2019年高考数学(文科)二轮复习专题5 第1讲 直线与圆

高中数学必修2——直线与圆复习知识点一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。

特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。

因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示。

即tan k α=。

斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当[)90,0∈α时，0≥k ； 当()180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y 1。

当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1。

②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x y a b+= 其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。

⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0）注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； （5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数）（二）过定点的直线系 （ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ；（ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。

2019年高考数学真题分类汇编 专题08 直线与圆 文1.【2018高考北京，文2】圆心为()1,1且过原点的圆的方程是（ ） A ．()()22111x y -+-= B ．()()22111x y +++= C ．()()22112x y +++= D ．()()22112x y -+-= 【答案】D【解析】由题意可得圆的半径为r =，则圆的标准方程为()()22112x y -+-=，故选D.【考点定位】圆的标准方程.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“过原点”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程，即圆心(),a b ，半径为r 的圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=．2.【2018高考四川，文10】设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A)(1，3) (B)(1，4) (C)(2，3) (D)(2，4)【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.3.【2018高考湖南，文13】若直线3450x y -+=与圆()2220x y r r +=>相交于A,B 两点，且120oAOB ∠=（O 为坐标原点），则r =_____. 【答案】【解析】如图直线3450x y -+=与圆2220x y r r +=（＞） 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且120o AOB ∠=，则圆心（0，0）到直线3450x y -+=的距离为12r 12r r =∴，=2 .故答案为2.【考点定位】直线与圆的位置关系【名师点睛】涉及圆的弦长的常用方法为几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则222().2lr d =-本题条件是圆心角，可利用直角三角形转化为弦心距与半径之间关系,再根据点到直线距离公式列等量关系. 4.【2018高考安徽，文8】直线3x+4y=b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b=（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【解析】∵直线b y x =+43与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴224343+-+b ＝1⇒2=b 或12,故选D.【考点定位】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.【名师点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程联立，消元，得到关于x （或y ）的一元二次方程，通过判断0;0;0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位置关系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，然后再将d 与圆的半径r 进行判断，若r d >则相离；若r d =则相切；若r d <则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算能力.5.【2018高考重庆，文12】若点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________. 【答案】250x y +-=【解析】由点(1,2)P 在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为：225x y +=，所以该圆在点P 处的切线方程为125x y ⨯+⨯=即250x y +-=，故填：250x y +-=. 【考点定位】圆的切线.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用分母实数化和利用共轭复数的概念进行化解求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.6.【2018高考湖北，文16】如图，已知圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且2AB =.（Ⅰ）圆C 的标准．．方程为_________； （Ⅱ）圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为_________.【答案】（Ⅰ）22(1)(2x y -+-=；（Ⅱ）1--.【解析】设点C 的坐标为00(,)x y ，则由圆C 与x 轴相切于点(1,0)T1=，半 径0r y =.又因为2AB =，所以22211y +=，即0y r ==，所以圆C 的标准方程为22(1)(2x y -+=，令0x =得：1)B +.设圆C 在点B 处的切线方程为1)kx y -+=，则圆心C 到其距离为：d ，解之得1k =.即圆C 在点B 处的切线方程为x 1)y =+，于是令0y =可得x 1=-，即圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为1-，故应填22(1)(2x y -+-=和1-【考点定位】本题考查圆的标准方程和圆的切线问题, 属中高档题.【名师点睛】将圆的标准方程、圆的切线方程与弦长问题联系起来，注重实际问题的特殊性，合理的挖掘问题的实质，充分体现了数C 的横坐标.7.【2018高考广东，文20】（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围； 若不存在，说明理由．第16题图【答案】（1）()3,0；（2）492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x ；（3）存在，752752≤≤-k 或34k =±． 【解析】试题分析：（1）将圆1C 的方程化为标准方程可得圆1C 的圆心坐标；（2）先设线段AB 的中点M 的坐标和直线l 的方程，再由圆的性质可得点M 满足的方程，进而利用动直线l 与圆1C 相交可得0x 的取值范围，即可得线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）先说明直线L 的方程和曲线C 的方程表示的图形，再利用图形可得当直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点时，k 的取值范围，进而可得存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点．试题解析：（1）圆1C :22650x y x +-+=化为()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0（2）设线段AB 的中点00(,)x y M ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l .设直线l 的方程为mx y =（易知直线l 的斜率存在），所以1C 1k m M ⋅=-，00mx y =，所以130000-=⋅-x yx y ，所以032020=+-y x x ，即49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x .因为动直线l 与圆1C 相交，所以2132<+m m ，所以542<m . 所以202022054x x m y <=，所以20200543x x x <-，解得350>x 或00<x ，又因为300≤<x ，所以3350≤<x . 所以),(00y x M 满足49232020=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<3350x即M 的轨迹C 的方程为492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫⎝⎛≤<335x .（3）由题意知直线L 表示过定点T (4,0)，斜率为k 的直线.结合图形，492322=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤<335x 表示的是一段关于x 轴对称，起点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-352,35按逆时针方向运动到⎪⎪⎭⎫⎝⎛352,35的圆弧.根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧.设P ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-352,35，则752354352=-=PT k ，而当直线L 与轨迹C 相切时，2314232=+-k k k，解得43±=k .在这里暂取43=k ，因为43752<，所以k k PT <.结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤或34k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知：当0k ≤<或34k =-时，直线L 与x 轴对称上方的圆弧有且只有一个交点. 综上所述，当752752≤≤-k 或34k =±时，直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点. 考点：1、圆的标准方程；2、直线与圆的位置关系.【名师点晴】本题主要考查的是圆的标准方程、直线与圆的位置关系，属于难题．解题时一定要注意关键条件“直线l 与圆1C 相交于不同的两点A ，B ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程和直线与圆的位置关系，即圆22D F 0x y x y +++E +=的圆心D ,22E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线与圆相交⇔d r <（d 是圆心到直线的距离），直线与圆相切⇔d r =（d 是圆心到直线的距离）．8.【2018高考新课标1，文20】（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .【答案】（I ）（II ）2L（II ）设1122(,),(,)M x y N x y .将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=,所以1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x k x x k+?+=++++=++, 由题设可得24(1)8=121k k k+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+. 故圆心在直线l 上，所以||2MN =.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212,x x y y 用k 表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.。

专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为()A．2√7B．2√2C．4√3D．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．√3C．1 D．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx的最大值为43B ．yx 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D ．x ＋y 的最大值为3＋√2 听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l ：ax －y ＋1＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为( )A ．1B ．√2C ．2D ．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2上的动点，P 为直线l ：x －y ＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为3√22 D ．|PM |的最小值为√22专题六 解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a)＝－1⇒a ＝13.答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等，∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0. 综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3.因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题 [例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12). 答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12) [巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2.答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题 [例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为yx 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43，∴yx ∈[0，43]，∴(yx )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12， 所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对．答案：(1)D (2)ABD [巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2.2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离， A 不正确，B 正确； |PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22， C 不正确，D 正确． 答案：BD。

♦♦♦学生用书（后跟详细参考答案和教师用书）♦♦♦把握命题趋势，提高复习效率，提升解题能力，打造高考高分！【助力高考】2019年高考备战数学专题复习精品资料第九章 平面解析几何第51讲 直线与圆、圆与圆的位置关系★★★核心知识回顾★★★知识点一、判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系． ⇔相交； ⇔相切； ⇔相离． (2)代数法：――――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交；＝0⇔相切；<0⇔相离.知识点二、圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)， 圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0).★★★高考典例剖析★★★考点一、直线与圆的位置关系例1：圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0与直线2tx －y －2－2t ＝0(t ∈R )的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切C ．相交D ．以上都有可能解： 直线2tx －y －2－2t ＝0恒过点(1，－2)， ∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0， ∴点(1，－2)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0内，直线2tx －y －2－2t ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0相交， 故选C.1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定考点二、圆与圆的位置关系例2： 已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1外切，则ab 的最大值为( ) A.62 B.32 C.94D ．2 3♦♦♦跟踪训练♦♦♦2．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1内切，求ab 的最大值． 3．已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1相交，求公共弦所在的直线方程．4． (2017·重庆调研)如果圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＋2a 2－4＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4总相交，那么实数a 的取值范围是______________________． 考点三、直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题例3： (2016·全国Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 解： 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23， |AB |＝23，所以|OM |＝3， 由|OM |＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33， 所以直线l ：x －3y ＋6＝0.由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)， BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0， 解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 命题点2 直线与圆相交求参数范围例4： 已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5： 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0， 则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0. (2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0， 则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0. (3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.5．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．6．过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________． 7．已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．98．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3考点四、直线与圆的综合问题例6： 在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 解： ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上．设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上， ∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为|OD |. 又|OD |＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π⎝⎛⎭⎫252＝45π. 故选A 。

第1讲直线与圆高考定位 1.直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的地点关系是本讲高考的要点； 2.考察的主要内容包含求直线(圆 )的方程、点到直线的距离、直线与圆的地点关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题.真题感悟1.(2016 全·国Ⅱ卷 )圆 x2＋y2－2x－ 8y＋ 13＝ 0 的圆心到直线ax＋ y－ 1＝ 0 的距离为1，则 a＝()43A. －3B.－4C.3D.2分析圆 x2＋ y2－ 2x－ 8y＋13＝ 0 化为标准方程为 (x－ 1)2＋ (y－ 4)2＝4，故圆心为 (1， 4).由题意得 d＝|a＋4－1|＝ 1，解得 a＝－4.a2＋ 13答案A2.(2016 山·东卷 ) 已知圆 M：x2＋ y2－ 2ay＝0(a＞ 0)截直线 x＋y＝ 0 所得线段的长度是 2 2，则圆M 与圆 N： (x－ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 1 的地点关系是 ()A. 内切B. 订交C.外切D. 相离分析圆 M： x2＋ y2－ 2ay＝ 0(a>0) 可化为 x2＋ (y－ a)2＝ a2，由题意， d＝a，所以有2a2a ＝＋ 2，解得 a＝ 2. 22所以圆 M ： x2＋ (y－2) 2＝22，圆心距为2，半径和为 3，半径差为1，所以两圆订交 .答案B3.(2016 全·国Ⅰ卷 )设直线 y＝ x＋ 2a 与圆 C：x2＋ y2－ 2ay－ 2＝0 订交于 A，B 两点，若 |AB|＝ 23，则圆 C 的面积为 ________.分析圆 C 的标准方程为x2＋ (y－ a)2＝a2＋2，圆心为 C(0，a)，点 C 到直线 y＝ x＋2a 的距离为 d＝|0－a＋2a|＝|a|.又由 |AB |＝23，得232＋ |a|2＝a2＋ 2，解得 a2＝ 2，所以圆 C 的面22222积为π(a＋ 2)＝ 4π.答案4π4.(2017 天·津卷 ) 设抛物线 y2＝ 4x 的焦点为F，准线为l .已知点C 在 l 上，以 C 为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点 A.若∠ FAC＝ 120°，则圆的方程为 ________.分析由题意知该圆的半径为1，设圆心 C( －1， a)(a>0) ，则 A(0 ，a).→→又 F(1，0) ，所以 AC＝ (－ 1，0)， AF ＝ (1，－ a).→ →－1＝－1，解得 a＝ 3.由题意知 AC与 AF的夹角为 120°，得 cos 120 °＝1× 1＋ a22所以圆的方程为 (x＋ 1)2＋ (y－3)2＝ 1.答案 (x＋ 1)2＋ (y－ 3)2＝ 1考点整合1.两条直线平行与垂直的判断若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率 k1，k2存在，则 l 1∥l 2? k1＝ k2，l 1⊥ l2? k1k2＝－ 1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率能否存在.2.两个距离公式|C1－ C2|(1) 两平行直线l 1： Ax＋ By＋ C1＝ 0 与 l 2： Ax＋ By＋ C2＝ 0 间的距离d＝A2＋ B2.(2) 点( x0， y0)到直线 l ：Ax＋ By＋ C＝ 0 的距离 d＝|Ax0＋ By0＋C|A2＋ B2.3.圆的方程(1)圆的标准方程： (x－ a)2＋ (y－ b)2＝ r 2(r ＞ 0)，圆心为 (a， b)，半径为 r .(2) 圆的一般方程： x2＋ y2＋ Dx ＋Ey＋ F ＝0(D 2＋ E2－ 4F ＞ 0)，圆心为－D，－E，半径为r＝22D2＋ E2－ 4F.24.直线与圆的地点关系的判断(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径 r 的大小加以比较： d<r ? 订交； d＝r ? 相切； d>r?相离 .(2) 代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来构成方程组，利用鉴别式>0? 订交；＝0?相切；<0 ? 相离 .来议论地点关系：热门一【例 1】直线的方程(1) 设 a∈R，则“a＝－ 2”是直线l1：ax＋ 2y－ 1＝ 0 与直线l 2：x＋ (a＋1)y＋4＝ 0 平行的 ()A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充足必需条件(2)(2017 山·东省实验中学二模)过点D. 既不充足也不用要条件P(2， 3)的直线 l 与 x 轴、 y 轴正半轴分别交于A， B 两点，O 为坐标原点，则S△OAB的最小值为 ________.分析(1) 当 a＝－ 2 时， l 1：－ 2x＋ 2y－ 1＝ 0， l2：x－ y＋ 4＝ 0，明显 l1∥ l2 .当 l 1∥ l 2 时，由 a(a ＋ 1)＝2 且 a ＋ 1≠－ 8 得 a ＝ 1 或 a ＝－ 2，所以 a ＝－ 2 是 l 1∥ l 2 的充足不用要条件 .x y(2) 依题意，设直线 l 的方程为 a ＋ b ＝ 1(a>0， b>0). ∵点 P(2， 3)在直线 l 上 .∴ 2＋ 3＝ 1，则 ab ＝ 3a ＋ 2b ≥26ab ， a b故 ab ≥24，当且仅当 3a ＝2b(即 a ＝ 4，b ＝ 6)时取等号 .所以1S △AOB ＝ 2ab ≥ 12，即S △AOB 的最小值为12.答案(1)A(2)12研究提升1.求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝ 0 成立方程求出参数的值后，要注意代入查验，清除两条直线重合的可能性.2.求直线方程时应依据条件选择适合的方程形式利用待定系数法求解， 同时要考虑直线斜率不存在的状况能否切合题意.【训练 1】 (1)(2017 贵·阳质检 )已知直线 l 1：mx ＋ y ＋1＝ 0，l 2：(m － 3)x ＋ 2y －1＝ 0，则 “m ＝1” 是 “l 1⊥l 2”的 ( )A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要条件(2) 已知 l 1，l 2 是分别经过 A(1， 1)，B(0 ，－ 1) 两点的两条平行直线，当 l 1 ，l 2 间的距离最大时，则直线 l 1 的方程是 ________.分析 (1) “l ⊥ l2”的充要条件是 “m(m － 3)＋ 1×2＝0? m ＝ 1 或 m ＝2”，所以 “m ＝ 1”是 “l 1 ⊥ l2”的充1分不用要条件 .(2) 当直线 AB 与 l 1， l 2 垂直时， l 1， l 2 间的距离最大 .－ 1－1∵ A(1， 1)，B(0，－ 1)，∴ k AB ＝＝ 2.0－ 1∴两平行直线的斜率 k ＝－ 1.2∴直线 l 1 的方程是 y －1＝－ 1(x － 1)，即 x ＋ 2y － 3＝ 0.2答案 (1)A (2)x ＋ 2y － 3＝ 0热门二圆的方程【例 2－ 1】 (1)(2016 天·津卷 )已知圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点 M(0， 5)在圆 C 上，且圆心到直线 2x －y ＝ 0 的距离为 4 5 5，则圆 C 的方程为 ________.22x ＋ y＝ 1 的三个极点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆(2)(2015 全·国Ⅰ卷 )一个圆经过椭圆 164的标准方程为 ________.分析 (1) ∵圆 C 的圆心在 x 的正半轴上，设C(a ，0)，且 a>0.|2a － 0|5，解得 a ＝ 2.则圆心 C 到直线 2x － y ＝0 的距离 d ＝5 ＝4 5∴圆 C 的半径 r ＝ |CM |＝ （ 2－ 0） 2＋（ 0－ 5） 2＝ 3，所以圆 C 的方程为 ( x －2) 2＋ y 2＝ 9.(2) 由题意知，椭圆极点的坐标为 (0，2)， (0，－ 2)， (－ 4，0)， (4， 0).由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过极点 (0， 2)， (0，－ 2)， (4， 0).设圆的标准方程为 (x －m)2＋ y 2＝ r 2，3 m 2＋ 4＝ r 2，解得m ＝ 2，则有（ 4－ m ） 2＝ r 2，r 2＝ 25，4所以圆的标准方程为 3 2 25x － 2＋ y 2＝4.22(2) 3 2 225 答案 (1)(x － 2) ＋ y ＝ 9 x － 2 ＋ y ＝ 4研究提升 1.直接法求圆的方程，依据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，从而写出方程 .2.待定系数法求圆的方程： (1) 若已知条件与圆心 (a ， b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依 据已知条件列出对于 a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值； (2) 若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依照已知条件列出对于 D ， E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值.温馨提示解答圆的方程问题，应注意数形联合，充足运用圆的几何性质 .【训练 2】 (1)(2017 河·南部分要点中学联考 )圆心在直线 x ＝ 2 上的圆与 y 轴交于两点 A(0，－4)， B(0，－ 2)，则该圆的标准方程为 ________________.(2) 圆心在直线 x － 2y ＝ 0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切， 圆 C 截 x 轴所得的弦的长为 2 3，则圆 C 的标准方程为 ________.分析 (1) 易知圆心的纵坐标为－4＋（－ 2）(2，－ 3).2＝－ 3，所以圆心坐标为则半径 r ＝（ 2－0） 2＋ [（－ 3）－（－ 2） ]2＝ 5，故所求圆的标准方程为 (x － 2)2＋ (y ＋ 3)2＝ 5.a(2) 设圆心 a ，2 (a>0)，半径为a.2a 22由勾股定理得 ( 3) ＋ 2 ＝ a ，解得 a ＝ 2.所以圆心为 (2， 1)，半径为 2，所以圆 C 的标准方程为 (x－2) 2＋ (y－ 1)2＝ 4.答案(1)(x－ 2)2＋ (y＋ 3)2＝ 5(2)(x－ 2)2＋ ( y－ 1)2＝4.热门三直线与圆的地点关系命题角度1圆的切线问题【例 3－1】(2017 ·郑州调研 )在平面直角坐标系 xOy 中，以点 A(1，0)为圆心且与直线mx－y － 2m－ 1＝ 0(m∈R)相切的全部圆中，半径最大的圆的标准方程为________.分析直线 mx－ y－ 2m－ 1＝ 0 恒过定点P(2，－1)，当 AP 与直线 mx－ y－ 2m－ 1＝0 垂直，即点 P(2，－ 1)为切点时，圆的半径最大，∴半径最大的圆的半径 r＝（ 1－ 2）2＋（ 0＋ 1）2＝ 2. 故所求圆的标准方程为 (x－ 1)2＋ y2＝ 2. 答案 (x－ 1)2＋ y2＝ 2命题角度2圆的弦长有关计算【例 3－ 2】(2017 ·全国Ⅲ卷 )在直角坐标系xOy 中，曲线y＝ x2＋ mx－ 2 与 x 轴交于 A， B 两点，点 C 的坐标为 (0， 1).当 m 变化时，解答以下问题：(1)可否出现 AC⊥ BC 的状况？说明原因；(2) 证明过 A， B， C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.(1)解不可以出现 AC⊥ BC 的状况，原因以下：设 A(x1， 0)， B( x2， 0)，则 x1， x2知足方程 x2＋ mx－ 2＝ 0，所以 x1x2＝－ 2.又 C 的坐标为 (0， 1)，故 AC 的斜率与 BC 的斜率之积为－1 －11，1· 2＝－x x2所以不可以出现AC⊥ BC 的状况 .x211x2(2) 证明 BC 的中点坐标为2，2，可得 BC 的中垂线方程为y－2＝ x2x－2 .由 (1)可得 x1＋ x2＝－ m，所以 AB 的中垂线方程为 x＝－m 2 .m，①x＝－2联立y－1＝ x2 x－x2，②22又 x22＋ mx2－ 2＝ 0，③m 1 由①②③解得 x＝－， y＝－ .22所以过 A， B， C 三点的圆的圆心坐标为m1，半径 r ＝m2＋ 9－，－22.2m2故圆在 y 轴上截得的弦长为 2r 2－2＝ 3，即过 A， B，C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 .研究提升 1.研究直线与圆的地点关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形联合思想解题 .2.与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离l ，构成d，及半弦长2直角三角形的三边，利用其关系来办理.【训练 3】 (1)(2017 ·州质检泉 )过点 P(－ 3， 1)，Q(a，0)的光芒经 x 轴反射后与圆 x2＋ y2＝1 相切，则 a 的值为 ______.(2)(2016 全·国Ⅲ卷 ) 已知直线l： x－3y＋6＝ 0 与圆 x2＋ y2＝ 12 交于 A，B 两点，过A， B 分别作 l 的垂线与x 轴交于 C， D 两点，则 |CD |＝________.分析(1) 点 P(－ 3， 1)对于 x 轴的对称点为P′(－3，－ 1)，所以直线P′Q 的方程为x－ (a＋ 3)y－ a＝ 0.依题意，直线P′Q 与圆 x2＋ y2＝ 1 相切 .∴|－a|2＝ 1，解得 a＝－5.21 ＋（ a＋ 3）3(2) 由圆 x2＋ y2＝ 12 知圆心 O(0 ，0)，半径 r＝23，∴圆心 (0，0)到直线 x－ 3y＋ 6＝ 0 的距离 d＝6＝ 3，|AB|＝ 212－32＝ 2 3.过 C 作 CE⊥ BD1＋ 3于 E.以下图，则|CE|＝ |AB|＝ 2 3.∵直线 l 的方程为x－3y＋ 6＝ 0，∴直线l 的倾斜角∠BPD＝ 30°，从而∠BDP ＝60°，所以|CD |＝ |CE| ＝ 2 3sin 60 °sin 60＝ 4.°答案(1)－5(2)431.解决直线方程问题应注意：(1) 要注意几种直线方程的限制性.点斜式、两点式、斜截式要求直线不可以与x 轴垂直 .而截距式方程不可以表示过原点的直线，也不可以表示垂直于坐标轴的直线.(2) 求直线方程要考虑直线斜率能否存在.(3)求解两条直线平行的问题时，在利用 A1B2－ A2B1＝ 0 成立方程求出参数的值后，要注意代入查验，清除两条直线重合的可能性 .2.求圆的方程两种主要方法：(1)直接法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的地点关系，数形联合直接求出圆心坐标、半径，从而求出圆的方程 .(2) 待定系数法：先设出圆的方程，再由条件建立系数知足的方程(组 )求得各系数，从而求出圆的方程 .3.直线与圆有关问题的两个要点点(1) 三个定理：切线的性质定理、切线长定理和垂径定理.(2)两个公式：点到直线的距离公式d＝|Ax0＋ By0＋ C|22A2＋B2，弦长公式 |AB|＝ 2 r－d (弦心距 d).4.直线 (圆 )与圆的地点关系的解题思路(1)议论直线与圆及圆与圆的地点关系时，要注意数形联合，充足利用圆的几何性质找寻解题门路，减少运算量 .研究直线与圆的地点关系主要经过圆心到直线的距离与半径的比较来实现，两个圆的地点关系的判断依照是两圆心距离与两半径差与和的比较.(2) 直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”成立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式，过圆外一点求解切线段长可转变为圆心到圆外点距离，利用勾股定理计算 .一、选择题1.(2017 昆·明诊疗 )已知命题p：“m＝－ 1”，命题 q：“直线 x－ y＝ 0 与直线 x＋ m2y＝ 0 相互垂直”，则命题 p 是命题 q 的 ()A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D. 既不充足也不用要分析“直线 x－ y＝ 0 与直线 x＋m2y＝ 0 相互垂直”的充要条件是1×1＋2(－ 1) ·m ＝ 0? m＝±1.∴命题 p 是命题 q 的充足不用要条件.答案A2.过点 (3， 1)作圆 (x－ 1)2＋ y2＝ r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A.2 x ＋ y － 5＝ 0B.2 x ＋y － 7＝ 0C.x －2y － 5＝ 0D. x － 2y － 7＝ 0分析 依题意知，点 (3， 1)在圆 (x － 1)2＋ y 2＝ r 2 上，且为切点 . ∵圆心 (1，0)与切点 (3， 1)连线的斜率为1，所以切线的斜率 k ＝－ 2.2故圆的切线方程为 y － 1＝－ 2(x －3)，即 2x ＋y － 7＝ 0.答案B3.(2017 济·南调研 )若直线 x －y ＋ m ＝ 0 被圆 (x － 1)2＋ y 2＝ 5 截得的弦长为 2 3，则 m 的值为 ()A.1B.－3C.1 或－ 3D.2分析∵圆 (x － 1)2＋ y 2＝ 5 的圆心 C(1， 0)，半径 r ＝ 5.又直线 x － y ＋ m ＝ 0 被圆截得的弦长为 2 3.∴圆心 C 到直线的距离 d ＝r 2－（ 3） 2＝ 2，所以|1－ 0＋m|2 ＝ 2，∴ m ＝1 或 m ＝－ 3.21 ＋（－ 1） 答案C4.(2015 全·国Ⅱ卷 )已知三点 A(1， 0)， B(0， 3)， C(2， 3)，则 △ ABC 外接圆的圆心到原点的 距离为 ()5 21 A. 3 B. 32 5 4 C. 3D.3分析设圆的一般方程为x 2 ＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋ F ＝ 0，1＋ D ＋ F ＝ 0，D ＝－ 2，∴ 3＋ 3E ＋ F ＝ 0，∴E ＝－ 4 3，7＋ 2D ＋ 3E ＋F ＝ 0，3F ＝1，∴△ ABC 外接圆的圆心为2 3 ，1， 3所以圆心到原点的距离d ＝12＋2 32＝ 2133.答案 B5.(2017 衡·水中学模拟 )已知圆C ： (x － 1)2＋ y 2＝ 25，则过点 P(2，－ 1)的圆 C 的全部弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是 () A.10 31 B.9 21 C.1023D.9 11分析易知最长弦为圆的直径10，又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2，∴最短弦的长为 2 r2－ |PC|2＝ 2 25－2＝ 2 23，故所求四边形的面积1S＝×10×2 23＝ 10 23. 2答案C二、填空题6.(2017 广·安调研 )过点 (1， 1)的直线 l与圆 (x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝9 订交于 A， B 两点，当 |AB|＝ 4时，直线 l 的方程为 ________.分析易知点 (1，1) 在圆内，且直线 l 的斜率 k 存在，则直线l 的方程为 y－1＝ k(x－ 1)，即 kx － y＋ 1－k＝ 0.又 |AB|＝ 4， r＝ 3，∴圆心 (2，3)到 l 的距离 d＝ 32－ 22＝ 5.所以|k－2|＝ 5，解得 k＝－1.k2＋（－ 1）22∴直线 l 的方程为 x＋ 2y－ 3＝ 0.答案x＋2y－ 3＝ 07.(2017 北·京卷 ) 已知点 P 在圆 x2＋ y2＝ 1 上，点 A 的坐标为→ →( －2， 0)， O 为原点，则 AO·AP的最大值为 ________.分析→→法一由题意知， AO＝(2 ，0)，令 P(cos α， sin α)，则 AP＝ (cos α＋2，sin α).→ →→ →AO·AP＝ (2， 0) ·(cos α＋ 2， sin α)＝ 2cos α＋ 4≤6，故 AO·AP 的最大值为 6.法二由题意知，→AO＝ (2， 0)，令 P(x， y)，－ 1≤x≤1，→ →→ →则 AO·AP＝(2 ，0) ·(x＋ 2， y)＝ 2x＋ 4≤6，故 AO·AP的最大值为 6.答案68.(2017 菏·泽二模 )已知圆 C 的方程是 x2＋ y2－ 8x－ 2y＋ 8＝ 0，直线 l：y＝ a(x－ 3)被圆 C 截得的弦长最短时，直线 l 方程为 ________.分析圆 C 的标准方程为 (x－ 4)2＋ ( y－ 1)2＝ 9，∴圆 C 的圆心 C(4， 1)，半径 r＝ 3.又直线 l ： y＝ a(x－ 3)过定点 P(3， 0)，则当直线y＝ a(x－ 3)与直线 CP 垂直时，被圆 C 截得的弦长最短.1－ 0所以 a·k CP＝ a·＝－ 1，∴ a＝－ 1.4－ 3故所求直线 l 的方程为 y＝－ (x－ 3)，即 x＋ y－ 3＝0.答案 x＋y－ 3＝ 0三、解答题9.已知点 A(3，3)，B(5， 2)到直线 l 的距离相等，且直线l 经过两直线 l 1： 3x－y－ 1＝ 0 和 l2：x＋ y－ 3＝0 的交点，求直线 l 的方程 .3x－ y－ 1＝0，解解方程组得交点 P(1， 2).x＋ y－ 3＝ 0，①若点 A， B 在直线 l 的同侧，则 l∥ AB.3－ 21而 k AB＝3－5＝－2，由点斜式得直线l 的方程为 y－2＝－1(x－ 1)，2即 x＋ 2y－5＝ 0.②若点 A， B 分别在直线 l 的异侧，则直线l 经过线段 AB 的中点5 4，2，l 的方程为y－2＝5－ 2由两点式得直线2，x－ 14－ 1即 x－ 6y＋11＝0.综上所述，直线l 的方程为x＋ 2y－ 5＝0 或 x－ 6y＋ 11＝ 0.10.(2015 全·国Ⅰ卷 )已知过点 A(0，1)且斜率为k 的直线 l 与圆 C：(x－ 2)2＋ (y－ 3)2＝ 1 交于 M，N两点 .(1)求 k 的取值范围；→→(2)若OM ·ON＝ 12，此中 O 为坐标原点，求 |MN |.解 (1)由题设，可知直线 l 的方程为 y＝ kx＋ 1，|2k－ 3＋ 1|由于 l 与 C 交于两点，所以2<1.1＋ k解得4－ 74＋ 7 3<k<3.所以 k 的取值范围为4－7，4＋ 7.33(2) 设 M( x1， y1)， N( x2， y2).将 y＝ kx＋ 1 代入方程 ( x－ 2)2＋(y－3) 2＝ 1，整理得 (1＋k2)x2－ 4(1＋ k)x＋ 7＝ 0.所以 x1＋ x2＝4（1＋ k），x1x2＝72. 1＋k21＋ k→ →OM ·ON＝ x1x2＋ y1y224k（1＋ k）＋ 8.＝ (1＋ k )x1x2＋ k(x1＋ x2)＋ 1＝21＋ k由题设可得4k（ 1＋k）＋ 8＝12，解得 k＝ 1，1＋k2所以 l 的方程为 y＝ x＋1.故圆心 C 在 l 上，所以 |MN |＝ 2.11.(2016 江·苏卷节选 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以 M 为圆心的圆 M： x2＋ y2－ 12x －14y＋ 60＝ 0 及其上一点 A(2， 4).(1)设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x＝6 上，求圆 N 的标准方程；(2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 订交于 B， C 两点，且 |BC |＝ |OA|，求直线 l 的方程 .解 (1)圆 M 的标准方程为 (x－6)2＋ (y－7) 2＝ 25，所以圆心 M(6， 7)，半径为 5，(1)由圆心 N 在直线 x＝ 6 上，可设 N(6，y0).由于圆 N 与 x 轴相切，与圆M 外切，所以 0< y0<7 ，圆 N 的半径为y0，从而 7－y0＝5＋ y0，解得 y0＝ 1.所以，圆N 的标准方程为 (x－ 6)2＋ ( y－ 1)2＝ 1.(2)由于直线 l∥ OA，所以直线l 的斜率为4－0＝ 2. 2－ 0设直线 l 的方程为y＝ 2x＋ m，即 2x－ y＋m＝0，则圆心 M 到直线 l 的距离d＝|2 ×6－ 7＋ m||m＋ 5|＝.55由于 |BC|＝ |OA|＝22＋ 42＝25，22又|MC|＝d＋|BC|22，（m＋ 5）2所以25＝5＋ 5，解得m＝ 5 或m＝－ 15.故直线l 的方程为2x－y＋ 5＝ 0 或2x－ y－ 15＝ 0.。

第1讲直线与圆[考情分析] 1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0(或B 1C 2－B 2C 1≠0)，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1(1)(多选)已知直线l 的倾斜角等于30°，且l 经过点(0,1)，则下列结论中正确的是()A ．直线l 的方程为y ＝33x ＋1B ．l 的一个方向向量为n 33，1C ．l 与直线3x －3y ＋2＝0平行D ．l 与直线3x ＋y ＋2＝0垂直答案ACD解析由题意知直线l 的斜率为tan 30°＝33，且过点(0,1)，所以直线l 的方程为y ＝33x ＋1，方向向量为n ＝(1，k )1，33，A 正确，B 错误；直线3x －3y ＋2＝0的斜率为33，且不过点(0,1)，故两直线平行，C 正确；直线3x ＋y ＋2＝0的斜率为－3，则两直线斜率之积为－1，故两直线垂直，D正确．(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于() A．2 B.47C．－2D．－4答案C解析将直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0转化为(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0，＝－1，＝－2，所以直线恒过定点N(－1，－2)，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时4m－1m－1×－3－(－2)2－(－1)＝－1，解得m＝－2.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()A．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5B．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)答案AC解析对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，则－3＝－2k，即k＝32，此时直线方程为y＝32x，也满足题意，所以A错误；对于B中，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由方程x＋y－5＝0，x－3y＋7＝0，解得x＝1，y＝3，即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，所以B正确；对于C中，当倾斜角θ＝π2时，此时直线的斜率不存在，tanθ无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为y－y1＝y2－y1x2－x1(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确．(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是25，则m＋n ＝________.答案3解析因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以21＝n－2≠－6m，解得n＝－4且m≠－3，所以直线l2为2x－4y－6＝0，直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，因为两平行线间的距离为25，所以|2m－(－6)|22＋(－4)2＝25，得|2m＋6|＝20，因为m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.考点二圆的方程核心提炼1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0－D2，－为圆心，D2＋E2－4F2为半径的圆．例2(1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为()A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4B．(x－4)2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝4答案A解析由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，(－2)＝－1，×a 2＋b2＋5＝0，＝－4，＝－2，所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于()A．2B．4C．8D．16答案B解析圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0，即＋(y－1)2＝1＋m 24，圆心为－m2，直线l：(a＋1)x－ay－1＝0，因为a≠－1，所以直线l的斜率不为0，又a(x－y)＋(x－1)＝0，－y＝0，－1＝0，＝1，＝1，即直线l恒过定点D(1,1)，又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，所以－m2＝1，解得m＝－2，所以圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，半径r＝2，显然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圆C过坐标原点O(0,0)，因为l与C交于A，B两点，即A，B为直径的两个端点，如图，所以∠AOB＝90°，所以|OA |2＋|OB |2＝|AB |2＝(22)2＝8≥2|OA |·|OB |，即|OA |·|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，所以(|OA |＋|OB |)2＝|OA |2＋|OB |2＋2|OA |·|OB |＝8＋2|OA |·|OB |≤16，即|OA |＋|OB |≤4，当且仅当|OA |＝|OB |＝2时取等号，即|OA |＋|OB |的最大值等于4.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x 2＋y 2＝1外切，并与直线y ＝33x 及y 轴都相切的圆的方程____________．答案(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1或(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123(写出其中一个即可)解析设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，因为与圆x 2＋y 2＝1外切，所以a 2＋b 2＝1＋r ，又因为与直线y ＝33x 及y 轴都相切，所以r ＝|a |＝|3a －3b |(3)2＋(－3)2＝|a －3b |2，所以2|a |＝|a －3b |，即|2a |＝|a －3b |，所以2a ＝3b －a 或2a ＝a －3b ，所以b ＝3a 或a ＝－3b ，当b ＝3a 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得3a 2＝2|a |＋1，＝1，＝3或＝－1，＝－3，r ＝1，所以求得圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1或(x ＋1)2＋(y ＋3)2＝1，当a ＝－3b 时，因为r ＝|a |，a 2＋b 2＝1＋r ，联立得13a 2＝2|a |＋1，＝3＋23，＝－3－2＝－3－23，＝3＋2，r ＝3＋23，所以求得圆的方程为(x －23－3)2＋(y ＋2＋3)2＝21＋123或(x ＋23＋3)2＋(y －2－3)2＝21＋123.(写出其中一个即可)(2)(2023·福州模拟)已知⊙O 1：(x －2)2＋(y －3)2＝4，⊙O 1关于直线ax ＋2y ＋1＝0对称的圆记为⊙O 2，点E ，F 分别为⊙O 1，⊙O 2上的动点，EF 长度的最小值为4，则a 等于()A ．－32或56B ．－56或32C ．－32或－56 D.56或32答案D解析由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当EF 所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，点E ，F 又接近于对称轴时，EF 长度最小，此时圆心O 1到对称轴的距离为4，所以|2a ＋6＋1|a 2＋4＝4，即(2a ＋7)2＝16(a 2＋4)，解得a ＝32或a ＝56.考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，联立方程＋By ＋C ＝0，－a )2＋(y －b )2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系例3(1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )与圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0.则下列说法正确的是()A ．直线l 过定点(－2,2)B ．直线l 与圆C 相离C ．圆心C 到直线l 距离的最大值是22D ．直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为4答案AD解析对于A ，因为l ：y ＝kx ＋2k ＋2(k ∈R )，即y ＝k (x ＋2)＋2，令x ＋2＝0，即x ＝－2，得y ＝2，所以直线l 过定点(－2,2)，故A 正确；对于B ，因为(－2)2＋22－2×2－8<0，所以定点(－2,2)在圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0的内部，所以直线l 与圆C 相交，故B 错误；对于C ，如图，因为圆C ：x 2＋y 2－2y －8＝0，可化为x 2＋(y －1)2＝9，圆心C (0,1)，当圆心C 与定点(－2,2)的连线垂直于直线l 时，圆心C 到直线l 的距离取得最大值，此时其值为(－2)2＋(2－1)2＝5，故C 错误；对于D ，由弦长公式|AB |＝2r 2－d 2可知，当圆心C 到直线l 的距离最大时，弦长取得最小值，所以直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为2×9－5＝4，故D 正确．(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x －my ＋1＝0与⊙C ：(x －1)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，写出满足“△ABC 面积为85”的m 的一个值为________．答案，－2，12，－12中任意一个皆可以解析设直线x －my ＋1＝0为直线l ，点C 到直线l 的距离为d ，由弦长公式得|AB |＝24－d 2，所以S △ABC ＝12×d ×24－d 2＝85，解得d ＝455或d ＝255，又d ＝|1＋1|1＋m 2＝21＋m 2，所以21＋m 2＝455或21＋m 2＝255，解得m ＝±12或m ＝±2.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2023·淄博模拟)“a ≥22”是“圆C 1：x 2＋y 2＝4与圆C 2：(x －a )2＋(y ＋a )2＝1有公切线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1－r2|，即a2＋(－a)2≥1，解得a≤－22或a≥22，所以“a≥22”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的充分不必要条件．(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是()A．若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)B．若r＝2，两圆的相交弦长为3C．若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3D．当r>3时，两圆的位置关系为内含答案AD解析当r＝2时，如图，两圆的一条公切线分别与⊙O，⊙O1切于点A，B，交x轴于点Q，|OQ| |O1Q|＝|OA||O1B|＝12⇒|OQ|＝2，故Q(－2,0)，故A正确；当r＝2时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，公共弦所在的直线方程为x＝14，相交弦长为＝152，故B错误；若MO⊥MO1，则|MO|2＋|MO1|2＝|OO1|2，即12＋r2＝4，则r＝3，故C错误；当r>3时，r－1>2＝|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确．规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3(1)(2023·邯郸模拟)已知直线l ：x －y ＋5＝0与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －4＝0交于A ，B 两点，若M 是圆上的一动点，则△MAB 面积的最大值是____________．答案22＋3解析圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9，则圆C 的圆心为C (1,2)，半径r ＝3，圆心C 到直线l (弦AB )的距离d ＝|1－2＋5|2＝22，则|AB |＝2r 2－d 2＝29－8＝2，则M 到弦AB 的距离的最大值为d ＋r ＝22＋3，则△MAB 面积的最大值是12×|AB |×(22＋3)＝22＋3.(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E ：(x －2)2＋(y －1)2＝4，过点P (5,5)作圆E 的切线，切点分别为M ，N ，则下列命题中真命题是()A ．|PM |＝21B ．直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0C ．圆x 2＋y 2＝1与⊙E 共有4条公切线D ．若过点P 的直线与⊙E 交于G ，H 两点，则当△EHG 面积最大时，|GH |＝22答案ABD解析因为圆E 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，所以圆心E 的坐标为(2,1)，半径为2，如图，所以|EM |＝|EN |＝2，又P (5,5)，所以|PE |＝(5－2)2＋(5－1)2＝5，由已知得PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以|PM |＝|PE |2－|EM |2＝21，A 正确；因为PM ⊥ME ，PN ⊥NE ，所以点P ，M ，E ，N 四点共圆，且圆心为PE 的中点，线段PE 的中点坐标为所以圆F 的方程为＋(y －3)2＝254，即x 2－7x ＋y 2－6y ＋15＝0，因为52－2<|EF |＝52<52＋2，所以圆E 与圆F 相交，又圆E 的方程可化为x 2－4x ＋y 2－2y ＋1＝0，所以圆E 与圆F 的公共弦方程为3x ＋4y －14＝0，故直线MN 的方程为3x ＋4y －14＝0，B 正确；圆x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为|OE |＝5，2－1<|OE |<1＋2，所以圆x 2＋y 2＝1与圆E 相交，故两圆只有2条公切线，C 错误；如图，设∠HEG ＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG 的面积S △EHG ＝12|EH |·|EG |sin θ＝2sin θ，所以当θ＝π2时，△EHG 的面积取得最大值，最大值为2，此时|GH |＝4＋4＝22，D 正确．专题强化练一、单项选择题1．(2023·丹东模拟)若直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，则a 等于()A ．－2B ．1C ．－2或1D ．－1或2答案A解析由题意知，直线l 1：x ＋ay －3＝0与直线l 2：(a ＋1)x ＋2y －6＝0平行，∴1×2＝a (a ＋1)，解得a ＝－2或a ＝1.当a ＝－2时，l 1：x －2y －3＝0，l 2：－x ＋2y －6＝0，l 1∥l 2.当a ＝1时，l 1：x ＋y －3＝0，l 2：x ＋y －3＝0，l 1与l 2重合．综上所述，a ＝－2.2．(2023·蚌埠质检)直线l ：x ＋my ＋1－m ＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝9的位置关系是()A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定答案A解析已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1,1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．3．(2023·湖北星云联盟模拟)过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圆与直线x－2y－1＝0交于M，N两点，则|MN|等于()A.455B.655C.855D．25答案B解析依题意，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，＋D＋F＝0，＋2D＋E＋F＝0，＋2D－3E＋F＝0，＝－6，＝2，＝5，则圆的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝5，其圆心为(3，－1)，半径r＝5，点(3，－1)到直线x－2y－1＝0的距离d＝|3－2×(－1)－1|12＋(－2)2＝45所以|MN|＝2r2－d2＝＝655.4．(2023·滨州模拟)已知直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则mn的最大值为()A.14B.12C．1D．2答案B解析由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，故圆心到直线l的距离d＝1m2＋n2＝1，即m2＋n2＝1，故mn≤m2＋n22＝12，当且仅当m＝n＝22时取等号．5．(2023·洛阳模拟)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1与圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为()A ．5B ．3C ．2D ．1答案B 解析由圆C 1：(x －4)2＋(y －1)2＝1，可得圆心C 1(4,1)，半径r 1＝1，圆C 2：x 2＋(y －4)2＝1，可得圆心C 2(0,4)，半径r 2＝1，可得圆心距|C 1C 2|＝(4－0)2＋(1－4)2＝5，如图，|PM |≥|PC 1|－r 1，|PN |≥|PC 2|－r 2，所以|PM |＋|PN |≥|PC 1|＋|PC 2|－r 1－r 2＝|PC 1|＋|PC 2|－2≥|C 1C 2|－2＝3，当点M ，N ，C 1，C 2，P 共线时，|PM |＋|PN |取得最小值，故|PM |＋|PN |的最小值为3.6．(2023·信阳模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －3＝0与过原点O 的直线l ：y ＝kx (k ≠0)相交于A ，B 两点，点P (m ，0)为x 轴上一点，记直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，若k 1＋k 2＝0，则实数m 的值为()A ．－3B ．－2C ．2D ．3答案D 解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 的方程为y ＝kx ，代入圆C 的方程，得(k 2＋1)x 2＋2x －3＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋1，x 1x 2＝－3k 2＋1.所以k 1＋k 2＝y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝kx 1x 1－m ＋kx 2x 2－m ＝2kx 1x 2－km (x 1＋x 2)(x 1－m )(x 2－m )＝(2m －6)k (x 1－m )(x 2－m )(k 2＋1)＝0.因为k ≠0，所以2m －6＝0，解得m ＝3.7．(2023·全国乙卷)已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－4x －2y －4＝0，则x －y 的最大值是()A ．1＋322B ．4C ．1＋32D ．7答案C 解析方法一令x －y ＝k ，则x ＝k ＋y ，代入原式化简得2y 2＋(2k －6)y ＋k 2－4k －4＝0，因为存在实数y ，则Δ≥0，即(2k －6)2－4×2(k 2－4k －4)≥0，化简得k 2－2k －17≤0，解得1－32≤k ≤1＋32，故x －y 的最大值是32＋1.方法二由x 2＋y 2－4x －2y －4＝0可得(x －2)2＋(y －1)2＝9，设x －y ＝k ，则圆心到直线x －y ＝k 的距离d ＝|2－1－k |2≤3，解得1－32≤k ≤1＋3 2.故x －y 的最大值为32＋1.8．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 在直线l ：x －y －22＝0上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当∠APB 最大时，记劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ，则()A ．2<S <3B ．1<S ≤2C ．1<S ≤3D ．0<S <1答案D 解析如图所示，圆O ：x 2＋y 2＝1的圆心O 的坐标为(0,0)，半径为1，因为在Rt △OBP 中，sin ∠OPB ＝r |OP |＝1|OP |，且y ＝sin x 所以当|OP |最小时，∠OPB 最大，即∠APB 最大，此时OP 垂直于直线l ，且|OP |＝2212＋(－1)2＝2，|PA |＝|PB |＝3，从而四边形OAPB 的面积为S 四边形OAPB ＝2×12×3×1＝3，设∠AOP ＝θ，则∠AOB ＝2θ，S 扇形OAB ＝12×12×2θ＝θ，从而劣弧AB ︵及PA ，PB 所围成的平面图形的面积为S ＝3－θ，又因为sin θ＝32，θθ＝π3，从而0<S ＝3－θ＝3－π3<1.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A ．直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)B ．直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为1C ．直线3x ＋3y ＋5＝0的倾斜角为120°D ．过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0答案AD 解析对于A 选项，直线方程可化为y ＝a (x －2)＋4，－2＝0，＝4，＝2，＝4，所以直线y ＝ax －2a ＋4(a ∈R )必过定点(2,4)，A 正确；对于B 选项，直线方程可化为y ＝3x －1，故直线y ＋1＝3x 在y 轴上的截距为－1，B 错误；对于C 选项，直线3x ＋3y ＋5＝0的斜率为－33，该直线的倾斜角为150°，C 错误；对于D 选项，过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程可设为2x ＋y ＋c ＝0，则2×(－2)＋3＋c ＝0，可得c ＝1，所以过点(－2,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为2x ＋y ＋1＝0，D 正确．10．(2023·湖南联考)已知直线l 1：y ＝kx ＋1，l 2：y ＝mx ＋2，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝6，下列说法正确的是()A ．若l 1经过圆心C ，则k ＝1B ．直线l 2与圆C 相离C ．若l 1∥l 2，且它们之间的距离为55，则k ＝±2D ．若k ＝－1，l 1与圆C 相交于M ，N ，则|MN |＝2答案AC 解析对于A ，因为圆心C (1,2)在直线y ＝kx ＋1上，所以2＝k ＋1，解得k ＝1，A 正确；对于B ，因为直线l 2：y ＝mx ＋2恒过定点(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，即点(0,2)在圆C 内，所以l 2与圆C 相交，B 错误；对于C ，因为l 1∥l 2，则m ＝k ，故kx －y ＋1＝0与kx －y ＋2＝0之间的距离d ＝1k 2＋1＝55，所以k ＝±2，C 正确；对于D ，当k ＝－1时，直线l 1：y ＝－x ＋1，即x ＋y －1＝0，因为圆心C (1,2)到直线x ＋y －1＝0的距离d 2＝21＋1＝2，所以|MN |＝26－(2)2＝4，D 错误．11.如图所示，该曲线W 是由4个圆：(x －1)2＋y 2＝1，(x ＋1)2＋y 2＝1，x 2＋(y ＋1)2＝1，x 2＋(y －1)2＝1的一部分所构成，则下列叙述正确的是()A ．曲线W 围成的封闭图形的面积为4＋2πB ．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)与曲线W 有8个交点，则2≤r ≤2C.BD ︵与DE ︵的公切线方程为x ＋y －1－2＝0D ．曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离的最小值为4答案ACD 解析曲线W 围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A 正确；当r ＝2时，交点为B ，D ，F ，H ；当r ＝2时，交点为A ，C ，E ，G ；当0<r <2或r >2时，没有交点；当2<r <2时，交点个数为8，故B 错误；设BD ︵与DE ︵的公切线方程为y ＝kx ＋t (k <0，t >0)，由直线和圆相切可得|t －1|1＋k 2＝1＝|k ＋t |1＋k 2，解得k ＝－1，t ＝1＋2(t ＝1－2舍去)，则其公切线方程为y ＝－x ＋1＋2，即x ＋y －1－2＝0，故C 正确；同理可得HB ︵，HG ︵的公切线方程为x ＋y ＋1＋2＝0，则两平行线间的距离d ＝|52＋1－1－2|2＝4，因为曲线W 上的点到直线x ＋y ＋52＋1＝0的距离最小值为HB ︵，HG ︵上的切点到直线的距离，即为两平行线间的距离，为4，故D 正确．12．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是()A．圆O与圆C有四条公切线B．|PQ|的取值范围是[32－4，32＋4]C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°答案ABD解析对于选项A，由题意可得，圆O的圆心为O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(3,3)，半径r2＝2，因为两圆圆心距|OC|＝32>2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；对于B选项，|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2＝32＋4，最小值为|OC|－r1－r2＝32－4，B 正确；对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，设直线为y＝x＋t，则两平行线间的距离为2，即|t|2＝2，则t＝±22，故y＝x±22，故C不正确；对于D选项，易知当∠MQN＝90°时，四边形OMQN为正方形，故当|QO|＝22时，∠MQN ＝90°，故D正确．三、填空题13．(2023·锦州模拟)写出过点P(2,4)且与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的一条直线的方程__________________．答案x＝2或3x－4y＋10＝0(写出其中一个即可)解析圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1，圆心C(1,2)，半径r＝1，当直线斜率不存在时，验证知x＝2满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为y＝k(x－2)＋4，即kx－y－2k＋4＝0，圆心到直线的距离为|2－k|1＋k2＝1，解得k＝34，故直线方程为34x－y－32＋4＝0，即3x－4y＋10＝0.综上所述，直线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.14．(2023·潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－4x cosθ－4y sinθ＝0，与圆C总相切的圆D的方程是________________．答案x2＋y2＝16解析圆C的标准方程为(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝4，则圆C的圆心为(2cosθ，2sinθ)，半径为2，由圆心坐标可知圆心轨迹是以原点为圆心，半径为2的圆，故圆C 上总有点与原点距离为4，由圆的标准方程可知圆D 的方程是x 2＋y 2＝16.15．(2023·烟台模拟)已知实数a ，b 满足a 2＋b 2－4a ＋3＝0，则a 2＋(b ＋2)2的最大值为____________．答案9＋42解析方程a 2＋b 2－4a ＋3＝0整理得(a －2)2＋b 2＝1，设点A (a ，b )，即点A 是圆C ：(x －2)2＋y 2＝1上一点，又点B (0，－2)在圆C ：(x －2)2＋y 2＝1外，所以|AB |＝a 2＋(b ＋2)2，则|AB |max ＝|BC |＋r ＝(2－0)2＋(0＋2)2＋1＝22＋1，所以a 2＋(b ＋2)2的最大值为(22＋1)2＝9＋4 2.16．(2023·葫芦岛模拟)自动驾驶汽车又称无人驾驶汽车，依靠人工智能、视觉计算、雷达、监控装置和全球定位系统协同合作，让电脑可以在没有任何人类主动的操作下，自动安全地操作机动车辆．某自动驾驶讯车在车前O 点处安装了一个雷达，此雷达的探测范围是扇形区域OAB .如图所示，在平面直角坐标系中，O (0,0)，直线OA ，OB 的方程分别是y ＝12x ，y ＝－12x ，现有一个圆形物体的圆心为C ，半径为1m ，圆C 与OA ，OB 分别相切于点M ，N ，则|MN |＝________m.答案455解析如图，连接MC ，NC ，MN ，由题意可设C (a ，0)(a >0)，又圆C 与OA 相切，则d ＝|12a |14＋1＝r ＝1，解得a ＝5，由题意可得MC ⊥OM ，NC ⊥ON ，在Rt △MOC 中，|OM |＝|OC |2－|MC |2＝2，所以S △MOC ＝12|OM |×|MC |＝1，同理S △NOC ＝1，所以S 四边形MONC ＝2，又MN ⊥OC ，所以S 四边形MONC ＝12|MN |×|OC |＝52|MN |＝2，即|MN |＝455.。

第1讲　直线与圆选题明细表知识点·方法巩固提高A巩固提高B直线及其方程1,4,10两条直线的位置关系2,84,9,15点到直线的距离16圆的方程3,5,1413直线与圆、圆与6,9,11,15,162,6,11,12圆的位置关系圆的弦长131,5,10,14综合问题7,12,173,7,8,16巩固提高A一、选择题1.过点(2,1)且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是(　A　)(A)x=2(B)y=1(C)x=1(D)y=2解析:因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为,依题意,所求直线的倾斜角为-=,所以斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.2.(2017·金丽衢十二校)设两直线l1:(3+m)x+4y=5-3m与l2:2x+(5+m)y=8,则“l1∥l2”是“m<-1”的(　A　)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:若l1∥l2,则(3+m)(5+m)=4×2,解得m=-7或m=-1,当m=-1时,两直线重合,当m=-7时l1∥l2,所以“l1∥l2”是“m<-1”的充分不必要条件.故选A.3.方程|y|-1=表示的曲线是(　D　)(A)一个椭圆(B)一个圆(C)两个圆(D)两个半圆解析:由题意知|y|-1≥0,则y≥1或y≤-1,当y≥1时,原方程可化为(x-1) 2+(y-1)2=1(y≥1),其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y=1上方的半圆;当y≤-1时,原方程可化为(x-1)2+(y+1)2=1(y≤-1),其表示以(1,-1)为圆心、1为半径、直线y=-1下方的半圆.所以方程|y|-1=表示的曲线是两个半圆,选D.4.直线l过点P(-1,2)且与以点M(-3,-2),N(4,0)为端点的线段恒相交,则l的斜率取值范围是(　D　)(A)[-,5](B)[-,0)∪(0,2](C)(-∞,-)∪[5,+∞)(D)(-∞,-]∪[2,+∞)解析:如图,因为P(-1,2),M(-3,-2),N(4,0),所以k PM==2,k PN= =-.由图可知,使直线l与线段MN相交的l的斜率取值范围是(-∞,-]∪[2,+∞).故选D.5.抛物线y2=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A,B两点,其准线与x轴的交点为M,则过M,A,B三点的圆的标准方程是(　D　)(A)x2+y2=5 (B)(x-1)2+y2=1(C)(x-1)2+y2=2(D)(x-1)2+y2=4解析:由抛物线方程及题意知A(1,2),B(1,-2),M(-1,0),设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,所以解得从而所求方程为x2+y2-2x-3=0,即圆的标准方程为(x-1)2+y2=4.故选D.6.直线x-2y-3=0与圆C:(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△ECF的面积为(　B　)(A)(B)2 (C)(D)解析:由已知可得圆心到直线的距离为d=,所以|EF|=4,所以S△ECF=×4×=2.故选B.7.已知平面上两点A(-a,0),B(a,0)(a>0),若圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上存在点P,使得∠APB=90°,则a的取值范围是(　C　)(A)[3,6](B)[3,7](C)[4,6](D)[0,7]解析:因为圆C:(x-3)2+(y-4)2=1,所以圆心C(3,4),半径r=1;设点P(m,n)在圆C上,则=(a+m,n),=(m-a,n);因为∠APB=90°,所以⊥,所以(m+a)(m-a)+n2=0,即a2=m2+n2,又|OP|=,|OP|的最大值是|OC|+r=5+1=6,最小值是|OC|-r=5-1=4,所以a的取值范围是[4,6].故选C.8.已知直线a2x+y+2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为(　C　)(A)5(B)4(C)2(D)1解析:由题意得a2b+[-(a2+1)]=0,所以b=,所以|ab|=|a×|=|a+|=|a|+||≥2.当且仅当|a|=1时等号成立.故选C.二、填空题9.直线l:x=my+2与圆M:x2+2x+y2+2y=0相切,则m的值等于 .解析:圆心M(-1,-1),圆半径为.由直线与圆相切得d==,得m=-7或m=1.答案:-7或110.过点(2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .解析:若直线过原点,则直线方程为3x+2y=0;若直线不过原点,则斜率为1,方程为y+3=x-2,即为x-y-5=0,故所求直线方程为3x+2y=0或x-y-5=0.答案:3x+2y=0或x-y-5=011.动直线l:y=kx-k+1(k∈R)经过的定点坐标为 ,若l和圆C:x2+y2=r2恒有公共点,则半径r的最小值是 .解析:当x=1时,y恒为1,故定点为(1,1),要直线和圆恒有公共点,则需(1,1)在圆内,即12+12≤r2,r≥.答案:(1,1)　12.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=(k-1) x+2的倾斜角α= .解析:由题意可知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π),故α=.答案:13.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2,则a= .解析:两圆方程作差易知弦所在的直线方程为y=,如图,由已知得|AC|=,|OA|=2,所以|OC|==1,所以a=1.答案:114.C的圆心在y轴正半轴上,且与x轴相切,被双曲线x2-=1的渐近线截得的弦长为,则圆C的方程为 .解析:依题意得,题中的双曲线的一条渐近线的斜率为,倾斜角为60°,结合图形(图略)可知,所求的圆C的圆心坐标是(0,1)、半径是1,因此其方程是x2+(y-1)2=1.答案:x2+(y-1)2=115.直线y=-x+m与圆x2+y2=1在第一象限内有两个不同的交点,则m的取值范围是 .解析:当直线经过点(0,1)时,直线与圆有两个不同的交点,且另一个交点在第一象限,此时m=1;当直线与圆相切时,圆心到直线的距离d==1,解得m=(切点在第一象限),所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点,则1<m<.答案:(1,)16.当正实数m变化时,斜率不为0的定直线始终与圆(x-2m)2+(y+m)2=m2相切,则直线的方程为 .解析:设定直线的方程为y=kx+b,则=m,即(3k2+4k)m2+2b(2k+1) m+b2=0,因为该等式对任意m>0成立,故3k2+4k=0,2b(2k+1)=0,b2=0,即k=-,b=0,则直线的方程为y=-x.答案:y=-x三、解答题17.已知点G(5,4),圆C1:(x-1)2+(y-4)2=25,过点G的动直线l与圆C1相交于E,F两点,线段EF的中点为C,且C在圆C2上.(1)若直线mx+ny-1=0(mn>0)经过点G,求mn的最大值;(2)求圆C2的方程;(3)若过点A(1,0)的直线l1与圆C2相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M.l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,求证:|AM|·|AN|为定值.解:(1)因为点G(5,4)在直线mx+ny-1=0上,所以5m+4n=1,5m+4n≥2(当且仅当5m=4n时取等号),所以1≥80mn,即mn≤,所以(mn)max=.(2)由已知得圆C1的圆心为(1,4),半径为5,设C(x,y),则=(x-1,y-4),=(5-x,4-y),由题设知·=0,所以(x-1)(5-x)+(y-4)(4-y)=0,即(x-3)2+(y-4)2=4,所以C2的方程是(x-3)2+(y-4)2=4.(3)证明:当直线l1的斜率不存在时,直线l1与圆C2相切,当直线l1的斜率为0时,直线l1与圆C2相离,故设直线l1的方程为kx-y-k=0(k≠0).由直线l1与圆C2相交,得<2,解得k>.由得N(,-),又直线C2M与l1垂直,由得M(,),所以|AM|·|AN|=·=··=6(定值).巩固提高B一、选择题1.若过点M(1,1)的直线l与圆(x-2)2+y2=4相交于两点A,B,且M为弦AB的中点,则|AB|为(　A　)(A)2 (B)4 (C) (D)2解析:圆心坐标为(2,0),半径为2,因为[]2+()2=22,所以|AB|=2.故选A.2.已知圆x2+y2=4与直线x+y-t=0,则“t=2”是“直线与圆相切”的(　A　)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件解析:由已知,令=2,所以t=±2.故选A.3.若圆C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)与圆C2:x2+y2-2by+b2-1=0(b∈R)恰有三条公切线,则a+b的最大值为(　D　)(A)-3(B)-3 (C)3(D)3解析:由已知得两圆外切,则|C1C2|=r1+r2,C1(-a,0),C2(0,b),所以a2+b2=9,因为()2≤,所以a+b≤3.故选D.4.已知点A在直线x+2y-1=0上,点B在直线x+2y+3=0上,线段AB的中点为P(x0,y0),且满足y0>x0+2,则的取值范围为(　A　)(A)(-,-)(B)(-∞,-](C)(-,-](D)(-,0)解析:设A(x1,y1),=k,则y0=kx0,因为AB的中点为P(x0,y0),所以B(2x0-x1,2y0-y1).因为A,B分别在直线x+2y-1=0和x+2y+3=0上,所以x1+2y1-1=0,2x0-x1+2(2y0-y1)+3=0,所以2x0+4y0+2=0,即x0+2y0+1=0.因为y0=kx0,所以x0+2kx0+1=0,即x0=-.又y0>x0+2,所以kx0>x0+2,即(k-1)x0>2,即(k-1)(-)>2,即<0,解得-<k<-.故选A.5.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1),以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点,则圆的方程为(　D　)(A)x2+y2=1(B)x2+y2=4(C)x2+y2=(D)x2+y2=1或x2+y2=37解析:如图所示,因为A(-2,3),B(-2,-1),C(6,-1).所以过A,C的直线方程为=,化为一般式为x+2y-4=0.点O到直线x+2y-4=0的距离d==>1,又|OA|==,|OB|==,|OC|==.所以以原点为圆心的圆若与三角形ABC有唯一的公共点,则公共点为(0,-1)或(6,-1),所以圆的半径分别为1或,则圆的方程为x2+y2=1或x2+y2=37.6.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2与y轴在第二象限所围成区域的面积为S,直线y=2x+b分圆C的内部为两部分,其中一部分的面积也为S,则b等于(　D　)(A)(B)±(C)-(D)±解析:圆心(1,2)到y轴的距离为1,由题意知,圆心(1,2)到直线y=2x+b的距离也为1,即=1,解得b=±.故选D.7.已知A(-2,0),B(0,2),实数k是常数,M,N是圆x2+y2+kx=0上两个不同点,P是圆x2+y2+kx=0上的动点,如果M,N关于直线x-y-1=0对称,那么△PAB面积的最大值是(　C　)(A)3-(B)4(C)3+(D)6解析:依题意得圆x2+y2+kx=0的圆心(-,0)位于直线x-y-1=0上,于是有--1=0,即k=-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB|=2,直线AB的方程是+=1,即x-y+2=0,圆心(1,0)到直线AB的距离等于=,点P到直线AB的距离的最大值是+1,所以△PAB面积的最大值为×2×=3+,故选C.8.过点P(-3,0)作直线2ax+(a+b)y+2b=0(a,b不同时为零)的垂线,垂足为M,已知点N(2,3),则当a,b变化时,|MN|的取值范围是(　A　)(A)[5-,5+](B)[5-,5](C)[5,5+](D)[0,5+]解析:直线2ax+(a+b)y+2b=0,整理为a(2x+y)+b(y+2)=0,从而可得直线过定点Q(1,-2),如图,∠PMQ=90°或者M与P,Q之一重合,PQ=2,故点M在以PQ为直径的圆上运动,设该圆的圆心为F,则线段MN确定的范围为|FN|-≤|MN|≤|FN|+,所以|MN|的取值范围是[5-,5+].故选A.二、填空题9.若m>0,n>0,点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上,那么+的最小值等于 .解析:设点(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(a,b),则解得则(-m,n)关于直线x+y-1=0的对称点为(1-n,1+m),则1-n-(1+m)+2=0,即m+n=2.于是+=(m+n)(+)=×(5++)≥×(5+2×2)=,当且仅当m=,n=时等号成立.答案:10.直线l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴,过点A(0,k)作斜率为1的直线m,则直线m被圆C所截得的弦长为 .解析:由l:kx+y+4=0(k∈R)是圆C:x2+y2+4x-4y+6=0的一条对称轴知,其必过圆心(-2,2),因此k=3,则过点A(0,k)斜率为1的直线m的方程为y=x+3,圆心到其距离d==,所以弦长等于2=2=.答案:11.已知圆C1:x2+y2=4和圆C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦上,则+的最小值为 .解析:由题意,两圆的方程相减,可得公共弦方程为x+y=2,因为点P(a,b)(a>0,b>0)在两圆的公共弦上,所以a+b=2,所以+=(+)(a+b)=(10++)≥(10+6)=8,当且仅当b=3a=时,取等号,+的最小值为8.答案:812.过x轴上一点P向圆C:x2+(y-2)2=1作切线,切点分别为A,B,则△PAB 面积的最小值是 .解析:因为圆的方程为x2+(y-2)2=1,所以圆心C(0,2),半径r为1,设点P(a,0),则|PC|=,|PA|=|PB|=,sin∠APB=2×=,所以S△PAB=|PA|·|PB|sin∠APB=,令=t,t≥,所以S△PAB==在[,+∞)上单调递增,所以当t=时,△PAB面积有最小值为.答案:13.已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为　 .解析:设所求圆的半径为r,依题意得,抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d==1,则r2=d2+()2=10,故圆C的方程为x2+(y-1)2=10.答案:x2+(y-1)2=1014.过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A和B,则弦长|AB|= .解析:如图所示,因为PA,PB分别为圆O:x2+y2=1的切线,所以OA⊥AP,|AB|=2|AC|.因为P(1,),O(0,0),所以|OP|==2,又因为|OA|=1,所以∠AOP=60°,所以|AB|=2|AC|=2|AO|sin ∠AOP=.答案:15.已知曲线-=1与直线y=2x+m有两个交点,则m的取值范围是 .解析:当x≥0,y≥0时,得曲线-=1.当x>0,y<0时,得曲线+=1.当x<0,y<0时,得曲线-+=1.当x<0,y>0时,得曲线--=1.得-=1的大致图象如图所示,当y=2x+m过(-2,0)时,m=4,过(2,0)时,m=-4,所以若有两个交点,可得m>4或m<-4.答案:(-∞,-4)∪(4,+∞)三、解答题16.(2017·全国Ⅲ卷)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B 两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=.故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)解:由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为(,-),圆M的半径为,圆M的方程为(x-)2+(y+)2=.。