椭圆的几何性质测试题

………………………………………………最新资料推荐………………………………………1.椭圆 x2＋4y2＝1 的离心率为(椭圆的几何性质 )2017/9/22则椭圆的离心率为 ( )33 22 A. 2 B.4C. 2 D.32.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于12，则 C 的方程是( )A.x32＋y42＝1B.x42＋ y23＝1C.x42＋y22＝1D.x42＋y32＝13.若椭圆经过原点，且焦点分别为 F1(1,0) ， F2 (3,0) ，则其离心率为（）A． 3 4B． 2 3C． 1 2D． 1 44．已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为13，长轴长为 12，则椭圆方程为( )A．1x424＋1y228＝1 或1x228＋1y424＝1B．x62＋y42＝1C．3x62 ＋3y22 ＝1 或3x22 ＋3y62 ＝1D．x42＋y62＝1 或x62＋y42＝1A.B.C.D.9.设 F1， F2 是椭圆 E： + =1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线 x= △F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为 ( )A.B.C.D.上一点，5.椭圆 + =1 与+=1(0<k<9)的关系为 ( )A.有相等的长、短轴 B.有相等的焦距 C.有相同的焦点 D.有相等 的离心率6.已知 F1，F2 为椭圆 + =1(a>b>0)的两个焦点，过 F2 作椭圆的弦 AB，若△AF1B 的周长为 16， 椭圆离心率 e= ，则椭圆的方程是( )10.设 e 是椭圆 + =1 的离心率，且 e∈，则实数 k 的取值范围是 ( )A.(0，3)B.C.(0，3)∪D.(0，2)二、填 空题:11.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是 10，离心率是45的椭圆的标准方程：. (2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6 的椭圆的标准方程：. (3)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 3的椭圆的标准方程：.A. + =1B. + =1C. + =1D. + =17.已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2，离心率为 33，过 F2 的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若△AF1B 的周长为 4 3，则 C 的方程为( ) A．x32＋y22＝1B．x32＋y2＝1C．1x22 ＋y82＝1D．1x22 ＋y42＝112.已知椭圆 + =1 的两个焦点是 F1,F2,点 P 在该椭圆上,若|PF1|-|PF2|=2,则△PF1F2 的面积是.13.若直线 x 2y 2 0 过椭圆 x 2 y 2 1(a b 0) 的左焦点 F 和一个顶点 B，则该椭圆 a2 b2的离心率为_______。

8.过椭圆 + =1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2 为右焦点，若∠F1PF2=60°， 1 / 13………………………………………………最新资料推荐……………………………………… 两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 G 的方 程为．14.已知 F1，F2 是椭圆 C： + =1(a>b>0)的两个焦点，P 为椭圆 C 上的一点，且 ⊥ ，若△PF1F2 的面积为 9，则 b=__________.15.已 知椭圆x2 a2y2 b2 1（ a b 0 ），F为左焦 点，A 为左顶点，B 为上顶点，C 为下顶点，且 AB CF 0 ，则椭圆的离心率 e 为___________.16.在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC 顶点 A(-4，0)和 C(4，0)，顶点 B 在7.椭圆x2 a2y2 b2 1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1，F2。

若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为________.8.椭圆 x2 y2 1的左焦点为 F ，直线 x m 与椭圆相交于点 A 、 B ，当 FAB 的周长最大时， 43FAB 的面积是____________。

9设 F1F2是椭圆 E :x2 a2y2 b2 1(ab0) 的左、右焦点， P 为直线 x3a 2上一点， F2PF1 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为_________。

椭圆 + =1 上，则=____________.17.如图所示,F1,F2 分别为椭圆 + =1 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,△POF2 是面积为 的 正三角形,则离心率为.18.在平面直角坐标系中，椭圆x2 a2y2 b2 1(a b 0)的焦距为 2，以 O 为圆心， a 为半径作圆，3.过椭圆 + =1 的中心任作一直线交椭圆于 P，Q 两点，F 是椭圆的一个焦点，则△PQF 周长的最小值是 ( )A.14B.16例 3：C.18D.20【补偿训练】设 e 是椭圆 + =1 的离心率，且 e∈，则实数 k 的取值范围是 ( )过点 a2 c,0 作圆的两切线互相垂直，则离心率e=．19.求到定点 A2,0 与到定直线 x 8的距离之比为 2 的动点的轨迹方程．22．设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴 的垂线交椭圆于点 P ，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A. 2 B. 2 1 C. 2 2 D. 2 1221.过椭圆 C： x 2 a2y2 b2 1(a b 0) 左焦点 F1 作 x 轴的垂线，交椭圆于点 P，F2 为右焦点，若∠F1PF2=60。

，则椭圆的离心率为_________。

6.巳 知椭圆 G 的中心在坐标原点，长轴在 x 轴上，离心率为 3 ，且 G 上一点到 G 的 2A.(0，3)B.C.(0，3)∪ 【解析】选 C.当 k>4 时，c=D.(0，2) ，由条件知 <<1，解得 k> ；当 0<k<4 时，c=，2 / 13………………………………………………最新资料推荐………………………………………由条件知 <<1 ，已知点(2,3)在椭圆mx22＋ny22＝1 上，则下列说法正确的是________ ①点(－2,3)在椭圆外②点(3,2)在椭圆上 ③点(－2，－3)在椭圆内④点(2，－3)在椭圆上【解析】 由椭圆的对称性知点(2，－3)也在椭圆上.【答案】④第 2 课时 直线与椭圆的位置关系 2017/9/23一.点与椭圆的位置关系:设点 P(x0，y0)，椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0).(1)点 P 在椭圆上⇔ax202＋by022＝1；(2)点 P 在椭圆内⇔ax022＋by202＜1；(3)点 P 在椭圆外⇔ax202＋by202＞1.练习：判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)点 P(2,1)在椭圆x42＋y92＝1 的内部.()(2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( )(3)过点 A(0,1)的直线一定与椭圆 x2＋y22＝1 相交.()(4)长轴是椭圆中最长的弦.( )二.直线与椭圆的位置关系:1.直线与椭圆的位置关系及判定:直线 y＝kx＋m 与椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)联立yax＝22＋kbyx2＋ 2＝m1，，消去 y 得一个一元二次方程.位置关系解的个数Δ 的取值相交两解Δ＞0相切一解Δ＝0相离无解Δ＜02.弦长公式:设直线 y＝kx＋b 与椭圆的交点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则:|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12·|y1－y2|. 题型 1.直线与椭圆的位置关系： 例 1.已知椭圆 4x2＋y2＝1 及直线 y＝x＋m，问 m 为何值时，直线与椭圆相切、相交？ 例 2.在椭圆上找一点 P，使 P 到直线 y＝x＋2 的距离最小，并求出这个最小距离. 题型 2.椭圆弦长和中点弦问题： 例 3.已知椭圆3x62 ＋y92＝1 和点 P(4,2)，直线 l 经过点 P 且与椭圆交于 A、B 两点.(1)当直线 l 的斜率为12时，求 AB 的中点和线段 AB 的长度； (2)当 P 点恰好为线段 AB 的中点时，求 l 的方程.小结：解决椭圆中点弦问题的两种方法：(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方 程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：代点作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知 A(x1，y1)，B(x2，y2) 是椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段 AB 的中点，ax212＋by212＝1， ①则ax222＋by222＝1， ②由①－②，得a12(x21－x22)＋b12(y12－y22)＝0，变形得：yx11－－yx22＝－ba22·xy11＋＋xy22＝－ba22·xy00，即 kAB＝－ba22xy00. 题型 3.直线与椭圆的位置关系综合问题：例 4.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,(1)求 C 的方程.),(0,)的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C.(2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点,k 为何值时 ⊥ ?此时|AB|的值是多少.例 5.已知椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的离心率为 36，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3， 直线 l：y＝kx＋m 交椭圆于不同的两点 A，B.(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点 O 到直线 l 的距离为 23，求△AOB 面积的最大值. 直线与椭圆的位置关系 同步作业 2017/9/23一、选择题：1.点 A(a,1)在椭圆x42＋y22＝1 的内部，则 a 的取值范围是()A.－ 2＜a＜ 2B.a＜－ 2或 a＞ 2C.－2＜a＜2D.－1＜a＜1 2.已知直线 y＝kx＋1 和椭圆 x2＋2y2＝1 有公共点，则 k 的取值范围是( )A.k＜－22或k＞22B.－22＜k＜22C.k≤－22或k≥22D.－22≤k≤2 23.过椭圆x42＋y32＝1 的一个焦点 F 作垂直于长轴的弦，则此弦长为()383A.4B.3C.2 3D. 34.直线 y＝x＋1 被椭圆x42＋y22＝1 所截得线段的中点的坐标是()A.23，53B.43，73C.－23，13D.－123，－1273 / 13………………………………………………最新资料推荐………………………………………5.若直线 y＝kx＋2 与椭圆x32＋y22＝1 相切，则斜率 k 的值是()A.36B.－663 3 C.±3 D.±36.经过椭圆x22＋y2＝1 的右焦点作倾斜角为 45°的直线 l，交椭圆于 A、B 两点，O 为坐标原点，→→ 则OA·OB＝( )A.－3B.－13C.－13或－3D.±1314.椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，且椭圆与直线 x＋2y＋8＝0 相交于 P，Q，且|PQ|＝ 10，求 椭圆的方程. 15.已知椭圆x42＋y32＝1，直线 l：y＝4x＋12，若椭圆上存在两点 P、Q 关于直线 l 对称，求直线 PQ 的方程.16.设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列.(1)求|AB|；(2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值.7.已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点 F 到 AB 的距离为 b ，则椭圆的离心率为( ) 7 7－ 7 7－2 7 1 4 A. 7 B. 7 C.2D.5 →→8.已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的 取值范围是( )A.(0,1)B.0，12C.0， 22D. 22，1【解】法一：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 kPQ＝－14. 设 PQ 所在直线方程为 y＝－4x＋b.y＝－4x＋b， 由 x42＋y32＝1，消去 y，得13x2－8bx＋16b2－48＝0.二、填空题：9.直线 l 过定点 A(－3,0)，则过点 A 的直线与椭圆x92＋y42＝1 的交点个数为________.10.若过椭圆1x62 ＋y42＝1 内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________.11.已知动点P(x，y)在椭圆2x52 ＋1y62 ＝1上，若A→→→点坐标为(3,0)，|AM|＝1，且PM·A M＝0，→ 则|P M|的最小值是________.12.过椭圆x52＋y42＝1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为________.13.若点O和点F分别为椭圆x42＋y32＝1的中心和左焦点，点P→→ 为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大∴Δ＝(－8b)2－4×13×(16b2－48)＞0. 解得 b2＜143，x1＋x2＝183b， 设 PQ 中点为 M(x0，y0)，则有 x0＝x1＋2 x2＝41b3，y0＝－14·143b＋b＝1123b.∵点 M41b3，1123b在直线 y＝4x＋12上，∴1123b＝4·143b＋12，∴b＝－183. 直线 PQ 的方程为 y＝－14x－183，值为________. 三、解答题：即 2x＋8y＋13＝0. 法二：设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，4 / 13M(x0，y0)是 PQ 的中点.3x21＋4y21＝12，则有两式相减，得3x22＋4y22＝12，3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0. ∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，………………………………………………最新资料推荐………………………………………－2c1－2b2则由根与系数的关系，得 x1＋x2＝1＋b2，x1x2＝ 1＋b2 .因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|＝ 2|x1－x2|， 即43＝ 2|x1－x2|.∴34xy00＝－yx11－ －yx22＝－kPQ. ∵kPQ＝－14，∴y0＝3x0.所以(x1＋x2)2－4x1x2＝89， 即411＋－bb222－411－＋2bb2 2＝1＋8bb422＝89，代入直线 y＝4x＋12，解得 b2＝12或 b2＝－14(舍去)，得 x0＝－12，y0＝－32，又b＞0，∴b＝2 2.则直线 PQ 的方程为 y＋32＝－14x＋12，即 2x＋8y＋13＝0. 10.设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2＋by22＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过 F1 的直线 l 与 E 相交 A，B 两 点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列. (1)求|AB|； (2)若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值. 【解】(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4， 又 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43.(2)直线 l 的方程为 y＝x＋c，其中 c＝ 1－b2.y＝x＋c， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点坐标满足方程组x2＋by22＝1，化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.[能力提升] 1.已知椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左焦点为 F，A(－a,0)，B(0，b)为椭圆的两个顶点，若点 F 到 AB 的距离为 b ，则椭圆的离心率为( )7 7－ 7 7－2 7 A. 7 B. 7 14 C.2D.5 【解析】 直线 AB 的方程是－xa＋by＝1，即 bx－ay＋ab＝0.因为点 F 的坐标为(－c,0)，所以|－bc＋ab| ＝a2＋b2b ，化简，得 78c2－14ac＋5a2＝0，两端同除以a2，得8e2－14e＋5＝0，解得e＝12e＝54舍去.【答案】 C→→ 2.已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0 的点 M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )5 / 13………………………………………………最新资料推荐………………………………………A.(0,1)B.0，12消去 x，得(3a2＋b2)y2＋2 3b2cy－3b4＝0.C.0， 22D. 22，1－ 3b2c＋2a－ 3b2c－2a解得 y1＝ 3a2＋b2 ，y2＝ 3a2＋b2→→ 【解析】∵MF1⊥MF2，∴点 M 在以 F1F2 为直径的圆上，又点 M 在椭圆内部，∴c<b，∴c2<b2＝→→ 因为AF＝2FB，所以－y1＝2y2，a2－c2，即2c2<a2，∴ac22<12，∴ac<22，又e>0，∴0<e<2 2.【答案】C3b2c＋2a － 3b2c－2a即＝2·，3a2＋b23a2＋b23.若点O和点F分别为椭圆x42＋y32＝1的中心和左焦点，点P→→ 为椭圆上的任意一点，则OP·FP的最大值为________.【解析】由x42＋y32＝1得左焦点F(－1,0)，设→→ P(x，y)，－2≤x≤2.则OP·FP＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋31－x42＝14x2＋x＋3＝14(x＋2)2＋2，当且仅当x＝2→→ 时，OP·FP取最大值6.【答案】6 4.设椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F，过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l得离心率 e＝ac＝23. (2)因为|AB|＝ 1＋13|y2－y1|， 所以 23·34a23＋abb22＝145. 由ac＝23，得 b＝ 35a，所以54a＝145，所以 a＝3，b＝ 5.x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 9 ＋ 5 ＝1.→→ 的倾斜角为 60°，A F＝2F B.(1)求椭圆 C 的离心率；6.(2014·陕西高考)已知椭圆 + =1(a>b>0)经过点(0，(2)如果|AB|＝145，求椭圆 C 的标准方程. 【解】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中 y1<0，y2>0.【导学号：97792080】为 ，左、右焦点分别为 F1(-c，0)，F2(c，0). (1)求椭圆的方程.)，离心率(1)直线 l 的方程为 y＝ 3(x－c)， 其中 c＝ a2－b2.y＝ 3x－c， 联立，得ax22＋by22＝1，(2)若直线 l：y=- x+m 与椭圆交于 A，B 两点，与以 F1F2 为直径的圆交于 C，D 两点，且满足 求直线 l 的方程.=，【解题指南】(1)先由已知得椭圆短半轴长，再由离心率及 a，b，c 间的关系，列方程组得解.(2)先利用直线与圆相交求得弦 CD 的长，再利用椭圆与直线相交得 AB 的长，通过解方程得 m 值从而得解.6 / 13………………………………………………最新资料推荐………………………………………【解析】(1)由题设知 解得 a=2，b= ，c=1，所以椭圆的方程为 + =1. (2)由题设，以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1，所以圆心到直线的距离 d= .由 d<1 得|m|< . (*)所以|CD|=2=2=.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得 x2-mx+m2-3=0，由根与系数的关系可得 x1+x2=m，x1x2=m2-3.所以|AB|==.由 =得=1，解得 m=± ，满足(*)，所以直线 l 的方程为 y=- x+ 或 y=- x- . 9.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点(0,- ),(0, )的距离之和等于 4, 设点 P 的轨迹为 C. (1)求 C 的方程.(2)设直线 y=kx+1 与 C 交于 A,B 两点,k 为何值时 ⊥ ?此时|AB|的值是多 少. 【解析】(1)设 P(x,y),由椭圆的定义知,点 P 的轨迹 C 是以(0,- ),(0, )为焦点,长半轴长为 2 的椭圆,它的短半轴长 b==1.故曲线 C 的方程为+x2=1.7 / 13………………………………………………最新资料推荐………………………………………(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足 消去 y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.由根与系数的关系得 x1+x2=-,x1x2=-.若 ⊥ ,则 x1x2+y1y2=0. 因为 y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以 x1x2+y1y2=---+1=-=0,所以 k=± .当 k=± 时,x1+x2=∓ ,x1x2=- .所以|AB|==.而(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= +4× =,所以|AB|==.2.椭圆 ax2+by2=1 与直线 y=1-x 交于 A,B 两点,过原点与线段 AB 中点的直线的斜率为 ,则 的值为 ( )A. B. C. D. 【解析】选 A.把 y=1-x 代入椭圆 ax2+by2=1, 得 ax2+b(1-x)2=1, 整理得(a+b)x2-2bx+b-1=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,y1+y2=2-,所以线段 AB 的中点坐标为,所以过原点与线段 AB 中点的直线的斜率 k= = = ,即 = .10.已知椭圆 C： + =1(a>b>0)的一个顶点为 A(2，0)，离心率为 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.8 / 13.直线(1)求椭圆 C 的方程.………………………………………………最新资料推荐………………………………………=(2)当△AMN 的面积为 时，求 k 的值.=.【解析】(1)由题意得解得 b= .所以椭圆 C 的方程为 + =1.又因为点 A(2，0)到直线 y=k(x-1)的距离 d=，所以△AMN 的面积为 |MN|·d=.(2)由 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. Δ=24k2+16>0. 设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 y1=k(x1-1)，y2=k(x2-1)，x1+x2=，x1x2=，所以|MN|=由= ，解得 k=±1.5.设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点，点 D 是 P 在 x 轴上的投影，M 为 PD 上一点，且|MD|= |PD|. (1)当 P 在圆上运动时，求点 M 的轨迹 C 的方程.(2)求过点(3，0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 【解析】(1)设 M 的坐标为(x，y)，P 的坐标为(xP，yP)，由已知得9 / 13………………………………………………最新资料推荐………………………………………【精彩点拨】(1)设直线方程→联立方程组→利用弦长公式求解；因为 P 在圆上，所以 x2+=25，即 C 的方程为 + =1.(2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用. 【自主解答】(1)由已知可得直线 l 的方程为 y－2＝12(x－4)， 即 y＝12x.y＝12x， 由 3x62 ＋y92＝1，(2)过点(3，0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3)，可得 x2－18＝0，若设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 则 x1＋x2＝0，x1x2＝－18.设直线与 C 的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程，于是|AB|＝ x1－x22＋y1－y22＝ x1－x22＋14x1－x22＝5 2x1＋x22－4x1x2＝ 25×6 2＝3 10.所以线段 AB 的长度为 3 10.(2)法一：设 l 的斜率为 k，则其方程为 y－2＝k(x－4).得+=1，即 x2-3x-8=0.Δ=(-3)2+32=41>0所以 x1+x2=3，x1x2=-8.所以线段 AB 的长度为联立3x62 ＋y92＝1， y－2＝kx－4，消去 y 得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x＋(64k2－64k－20)＝0. 32k2－16k若设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝ 1＋4k2 ，由于 AB 的中点恰好为 P(4,2)，|AB|= =所以x1＋2 x2＝116＋k2－4k82k＝4，解得 k＝－12，且满足 Δ＞0. 这时直线的方程为 y－2＝－12(x－4)， 即 y＝－12x＋4. 法二：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，===.10 / 13则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4.1.求解直线与椭圆相交所得的弦长问题，一般思路是将直线方程与椭圆方程联立，得到关于x (或y )的一元二次方程，然后结合根与系数的关系及两点间的距离公式求弦长.一定要熟记公式的形式并能准确运算.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2.与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)].∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆的方程为x 236＋y 29＝1.探究 在椭圆的有关问题中，常出现离心率、弦长或面积的范围、最值问题，这类问题一般思路是什么？【提示】(1)解决与椭圆有关的最值问题，一般先根据条件列出所求目标函数的关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法，应用不等式的性质，以及三角函数的最值求法求出它的最大值或最小值及范围.(2)解决椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中的范围问题常用的关系有①－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ； ②离心率0＜e ＜1；③一元二次方程有解，则判别式Δ≥0.已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值.【精彩点拨】(2)中，设A ，B 坐标→OA →·OB →＝0→|AB |化为关于x 0的函数→求最值.【自主解答】(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2.因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4 ＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4). 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立， 所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等，解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.[再练一题]3.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为3，直线l ：y＝kx ＋m 交椭圆于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的方程；(2)若坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值.【导学号：97792019】【解】(1)由c a ＝63，a ＝3，所以c ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)由已知|m |1＋k 2＝32，所以m 2＝34(1＋k 2)，联立l ：y ＝kx ＋m 和x 23＋y 2＝1，消去y ，整理可得：(1＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0， 所以x 1＋x 2＝－6km1＋3k 2，x 1x 2＝3m 2－31＋3k 2，所以|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝12(1＋k 2)(3k 2＋1－m 2)(1＋3k 2)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(1＋3k 2)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤4(k ≠0)，当且仅当k ＝±33时取等号，验证知k ＝±33满足题意，显然k ＝0时，|AB |2＝3＜4. 所以(S △AOB )max ＝12×2×32＝32.1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1有两个顶点在直线x ＋2y ＝2上，则该椭圆的焦点坐标是( )A.(±3，0)B.(0，±3)C.(±5，0)D.(0，±5)【解析】∵直线x ＋2y ＝2过(2,0)和(0,1)点， ∴a ＝2，b ＝1， ∴c ＝ 3.椭圆焦点坐标为(±3，0). 【答案】A2.若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是( )A.63B.－63C.±63D.±33【解析】把y ＝kx ＋2代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，由于Δ＝0，∴k 2＝23，∴k ＝±63.【答案】C3.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.m >1B.m >1且m ≠3C.m >3D.m >0且m ≠3【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3，得m <0或m >1且m ≠3，又∵m >0，∴m >1且m ≠3.【答案】 B4.若过椭圆x 216＋y 24＝1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是________.【解析】设弦两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 2116＋y 214＝1，x 2216＋y 224＝1，两式相减并把x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2代入得y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴所求直线方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.【答案】x ＋2y －4＝05.如图2-1-4，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x 24＝1的下焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB的长.【导学号：97792020】图2-1-4【解】令点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4，∴c ＝a 2－b 2＝2，∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)，∵直线过点B (2,0)和点F (0，－2)， ∴直线l 的方程为y ＝x －2.将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝43，x 1x 2＝－43，∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2⎝⎛⎭⎫432－4×⎝⎛⎭⎫－43＝823. 10如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是_______ 4.在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的 离心率e =．5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是_______.1.直线1+=kx y 与焦点在y 轴上的椭圆1522=+myx 恒有公共点，则m 的取值范围是( ) A.（0，1） B.（0，5） C.[1，5） D. （ 5，＋∞）2.过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( ) A ．2B ．－2C ．21 D ．－21 3.直线l 交椭圆1121622=+y x 于AB 两点，AB 的中点为M （2,1），则l 的方程为_______ 4.椭圆2214520x y +=的焦点分别是1F 和2F ，过原点O 作直线与椭圆相交于,A B 两点，若2ABF ∆的面积是20，则直线AB 的方程式是．5．经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长． 三、高考链接1.设F 1、F 2分别是椭圆1222=+by x （0<b<1）的左右焦点，过F 1的直线l 与椭圆交于AB 两点，且|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列（1）求|A B|（2）若直线l 的斜率为1，求b 的值、2.设F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=（0<b<1）的左右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与椭圆交于AB 两点，且|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等差数列（1）求|椭圆的离心率（2设P(0，-1)，若|PA|=|PB|,求椭圆的方程3.设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.（1）求椭圆C 的离心率；（2）如果|AB|=154求椭圆C 的方程. 4设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.5已知椭圆C :2222by a x +=1(a ＞b ＞0)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求△AOB 面积的最大值.。