=<2,∴点P(x1,x2)在圆x2+y2=2内.6.【解析】由条件可知m>0,方程可化为x2+=1.∵椭圆的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,∴2=2×2×1,解得m=.答案:7.【解析】由条件知,=且2b=8,解得a2=25,b2=16.又∵椭圆的焦点在y轴上,∴所求的椭圆的标准方程为+=1.答案:+=18.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出. 【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3(1-),因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3(1-)=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6. 答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.9.【解题指南】解决本题的关键是确定m的值,应先将椭圆方程化为标准形式,根据分母的大小确定焦点的位置.用m表示a,b,c,再由e=求出m的值.【解析】椭圆方程可化为+=1,∵m-=>0,∴m>,即a2=m,b2=,c==.由e=得=,∴m=1.∴椭圆的标准方程为x2+=1.∴a=1,b=,c=.∴椭圆的长轴长为2,短轴长为1;两焦点坐标分别为(-,0),(,0);四个顶点坐标分别为(-1,0),(1,0),(0,-),(0,).10.【解题指南】由+=2把b2用a2表示,代入关于离心率的不等式组中,求出2a的范围.【解析】由+=2得b2=①,∴e2===1-,又∵≤e≤,∴≤1-≤,结合①b2=可得≤≤,∴≤a2≤,≤a≤,即≤2a≤,故长轴长的取值范围是[,].11.【解析】(1)设椭圆方程为+=1(a>b>0),|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a.在△PF1F2中,由余弦定理可知,4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3·()2=4a2-3a2=a2(当且仅当m=n时取等号).∴≥,即e≥.又0<e<1,∴e的取值范围是[,1).(2)由(1)知mn=b2,∴=mnsin60°=b2,即△PF1F2的面积只与短轴长有关.关闭Word文档返回原板块。

第一讲椭圆的定义及其练习题(精)

第一讲椭圆的定义及其练习题(精)

中心在坐标原点的椭圆的标准方程和几何意义知识清单1.椭圆的定义:(1)把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于定长(大于F仆2)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

符号表示: |PF 1|+| PF 2|=2a (2a >|F 1F 2|(2平面内，到定点F(c,0的距离与到直线I : x =的动点的轨迹叫做椭圆。

2.椭圆的简单几何性质:焦点在x轴上标准方程的距离之比是常数(a >c >0 a焦点在y轴上x 2y 2+2=12a b x 2y 2+2=12ba图形,焦点坐标对称性顶点坐标范围长轴短轴离心率准线方程F 1(-c , 0, F 2(c , 0 F 1(0, -c , F 2(0, c关于X、y轴成轴对称，关于原点成中心对称椭圆点的焦距与长轴长的比e=X 2y 23.点P(X 0, y 0和椭圆2+2=1的关系:(1 P(X 0, y 0在椭圆内(2 P (X 0, y 在椭圆上？(3 P (X 0, y 0在椭圆外二、例题讲解例1.求下列椭圆的离心率:(1)已知一椭圆的短轴长与它的焦距相等，求椭圆的离心率;(2)已知一方程为标准方程的椭圆上存在一个横坐标等于焦点横坐标，纵坐标等于短半轴长的求该椭圆的离心率。

的点,x 2y 21跟踪训练1：椭圆+=1离心率为，则k =k +892例2.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2,焦点到相应准线的距离为1,求该椭圆的离心率三课堂练习x 2y 2x 2y 21.椭圆+=1与+=1( 0<k<9的关系为(2599-k 25-kA.有相等的长、短轴2.短轴长为5,离心率e=的周长为(A.3B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点的椭圆的两焦点为F 1、F 2,过F 1作直线交椭圆于A、B两点,则^ABF 23B.6C.12D.24x 2y 23.椭圆+=1的焦点为F 1和F 2,点P在椭圆上,如果线段PF 1的中点在y轴上,那么|P F1|123是|PF2的（A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍4.已知以椭圆短轴的一个端点和两个焦点为顶点的三角形为正三角形，并且焦点到椭圆的最短距离为3,求椭圆的标准方程.x 2y 25.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍259四、高考题试做x 2y 21.（2008年江苏，12）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2+2=1（a >b >0的焦距为2c ,以定点0为圆心，a为半径做圆M。