2020新高考文科数学二轮培优直线与圆考点考向考题点拨「考情研析」 1.考查直线间的平行和垂直的条件，与距离有关的问题． 2.考查直线与圆相切和相交的问题，与直线被圆所截得的弦长有关的问题.核心知识回顾1.直线的斜率直线过点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，则斜率k ＝□01y 2－y 1x 2－x 1＝□02tan α. 2．直线的两种位置关系3．三种距离公式(1)两点间的距离：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝□01 (2)点到直线的距离：点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝□02(3)两平行线的距离：若直线l 1，l 2的方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C2＝0(C 1≠C 2)，则两平行线的距离d ＝034．圆的方程(1)标准方程：□01(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)一般方程：方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是□02D 2＋E 2－4F >0，其中圆心是□03⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径r ＝0425．直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r .6．两圆的位置关系设圆O 1的半径为r 1，圆O 2的半径为r 2.热点考向探究考向1 直线的方程及应用例1 (1)(2019·天津九校联考)“m ＝2”是“直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 若直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行，则m 2＝4，m ＝±2，当m ＝2时，直线l 1：2x ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋2y －3＝0，两直线重合，舍去，所以“直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行”等价于“m ＝－2”，所以“m ＝2”是“直线l 1：mx ＋4y －6＝0与直线l 2：x ＋my －3＝0平行”的既不充分也不必要条件．故选D ．(2)已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或1 答案 D解析 ①当a ＝0时，y ＝2不符合题意．②当a ≠0时，令x ＝0，得y ＝2＋a ，令y ＝0，得x ＝a ＋2a ，则a ＋2a ＝a ＋2，得a ＝1或a ＝－2.故选D ．(3)已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案 B解析 因为l 1与l 2关于l 对称，所以l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设它关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，即(1,0)，(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2的方程为x －2y －1＝0，故选B ．(1)在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件．(2)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．1．(2019·湘赣十四校高三联考)若cos θ＝45，sin θ＝－35，则角θ的终边所在的直线方程为( )A ．3x －4y ＝0B ．4x ＋3y ＝0C ．3x ＋4y ＝0D ．4x －3y ＝0答案 C解析 因为cos θ＝45，sin θ＝－35，所以tanθ＝sinθcosθ＝－34，因此角θ的终边所在的直线斜率为－34.故选C ．2．已知直线l 的倾斜角为34π，直线l 1经过点A(3，2)，B(a ，－1)，且l 1与l 垂直，直线l 2：2x ＋by ＋1＝0与直线l 1平行，则a ＋b 等于( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2 答案 B解析 由题意知l 的斜率为－1，则l 1的斜率为1，即k AB ＝2－(－1)3－a＝1，∴a ＝0.由l 1∥l 2，得－2b ＝1(b ≠0)，∴b ＝－2(经检验满足题意)，∴a ＋b ＝－2，故选B ．3．直线x cosα＋y ＋b ＝0(α，b ∈R )的倾斜角的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 ∵直线的斜率k ＝－cos α，α∈R ，∴－1≤k ≤1，直线的倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 考向2 圆的方程及应用例2 (1)(2019·成都市高三二诊)已知a ∈R 且为常数，圆C ：x 2＋2x ＋y 2－2ay ＝0，过圆C 内一点(1,2)的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，当弦AB 最短时，直线l 的方程为2x －y ＝0，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 B解析 圆C ：x 2＋2x ＋y 2－2ay ＝0化简为(x ＋1)2＋(y －a )2＝a 2＋1，圆心坐标为C (－1，a )，半径为a 2＋1.如图，由题意可得，当弦AB 最短时，过圆心与点(1,2)的直线与直线2x －y ＝0垂直．则a －2－1－1＝－12，即a ＝3.故选B ． (2)与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝2B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2答案 D解析 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝18，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为2，圆心坐标为(2,2)，所以标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.(3)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．不存在 答案 A解析 由y ＝2－x 2得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．设过点P (2，0)的直线为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线AB 的距离d ＝|2k |1＋k 2，因为S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝sin ∠AOB ，所以当∠AOB ＝π2时，S △AOB 取最大值，此时圆心O 到直线AB 的距离为1，由|2k |1＋k 2＝1得k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去，故直线l 的倾斜角为150°.(1)求圆的方程就是求出圆心坐标和圆的半径，一般是根据已知条件写出方程即可．(2)方程Ax 2＋By 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(AB ≠0)表示圆的充要条件是A ＝B 且D 2＋E 2－4AF >0.1．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足|P A |2－|PB |2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 设P (x ，y )，则由|P A |2－|PB |2＝4，得(x ＋1)2＋y 2－x 2－(y －1)2＝4，所以x ＋y －2＝0.求满足条件的点P 的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为|0＋0－2|2＝2<2＝r ，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P 有2个，选C ．2．(2019·宜宾市高三第二次诊断)过直线3x －4y －14＝0上一点P 作圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝9的切线，切点分别为A ，B ，则当四边形P ACB 面积最小时，直线AB 的方程是( )A ．4x －3y ＋2＝0B ．3x －4y ＋2＝0C ．3x －4y －2＝0D ．4x －3y －2＝0 答案 B解析 根据题意，圆C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝9的圆心C 为(－1,2)，半径r ＝3；点P 为直线3x －4y －14＝0上一点，P A ，PB 为圆C 的切线，则P A ⊥CA ，PB ⊥CB ，则有|P A |＝|PB |＝|PC |2－r 2＝ |PC |2－9，则S 四边形P ACB ＝2S △PCA ＝2×12×|CA |×|P A |＝3|PC |2－9，则当|PC |取得最小值时，四边形P ACB 面积最小，此时CP 与直线3x －4y －14＝0垂直，且|CP |＝ |3×(－1)－4×2－14|32＋(－4)2＝5，则C 到直线AB 的距离d ＝95，又由CP ⊥AB ，则直线AB 与直线3x －4y －14＝0平行，设直线AB 的方程为3x －4y －m ＝0，则d ＝|3×(－1)－4×2－m |32＋(－4)2＝95，解得m ＝－2或－20(舍去)，则直线AB 的方程为3x －4y ＋2＝0.故选B ．3．圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4 答案 D解析 (x －2)2＋y 2＝4的圆心为(2,0)，其关于y ＝33x 对称的点为(x ，y )，则⎩⎨⎧ y 2＝33·2＋x 2，y x －2·33＝－1，解得x ＝1，y ＝3，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4，故选D ． 考向3 直线与圆、圆与圆的位置关系例3 (1)(2019·东北三省高三第二次模拟)圆x 2－4x ＋y 2＝0与圆x 2＋y 2＋4x＋3＝0的公切线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 D解析 x 2－4x ＋y 2＝0⇒(x －2)2＋y 2＝22，圆心坐标为(2,0)，半径为 2.x 2＋y 2＋4x ＋3＝0⇒(x ＋2)2＋y 2＝12，圆心坐标为(－2,0)，半径为1.圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D ．(2)一条光线从点(1，－1)射出，经y 轴反射后与圆(x －2)2＋y 2＝1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 答案 C解析 由题意可知，反射光线必过(－1，－1)点，设反射光线斜率为k ，则反射光线为kx －y ＋k －1＝0，由题意可知|2k ＋k －1|1＋k2<1，∴0<k <34.∴入射光线所在直线的斜率取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.故选C ． (3)已知直线l ：ax ＋by ＋1＝0是圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的对称轴，且直线l 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0答案 D解析 x 2＋y 2－6y ＋5＝0化为标准方程x 2＋(y －3)2＝4，其圆心为(0,3)，因为直线l ：ax ＋by ＋1＝0是圆x 2＋y 2－6y ＋5＝0的对称轴，故3b ＋1＝0，得b ＝－13，又直线l 与直线x ＋y ＋2＝0垂直，故－a b ＝1，所以a ＝13，故直线l 的方程为13x －13y ＋1＝0，即x －y ＋3＝0，选D ．(1)处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据圆的几何性质求解．(2)直线与圆相交涉及弦长问题时，主要依据弦长的一半、弦心距、半径的关系求解．(3)经过圆内一点，垂直于过这点的半径的弦最短．1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4 答案 A解析 由题意知，点P 在以原点O (0,0)为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在圆C 上，所以只要两个圆有交点即可．圆心C (3,4)到O (0,0)的距离为5，所以|m －2|≤5≤m ＋2，解得3≤m ≤7，即m 的最大值为7.故选A ．2．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则k ＝( )A ．±33B ．±3C ．33D ． 3答案 A解析 圆(x －2)2＋(y －3)2＝4的圆心坐标为(2,3)，半径r ＝2，圆心(2,3)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|2k |k 2＋1，∵直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，∴由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322，即4＝4k 2k 2＋1＋3，解得k ＝±33.故选A ．3．(2019·朝阳区高三第一次模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝kx －2，若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线l 1，l 2，使得l 1⊥l 2，则实数k 的取值范围是( )A ．[0,2－3)∪(2＋3，＋∞)B ．[2－3，2＋3]C．(－∞，0)D．[0，＋∞)答案 D解析圆心C(2,0)，半径r＝2，设P(x，y)，因为两切线l1⊥l2，如右图，P A⊥PB，由切线性质定理，知P A⊥AC，PB⊥BC，|P A|＝|PB|，所以四边形P ACB 为正方形，所以|PC|＝2，则有(x－2)2＋y2＝4，即点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．直线l：y＝kx－2过定点(0，－2)，直线方程即kx－y－2＝0，只要直线l与P点的轨迹(圆)有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径，即d＝|2k－2|k2＋1≤2，解得k≥0，即实数k的取值范围是[0，＋∞)．故选D．真题押题『真题模拟』1．(2019·厦门模拟)“C＝2”是“点(1，3)到直线x＋3y＋C＝0的距离为3”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析若点(1，3)到直线x＋3y＋C＝0的距离为3，则有|1＋3＋C|12＋(3)2＝3，解得C＝2或C＝－10，故“C＝2”是“点(1，3)到直线x＋3y＋C＝0的距离为3”的充分不必要条件，选B．2．(2019·山东省高三第一次大联考)已知直线l：x－3y＝0与圆C：x2＋(y －1)2＝1相交于O，A两点，O为坐标原点，则△COA的面积为()A．34B．32C． 3 D．2 3答案 A解析 由题意，直线l ，圆C 均过原点，△COA 为等腰三角形，且|CO |＝|CA |＝1，∠OCA ＝60°，所以S △COA ＝12|CO |·|CA |·sin ∠OCA ＝12×12×32＝34.故选A ．3．(2019·唐山市第一中学高三下学期冲刺(一))过点P (－1，－1)且不垂直于y 轴的直线l 与圆M ：x 2＋y 2－2x －3＝0交于A ，B 两点，点C 在圆M 上，若△ABC 是正三角形，则直线l 的斜率是( )A ．34B ．32C ．23D ．43答案 D解析 根据题意得，圆M ：x 2＋y 2－2x －3＝0即(x －1)2＋y 2＝4，圆心M 为(1,0)，半径r ＝2，设正三角形ABC 的高为h ，由题意知M 为正三角形ABC 的中心，∴M 到直线l 的距离d ＝13h ，又h ＝32|AB |，即d ＝36|AB |，∴由垂径定理可得|AB |24＋d 2＝r 2＝4，可得|AB |＝23，∴d ＝1，由题意知设直线l 的斜率存在且不为0，设为k ，则直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k －1＝0，则有|2k －1|1＋k 2＝1，解得k ＝43或0(舍去)．故选D ．4．(2019·合肥市高三第二次教学质量检测)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点(0,1)，(0,3)，且与x 轴正半轴相切，若圆C 上存在点M ，使得直线OM 与直线y ＝kx (k >0)关于y 轴对称，则k 的最小值为( )A ．233B ． 3C ．2 3D ．4 3 答案 D解析∵圆C经过(0,1)，(0,3)，∴圆心在(0,1)，(0,3)的垂直平分线y＝2上，又∵圆C与x轴正半轴相切，∴圆的半径为2.设圆心坐标为(x0,2)，x0>0，由x20＋(2－3)2＝4，得x0＝3，∴圆心坐标为(3，2)，设OM的斜率为k0，因为k>0，所以k0<0，当k0最大时k最小，设OM：y＝k0x(k0<0)，由图可知当y＝k0x与圆相切时k0最大，此时|3k0－2|1＋k20＝2，解得k0＝－43，此时k＝43，即k的最小值为43，故选D．5．(2019·浙江高考)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0,3)，则|AB|＝(－2－0)2＋(－1－3)2＝25，|AC|＝(－2－0)2＋(－1－m)2＝4＋(m＋1)2，BC＝|m－3|.∵直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A，∴∠BAC＝90°，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2.即20＋4＋(m＋1)2＝(m－3)2，解得m＝－2.因此r＝|AC|＝4＋(－2＋1)2＝ 5.『金版押题』6．由直线y＝3x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)引切线，若切线长的最小值为3，则r的值为()A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 D 解析 从题意看出，切线长、直线上的点到圆心的距离、半径之间满足勾股定理，显然圆心(3，0)到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心(3，0)到直线y ＝3x ＋1的距离为|(3)2＋1－0|(3)2＋(－1)2＝2，切线长的最小值为22－r 2＝3，解得r ＝1或r ＝－1(舍去)，选D ．7．已知P 是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，若四边形P ACB 的最小面积为2，则k 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．12答案 B解析 S 四边形P ACB ＝|P A |·|AC |＝|P A |＝|CP |2－|CA |2＝|CP |2－1，可知当|CP |最小，即CP ⊥l 时，其面积最小，由最小面积|CP |2－1＝2得|CP |min ＝5，由点到直线的距离公式得|CP |min ＝51＋k2＝5，因为k >0，所以k ＝2.选B ．配套作业一、选择题1．与直线3x －2y ＋7＝0关于y 轴对称的直线方程为( )A ．3x ＋2y ＋7＝0B ．3x ＋2y －7＝0C ．2x －3y ＋7＝0D ．3x －2y －7＝0 答案 B解析 由题知，与直线3x －2y ＋7＝0关于y 轴对称的直线方程是3(－x )－2y ＋7＝0，即3x ＋2y －7＝0，故选B ．2．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A ．1710B ．175C ．8D ．2答案 D 解析 ∵63＝m 4≠14－3，∴m ＝8，直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2. 3．已知直线l 经过圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为5，则直线l 的方程为( )A ．x ＋2y ＋5＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋3＝0答案 C解析 圆心C (1,2)，故k OC ＝2，|OC |＝5，所以l ⊥OC ，k l ＝－12，直线l的方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0，故选C ．4．(2019·芜湖市四校高二上学期期末联考)圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点P 到点Q (2,3)的距离的最小值为( )A ．2B ．1C ．3D ．4 答案 B解析 圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点P 到点Q (2,3)的距离的最小值为圆心到点Q (2,3)的距离减去半径．∵圆x 2＋(y －3)2＝1的圆心坐标为C (0,3)，半径为r ＝1，∴|CQ |－r ＝2－1＝1，∴圆x 2＋(y －3)2＝1上的动点P 到点Q (2,3)的距离的最小值为1.故选B ．5．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2－2mx ＋m 2≤4}，B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＋2x －2my ≤8－m 2}，若A ∩B ＝A ，则实数m 的范围是( )A ．[－1,0]B ．(－1,0)C ．[0,1]D ．(0,1) 答案 A解析 设A ，B 表示的两圆的圆心分别为C 1，C 2，由A ∩B ＝A ，得A ⊆B ，则圆(x －m )2＋y 2＝4与圆(x ＋1)2＋(y －m )2＝9的关系是内切或内含，则|C 1C 2|＝(m ＋1)2＋m 2≤3－2，得m 2＋m ≤0，即－1≤m ≤0.6．已知点P (1,2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k <233C ．－233<k <0D ．－233<k <233答案 D解析 若x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0表示一个圆，则k 2＋4－4k 2＝4－3k 2>0，即－233<k <233.若过点P 所作圆的切线有两条，则点P 在圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y＋k 2＝0外．将P (1,2)代入，得k 2＋k ＋9>0.∵k 2＋k ＋9＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋122＋354>0恒成立，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233. 7．(2019·内江、眉山等六市高三第二次诊断)若直线x －my ＋m ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝1相交，且两个交点位于坐标平面上不同的象限，则m 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(－1,0)D ．(－2,0) 答案 D解析 圆与直线联立⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋y 2＝1，x －my ＋m ＝0，整理得(1＋m 2)y 2－2m ·(m ＋1)y ＋m 2＋2m ＝0.∵直线与圆相交且有两个交点，∴方程有两个不相等的实数根，即Δ>0，Δ＝4m 2(m ＋1)2－4(m 2＋2m )·(m 2＋1)＝－8m >0，得m <0.∵圆(x －1)2＋y 2＝1上的点都在y 轴右侧及原点，若要交点在两个象限，则交点纵坐标的符号相反，即一个交点在第一象限，一个交点在第四象限．∴y 1y 2＝m 2＋2m 1＋m 2<0，解得－2<m <0，故选D ．8．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 是x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A．52－4 B．17－1C．6－2 2 D．17答案 A解析圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|＝(2－3)2＋(－3－4)2＝5 2.则|PM|＋|PN|的最小值为52－4.9．已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，设p：0<r≤3，q：圆上至多有两个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析对于q，圆(x－1)2＋y2＝r2(r>0)上至多有两个点到直线x－3y＋3＝0的距离为1，又圆心(1,0)到直线的距离d＝|1－3×0＋3|2＝2，则r<2＋1＝3，所以0<r<3，又p：0<r≤3，所以p是q的必要不充分条件，故选B．10．(2019·柳州市高三3月模拟)圆x2＋y2－4x＋3＝0关于直线y＝33x对称的圆的方程是()A ．(x －3)2＋(y －1)2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．(x －1)2＋(y －3)2＝1答案 D解析 由题意得，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0即为(x －2)2＋y 2＝1，∴圆心坐标为(2,0)，半径为1.设圆心(2,0)关于直线y ＝33x 的对称点的坐标为(a ，b )，则⎩⎨⎧ b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3， ∴所求圆的圆心坐标为(1，3)，∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1.故选D ．11．(2019·山东师范大学附属中学高三第四次模拟)已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有OA →·OB→≥－2，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，22)C ．[2，＋∞)D ．[3，22)答案 B解析 根据题意得，圆x 2＋y 2＝4的圆心为(0,0)，半径r ＝2，设圆心到直线x ＋y －k ＝0的距离为d ，若直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，则d ＝|k |1＋1＝k 2<2，则有k <2 2. 设OA→与OB →的夹角即∠AOB ＝θ， 若OA →·OB →≥－2，即|OA |·|OB |·cos θ≥－2，变形可得cos θ≥－12，则θ≤2π3.当θ＝2π3时，d ＝1，若θ≤2π3，则d ＝k 2≥1，解得k ≥2， 则k 的取值范围为[2，22)．故选B ．二、填空题12．已知圆M ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线方程为________． 答案 x ＋3y ＝0解析 ∵圆M ：x 2＋y 2＋2x ＋23y －5＝0，∴圆心M 的坐标为(－1，－3)，∴k OM ＝0＋30＋1＝3，∴此圆中过原点的弦最短时，该弦所在的直线的斜率k ＝－13，∴该弦所在的直线方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0. 13．已知P (2,0)为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2my ＋m 2－7＝0(m >0)内一点，过点P 的直线AB 交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 面积的最大值为4，则正实数m 的取值范围为________． 答案 3≤m ＜7解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋m )2＝8，则圆心坐标为(1，－m )，半径r ＝22，S △ABC ＝12r 2sin ∠ACB ＝4sin ∠ACB ，当∠ACB ＝90°时，△ABC 的面积取得最大值4，此时△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝2r ＝4，则点C 到直线AB 的距离等于2，故2≤PC <22，即2≤1＋m 2<22，∴4≤1＋m 2<8，即3≤m 2<7，∵m >0，∴3≤m <7.14．(2019·宜宾市高三第二次诊断)已知直线l 1：3x ＋y －6＝0与圆心为M (0,1)，半径为5的圆相交于A ，B 两点，另一直线l 2：2kx ＋2y －3k －3＝0与圆M 交于C ，D 两点，则AB 的中点坐标为________，四边形ACBD 面积的最大值为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32 5 2 解析 以M (0,1)为圆心，半径为5的圆的方程为x 2＋(y －1)2＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 解得A (2,0)，B (1,3)，∴AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.直线l 2：2kx ＋2y －3k －3＝0恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，要使四边形的面积最大， 只需直线l 2过圆心即可，即CD 为直径，此时AB 垂直CD ，|AB |＝(2－1)2＋(0－3)2＝10，∴四边形ACBD 面积的最大值为S ＝12·|AB |·|CD |＝12×10×25＝5 2.。
