2020高考数学(文科)新思维大二轮(专题练习)：第1课时 直线与圆

∴所求直线的斜率为 k＝43.
由点斜式得所求直线方程为 y－79＝43x＋53，
即 4x－3y＋9＝0. 解法二：由垂直关系可设所求直线方程为 4x－3y＋m＝0， 由方程组2x－x＋33y＋y＋41＝＝00，，可解得交点为－53，79， 代入 4x－3y＋m＝0，得 m＝9， 故所求直线方程为 4x－3y＋9＝0. 解法三：由题意，可设所求直线的方程为 (2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0， 即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
方法技巧
直线(圆)与圆的位置关系的解题思路 (1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻 找解题途径，减少运算量． (2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建 立切线斜率的等式，求切线方程主要选择点斜式． (3)弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示，即 l＝2 r2－d2(其中 l 为弦长，r 为圆 的半径，d 为圆心到直线的距离)．
2．与圆的切线有关的结论 (1)过圆 x2＋y2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为 x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－ b)＝r2. (3)过圆 x2＋y2＝r2 外一点 P(x0，y0)作圆的两条切线，切点为 A，B，则过 A、B 两点的 直线方程为 x0x＋y0y＝r2.
D．(2，－4)
【解析】 设 A(－4，2)关于直线 y＝2x 的对称点为 A′(x，y)，则yxy－ ＋ ＋2 242× ＝22＝ ×－ －142， ＋x，解得yx＝＝－4，2， 即 A′(4，－2)，∴直线 A′C 即 BC 所在直线的方程为 y－1＝－42－－31(x－3)，即 3x＋y －10＝0.又知点 C 在直线 y＝2x 上，联立3y＝x＋2yx－ ，10＝0，解得xy＝ ＝24， ，则 C(2，4)，故选 C. 【答案】 C

三种距离公式
[知识整合]
(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离： |AB|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2.
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(2)点到直线的距离：d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|(其中点为(x0，y0)，直线方程为 Ax＋By＋C ＝0)． (3)两平行直线间的距离：d＝ |CA2－2＋CB1|2(其中两平行直线的方程分别为 l1：Ax＋By＋ C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0)．
离为 1，则 a＝( )
A．－43
B．－34
C. 3
D．2
解析：选 A.由圆的方程可知圆心(1，4)．由点到直线的距离公式可得|a×1a＋2＋4－1 1|＝
1，解得 a＝－43，故选 A.
第三页，编辑于星期日：一点 三十三分。
2．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＋2y－3＝0 交于 A，B 两点，则|AB|
为
l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋23＝0，所以
l1
与
l2
的距离
d＝6－223＝8
3
2 .
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3．若直线 l1：y＝kx－k＋2 与直线 l2 关于点(2，1)对称，则直线 l2 过定点( )
A．(3，1)
B．(3，0)
C．(0，1)
D．(2，1)
解析：选 B.因为 y＝kx－k＋2＝k(x－1)＋2，所以 l1：y＝kx－k＋2 过定点(1，2)．设 定点(1，2)关于点(2，1)对称的点的坐标为(x，y)，则21＋＋22 yx＝＝12，，得xy＝＝03，，所以直线 l2 过定点(3，0)．故选 B.

2)2+y2=2 上,则△ABP 面积的取值范围是( )
A.[2,6]
B.[4,8]
C.[√2,3√2]
D.[2√2,3√2]
14.(20xx 云南保山一模,15)已知坐标原点为 O,过点 P(2,6)作直线 2mx-
(4m+n)y+2n=0(m,n 不同时为零)的垂线,垂足为 M,则|OM|的取值范围是
(1)若直线 l 过点 A(4,0),且被☉C1 截得的弦长为 2√3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l2,它们分别与
☉C1 和☉C2 相交,且直线 l1 被☉C1 截得的弦长与直线 l2 被☉C2 截得的弦长相等,试求所有 满足条件的点 P 的坐标.
.
15.在平面直角坐标系中,当 P(x,y)不是原点时,定义 P 的“伴随点”为 P'(������2+������������2 , ������2-+������������2);当 P
是原点时,定义 P 的“伴随点”为它自身.现有下列命题:
①若点 A 的“伴随点”是点 A',则点 A'的“伴随点”是点 A;
·
������������2
=-1,即-1·k=-1,解得
3
k=3.
2.B 解析 由题意知,△ABC 外接圆的圆心是直线 x=1 与线段 AB 垂直平分线的交点,设
为
P,而线段
AB
垂直平分线的方程为
y-√23
=
√3 3
(������-
12),它与
x=1
联立得圆心
P
坐标为
(1,
2√33),则|OP|=√12

第1讲 直线与圆限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)1．(2020·成都二诊)设a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：C [由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa，bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，故k 1k 2＝－sin A a ·b sin B ＝－1，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sinC ＝0垂直，故选C.]2．(2020·杭州质检)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：D [点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，化简得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或－34.]3．(2020·广州模拟)若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：C [由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据两平行线间的距离公式得，|m ＋7|2＝|m ＋5|2，即|m ＋7|＝|m ＋5|，所以m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.]4．(2020·河南六校联考)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA →，OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．±1D ．±2解析：C [由OA →，OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，得OA →⊥OB →， 因为直线x ＋y ＝a 的斜率是－1， 所以A ，B 两点在坐标轴上并且在圆上；所以(0,1)和(0，－1)两点都适合直线的方程，故a ＝±1.]5．(2020·怀柔调研)过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)，半径为1，以|PC |＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.故选B.] 6．(2020·温州模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx ，其中k 为[－3，3]上的任意一个实数，则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33B.34C.14D.3－33解析：D [当直线l 与圆C 相离时，圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1＞2，解得k ＞1或k ＜－1，又k ∈[－3，3]，所以－3≤k ＜－1或1＜k ≤3，故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝3－1＋－1＋323＝3－33，故选D.] 7．(2019·潍坊三模)已知O 为坐标原点，A ，B 是圆C ：x 2＋y 2－6y ＋5＝0上两个动点，且|AB |＝2，则|OA →＋OB →|的取值范围是( )A ．[6－23，6＋23]B ．[3－3，3＋3]C ．[3,9]D ．[3,6]解析：A [圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，取弦AB 的中点M ，连接CM ，CA ，在直角三角形CMA 中，|CA |＝2，|MA |＝1，则|CM |＝|CA |2－|MA |2＝3，则点M 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝3，则|OA →＋OB →|＝2|OM →|∈[6－23，6＋23]．]8．(多选题)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：AC [本题主要考查直线与圆的位置关系的判断．圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1,0)，半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1<2，所以|1＋m |<2，解得－3<m <1，求其充分条件，即求其子集，故由选项易得AC 符合．故选AC.]9．(2020·合肥质检)已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝5与圆C 2相交于A (0,2)，B (－1,1)两点，且四边形C 1AC 2B 为平行四边形，则圆C 2的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝5 B ．(x －1)2＋y 2＝92C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝92解析：A [通解 (常规求解法)设圆C 2的圆心坐标为(a ，b )，连接AB ，C 1C 2.因为C 1(－2,3)，A (0,2)，B (－1,1)，所以|AC 1|＝|BC 1|＝5，所以平行四边形C 1AC 2B 为菱形，所以C 1C 2⊥AB 且|AC 2|＝ 5.可得⎩⎪⎨⎪⎧3－b －2－a ×1－2－1－0＝－1，a 2＋b －22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，则圆心C 2的坐标为(1,0)或(－2,3)(舍去)．因为圆C 2的半径为5，所以圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝5.故选A.优解 (特值验证法)由题意可知，平行四边形C 1AC 2B 为菱形，则|C 2A |＝|C 1A |＝22＋2－32＝5，即圆C 2的半径为5，排除B ，D ；将点A (0,2)代入选项A ，C ，显然选项A 符合．故选A.]10．(2020·惠州二测)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a ＜0)的圆心在直线3x －y ＋3＝0上，且圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，则a 2＋b 2的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C [化圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a ＜0)为标准方程得C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，其圆心为(a ，b )，故3a －b ＋3＝0，即b ＝3a ＋3，(a ，b )到直线3x ＋y ＝0的距离d ＝|3a ＋b |3＋1＝|3a ＋b |2＝|3a ＋3a ＋3|2，因为圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3，故d ＋1＝32|2a ＋1|＋1＝1＋3，得到|2a ＋1|＝2，解得a ＝－32或a ＝12(舍去)，故b ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3＝－32，故a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝3.选C.]11．(2019·烟台三模)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]解析：C [当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝5－12＋t －42≤10sin 45°＝20，所以16＋(t －4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选C.]二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)12．(双空填空题)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点A (0，－8)，且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆C 的方程为___________________________________________，圆C 被x 轴截得的弦长为________．解析：本题考查圆与圆的位置关系．将已知圆化为标准式得(x －3)2＋(y －3)2＝18，圆心为(3,3)，半径为3 2.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y ＝－4上．联立y ＝x 和y ＝－4，得圆心C 的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32，即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.圆心C 到x 轴距离为4，则圆C 被x 轴截得的弦长为2×422－42＝8.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0 813．(2019·哈尔滨二模)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)，且与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为________________．解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23，符合题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l的方程为y ＝kx ＋3，∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为C (1,1)，圆的半径r ＝2，圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1，∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2，∴k ＋22k 2＋1＋3＝4，解得k ＝－34，∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3，即3x ＋4y －12＝0.综上，直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.答案：x ＝0或3x ＋4y －12＝014．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a ＞0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________.解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a(a ＞0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22， 解得a 2＝52，因为a ＞0，所以a ＝102. 答案：10215．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：∵AB 为直径 ∴AD ⊥BD∴BD 即B 到直线l 的距离 |BD |＝|0－2×5|12＋22＝2 5. ∵|CD |＝|AC |＝|BC |＝r ，又CD ⊥AB . ∴|AB |＝2|BC |＝210 设A (a,2a ) |AB |＝a －52＋4a 2＝210⇒a ＝－1或3(－1舍去)答案：316．(2020·厦门模拟)为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为A ，B ，C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理A ，B ，C 三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M 只能建在与A 村相距5 km ，且与C 村相距31 km 的地方．已知B 村在A 村的正东方向，相距3 km ，C 村在B 村的正北方向，相距3 3 km ，则垃圾处理站M 与B 村相距________km.解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0,0)，B (3,0)，C (3,33)． 由题意得垃圾处理站M 在以A (0,0)为圆心，5为半径的圆A 上，同时又在以C (3,33)为圆心，31为半径的圆C 上，两圆的方程分别为x 2＋y 2＝25和(x －3)2＋(y －33)2＝31.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25，x －32＋y －332＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝532，∴垃圾处理站M 的坐标为(5,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532，∴|MB |＝2或|MB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322＝7， 即垃圾处理站M 与B 村相距2 km 或7 km. 答案：2或7。