椭圆的简单几何性质教案(绝对经典)

椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及其简单几何性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念；3. 能够运用椭圆的性质解决相关问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及简单几何性质；2. 椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。

教学难点：1. 椭圆的性质在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，复习圆的基本概念；2. 提问：圆有什么特殊的性质？它的形状是什么样的？二、新课导入（10分钟）1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹；2. 讲解椭圆的基本性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 示例：绘制一个椭圆，并标出其长轴、短轴、焦距等。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生自主绘制几个椭圆，并标出其长轴、短轴、焦距等；2. 互相交流，检查答案。

四、巩固知识（10分钟）1. 讲解椭圆的性质在实际问题中的应用；2. 示例：解决一些与椭圆相关的几何问题。

五、课堂小结（5分钟）2. 强调椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。

教学反思：六、案例分析：椭圆在现实生活中的应用（10分钟）1. 展示椭圆在自然界中的实例，如行星的运动轨迹、鸟蛋的形状等；2. 分析椭圆在这些实例中的作用和意义；3. 提问：椭圆在现实生活中还有哪些应用？七、互动探究：探索椭圆的面积公式（10分钟）1. 引导学生回顾圆形面积公式；2. 提问：椭圆的面积公式是什么？能否从圆的面积公式入手，探索椭圆的面积公式？3. 分组讨论，让学生自主探索椭圆的面积公式。

八、课堂练习：解决椭圆面积问题（10分钟）1. 让学生自主解决一些与椭圆面积相关的问题；2. 互相交流，检查答案。

九、拓展延伸：椭圆的进一步研究（10分钟）1. 介绍椭圆的一些更深入的性质，如离心率、焦距等；2. 引导学生思考：这些性质有什么实际应用？十、课堂小结与作业布置（5分钟）2. 强调椭圆的面积公式及其应用；3. 布置作业：解决一些与椭圆相关的实际问题。

椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及基本几何性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本参数的计算方法；3. 能够应用椭圆的性质解决实际问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及基本几何性质；2. 椭圆的基本参数的计算方法。

教学难点：1. 椭圆的性质在实际问题中的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 椭圆模型或图片；3. 直尺、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的基本几何性质，如圆的半径、直径等；2. 提问：同学们知道吗，还有一种曲线也和圆有关系，叫做椭圆。

椭圆有哪些基本性质呢？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹；2. 讲解椭圆的基本几何性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 讲解椭圆的基本参数的计算方法：长轴长度、短轴长度、焦距等。

三、例题解析（10分钟）1. 给出例题，让学生独立解答，进行讲解；2. 通过例题，让学生加深对椭圆性质的理解。

四、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识；2. 对学生的练习进行点评，解答学生的疑问。

五、课堂小结（5分钟）2. 强调椭圆性质在实际问题中的应用。

教学反思：本节课通过讲解椭圆的定义、基本几何性质和计算方法，让学生掌握了椭圆的基本知识。

在课堂练习环节，学生能够独立完成练习题，对椭圆的知识有了更深入的理解。

但在实际问题中的应用方面，学生还需加强练习和思考。

在今后的教学中，应更多地提供实际问题，让学生运用椭圆的知识解决问题，提高学生的应用能力。

六、椭圆的标准方程（10分钟）1. 引入椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（a>b>0)；2. 讲解椭圆标准方程的来源及意义；3. 讲解如何由椭圆的标准方程求解椭圆的参数。

七、椭圆的焦点与焦距（10分钟）1. 讲解椭圆的焦点定义及性质；2. 讲解焦距的概念及计算方法；3. 引导学生掌握焦点与焦距的关系。

椭圆的简单几何性质第四课时（一）教学目标1．能推导并掌握椭圆的焦半径公式，能利用焦半径公式解决有关与焦点距离有关的问题．2．能利用椭圆的有关知识解决实际应用问题．3．能综合利用椭圆的有关知识，解决最值问题及参数的取值范围问题． （二）教学过程 【复习引入】1．利用投影仪显示椭圆的定义，标准方程及其几何性质（见第二课时）． 2．求椭圆上到焦点距离的最大值与最小值． 【探索研究】为研究上述问题，可先解决例1，教师出示问题．例 1 求证：椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上任一点()00y x P ，与焦点所连两条线段的长分别为0ex a ±．分析：由距离公式和椭圆定义可以有两种证法，先由一位学生演板，教师最后予以补充．证法一：设椭圆的左、右焦点分别为()01，c F -．()02，c F ，则 ()()2222202201a x a b c x y c x PF -⋅++=++= 2020222a cx x ac ++= 0x ac a += ∵a x a ≤≤-0， ∴00>-≥+c a x aca ． ∴01ex a PF +=． 又a PF PF 221=+，∴()0022ex a ex a a PF -=+-= 故得证．证法二：设P 到左右准线的距离分别为1d ，2d ，由椭圆的第二定义有e d PF =11，又c a x c a x d 20201+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=，∴02011ex a c a x a c ed PF +=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+==． 又a PF PF 221=+，∴022ex a PF -=． 故得证．说明：1PF 、2PF 叫做椭圆的焦半径．利用焦半径公式在椭圆的有关计算、证明中，能大大简化相应的计算．至此可解决开始提出的问题．∵01ex a PF +=，a x a ≤≤-0， ∴c a a a c a PF +=⋅+≤1，()c a a aca PF -=-+≥1． ∴c a PF c a +≤≤-1．即椭圆上焦点的距离最大值为c a +，最小值为c a -，最大值与最小值点即是椭圆长轴上的顶点．例2 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它们近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一条直线上，地球半径约6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．分析：这是一个介绍椭圆在航天领域应用的例子，关键是理解近地点和远地点与椭圆的关系．由于数字大，计算较繁，可教师讲解．解：如图，建立直角坐标系，使点A 、B 、2F 在x 轴上，2F 为椭圆的右焦点（记1F 为左焦点）．因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的方程为12222=+by a x ()0>>b a则6810439637122=+==-=-A F OF OA c a87552384637122=+==-=+B F OF OB c a解得5.7782=a 5.972=c ∴()()77228755681022≈⨯=-+=-=c a ca c ab ．因此，卫星的轨道方程是1772277832222=+y x ． 点评：由例1可知椭圆上到焦点的距离的最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点，因而可知所有卫星的近地点、远地点、及轨道的焦点都在同一直线上．例3 已知点P 在圆()1422=-+y x C ：上移动，点Q 在椭圆1422=+y x 上移动，求PQ 的最大值．分析：要求PQ 的最大值，只要考虑圆心到椭圆上的点的距离，而椭圆上的点是有范围的．可在教师指导下学生完成，解答如下：设椭圆上一点()y x Q ，，又()40，C ，于是 ()()()222224144-+-=-+=y y y x QC20832++-=y y3763432+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=y ．而11≤≤-y∴当1-=y 时，QC 有最大值5． 故PQ 的最大值为6．点评：椭圆中的最值问题常转化为二次函数在闭区间上的最值问题．例4 已知椭圆12222=+by a x ()0>>b a 与x 轴的正半轴交于点A ，O 是原点．若椭圆上存在一点M ，使MO MA ⊥，求椭圆离心率e 的取值范围．分析：依题意M 点的横坐标a x <<0，找到x 与a 、b 的关系式．教师讲解为好．解：设M 的坐标为()y x ，，由OM AM ⊥，有22222⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x于是下面方程组的解为M 的坐标⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-.022222222b a y a x b y ax x 消去y 整理得()0223222=+-+b a x a x b a．解得a x = 或 22c ab x =．a x =即为椭圆的右顶点∴ a cab <<220 即22c b <．即22>e ，而1<e ， 故122<<e ． （三）随堂练习1．如图在AFB ∆中，150=∠AFB ，32-=∆AFB S ，则以F 为焦点，A 、B 分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．2．设椭圆12922=+y x 上动点()y x P ，到定点()0，a A ()30<<a 的距离AP 最小值为1，求a 的值．答案：1．12822=+y x 2．2=a （四）总结提炼椭圆的焦半径是椭圆的基础问题，在解题中有其独特的作用，椭圆的范围在解决椭圆的元素的范围及与其有关的最大值（最小值）问题时是很有效的方法．（五）布置作业1．椭圆短半轴的长为1，离心率的最大值是23，则长半轴长的取值范围是___________． 2．若椭圆两焦点为()041，-F ，()042，F ，P 在椭圆上，且21F PF ∆的最大面积是12，则椭圆方程是_______________．3．已知F 是椭圆222222ba y a xb =+()0>>b a 的一个焦点，PQ 是过其中心的一条弦，记22b a c -=，则PQF ∆面积的最大值是（ ）A ．ab 21B ．abC ．acD ．bc 4．已知()00y x M ，是椭圆1162522=+y x 上的任意一点，以过M 的一条焦半径为直径作圆1O ，以椭圆长轴为直径作圆2O ，则圆1O 与圆2O 的位置关系是（ ）A ．内切B ．内含C ．相交D ．相离5．设P 是椭圆12222=+by a x ()0>>b a 上的任一点，求P 点到椭圆两焦点1F 、2F 距离之积的最大值与最大值，并求取得最大值与最小值时P 点的坐标．6．设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．答案：1．(]21，2．192522=+y x 3．D 4．A 5．设()00y x P ，则01ex a PF +=，02ex a PF -=()()20220021x e a ex a ex a PF PF -=-+=⋅ ∵a x a ≤≤-0 ∴2200a x ≤≤当00=x 即()b P ，0或()b -，0时，21PF PF ⋅最大，最大值为2a ．当220a x =即()0，a P 或()0，a -时，21PF PF ⋅最小，最小值为222b c a =-．6．设所求椭圆方程是12222=+by a x ()0>>b a依题意可得342132322222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b y y x d ，其中b y b ≤≤-如果210<<b ，则当b y -=时，2d 有最大值，即()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ．由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d 有最大值，即()34722+=b．由此得1=b ，2=a ，故所求椭圆方程为1422=+y x ． 由21-=y 代入椭圆方程得点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，和⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点P 的距离都是7．注：本题也可设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，πθ20<≤，利用三角函数求解．。

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本性质。

2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等几何参数的计算方法。

3. 能够运用椭圆的性质解决相关几何问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及其基本性质。

2. 椭圆几何参数的计算方法。

教学难点：1. 椭圆性质的应用。

教学准备：1. 教学课件或黑板。

2. 尺子、圆规等绘图工具。

教学过程：一、导入1. 引导学生回顾圆的性质，提出问题：“如果将圆的半径缩小，圆的形状会发生什么变化？”2. 学生讨论并得出结论：圆的形状会变成椭圆。

二、新课讲解1. 引入椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质：a) 椭圆的两个焦点对称，且位于椭圆的长轴上。

b) 椭圆的长轴是连接两个焦点的线段，短轴是垂直于长轴的线段。

c) 椭圆的半长轴a和半短轴b是椭圆的几何参数，焦距2c与a、b之间的关系为c^2=a^2-b^2。

3. 演示如何用尺子和圆规绘制椭圆，并引导学生动手实践。

三、案例分析1. 给出一个椭圆，让学生计算其长轴、短轴和焦距。

2. 学生分组讨论并解答，教师巡回指导。

四、课堂练习1. 布置课堂练习题，让学生运用椭圆的性质解决问题。

2. 学生独立完成练习题，教师批改并给予反馈。

五、总结与拓展1. 总结本节课所学的椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

2. 提出拓展问题：“椭圆在实际应用中有什么意义？”，引导学生思考和探索。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、案例分析、课堂练习和总结与拓展等环节，使学生掌握了椭圆的基本性质和几何参数的计算方法。

在教学过程中，注意引导学生主动参与、动手实践，提高学生的学习兴趣和积极性。

通过课堂练习和拓展问题，培养学生的思维能力和解决问题的能力。

但在教学过程中，也要注意对学生的个别辅导，确保每个学生都能跟上教学进度。

六、椭圆的离心率1. 引入离心率的定义：椭圆的离心率e是焦距c与半长轴a之比，即e=c/a。

椭圆的简单几何性质教学目标：1. 理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 学会运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。

教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的焦点3. 椭圆的长轴和短轴4. 椭圆的离心率5. 椭圆的面积教学准备：1. 教学课件或黑板2. 椭圆模型或图片3. 直尺、圆规等绘图工具教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入椭圆的概念，展示椭圆模型或图片，让学生观察并描述椭圆的特点。

2. 引导学生思考：椭圆与其他几何图形（如圆、矩形等）有什么不同？二、椭圆的定义（10分钟）1. 给出椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。

2. 解释椭圆的焦点概念，说明焦点的作用。

3. 引导学生通过实际操作，绘制一个椭圆，并标记出焦点。

三、椭圆的焦点（10分钟）1. 介绍椭圆的焦点与椭圆的离心率的关系。

2. 引导学生通过实际操作，观察焦点的位置与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释椭圆的离心率的定义及其几何意义。

四、椭圆的长轴和短轴（10分钟）1. 介绍椭圆的长轴和短轴的概念。

2. 引导学生通过实际操作，测量和记录椭圆的长轴和短轴的长度。

3. 解释长轴和短轴与椭圆的形状之间的关系。

五、椭圆的面积（10分钟）1. 介绍椭圆的面积的计算公式。

2. 引导学生通过实际操作，计算一个给定椭圆的面积。

3. 解释椭圆面积与长轴和短轴之间的关系。

教学评价：1. 通过课堂讲解和实际操作，学生能够理解椭圆的定义及其基本几何性质。

2. 通过解决问题和完成作业，学生能够运用椭圆的性质解决相关问题。

3. 通过课堂讨论和提问，学生能够展示对椭圆的理解和应用能力。

六、椭圆的离心率（10分钟）1. 回顾椭圆的离心率的定义和计算方法。

2. 引导学生通过实际操作，观察离心率与椭圆的形状之间的关系。

3. 解释离心率在几何中的应用，如椭圆的焦点和直线的交点等。

七、椭圆的参数方程（10分钟）1. 介绍椭圆的参数方程及其意义。

椭圆的简单几何性质（一）教学目标：1. 知识与技能（1） 理解并掌握椭圆的范围、对称性、顶点坐标和离心率这四个简单几何性质；（2） 掌握椭圆标准方程中b a ,以及e c ,的几何意义，以及e c b a ,,,之间的相互关系。

（3） 会根据椭圆的几何性质，解决简单的实际问题2. 过程与方法（1） 通过对椭圆性质的研究，经历对椭圆几何性质的探索过程（2） 通过椭圆图形的观察，经历有图形归纳出相应性质的过程3. 情感、态度与价值观（1） 由图形归纳性质的过程中，培养学生用代数的方法研究曲线的几何性质的思想。

（2） 感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用（二）教学重点和难点：1、教学重点：椭圆的四个简单几何性质；2、教学难点：椭圆性质在实际问题中的应用，数形结合的思想、方程的思想的运用。

（三）教学过程：【复习引入】问题： 椭圆的定义是怎样的? 椭圆的标准方程是怎样的？【新课讲授】根据曲线的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．根据曲线的条件列出方程．如果说是解析几何的手段，1． 椭圆的几何性质：（ⅰ）如图：椭圆的标准方程为：192522=+y x通过观察该椭圆的图形，可以看出这个椭圆的的大小范围是什么？具有怎样的对称性？以及它跟两条坐标轴的交点一般地，如果椭圆的标准方程为：)0(12222>>=+b a by a x ，下面研究其几何性质： （1）范围：椭圆在直线 和直线 ，围成的矩形里（2）对称性：椭圆关于x 轴、y 轴轴对称，是轴对称图形；也关心原点中心对称，是中心对称图形。

椭圆的对称中心叫椭圆的中心。

（3）顶点：椭圆与两条坐标轴的四个交点 )0,(1a A ，)0,(2a A -，)0,(1b B )0,(2b B -叫椭圆的顶点。

椭圆的长轴：线段21A A ；长轴长：2a ；长半轴长：a椭圆的短轴：线段21B B ；短轴长：2b ； 短半轴长：b（ⅱ）求下列各椭圆的长轴和短轴的长、顶点坐标（1）192522=+y x (2 ) 1817222=+y x （3）400251622=+y x （4）81922=+y x通过观察上述椭圆的图形，它们有什么区别？（4）离心率：椭圆的焦距与长轴长的比a c e =叫椭圆的离心率（)10<<e 离心率的大小对椭圆形状的影响：① 当 趋近于1时， 趋近于 ，从而越小，因此椭圆越扁平：② 当 趋近于0时， 趋近于0，从而 趋近于 ，因此椭圆越接近于圆 ③ 当且仅当b a =时，0=c ，两焦点重合，图形变为圆，它的方程变为： 222a y x =+思考：若椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y ，其范围，对称性，顶点坐标和离心率又是怎样？2. 例题讲练：1. 比较下列两个椭圆的形状，哪个更圆，哪个更扁？为什么？36922=+y x 与1121622=+y x 题组一：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在y 轴上，53,3==e c （2）经过点)0,3(-P ，)2,0(-Q 题组二：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长等于20，离心率等于53 （2）经过点（3，0），离心率53=e 4. 小结：椭圆的四个简单的几何性质。

椭圆的简单几何性质教学教案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握椭圆的定义，理解椭圆的基本几何性质，如焦点、半长轴、半短轴等概念；2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，让学生发现并证明椭圆的几何性质；3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学内容1. 椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。

2. 椭圆的基本几何性质：a. 焦点：椭圆的焦点距离为2c，其中c为半焦距，c^2=a^2-b^2；b. 半长轴：椭圆的半长轴为a，表示椭圆的长轴的一半；c. 半短轴：椭圆的半短轴为b，表示椭圆的短轴的一半；d. 椭圆的面积：S=πab。

三、教学重点与难点1. 教学重点：椭圆的定义及其基本几何性质；2. 教学难点：椭圆的焦点、半长轴、半短轴等概念的理解与应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳等方法发现椭圆的几何性质；2. 利用数形结合法，让学生直观地理解椭圆的定义及其几何性质；3. 运用实例讲解法，让学生掌握椭圆在实际问题中的应用。

五、教学过程1. 导入新课：通过介绍椭圆的起源和发展，激发学生的学习兴趣；2. 讲解椭圆的定义：结合图形，解释椭圆的定义，让学生理解椭圆的概念；3. 探索椭圆的基本几何性质：引导学生观察椭圆的图形，发现焦点、半长轴、半短轴等性质；4. 证明椭圆的几何性质：引导学生运用数学方法证明椭圆的基本几何性质；5. 应用实例：让学生运用椭圆的性质解决实际问题，巩固所学知识。

本教案为椭圆的简单几何性质教学教案的第一部分，后续章节将陆续呈现。

希望能对您的教学有所帮助！六、教学练习1. 基本概念练习：a. 定义椭圆的焦点；b. 解释椭圆的半长轴和半短轴；c. 计算椭圆的面积。

2. 应用题练习：a. 已知椭圆的半长轴为5cm，半短轴为3cm，求椭圆的焦点距离；b. 已知椭圆的面积为36πcm²，半长轴为6cm，求椭圆的半短轴；c. 一个椭圆的焦点在x轴上，半长轴为4cm，半短轴为3cm，求椭圆的标准方程。

椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际例子让学生感受椭圆的形状。

讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点（焦点）距离之和为常数的点的轨迹。

1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，其中\(a\)是椭圆的半长轴，\(b\)是半短轴。

解释\(a\)和\(b\)与椭圆的形状和大小之间的关系。

第二章：椭圆的焦点与离心率2.1 椭圆的焦点讲解椭圆的焦点定义：椭圆上到两个焦点距离之和为常数的点。

推导椭圆焦点的坐标公式：\((\pm c, 0)\)，其中\(c\)是焦距，满足\(c^2 = a^2 b^2\)。

2.2 椭圆的离心率定义椭圆的离心率：\(e = \frac{c}{a}\)，表示椭圆的扁率。

解释离心率与椭圆的形状之间的关系：离心率越接近1，椭圆越扁；离心率越接近0，椭圆越接近圆。

第三章：椭圆的面积与周长3.1 椭圆的面积推导椭圆的面积公式：\(A = \pi ab\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。

解释椭圆面积与半长轴和半短轴之间的关系。

3.2 椭圆的周长推导椭圆的周长公式：\(C = \pi(a + b)\)，其中\(a\)和\(b\)分别是椭圆的半长轴和半短轴。

解释椭圆周长与半长轴和半短轴之间的关系。

第四章：椭圆的直线段性质4.1 椭圆的半通径定义椭圆的半通径：连接椭圆上一点与焦点的线段中点的距离。

推导半通径的公式：\(r = \frac{a}{2}\)。

4.2 椭圆的半焦距定义椭圆的半焦距：椭圆上到焦点距离之和的一半。

推导半焦距的公式：\(f = \frac{c}{2}\)。

第五章：椭圆的参数方程与极坐标方程5.1 椭圆的参数方程引入椭圆的参数方程：\(x = a \cos t\)，\(y = b \sin t\)，其中\(t\)是参数。

一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解椭圆的定义及简单几何性质；（2）掌握椭圆的标准方程及焦点、半长轴、半短轴等基本概念；（3）能够运用椭圆的性质解决一些实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、实验、探究等活动，培养学生的动手操作能力和抽象思维能力；（2）利用数形结合的思想，引导学生从几何图形中探索椭圆的性质；（3）学会用椭圆模型解释生活中的现象，提高学生的应用能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣，提高学生学习数学的积极性；（2）培养学生勇于探究、合作交流的良好学习习惯；（3）引导学生认识椭圆在现实生活中的应用，体会数学与实际的联系。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）椭圆的定义及简单几何性质；（2）椭圆的标准方程及基本概念；（3）椭圆性质在实际问题中的应用。

2. 教学难点：（1）椭圆标准方程的推导；（2）椭圆性质的证明及运用。

三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握椭圆的相关知识；（2）准备教学课件、图形软件等教学工具；（3）设计好教学过程中的提问及探究活动。

2. 学生准备：（1）预习椭圆相关知识；（2）准备好笔记本，记录重点知识；（3）积极参与课堂讨论，主动提出问题。

四、教学过程：1. 导入新课：（1）利用多媒体展示椭圆的图片，引导学生关注椭圆在生活中的应用；（2）回顾圆的相关知识，为新课学习做好铺垫。

2. 知识讲解：（1）介绍椭圆的定义及简单几何性质；（2）讲解椭圆的标准方程及基本概念；（3）引导学生通过数形结合的思想，理解椭圆的性质。

3. 课堂互动：（1）让学生举例说明生活中的椭圆现象；（2）组织学生进行小组讨论，探究椭圆性质的应用；（3）回答学生提出的问题，解答学生的疑惑。

4. 巩固练习：（1）布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识；（2）挑选一些典型的练习题，进行讲解和分析，帮助学生提高解题能力。

五、课后反思：1. 课堂效果总结：（1）学生对椭圆的定义及简单几何性质的理解程度；（2）学生对椭圆标准方程及基本概念的掌握情况；（3）学生在课堂互动中的表现及提出的问题。

椭圆的简单几何性质教案教学目标：1. 理解椭圆的定义及基本性质；2. 掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念；3. 学会运用椭圆的性质解决实际问题。

教学重点：1. 椭圆的定义及基本性质；2. 椭圆的长轴、短轴、焦距等基本概念。

教学难点：1. 椭圆性质的应用。

教学准备：1. 教师准备PPT、黑板、粉笔等教学工具；2. 学生准备笔记本、文具等学习用品。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾圆的性质，复习相关概念；2. 提问：圆的性质在椭圆上是否适用？引出椭圆的定义及性质。

二、新课讲解（15分钟）1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹；2. 介绍椭圆的基本性质：椭圆的长轴、短轴、焦距等；3. 举例说明椭圆性质的应用，如：椭圆的离心率、焦距与半长轴、半短轴的关系等。

三、课堂练习（10分钟）1. 布置练习题，让学生运用椭圆性质解决问题；2. 引导学生互相讨论，共同解答；3. 教师巡回指导，解答学生疑问。

四、课堂小结（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，总结椭圆的定义及基本性质；2. 强调椭圆性质在实际问题中的应用。

五、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业，巩固所学知识；2. 提醒学生做好作业，为下一节课做好准备。

教学反思：本节课通过讲解椭圆的定义及基本性质，让学生掌握椭圆的长轴、短轴、焦距等概念，并学会运用椭圆性质解决实际问题。

在教学过程中，注意引导学生回顾旧知识，为新知识的学习打下基础；通过课堂练习，让学生巩固所学知识，提高解题能力。

六、案例分析：椭圆在现实世界中的应用（15分钟）1. 教师通过展示实际案例，如行星运动、卫星轨道等，让学生了解椭圆在现实世界中的应用；2. 引导学生分析案例中椭圆的性质，如离心率、长轴、短轴等；3. 让学生探讨椭圆在这些案例中的作用和意义。

七、拓展知识：椭圆的衍生形状（15分钟）1. 介绍椭圆的衍生形状，如双曲线、抛物线等；2. 分析这些形状与椭圆的关系，让学生了解它们之间的联系和区别；3. 举例说明这些形状在实际问题中的应用。

椭圆的简单几何性质【教学目标】1．了解椭圆的参数方程，了解参数方程中系数b a ,的含义。

2．通过学习椭圆的参数方程，进一步完善对椭圆的认识，理解参数方程与普通方程的相互联系。

并能相互转化。

提高综合运用能力。

【教学重难点】教学重点：进一步巩固和掌握由曲线求方程及由方程研究曲线的方法及椭圆参数方程的推导。

教学难点：深入理解推导方程的过程。

灵活运用方程求解问题。

【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹。

2．标准方程：2222 1 x y a b +=，2222 1 y x a b += （0>>b a ）3．椭圆的性质：由椭圆方程2222 1 x y a b+=(0>>b a )（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中。

（2）对称性：图像关于y 轴对称。

图像关于x 轴对称。

图像关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心。

x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴。

从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点：)0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B -加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点。

21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴。

长分别为b a 2,2，b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。

（4）离心率： c e a =⇒e =，10<<e 。

椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例。

,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例。

第2课时 椭圆的简单几何性质考点一 椭圆的性质【例1】 (1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )!解析 (1)以线段A 1A 2为直径的圆是x 2＋y 2＝a 2，又与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切， 所以圆心(0，0)到直线的距离d ＝2aba 2＋b2＝a ，整理为a 2＝3b 2，即b a ＝13. ∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63. (2)设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形. ∵|AF |＋|BF |＝4， ∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2. 设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b <2. 离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. |答案 (1)A (2)A规律方法 求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.【变式练习1】 (1)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左、右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )(2)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________.解析 (1)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ， 】则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am 2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝ma ＋c ，所以a ＝3c ，所以e ＝13.(2)由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x ＝c ，由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a .因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－b 22a ，又AD ⊥F 1B ，所以k AD ·k F 1B ＝－1，即b 2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22a c －0×－b 2a －0c －（－c ）＝－1，整理得3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，又e ＝c a 且0＜e ＜1，所以3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去).答案 (1)A (2)33 考点二 椭圆性质的应用【例2】 (1)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( ) ＋y 23＝1＋y 26＝1、＋y 2＝1 ＋y 2＝1(2)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左、右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )解析 (1)依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A.(2)椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1，因为原点O 是线段F 1F 2的中点，所以PF 1→＋PF 2→＝2PO →，即|PF 1→＋PF 2→|＝|2PO →|＝2|PO |，椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即|PO |的最小值为b ＝1，所以|PF 1→＋PF 2→|的最小值为2. 答案 (1)A (2)C规律方法 利用椭圆几何性质的注意点及技巧(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系./【变式练习2】 (1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )(2)(2017·全国Ⅰ卷)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点.若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A.(0，1]∪[9，＋∞) B.(0，3]∪[9，＋∞) C.(0，1]∪[4，＋∞)D.(0，3]∪[4，＋∞)解析 (1)设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1， 而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)，故选D. (2)①当焦点在x 轴上，依题意得 0<m <3，且3m≥tan ∠AMB 2＝ 3. ∴0<m <3且m ≤1，则0<m ≤1. ②当焦点在y 轴上，依题意m >3，且m3≥tan ∠AMB 2＝3，∴m ≥9， 综上，m 的取值范围是(0，1]∪[9，＋∞). 答案 (1)D (2)A考点三 直线与椭圆(多维探究)[命题角度1 弦及中点弦问题【例3－1】 已知椭圆x 22＋y 2＝1，(1)过A (2，1)的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；(2)求过点P ⎝⎛⎭⎪⎫12，12且被P 点平分的弦所在直线的方程.解 (1)设弦的端点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中点是M (x ，y ). ⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1，①x 222＋y 22＝1，②①－②得y 2－y 1x 2－x 1＝－x 2＋x 12（y 2＋y 1）＝－x 2y ，所以－x 2y ＝y －1x －2，"化简得x 2－2x ＋2y 2－2y ＝0(包含在椭圆x 22＋y 2＝1内部的部分). (2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k ＝－x 2y ＝－12，因此所求直线方程是y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化简得2x ＋4y －3＝0.规律方法 弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点；(2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率. 命题角度2 直线与椭圆的位置关系(易错警示)【例3－2】 已知P 点坐标为(0，－2)，点A ，B 分别为椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点，直线BP 交E 于点Q ，△ABP 是等腰直角三角形，且PQ →＝32QB →. (1)求椭圆E 的方程；#(2)设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围.解 (1)由△ABP 是等腰直角三角形，得a ＝2，B (2，0). 设Q (x 0，y 0)，则由PQ →＝32QB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝65，y 0＝－45，代入椭圆方程得b 2＝1， 所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)依题意得，直线l 的斜率存在，方程设为y ＝kx －2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.(*)、因直线l 与E 有两个交点，即方程(*)有不等的两实根， 故Δ＝(－16k )2－48(1＋4k 2)>0，解得k 2>34. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝16k1＋4k2，x 1x 2＝121＋4k 2，因坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，所以OM →·ON →>0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 又由x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1－2)(kx 2－2) ＝(1＋k 2)x 1x 2－2k (x 1＋x 2)＋4*＝(1＋k 2)·121＋4k 2－2k ·16k 1＋4k 2＋4>0，解得k 2<4，综上可得34<k 2<4， 则32<k <2或－2<k <－32.则满足条件的斜率k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 规律方法 1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题. 2.设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2](k 为直线斜率). ]易错警示 (1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 【变式练习3】 已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围. 解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0. 当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1，A (－2，0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.:因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，'故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0. 由此得⎩⎨⎧k －2>0，k 3－2<0或⎩⎨⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).课后练习A 组(时间：40分钟)一、选择题1.直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(1，3)∪(3，＋∞)C.(3，＋∞)D.(0，3)∪(3，＋∞)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.'由Δ>0且m ≠3及m >0得m >1且m ≠3. 答案 B2.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )解析 在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.故e ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.答案 D3.已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0＜b ＜2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值为( )&解析 由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3. 答案 C4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) °°°°解析 由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0，由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2c，0， 又F (c ，0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.~答案 B5.设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )解析 如图，由题意可知，|PF 1|>|PF 2|且|PF 1|>|F 1F 2|，所以要使△PF 1F 2为等腰三角形，则只能是|F 1F 2|＝|PF 2|，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，则直线x ＝a 2c 与x 轴的交点为D ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0， 则|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ≥a 2c －c ， 即3c 2－a 2≥0，即e 2≥13.【解得33≤e <1. 答案 D 二、填空题6.焦距是8，离心率等于的椭圆的标准方程为________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2c ＝8，c a ＝，解得⎩⎨⎧a ＝5，c ＝4，又b 2＝a 2－c 2，∴b 2＝9，∴b ＝3.当焦点在x 轴上时，椭圆方程为x 225＋y 29＝1， 当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 225＋x 29＝1.！答案 x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝17.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1，1)为中点的弦所在直线方程是________. 解析 设过M (1，1)点的方程为y ＝kx ＋b ， 则有k ＋b ＝1，即b ＝1－k ，即y ＝kx ＋(1－k )，联立方程组⎩⎨⎧x 2＋2y 2－4＝0，y ＝kx ＋（1－k ），则有(1＋2k 2)x 2＋(4k －4k 2)x ＋(2k 2－4k －2)＝0， 所以x 1＋x 22＝12·4k 2－4k 1＋2k 2＝1，解得k ＝－12，故b ＝32，、所以y ＝－12x ＋32，即x ＋2y －3＝0. 答案 x ＋2y －3＝08.若F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为____________. 解析 设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)， 由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎨⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1， ·解得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1. 答案 x 2＋3y 22＝1三、解答题9.已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32.(1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1. （所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ).由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝n m ＋2， 故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n .所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n (x －m ).直线BN 的方程为y ＝n 2－m(x －2). 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n 2－m （x －2），^解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n 2. 由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2，所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.10.已知A ，B 分别为椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)在x 轴正半轴、y 轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为2217，且|AB |＝7.(1)求椭圆C 的离心率；…(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝2相切，并与椭圆C 交于M ，N 两点，若|MN |＝1227，求k 的值.解 (1)由|AB |＝a 2＋b 2＝7，aba 2＋b 2＝2217，a >b >0， 计算得出a ＝2，b ＝3，则椭圆C 的离心率为e ＝1－b 2a 2＝12.(2)由(1)知椭圆方程为y 24＋x 23＝1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 24＋x 23＝1，y ＝kx ＋m消去y 得，(3k 2＋4)x 2＋6kmx ＋3m 2－12＝0，直线l 与椭圆相交，则Δ>0，即48(3k 2－m 2＋4)>0，且x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋4，x 1x 2＝3m 2－123k 2＋4. 又直线l 与圆x 2＋y 2＝2相切， 则|m |k 2＋1＝2，即m 2＝2(k 2＋1). 、而|MN |＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·48（3k 2－m 2＋4）3k 2＋4＝1＋k 2·48（k 2＋2）3k 2＋4＝43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4， 又|MN |＝1227，所以43·k 4＋3k 2＋23k 2＋4＝1227， 即5k 4－3k 2－2＝0，解得k ＝±1，且满足Δ>0，故k 的值为±1.B 组(时间：20分钟)11.已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 上点A 满足AF 2⊥F 1F 2.若点P 是椭圆C 上的动点，则F 1P →·F 2A →的最大值为( )[解析 由椭圆C ：x 24＋y 23＝1可得a 2＝4，b 2＝3，c ＝a 2－b 2＝1，可得F 1(－1，0)，F 2(1，0)，由AF 2⊥F 1F 2，令x ＝1，得y ＝±3·1－14＝±32，不妨设A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，设P (m ，n )，则点P 坐标满足m 24＋n 23＝1，又－3≤n ≤3，则F 1P →·F 2A →＝(m ＋1，n )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32＝32n ≤332， 可得F 1P →·F 2A →的最大值为332.答案 B12.已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上顶点B 和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________.解析 依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455， 解得d 2≤165.又因为d ＝21＋k 2，所以11＋k 2≤45，解得k 2≥14. 于是e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝11＋k 2，所以0＜e 2≤45，解得0＜e ≤255. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，255 13.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ>1).(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求实数λ的值.解 (1)由条件可知，c ＝1，a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的标准方程是x 24＋y 23＝1.(2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线，设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2). 若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意.当AB 所在直线l 的斜率k 存在时，设方程为y ＝k (x －1).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1消去y 得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①由①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)>0.∵⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝12，∴k 2＝14. 将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0， 解得x ＝1±354.又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →， λ＝1－x 1x 2－1，又λ＞1，∴λ＝3＋52.。

椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与标准方程1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际物体（如地球、月球绕太阳的运动）来让学生理解椭圆的形状。

解释椭圆是由一个固定点（焦点）和到该点距离之和等于常数的点的集合所形成的图形。

1.2 椭圆的标准方程推导椭圆的标准方程，即x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

解释方程中a和b的含义，以及它们与椭圆的性质之间的关系。

第二章：椭圆的长轴、短轴和焦距2.1 椭圆的长轴定义椭圆的长轴，即通过椭圆中心并且平行于x轴的轴。

解释长轴的长度是2a，与椭圆的半长轴a的关系。

2.2 椭圆的短轴定义椭圆的短轴，即通过椭圆中心并且垂直于x轴的轴。

解释短轴的长度是2b，与椭圆的半短轴b的关系。

2.3 椭圆的焦距定义椭圆的焦距，即焦点之间的距离。

解释焦距与椭圆的长轴和短轴的关系，即焦距等于2c，其中c是焦点到椭圆中心的距离。

第三章：椭圆的面积3.1 椭圆的面积公式推导椭圆的面积公式，即A = πab，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

解释面积公式中π的作用和意义。

3.2 椭圆的面积性质解释椭圆的面积与长轴和短轴的关系，即面积与长轴和短轴的乘积成正比。

举例说明椭圆面积的计算方法，并进行实际计算练习。

第四章：椭圆的离心率4.1 椭圆的离心率定义定义椭圆的离心率e，即焦距与长轴之间的比值，e = c/a。

解释离心率的作用和意义，以及它与椭圆的形状之间的关系。

4.2 椭圆的离心率性质解释离心率与椭圆的长轴和短轴的关系，即离心率越小，椭圆越接近于圆形。

举例说明椭圆离心率的计算方法，并进行实际计算练习。

第五章：椭圆的焦点和直线的交点5.1 椭圆的焦点定义椭圆的焦点，即椭圆上到焦点距离之和等于常数的点。

解释焦点的性质，以及它们与椭圆的中心和长轴之间的关系。

5.2 椭圆与直线的交点解释椭圆与直线的位置关系，以及交点的性质。

举例说明椭圆与直线交点的计算方法，并进行实际计算练习。

一、教案基本信息椭圆的简单几何性质教案课时安排：1课时教学目标：1. 让学生掌握椭圆的定义及基本性质。

2. 培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力。

3. 引导学生发现椭圆在实际生活中的应用，培养学生的学习兴趣。

教学内容：1. 椭圆的定义2. 椭圆的基本性质3. 椭圆的标准方程4. 椭圆的焦点与离心率5. 椭圆的参数方程二、教学过程1. 导入：利用多媒体展示一些生活中的椭圆形状的物体，如地球、月球、鸡蛋等，引导学生发现椭圆在生活中的广泛存在。

2. 知识讲解：1. 讲解椭圆的定义：椭圆是平面上到两个定点（焦点）距离之和为定值的点的轨迹。

2. 讲解椭圆的基本性质：（1）椭圆的两个焦点在椭圆的长轴上，且长轴长度为2a。

（2）椭圆的短轴长度为2b。

（3）椭圆的离心率e=c/a，其中c为焦距，a为半长轴，b为半短轴。

（4）椭圆的面积S=πab。

3. 讲解椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。

4. 讲解椭圆的参数方程：椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

3. 案例分析：给出一个实际问题，如求解椭圆上一点到两焦点的距离之和。

引导学生运用椭圆的性质解决问题。

4. 课堂练习：布置一些有关椭圆性质的练习题，让学生课后巩固所学知识。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调椭圆的基本性质及应用。

三、课后作业1. 复习椭圆的定义及基本性质。

2. 练习椭圆的标准方程和参数方程的转化。

3. 寻找生活中的椭圆形状物体，了解椭圆在实际中的应用。

四、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对椭圆知识的理解和运用能力。

五、教学评价通过课堂讲解、练习和课后作业，评价学生对椭圆定义、基本性质、标准方程和参数方程的掌握程度，以及运用椭圆知识解决实际问题的能力。

六、教学活动设计1. 互动提问：在上一节课中，我们学习了椭圆的定义及基本性质，谁能简要回顾一下椭圆的定义是什么？2. 小组讨论：请同学们分成小组，讨论如何运用椭圆的性质解决实际问题。

第2课时椭圆的简单几何性质考点一椭圆的性质【例U ⑴已知椭圆C ： W+^=l(α>b>O)的左、右顶点分别为金，坨，IL 以线段AA 为直径的圆与直线bχ-αy+2αb = 0相切，则C 的离心率为()(2)己知椭圆E ：和恃=l(α>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线/： 3χ-4y=40交椭圆E 于儿B 两点•若IMl + ∣BF ∣ =4,点M 到直线/的距离不小丁§则椭圆E 的离 心率的取值范围是()规律方法 求椭圆离心率的方法(1) 直接求出。

，C 的值，利用离心率公式直接求解.(2) 列出含有。

，b, C 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2=a 2-c 2消去b∙转化为含有e的(2)设左焦点为F 。

，连接FA F°B,则四边形AFBF o 为平行四边形・vμη + ∣βF ∣=4,∙∙∙∣M ∣ +IAFoI=4, Λα = 2.4b 4设 M(09 b)9 则亏电，Λ l≤b<2.解析 ⑴以线段AA 为直径的圆是x 2÷y 2=α2, 乂与直线bχ-ay+2ab=0相切, 答案(I)A (2)A方程(或不等式)求解.【变式练习1】 ⑴已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ： ^+^=l(α>b>O)的左焦点，A, B 分别为C 的左.右顶点・P 为C 上一点，JlPF 丄X 轴•过点A 的直线/与线段PF 交于点M, 与y 轴交丁•点E 若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为()(2)设椭圆 C ： ^+p=l(α>b>O)的左、 交T A 9 B 两点，F/与y 轴相交于点D,若AD 丄F& 则椭圆C 的离心率等丁• ____________( am \解析⑴设M(-c, m)9则耳0, — J, OE 的中点为D所以2 (α-c) 一α + c' 所以o=3c,所以e=∣.(2)由题意知Fj(-c, O), F 2(C , 0),其中c=√α2-b 2,因为过氏且与X 轴垂直的直线为X =c,由椭圆的对称性可设它与椭圆的交点为彳c,勺,B (c, —号).因为EB 平行于y 轴， JlIFIoI = IoF2∣,所以IFJDI = IDBI,即D 为线段FlB 的中点,所以点D 的坐标为| 0, —筹b 2 ( b 2∖ b 2.. 万一 ^7^0,厂 .. 又 AD±F 1B,所以 k AO -k F1B = —1,即一—×c - I -C) = 一 1，整理得yβb 2=2ac,所 以y∣3(a 2-c z) = 2ac, 乂 e=^Jl O<e<l,所以yf3e z +2e~∖∣3 = 0,解得 e=^(e=-y[3舍去)• 答案(I)A ⑵申考点二椭圆性质的应用 【例2] (1)已知椭圆的中心在原点，离心率e=* Jl 它的一个焦点与抛物线/=-4X的焦点重合，则此椭圆方程为( y 2÷⅛=1右焦点分别为人，F 2,过卩2作X 轴的垂线与C 相 则血 2 (G -C))' m mam ,乂 B, D, M 三点共线,÷y2=l +y2=l(2)己知点C, F2是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|鬲 +朿|的最小值是()解析⑴依题意，可设椭圆的标准方程为召+活=l(α>b>O),由己知可得抛物线的焦点C 1为(一1, 0),所以C=I9乂离心率e=-=2*解得0=2. b2=a2~c2=3.所以椭圆方程为£+£=1,故选A.(2)椭圆的标准方程⅛y+∕ = l,因为原点O是线段/2的中点，所以朿+朮2 = 2矗即 |朿+晶| = |2跪)∣=2IPOl ,椭圆上点到中心的最短距离为短半轴长，即IPol的最小值为b=l,所以∣P^1+⅛∣的最小值为2.答案(I)A (2)C规律方法利用椭圆儿何性质的注意点及技巧(1)在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中X, y的范围, 离心率的范围等不等关系.(2)求解与椭圆儿何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系./【变式练习2】(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为()(2)(2017-全国I卷)设A, B是椭圆C：亍+冷=1长轴的两个端点•若C上存在点M满足Z AMB=I20\则m的取值范圉是()A.(0, IJU [9, +<-)C.(0, 1]U[4, +*)解析(1)设6 b, C分别为椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，依题意知，当三角形的高为b时面积最大，所以*<2cb = 1, bc=l,而 2a = 2yjb 2 + c 2≥2y∣2bc=2∖∣2 (当IL 仅当b=c=l 时取等号)，故选D. ⑵①当焦点在X 轴上，依题意得化简得x 2-2x+2y 2-2y=0(包含在椭圆y+y 2=l 内部的部分)・X1(2)由(1)可得弦所在直线的斜率为k= -E= -P 因此所求直线方程是y 一扌=一菲一扌)，化简得2x+4y-3 = 0.规律方法 弦及弦中点问题的解决方法⑴根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数关系表示中点：(2)点差 法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率.√3 0<∕n<3,」I. /= ∖∣mXtan ^^2^^=√5∙ .∖O<m<3 H m ≤l.则 O<m≤l.②当焦点在y 轴上，依题意m>3, ∖∖r^≥tan^-~-^=yβ, Λm≥9,综上，m 的収值范围是(O, IJU [9, +-).答案(I)D (2)A考点三 直线与椭圆(多维探究)命题角度1弦及中点弦问题【例3—1】已知椭圆y+y 2=l.(1) 过A(2, 1)的直线/与椭圆相交，求/被截得的弦的中点轨迹方程;(2) 求过点PQ, {J 且彼P 点平分的眩所在直线的方程•解 ⑴设弦的端点为P(X- yd ，Q(X2, yz)>其中点是M(×9 y).弓+41，①y+yi=ι.②①一②得Xz-Xi X2÷X1 X 2 (y2+y1) — 2y 9 所以 _ __ 2y~χ-29命题角度2直线与椭圆的位置关系(易错警示)【例3-2］已知P点坐标为(0, 一2),点B分别为椭圆£：召+W=l(α>b>O)的左、右顶点，直线BP交E于点Q,氐ABP是等腰直角三角形，ILPh=I^B.⑴求椭圆F的方程；(2)设过点P的动直线/与E相交T- M, N两点，当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线/斜率的取值范围.解⑴由AABP是等腰直角三角形，得a=2, B(2, 0).Γ 6Xo = L设Q(Xo, yo),则由是得S 4〔为=-引代入椭圆方程得b2=l, 所以椭圆E的方程为手+/=1.(2)依题意得，直线/的斜率存在，方程设为y=kχ-2.y=kχ-29联立1×21 .4÷y2=ι∙消去y并整理得(l+4k2)x2-16kx+12 = 0.(*)因直线/与E有两个交点，即方程（J有不等的两实根,3故 4 = （一16k）2-48（l+4∕）>0,解得k2>孑设M（X1，yι）, N（X2，y2）,16k{XltX2 = l+4k r12XιX2=ι+4k2'因坐标原点O位『•以MN为直径的圆外,所以OΛ4∙^∕>0,即xpf2+yp2>O,乂由XiXz÷yιyz=×1×2÷(/CXi —2)(∕cx2— 2)= (1÷k2)xιχ2—2k(×ι+冷)+ 412 16k=(14 kZ)'l+4^~2k*l+4k2 f 4>0,3解得代4,综上可得評&4, 则半<k<2或一2<k<—亨.则满足条件的斜率k的取值范围为(一2, 爭审2)规律方法1.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题•2. 设直线与椭圆的交点坐标为A(Xu y】)，B(X2, y2),则I A31 =y∣(l+∕c2) [ (x1÷x2) 2-4x1x2]= 寸(1+吉)[(旳+力)—4灿2](k为直线斜率).J易错警示(1)设直线方程时，应注意讨论斜率不存在的情况.(2)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 【变式练习3】己知椭圆E： 7÷y=l的焦点在X轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>O) 的直线交E于儿M两点,点N在E上,MA丄NA⑴当t=4, ∖AM∖ = ∖AN∖时,求Δ AM N的面积;(2)当2∖AM∖ = ∖AN∖时，求k的取值范围.解⑴设M(X1,力)，则由题意知χ>0.当A4时，E的方程为手+£=1, A(-2, 0).由∖AM∖ = ∖AN∖及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为扌.因此直线AM的方程为y=x+2.将x=y-2代入才+才=1得7/-12y=0,解得y=0或y=∙y,所以y 1=y ・r-η Ir “ 厂・5 1 12 12 144因此△ AMN 的面积 S^AMN=2×^cγ×y =药. X 2 V 2(2)由题意 t>3, k>0, A(-yft 9 0),将直线 AM 的方程 y=k(x • /)代Λy÷y=l 得(3 + tk 2)×2+ 2√t∙tk 2x+t 2∕c 2-3f=0.由题设，直线的方程为X =-I （X+√t ）,Ir π ZrI 6∕c√f (l + k 2) 故同理可得∣AΛ∕∣ = —. 2 k 由2∖AM∖ = ∖AN∖得齐乔=乔工？即(k 3-2)t=3k(2k-l),q 3k （2k —1） 当k=y∣2时上式不成立，因此r=因此k 的取值范围是（扳，2）. 课后练习A 组（时间：40分钟）一、选择题1.直线y=x+2与椭圆£+£=1有两个公共点，则m 的取值范围是（）由 Xr(-√t) =心(3-庆2) 3 + tk 2故 IAMl = ∣Xι+√t ∣√l+P = 6∖ t (l+k 2) 3 + tk 2t>3等价厂営-2(—2+% k 3-2 >-2>0,k 3-2<0 >-2<0, k 3-2>0. 解得 ∖[2<k<2.k 3-2A.(lt +<-)B.(l, 3)U(3, +-o)C.(3, ÷-)D.(0, 3)U(3, +-)y=x+2, 解析由V 兰 /_得(m÷3)x 2÷4∏7x÷m=0.万+L 由 Δ>0 XL m≠3 及 m>0 得 m>l 11 m≠3.答案BZPFlF2=30%则C 的离心率为()解析 在 Rt∆ PF 2F 1 中,令∣PF 2∣=1,因为ZPFlF2 = 30。

椭圆的简单几何性质教学教案第一章：椭圆的定义与基本性质1.1 椭圆的定义引入椭圆的概念，通过实际例子让学生感受椭圆的形状，如地球、月球绕太阳的运动轨迹等。

引导学生思考椭圆与圆的区别和联系，明确椭圆是平面上到两个固定点距离之和为常数的点的轨迹。

1.2 椭圆的基本性质引导学生探究椭圆的长轴、短轴、焦距等基本几何参数，并了解它们之间的关系。

引导学生通过画图或利用几何软件验证椭圆的离心率与焦距的关系。

第二章：椭圆的弧长与面积2.1 椭圆的弧长引导学生利用椭圆的参数方程或积分方法计算椭圆上任意弧长的公式。

通过实际例子，让学生了解椭圆弧长公式的应用，如计算椭圆上的某个角度对应的弧长。

2.2 椭圆的面积引导学生利用椭圆的参数方程或积分方法计算椭圆的面积公式。

通过实际例子，让学生了解椭圆面积公式的应用，如计算给定长轴和短轴的椭圆的面积。

第三章：椭圆的焦点与离心率3.1 椭圆的焦点引导学生利用椭圆的定义和基本性质，确定椭圆的焦点位置和数量。

通过实际例子，让学生了解焦点与椭圆的离心率之间的关系。

3.2 椭圆的离心率引导学生利用椭圆的离心率公式，计算给定长轴和短轴的椭圆的离心率。

通过实际例子，让学生了解离心率对椭圆形状的影响，如离心率越大，椭圆越扁平。

第四章：椭圆的直角坐标方程4.1 椭圆的标准方程引导学生利用椭圆的参数方程和基本性质，推导出椭圆的标准方程。

通过实际例子，让学生了解椭圆标准方程的应用，如给定长轴和短轴，求椭圆的方程。

4.2 椭圆的参数方程引导学生利用椭圆的标准方程，推导出椭圆的参数方程。

通过实际例子，让学生了解椭圆参数方程的应用，如求椭圆上任意一点的坐标。

第五章：椭圆的简单几何性质的应用5.1 椭圆的切线与法线引导学生利用椭圆的性质和几何知识，判断给定点是否在椭圆上，并求出相应的切线和法线方程。

通过实际例子，让学生了解切线和法线在解决椭圆问题中的作用。

5.2 椭圆的焦点弦引导学生利用椭圆的性质和几何知识，求解给定两点的焦点弦方程。

椭圆的简单几何性质教案教案：椭圆的简单几何性质一、教学目标：1.了解椭圆的定义和基本性质；2.掌握椭圆的离心率与长短轴长度的关系；3.能够判定给定的图形是否为椭圆。

二、教学内容：1.椭圆的定义；2.椭圆的焦点、离心率与长短轴之间的关系；3.如何判定给定的图形是否为椭圆。

三、教学过程：Step 1：导入新知引入椭圆的概念：椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a，且到两个点F1和F2的距离之差的绝对值等于常数2b的点的轨迹。

图示：绘制一个椭圆的图形，并标出其中心O、两个焦点F1、F2、长轴2a和短轴2b。

Step 2：椭圆的性质性质1：椭圆的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度，即PF1+PF2=2a。

图示：绘制一个椭圆，任意选取一点P，并测量该点到两个焦点的距离PF1和PF2，证明PF1+PF2=2a。

性质2：椭圆的离心率e与椭圆的长短轴长度之比的平方等于1，即e^2=1-(b^2/a^2)。

图示：绘制一个椭圆，其中心O、两个焦点F1、F2和两个顶点A、B。

测量焦距CP和长轴2a的长度，以及短轴2b的长度，计算离心率e，并验证e^2=1-(b^2/a^2)。

Step 3：判定椭圆的图形给定一组数据，由学生判断该图形是否为椭圆。

示例：数据为横坐标x和纵坐标y的点集合。

图示：将一组数据绘制成一个坐标系，并将数据的散点连线，观察图形是否为椭圆。

Step 4：练习与巩固为学生提供一系列的练习题，巩固椭圆的性质和判定方法。

四、教学资源：1.教学PPT；2.椭圆的示意图；3.测量工具（尺子、量角器）；4.练习题集合。

五、教学评价：1.在教学过程中，引导学生积极参与讨论、思考，并及时给予帮助和指导；2.在练习环节中，及时纠正学生的错误，鼓励他们在做错的题目上找到错误原因并进行改正。

六、教学延伸：1.椭圆的方程：利用椭圆的性质，可以推导出椭圆的标准方程和一般方程；2.椭圆的焦点性质：椭圆的焦点位置与长短轴之间的关系。