第52讲 椭圆的几何性质(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第九章 平面解析几何第52讲椭圆及其性质★★★核心知识回顾★★★知识点一、椭圆的概念平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做 ．这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 ．集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a >0，c >0，且a ，c 为常数： (1)若 ，则集合P 为椭圆； (2)若 ，则集合P 为线段； (3)若 ，则集合P 为空集． 知识点二、椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b★★★高考典例剖析★★★考点一、椭圆的定义及应用例1：如图所示，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解：由条件知|PM|＝|PF|，∴|PO|＋|PF|＝|PO|＋|PM|＝|OM|＝R>|OF|.∴P点的轨迹是以O，F为焦点的椭圆．1．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为()A．2 B．4C．8 D．2 22．(2017·承德模拟)椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.72 B.32C. 3 D ．4 3．(2017·呼和浩特模拟)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________． 考点二、椭圆的标准方程命题点1 利用定义法求椭圆的标准方程例2：(2018·济南调研)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解： 设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例3：过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________．解： 方法一 椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义知，2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2＋(3－0)2＋(－5－4)2， 解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.方法二 ∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16. 设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上，∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.4．在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) 5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．6．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为______________． 考点三、椭圆的几何性质例4：(2016·全国Ⅲ)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为椭圆C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34解： 由题意知，A (－a,0)，B (a,0)，F (－c,0)． 设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，ama －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c ，即a ＝3c ，即e ＝13.故选A 。

椭圆的几何性质学习目标核心素养1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形．2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．(重点、难点)通过椭圆几何性质的学习，培养直观想象，数学运算素养．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)图形对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)范围x∈[－a，a]，y∈[－b，b]x∈[－b，b]，y∈[－a，a]顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)轴长短轴|B1B2|＝2b，长轴|A1A2|＝2a焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距 |F 1F 2|＝2c 离心率 e ＝ca (0＜e ＜1)[提示] 最大距离：a ＋c ；最小距离：a －c ．[提示] 在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中，a ，b ，c 的几何意义如图所示．即a ，b ，c 正好构成了一个以对称中心，一个焦点、一个短轴顶点构成的直角三角形．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于a ． ( ) (2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值a －c ． ( ) (3)椭圆上的离心率e 越小，椭圆越圆． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)√[提示] (1)× 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长等于2a ．(2)√ 椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c ． (3)√ 离心率e ＝ca 越小，c 就越小，这时b 就越接近于a ，椭圆就越圆． 2．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0) C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)D [x 2＋y 26＝1焦点在y 轴上，长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．] 3．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( )A．32B．34C．22D．23A[化椭圆方程为标准形式得x24＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝3．所以e＝ca ＝32．]4．椭圆x29＋y216＝1的焦点坐标是，顶点坐标是．(0，±7)(±3,0)，(0，±4)[由方程x29＋y216＝1知焦点在y轴上，所以a2＝16，b2＝9，c2＝a2－b2＝7．因此焦点坐标为(0，±7)，顶点坐标为(±3,0)，(0，±4)．]椭圆的几何性质【例1】点的坐标．[思路探究]化为标准方程，确定焦点位置及a，b，c的值，再研究相应的几何性质．[解]把已知方程化成标准方程x252＋y242＝1，可知a＝5，b＝4，所以c＝3．因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝ca ＝35，两个焦点分别是F1(－3,0)和F2(3,0)，椭圆的四个顶点是A1(－5,0)，A2(5,0)，B1(0，－4)和B2(0,4)．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型．2．焦点位置不确定的要分类讨论，找准a与b，正确利用a2＝b2＋c2求出焦点坐标，再写出顶点坐标．提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍．[跟进训练]1．求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率． [解] 将椭圆方程变形为x 29＋y 24＝1， ∴a ＝3，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝9－4＝5．∴椭圆的长轴长和焦距分别为2a ＝6,2c ＝25，焦点坐标为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，顶点坐标为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，B 1(0，－2)，B 2(0,2)，离心率e ＝c a ＝53．利用几何性质求椭圆的标准方程(1)与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55； (2)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－4)． [解] (1)将方程4x 2＋9y 2＝36化为x 29＋y 24＝1，可得椭圆焦距为2c ＝25．又因为离心率e ＝55， 即55＝5a ，所以a ＝5，从而b 2＝a 2－c 2＝25－5＝20． 若椭圆焦点在x 轴上，则其标准方程为x 225＋y 220＝1； 若椭圆焦点在y 轴上，则其标准方程为y 225＋x 220＝1． (2)依题意2a ＝2×2b ，即a ＝2b ．若椭圆焦点在x 轴上，设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎨⎧a ＝2b ，4a 2＋16b 2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝68，b 2＝17，所以标准方程为x 268＋y 217＝1．若椭圆焦点在y 轴上，设其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则有⎩⎨⎧a ＝2b ，16a 2＋4b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝32，b 2＝8.所以标准方程为x 28＋y 232＝1．利用待定系数法求椭圆标准方程的基本步骤及注意事项 (1)用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.(2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程.(3)在求解a 2、b 2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca 等构造方程(组)加以求解.提醒：解答本例时容易忽视焦点的位置而漏解.[跟进训练]2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是45；(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6． [解] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由已知得2a ＝10，a ＝5，e ＝c a ＝45，∴c ＝4． ∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9．∴椭圆方程为x 225＋y 29＝1或x 29＋y 225＝1． (2)依题意可设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．如图所示，△A 1F A 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b,2c ＝6， ∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1．求椭圆的离心率[探究问题[提示] 根据e ＝ca ，a 2－b 2＝c 2，可知要求e ，关键是找出a ，b ，c 的等量关系．[提示]【例3】 已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．[思路探究] 由题设求得A 、B 点坐标，根据△ABF 2是正三角形得出a ，b ，c 的关系，从而求出离心率．[解] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． 依题意设A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，－b 2a ，∴|AB |＝2b 2a ．由△ABF 2是正三角形得2c ＝32×2b 2a ， 即3b 2＝2ac ，又∵b 2＝a 2－c 2，∴3a 2－3c 2－2ac ＝0， 两边同除以a 2得3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2c a －3＝0，解得e ＝c a ＝33．[解] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 设A 点坐标为(0，y 0)(y 0＞0)，则B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2，y 02，∵B 点在椭圆上， ∴c 24a 2＋y 204b 2＝1， 解得y 20＝4b 2－b 2c 2a2，由△AF 1F 2为正三角形得4b 2－b 2c 2a 2＝3c 2， 即c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0，两边同除以a 4得e 4－8e 2＋4＝0， 解得e ＝3－1．2．(变换条件)“若△ABF 2是正三角形”换成“椭圆的焦点在x 轴上，且A 点的纵坐标等于短半轴长的23”，求椭圆的离心率．[解] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 由题意知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，23b 在椭圆上， ∴c 2a 2＋49＝1，解得e ＝53．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca ，也可利用e ＝1－b 2a 2求解．(2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成ca 的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e 的方程，进而求解．1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b ．2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． 3．求离心率e 时，注意方程思想的运用．1．椭圆x 29＋y 216＝1的离心率( ) A ．74 B ．916 C ．13D ．14A [a 2＝16，b 2＝9，c 2＝7，从而e ＝c a ＝74．]2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A ．x 281＋y 272＝1 B ．x 281＋y 29＝1 C ．x 281＋y 245＝1D ．x 281＋y 236＝1A [由已知得a ＝9,2c ＝13×2a ，∴c ＝13a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝72． 又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1．]3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )A ．12B ．2C ．14D ．4C [椭圆x 2＋my 2＝1的标准形式为：x 2＋y 21m＝1．因为焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以1m ＝4，所以m ＝14．]4．若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．35 [由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．] 5．已知椭圆的标准方程为x 24＋y 29＝1． (1)求椭圆的长轴长和短轴长； (2)求椭圆的离心率；(3)求以此椭圆的长轴端点为短轴端点，并且经过点P (－4，1)的椭圆方程． [解] (1)椭圆的长轴长为2a ＝6，短轴长为2b ＝4． (2)c ＝a 2－b 2＝5，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝53．(3)若以椭圆的长轴端点为短轴端点，则b ′＝3，可设椭圆方程为x 2a ′2＋y 29＝1，又椭圆过点P (－4,1)，将点P (－4,1)代入得16a ′2＋19＝1， 解得a ′2＝18．故所求椭圆方程为x 218＋y29＝1．。

（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。

对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。

若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。

这两种特殊情况，同学们必须注意。

（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。

同学们想一想 其中的道理。

（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。

不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。

椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。

（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。

2.5.2 椭圆的几何性质新课程标准学业水平要求1.掌握简单的椭圆的几何性质．2．了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响．3．掌握直线与椭圆的位置关系及其应用．1.根据椭圆的方程研究椭圆的几何性质．(数学抽象)2．依据几何条件求出椭圆方程，并根据椭圆方程研究其他的几何性质．(数学运算)3．类比直线与圆的位置关系研究直线与椭圆的位置关系．(数学抽象)4．会求直线与椭圆相交得到的弦长问题．(数学运算)5．能够灵活运用椭圆的几何性质解决相关问题．(逻辑推理、数学运算)第1课时椭圆的几何性质必备知识·自主学习导思1.椭圆的几何性质主要有哪些？2．椭圆的离心率与椭圆的扁平程度有怎样的关系？1.椭圆的几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形对称性关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)范围|x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a长轴、短 轴长轴A 1A 2长为2a ，短轴B 1B 2长为2b2.椭圆的离心率(1)定义：焦距与长轴长的比ca ．(2)记法：e ＝ca ．(3)范围：0<e<1．(4)e 与椭圆形状的关系：e 越接近1，椭圆越扁平，e 越接近0，椭圆越接近于圆．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是a.( )(2)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(3)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为x 225 ＋y 216 ＝1.( )(4)设F 为椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点，M 为其上任一点，则|MF|的最大值为a ＋c(c为椭圆的半焦距).( )提示：(1)×.椭圆x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)的长轴长是2a.(2)×.离心率 e 越小c 就越小，这时b 就越接近于a ，椭圆就越圆．(3)×.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为x 225 ＋y 216 ＝1或者y 225 ＋x 216＝1.(4)√.椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a ＋c ，最小值为a －c. 2．椭圆y 24 ＋x 23 ＝1的长轴长、焦距分别为( )A ．2，1B ．4，2C ． 3 ，1D ．2 3 ，2〖解 析〗选B.由椭圆y 24 ＋x 23 ＝1，可得a 2＝4，b 2＝3，所以a ＝2，b ＝ 3 ， 又由c ＝a 2－b 2 ＝1，所以椭圆的长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2.3．(教材二次开发：例题改编)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a>b>0 ，F 1为左焦点，A 为右顶点，B 1，B 2分别为上、下顶点，若F 1，A ，B 1，B 2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为( ) A ．3－12 B ．5－12 C ．22 D ．32〖解 析〗选B.由题设圆的半径r ＝a ＋c 2 ，则b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋c 2 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 2 2 ，即a 2－c 2＝ac ⇒e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1＋52.4．在平面直角坐标系xOy 中，点A ()－1，0 ，点P 是椭圆x 24 ＋y 2＝1上的一个动点，则|PA|的最大值与最小值的积为________. 〖解 析〗设点P 的坐标为()x ，y ，则－2≤x≤2，y 2＝1－x 24， 所以|PA|＝()x ＋12＋y 2＝x 2＋2x ＋1＋1－x 24＝3x 24＋2x ＋2 ＝34⎝⎛⎭⎫x ＋432＋23. 当x ＝－43 时，|PA|取最小值63 ；当x ＝2时，|PA|取最大值3.因此|PA|的最大值与最小值的积为3×63 ＝ 6 .〖答 案〗 6关键能力·合作学习类型一 椭圆的几何性质(逻辑推理、数学运算)1．椭圆C ：4x 2＋y 2＝16的长轴长，短轴长，焦点坐标依次为( ) A ．8，4，(±2 3 ，0) B ．8，4，(0，±2 3 ) C ．4，2，(±2 3 ，0) D ．4，2，(0，±2 3 )2．若椭圆C ：x 24 ＋y 23 ＝1，则该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为( )A ．3，1B ．2＋ 3 ，2－ 3C ．2，1D ． 3 ＋1， 3 －13．(2020·广州高二检测)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>0，b>0)的离心率为12 ，直线y ＝kx 与该椭圆交于A ，B 两点，分别过点A ，B 向x 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则k 等于( ) A ．±32 B ．±23 C ．±12D ．±2〖解 析〗1.选B.椭圆C ：4x 2＋y 2＝16，即y 216 ＋x 24＝1，所以椭圆的长轴长为8，短轴长为4，焦点坐标为(0，±2 3 ).2．选A.椭圆C ：x 24 ＋y 23＝1，a ＝2，c ＝1，可得该椭圆上的点到两焦点距离的最大值、最小值分别为a ＋c ＝3，a －c ＝1.3．选A.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx x 2a 2＋y 2b 2＝1⇒(b 2＋a 2k 2)x 2＝a 2b 2，则x ＝±ab b 2＋a 2k 2 ，由题意知abb 2＋a 2k 2 ＝c ①，因为e ＝c a ＝12，所以a ＝2c ，b ＝a 2－c 2 ＝ 3 c ，代入①可得12c 43c 2＋4c 2k 2 ＝c 2⇒k ＝±32 . 〖补偿训练〗求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1(m ＞0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率． 〖解 析〗由已知得x 21m 2 ＋y 214m 2 ＝1(m ＞0)，因为0＜m 2＜4m 2，所以1m 2 ＞14m2 ，所以椭圆的焦点在x 轴上，并且长半轴长a ＝1m，短半轴长b ＝12m ，半焦距c ＝32m ，所以椭圆的长轴长2a ＝2m ，短轴长2b ＝1m ，焦点坐标为⎝⎛⎭⎫－32m ，0 ，⎝⎛⎭⎫32m ，0 ， 顶点坐标为⎝⎛⎭⎫1m ，0 ，⎝⎛⎭⎫－1m ，0 ，⎝⎛⎭⎫0，－12m ，⎝⎛⎭⎫0，12m ，离心率e ＝c a ＝32m 1m ＝32. 类型二 求椭圆的离心率(数学运算)〖典例〗1.(2020·邢台高二检测)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32 B ．2－3 C ．3－12D ． 3 －1 2．(2020·阆中高二检测)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1()a>b>0 的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若∠ABF ＝90°，则椭圆C 的离心率为( )A ．5－12 B ．3－12 C ．1＋54 D ．3＋14〖思路导引〗1.设|PF 2|＝m ，则根据平面几何知识可求|F 1F 2|，|PF 1|，再结合椭圆定义可求离心率．2．根据∠ABF ＝90°可知k AB ·k BF ＝－1，转化成关于a ，b ，c 的关系式，再根据a ，b 和c 的关系进而求得a 和c 的关系，则椭圆的离心率可得．〖解 析〗1.选D.在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°， 设|PF 2|＝m ，则2c ＝|F 1F 2|＝2m ，|PF 1|＝ 3 m ， 又由椭圆定义可知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝( 3 ＋1)m ， 则离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝2m （3＋1）m＝ 3 －1.2．选A.根据题意得A ()－a ，0 ，B ()0，b ，F ()c ，0 ， 因为∠ABF ＝90°，所以k AB ·k BF ＝－1，即b －00－()－a×b －00－c ＝－1，所以b 2ac ＝1，即b 2＝ac.又因为c 2＝a 2－b 2，所以c 2－a 2＋ac ＝0，等号两边同除以a 2得⎝⎛⎭⎫c a 2＋c a －1＝0，即e 2＋e －1＝0， 所以e ＝－5＋12 (舍)或e ＝5－12.求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a ，c 可直接利用e ＝ca 求解．若已知a ，b 或b ，c 可借助于a 2＝b 2＋c 2求出c 或a ，再代入公式e ＝ca求解．(2)方程法：若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2＝b 2＋c 2，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或范围．(2020·银川高二检测)已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2 ＋y 24 ＝1的焦距为4，则C 的离心率为( )A ．13B ．12C ．22D ．223〖解 析〗选C.由题意得a 2－4＝4，所以a 2＝8，所以|a|＝2 2 ， 所以椭圆的离心率为e ＝222＝22. 类型三 由椭圆的性质求椭圆的标准方程(数学运算) 〖典例〗求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)椭圆过点(3，0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8； (3)求经过点M(1，2)，且与椭圆x 212 ＋y 26 ＝1有相同离心率的椭圆的标准方程．〖思路导引〗(1)焦点位置不确定，分两种情况求解． (2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解．(3)方法一：先求离心率，根据离心率找到a 与b 的关系．再用待定系数法求解．方法二：设与椭圆x 212 ＋y 26 ＝1有相同离心率的椭圆方程为x 212 ＋y 26 ＝k 1(k 1>0)或y 212 ＋x 26 ＝k 2(k 2>0)〖解 析〗(1)若焦点在x 轴上，则a ＝3， 因为e ＝c a ＝63 ，所以c ＝ 6 ，所以b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3.所以椭圆的方程为x 29 ＋y 23 ＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3，因为e ＝ca＝1－b 2a2 ＝1－9a 2 ＝63，解得a 2＝27.所以椭圆的方程为y 227 ＋x 29＝1.所以所求椭圆的标准方程为x 29 ＋y 23 ＝1或y 227 ＋x 29 ＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0).如图所示，△A 1FA 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)且|OF|＝c ，|A 1A 2|＝2b ， 所以c ＝b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝32， 故所求椭圆的标准方程为x 232 ＋y 216 ＝1.(3)方法一：由题意知e 2＝1－b 2a 2 ＝12， 所以b 2a 2 ＝12，即a 2＝2b 2，设所求椭圆的方程为x 22b 2 ＋y 2b 2 ＝1或y 22b 2 ＋x 2b2 ＝1.将点M(1，2)代入椭圆方程得12b 2 ＋4b 2 ＝1或42b 2 ＋1b 2 ＝1，解得b 2＝92 或b 2＝3.故所求椭圆的标准方程为x 29 ＋y 292＝1或y 26 ＋x 23＝1.方法二：设所求椭圆方程为x 212 ＋y 26 ＝k 1(k 1>0)或y 212 ＋x 26 ＝k 2(k 2>0)，将点M 的坐标代入可得112 ＋46 ＝k 1或412 ＋16 ＝k 2，解得k 1＝34 ，k 2＝12 ，故x 212 ＋y 26 ＝34 或y 212 ＋x 26 ＝12 ， 即所求椭圆的标准方程为x 29 ＋y 292＝1或y 26 ＋x 23＝1.利用椭圆的几何性质求标准方程的思路1.利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b 2＝a 2－c 2，e ＝ca等．2．在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个． 〖补偿训练〗1.椭圆的焦点在y 轴上，焦距为4，且经过点A(3，2)，则其标准方程为______________． 〖解 析〗设椭圆的标准方程为y 2a 2 ＋x 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)，上焦点为F 1(0，2)，下焦点为F 2(0，－2)，根据椭圆的定义知，2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝3＋32＋42 ＝8，即a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12， 因此，椭圆的标准方程为y 216 ＋x 212 ＝1.〖答 案〗y 216 ＋x 212＝12．根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程． (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；(2)焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点构成正三角形，且半焦距为6.〖解 析〗(1)当焦点在x 轴上时，设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a>b>0).依题意有⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a ，4a 2＋36b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝237，b ＝37，所以椭圆方程为x 2148 ＋y 237＝1.同样地可求出当焦点在y 轴上时，椭圆方程为y 252 ＋x 213 ＝1.故所求的椭圆方程为x 2148 ＋y 237 ＝1或y 252 ＋x 213 ＝1.(2)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，c ＝6，a 2＝b 2＋c 2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝48，b 2＝12，所以所求的椭圆方程为x 248 ＋y 212＝1.备选类型 分类讨论思想在椭圆中的应用(数学抽象)〖典例〗(2020·北京高二检测)已知椭圆x 25 ＋y 2m ＝1()m>0 的离心率e ＝105 ，则m 的值为( ) A ．3B ．253或3C ． 5D ．5153或15〖思路导引〗分5>m ，5<m 两种情况，焦点分别在x ，y 轴上讨论，结合e ＝ca 即得解．〖解 析〗选B.由题意知m>0， 当5>m 时，a ＝ 5 ，b ＝m ，c ＝5－m ，所以e ＝ca＝5－m 5＝105 ，解得m ＝3；当5<m 时，a ＝m ，b ＝ 5 ，c ＝m －5 ，所以e ＝ca＝m －5m＝105 ，解得m ＝253 .利用椭圆的离心率求参数，解题时要注意对椭圆焦点的位置进行分类讨论．(2020·西安高二检测)已知椭圆mx 2＋4y 2＝1的离心率为22，则实数m 等于( ) A ．2B ．2或83C ．2或6D ．2或8〖解 析〗选D.若焦点在x 轴上时，a 2＝1m ，b 2＝14 ，根据e ＝c a ＝22 ⇒c 2a 2 ＝12 ⇒a 2－b 2a 2 ＝12⇒b 2a 2 ＝12 ，即1m ＝24 ⇒m ＝2；若焦点在y 轴上时，a 2＝14 ，b 2＝1m 即14 ＝2m ⇒m ＝8，所以m 等于2或8.课堂检测·素养达标1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( ) A ．(－1，0)，(1，0)B ．(－6，0)，(6，0)C ．(－ 6 ，0)，( 6 ，0)D ．(0，－ 6 )，(0， 6 ) 〖解 析〗选D.方程化为标准方程形式为x 2＋y 26＝1，其焦点在y 轴上，由于a 2＝6，所以a ＝ 6 ，所以长轴的端点坐标为(0， 6 )和(0，－ 6 ). 2．椭圆x 2＋4y 2＝4的离心率为( ) A ．32 B ．34 C ．22 D ．23〖解 析〗选A.化椭圆方程为标准形式得x 24＋y 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝a 2－b 2＝3，所以e ＝c a ＝32.3．(2020·南昌高二检测)已知焦点在y 轴上的椭圆x 29 ＋y 2m ＋9 ＝1的离心率为12 ，则m ＝( )A ．3或－94B ．3C ．－94D ．6 3 －9〖解 析〗选B.根据题意，椭圆的焦点在y 轴上， 所以a 2＝m ＋9，b 2＝9，可得c 2＝a 2－b 2＝m ， 又因为椭圆的离心率为12，所以c a ＝12 ⇒c 2a 2 ＝m m ＋9＝14 ，解得m ＝3.4．(教材二次开发：练习改编)已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为4 3 ，则椭圆C 的方程为________． 〖解 析〗由椭圆的定义可得，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a. 又因为|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4 3 ， 所以4a ＝4 3 ，解得a ＝ 3 ， 又因为e ＝c a ＝33 ，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 23 ＋y 22 ＝1.〖答 案〗x 23 ＋y 22＝15．(2020·合肥高二检测)椭圆x 25a ＋y 24a 2＋1 ＝1的焦点在x 轴上，则它的离心率e 的取值范围是________．〖解 析〗因为椭圆的焦点在x 轴上，故可得5a>4a 2＋1，解得a ∈⎝⎛⎭⎫14，1 . 又e ＝1－4a 2＋15a＝1－15⎝⎛⎭⎫4a ＋1a ， 又对勾函数y ＝4a ＋1a在区间⎝⎛⎭⎫14，12 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫12，1 上单调递增，高中数学教学、学习精品资料- 11 - 当a ＝14 时，y ＝5；a ＝12 时，y ＝4；a ＝1时，y ＝5，故y ＝4a ＋1a ∈〖4，5)，则1－15 ⎝⎛⎭⎫4a ＋1a ∈⎝⎛⎦⎤0，15 ，则e ∈⎝⎛⎦⎤0，55 . 〖答 案〗⎝⎛⎦⎤0，55。

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

第五节椭圆课标要求考情分析1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．了解椭圆的简单应用．3．理解数形结合的思想.1.椭圆的定义、标准方程、几何性质以及椭圆与其他知识综合应用是近几年高考命题方向方向的热点．2．常与直线、向量、三角等知识交汇考查，考查学生分析问题、解决问题的能力．3．三种题型都有可能出现，选择、填空题一般为中低档题，解答题为高档题.知识点一椭圆的定义平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两定点F1，F2叫做椭圆的焦点．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．(1)当2a>|F1F2|时，M点的轨迹是椭圆；(2)当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是线段F1F2；(3)当2a<|F1F2|时，M点不存在．知识点二椭圆的标准方程和几何性质离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝a2－c2越大，因此椭圆越接近圆；当e＝0时，c＝0，a＝b，两焦点重合，图形就是圆．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(×)(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆．( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( √ ) 2．小题热身(1)已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( B ) A.13 B.33C.22D.12(2)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则椭圆C 的方程是( D )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 (3)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( C )A.13B.12C.22D.223(4)若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是(3,4)∪(4,5)．(5)已知点M (－2,0)，N (2,0)，点P 是曲线C ：x 24＋y 2＝1(y ≠0)上的动点，直线PM 与PN的斜率之积为－14.解析：(1)由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以a 2＝m 2，b 2＝m3，所以c 2＝a 2－b 2＝m 6，e 2＝c 2a 2＝13，e ＝33. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．因为椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率e ＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝3，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(3)∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.(4)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.解得3<k <5且k ≠4.(5)设P (x 0，y 0)，因为点P 在曲线C 上， 所以x 204＋y 20＝1(y 0≠0)，y 20＝1－x 204，直线PM 与PN 的斜率之积为 y 0－0x 0＋2×y 0－0x 0－2＝y 20x 20－4＝1－x 204x 20－4＝－14.第1课时 椭圆及其几何性质考点一 椭圆的定义及应用【例1】 (1)已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，B 为C 的短轴的一个端点，直线BF 1与C 的另一个交点为A ，若△BAF 2为等腰三角形，则|AF 1||AF 2|＝( )A.13B.12C.23D ．3(2)椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是( )A.1633B.3233C ．16 3D ．32 3【解析】 (1)如图，不妨设点B 在y 轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，由题意知|AB |＝|AF 2|，所以|BF 1|＝|BF 2|＝a ，|AF 1|＝a 2，|AF 2|＝3a2..所以|AF 1||AF 2|＝13.故选A.(2)由椭圆x 225＋y 216＝1的焦点为F 1，F 2知，|F 1F 2|＝2c ＝6，在△F 1PF 2中，不妨设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则|PF 1|＋|PF 2|＝m ＋n ＝2a ＝10，在△F 1PF 2中，由余弦定理|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos ∠F 1PF 2，得(2c )2＝m 2＋n 2－2m ·n cos60°，即4c 2＝(m ＋n )2－3mn ＝4a 2－3mn ，解得mn ＝643，所以S △F 1PF 2＝12·|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12mn sin60°＝1633.故选A.【答案】 (1)A (2)A 方法技巧(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是利用定义求椭圆的标准方程；二是利用定义求焦点三角形的周长和面积、弦长、最值、离心率等.通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题.(2)椭圆的定义式|PF 1|＋|PF 2|＝2a 中必须强调2a >|F 1F 2|.1．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝3.解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.2．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.解析：椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)， ∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)，∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋2.考点二 椭圆的标准方程命题方向1 定义法【例2】 (2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 【解析】 方法1：由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，连接F 1A ，令|F 2B |＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m .由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A |＝a ＝|F 1A |，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝a 23a 2＝13，所以13＝1－2(1a )2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.方法2：设|F 2B |＝x (x >0)，则|AF 2|＝2x ，|AB |＝3x ，|BF 1|＝3x ，|AF 1|＝4a －(|AB |＋|BF 1|)＝4a －6x ，由椭圆的定义知|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4x ， 所以|AF 1|＝2x .在△BF 1F 2中，由余弦定理得|BF 1|2 ＝|BF 2|2＋|F 1F 2|2－2|F 2B |·|F 1F 2|cos ∠BF 2F 1， 即9x 2＝x 2＋22－4x ·cos ∠BF 2F 1①，在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－2|AF 2|·|F 1F 2|cos ∠AF 2F 1， 即4x 2＝4x 2＋22＋8x ·cos ∠BF 2F 1②， 由①②得x ＝32，所以2a ＝4x ＝23，a ＝3， 所以b 2＝a 2－c 2＝2.所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.故选B.【答案】 B命题方向2 待定系数法【例3】 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为_______．(2)一个椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆方程为________．【解析】 (1)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫－322m ＋⎝⎛⎭⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，解得m ＝16，n ＝110.∴椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，∴可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，2a ＝4c ，又a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝22，b ＝6，c ＝2，∴椭圆方程为x 28＋y 26＝1.【答案】 (1)y 210＋x 26＝1 (2)x 28＋y 26＝1方法技巧(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．1．(方向1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( A )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由已知及椭圆的定义知4a ＝43，即a ＝3，又c a ＝c 3＝33，所以c ＝1，b 2＝2， 所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.2．(方向2)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.解析：设点B 的坐标为(x 0，y 0)．∵x 2＋y 2b2＝1，∴F 1(－1－b 2，0)，F 2(1－b 2，0)．∵AF 2⊥x 轴，设点A 在x 轴上方，∴A (1－b 2，b 2)． ∵|AF 1|＝3|F 1B |，∴AF 1→＝3F 1B →，∴(－21－b 2，－b 2)＝3(x 0＋1－b 2，y 0)． ∴x 0＝－531－b 2，y 0＝－b 23.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b23. 将B ⎝⎛⎭⎫－531－b 2，－b 23代入x 2＋y 2b 2＝1，得b 2＝23. ∴椭圆E 的方程为x 2＋32y 2＝1.考点三 椭圆的几何性质命题方向1 椭圆的长轴、短轴、焦距【例4】 已知椭圆x 2m －2＋y 210－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5【解析】 因为椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2>0，10－m >0，m －2>10－m ，解得6<m <10.因为焦距为4，所以c 2＝m －2－10＋m ＝4，解得m ＝8.【答案】 A命题方向2 椭圆的离心率【例5】 设椭圆E 的两焦点分别为F 1，F 2，以F 1为圆心，|F 1F 2|为半径的圆与E 交于P ，Q 两点．若△PF 1F 2为直角三角形，则E 的离心率为( )A.2－1B.5－12C.22D.2＋1【解析】 不妨设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，如图所示，∵△PF 1F 2为直角三角形，∴PF 1⊥F 1F 2，又|PF 1|＝|F 1F 2|＝2c ，∴|PF 2|＝22c ，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2c ＋22c ＝2a ，∴椭圆E 的离心率e ＝ca＝2－1.故选A.【答案】 A命题方向3 最值或范围问题【例6】 已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，2)．(1)求椭圆的标准方程．(2)若△OAB 的顶点A ，B 在椭圆上，OA 所在的直线斜率为k 1，OB 所在的直线斜率为k 2，若k 1·k 2＝－b 2a2，求OA →·OB →的最大值．【解】 (1)由已知，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝22b ，4a 2＋2b 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2，所以椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，不妨设x 1>0，x 2>0. 由k 1k 2＝－b 2a 2＝－12得k 2＝－12k 1(k 1≠0)，直线OA ，OB 的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，x 28＋y 24＝1，解得x 1＝221＋2k 21，同理，x 2＝221＋2k 22， 所以x 2＝221＋2⎝⎛⎭⎫－12k 12＝4|k 1|1＋2k 21. 因为OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝12x 1x 2＝42|k 1|1＋2k 21＝421|k 1|＋2|k 1|≤4222＝2，当且仅当|k 1|＝22时，等号成立． 所以OA →·OB →的最大值为2. 方法技巧1.求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.2.在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围、离心率的范围等不等关系.1．(方向1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( D )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b 时面积最大，所以12×2cb ＝1，bc ＝1，而2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22(当且仅当b ＝c ＝1时取等号)， 即长轴长2a 的最小值为2 2.2．(方向2)已知椭圆O ：x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过左焦点F 1的直线l 与椭圆的一个交点为M ，右焦点F 2关于直线l 的对称点为P ，若△F 1MP 为正三角形，且其面积为3，则该椭圆的离心率为( C )A.32B.22C.12D.33解析：设正△F 1MP 的边长为m ，则34m 2＝3，∴m ＝2. 又由椭圆的定义可知|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4，∴2a ＝4，解得a ＝2， 又由题可知b ＝3，∴c ＝1，e ＝c a ＝12.故选C. 3．(方向2)已知两定点A (－1,0)和B (1,0)，动点P (x ，y )在直线l ：y ＝x ＋3上移动，椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ，则椭圆C 的离心率的最大值为( A ) A.55 B.105C.255D.2105 解析：不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a >1)，与直线l 的方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3，消去y 得(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，由题意易知Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)≥0，解得a ≥5，所以e ＝c a ＝1a ≤55， 所以e 的最大值为55. 4．(方向3)已知点F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，点M 是该椭圆上的一个动点，那么|MF 1→＋MF 2→|的最小值是( C )A ．4B ．6C ．8D ．10 解析：设M (x 0，y 0)，F 1(－3,0)，F 2(3,0)．则MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→＋MF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，|MF 1→＋MF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝4×25⎝⎛⎭⎫1－y 2016＋4y 20＝100－94y 20， 因为点M 在椭圆上，所以0≤y 20≤16，所以当y 20＝16时，|MF 1→＋MF 2→|取最小值为8.。

3.1.2椭圆的简单几何性质一、椭圆的简单几何性质二、点001、直线y kx m =+与椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的位置关系：联立2222,1,y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得一个关于x 的一元二次方程．位置关系解的个数∆的取值相交两解∆>0相切一解∆=0相离无解∆<02、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11,A x y ，()22,B x y ；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出根与系数的关系；（4）将所求问题或题中关系转化为关于12x x +，12x x 的形式；（5）代入求解．四、直线与椭圆相交的弦长公式1、定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．2、求弦长的方法（1）交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．（2）根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则弦长公式为：=AB 五、解决椭圆中点弦问题的两种方法：1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线l (不平行于y 轴)过椭圆12222=+b y a x (0>>b a )上两点A 、B ，其中AB 中点为)(00y x P ，，则有22a b k k OP AB -=⋅。

证明：设)(11y x A ，、)(22y x B ，，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+11222222221221b y a x by a x ，上式减下式得02222122221=-+-by y a x x ，∴2222212221a b x x y y -=--，∴220021210021212121212122a b x y x x y y x y x x y y x x y y x x y y -=⋅--=⋅--=++⋅--，∴22a b k k OP AB -=⋅。