第三章 晶体的宏观对称

第三章晶体的宏观对称第一节：对称性概述教材上关于对称的形象化描述非常好：对称，顾名思义就是不同的物体或同一物体的不同部分相对又相称，因此将这不同的物体或同一物体的不同部分的空间位置以某种方式对换一下好像没动过一样（复原）。

晶体的宏观对称就是指晶体表面几何要素（但并非只是几何要素）的有规律重复。

一、几个相关术语1.等同图形（同形等大的图形）；2.对称操作；3.对称元素；4.关于左右型图形的问题；5.对称图形的阶次和对称要素的阶次。

二、宏观对称元素1.反映对称面(符号用P)；描述：面不动，阶次为2。

2.对称中心（符号用C）：描述：点不动。

对称中心可以产生左右型、阶次为2。

3.旋转对称轴（用L n表示）：描述：线不动，阶次为n.；基转角、对称定律（画图并作几何推导）。

对称定律：对应的对称轴只可能是L1、L6、L4、L3、L2。

4.旋转反伸对称轴（用L-n表示）：描述：点不动。

基转角、旋转反伸对称轴次、先旋转后反伸与先反伸后旋转、旋转反伸轴是一个复合对称操作，阶次为n。

反伸轴的等价对称操作：一次反伸轴等于对称中心（L-1=C）(证明)二次反伸轴等于对称面（L-2=P）(证明)三次反伸轴等于三次对称轴加对称中心（L-3=L3C）(证明)四次反伸轴无等价对称操作（独立）(证明)六次反伸轴为三次反伸轴加反映对称面（L-6=L3P，优选L-6）(证明)所以真正存在的旋转反伸轴只有四次反伸轴L-4和六次反伸轴L-6两种。

三、宏观对称要素和点阵的几何配置1.对称中心对应于点阵点2.旋转轴对应于点阵行列并垂直于点阵面网（包含平行）3.对称面对应于点阵面（包含平行）四、宏观对称要素与宏观晶体几何配置对称中心总是位于晶体中心。

对称轴的出露点总是位于晶面中心、晶棱中心或角顶对称面的出露位置可以平分晶面、平分或包含晶棱第二节、对称要素的组合规律对于一个宏观几何多面体，可以存在的对称要素一般不止一个（当然可以只存在一个），当有两个对称元素存在时，由于对称要素本身的相互作用就可能产生第三个对称要素，第三个对称要素单独作用的结果等于前两者连续作用的结果。

Li 3= L3C
Li 4
Li 6= L3P
无论先旋转后反伸，还是先反伸后旋转，效果完全相同。
2）Lin与简单对称要素或其组合的等效关系：
Li1 ＝ L1 ＋ C ＝ C
Li2 ＝ L1 ＋ P⊥ ＝ P （ P ⊥ Li2 ）
Li3 ＝ L3 ＋ C
（ L3 ∥ Li3 ）
Li6 ＝ L3 ＋ P⊥ （ L3∥Li6 ，P⊥L3 ）
一、对称的概念
对称（symmetry)：物体相同部分有规律的重复。
其相同部分可以是相同形状， 或相同物理性质。
对称的条件：
① 必须具有若干个彼此相同的部分； ② 这些相同部分通过一定的操作彼此有规律地重合。
石榴子石晶体 绿柱石晶体
二、晶体对称的特点
晶体的对称包括宏观和微观两方面，具有
三个特点： ① 普遍性：一切晶体都是对称的。 ② 特殊性：晶体的对称是有限的，它受晶体内部结
构严格控制，如 对称轴只出现一、二、 三、四和六次对称轴。 ③双重性：晶体的对称不仅包含着几何意义，也包 含着物理意义；不仅体现在外形上，也 体现在性质上。
石英晶体
磷灰石晶体
石盐晶体不同切面上的硬度曲线
三、晶体的宏观对称要素
对称操作：对称变换，使物体或图形的相同部分重复出现
所进行的操作（如旋转、反映、反伸等）。
• P35 表3-4 晶体的对称分类 应熟记！ • P36 表3-5 32对称型按物性分类 • 表3-6 32对称型按在自然界矿物中
出现的概率分类
32对称型按物性分类
介电晶体类（32个对称型）
压电晶体类（不具对称中心，有多个极轴， 有对称中心C
除3L44L36L2外，共有20个对称型）

= the symbol for a twofold rotation
6
第二步
Element
6
13
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– 变换矩阵
cosa sin a 0
sin a cosa 0
• Motif: the fundamental part of a symmetric design that, when repeated, creates the whole pattern
6
结晶学与矿物学
对称元素
• 对称元素(symmetry element)：在进行对称操 作时所凭借的几何要素——点、线、面等。 • 对称元素种类
对称变换矩阵
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
10
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern
– = 360o/2 rotation – to reproduce a motif in a symmetrical pattern
= the symbol for a twofold rotation
6
Element
6
12
结晶学与矿物学
对称轴(Ln)之对称操作
• 对称轴
二次(two-fold rotation) A Symmetrical Pattern Motif
第一步

宏观对称性是指晶体在宏观尺度 上所表现出的对称性质，包括晶 体形状、晶面和对称轴等方面。
宏观对称性可以通过几何图形来 表示，例如六方晶系、立方晶系 等。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
宏观对称性是晶体分类的重要依 据之一，不同晶体的宏观对称性 特征不同。
宏观对称性还可以通过晶面指数 和对称轴的描述来表达，这些描 述方式有助于研究晶体的结构和 物理性质。
空间群的特点：空间群决定了晶体结构的对称性和物理性质，不同的空间群具有不同的对称性和 物理性质。
空间群的应用：空间群在材料科学、物理学、化学等领域有着广泛的应用，对于理解晶体结构和 性质以及开发新材料具有重要的意义。
空间群与晶体结构的关系：空间群与晶体结构密切相关，通过对空间群的研究可以深入了解晶体 结构的本质和规律。
点群的特点和性质
点群是由对称操作构成的群，具 有确定的点群符号
点群能够确定晶体的对称性，从 而推断晶体的物理性质
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
点群将晶体划分为若干个等同部 分，具有空间均匀性
点群是晶体分类和鉴别的基本依 据之一
空间群的分类和特点
空间群的分类：按照晶体结构的特点，空间群可以分为七大类，包括简单立方、面心立方、体心 立方等。
征。
对称性的分类
晶体点群：晶体中原子或分子的排列方式 晶体空间群：晶体中原子或分子的空间排列方式 对称轴：晶体中存在的对称元素，如C轴、S轴等 对称面：晶体中存在的对称元素，如M面、Y面等
对称性在晶体结构中的作用
决定晶体外形
影响晶体物理性质
形成晶体群
决定晶体中的原子排 列
晶体的宏观对称性
03
宏观对称性的定义