2019-2020年高三数学二轮复习专题五第1讲直线与圆教案

2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第1讲 直线与圆教案自主学习导引真题感悟1．(xx ·浙江)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析 先求出两条直线平行的充要条件，再判断．若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0，即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件． 答案 A2．(xx·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长度等于 A ．2 5B ．2 3C. 3D ．1解析 利用平面几何中圆心距、半径、半弦长的关系求解．∵圆心到直线x ＋3y －2＝0的距离d ＝|0＋3×0－2|12＋32＝1，半径r ＝2， ∴弦长|AB |＝2r 2－d 2＝222－12＝2 3. 答案 B考题分析圆在高考命题中多以直线与圆的位置关系为主，考查直线与圆位置关系的判定、弦长的求法等，题目多以小题为主，难度中等，掌握解此类题目的通性通法是重点．网络构建高频考点突破考点一：直线方程及位置关系问题【例1】(xx·江西八所重点高中联考)“a＝0”是“直线l1：(a＋1)x＋a2y－3＝0与直线l2：2x＋ay－2a－1＝0平行”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[审题导引] 求出l1∥l2的充要条件，利用定义判定．[规范解答] 当a＝0时，l1：x－3＝0，l2：2x－1＝0，此时l1∥l2，所以“a＝0”是“直线l1与l2平行”的充分条件；当l1∥l2时，a(a＋1)－2a2＝0，解得a＝0或a＝1.当a＝1时，l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y－3＝0，此时l1与l2重合，所以a＝1不满足题意，即a＝0.所以“a＝0”是“直线l1∥l2”的充要条件．[答案] C【规律总结】直线与直线位置关系的判断方法(1)平行：当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1∥l2⇔k1＝k2；如果直线l1和l2的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，则l1∥l2.(2)垂直：垂直是两直线相交的特殊情形，当两条直线l1和l2的斜率存在时，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；若两条直线l1，l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为0时，则它们垂直．(3)相交：两直线相交的交点坐标可由方程组的解求得．[易错提示] 判断两条直线的位置关系时要注意的两个易错点：一是忽视直线的斜率不存在的情况，二是忽视两直线重合的情况．解答这类试题时要根据直线方程中的系数分情况进行讨论，求出结果后再反代到直线方程中进行检验，这样能有效地避免错误． 【变式训练】1．(xx ·泰安一模)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为 A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A2．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC →|＝10，则点C 的坐标是________．解析 设C (a ，b )(a ＜0，b ＜0)．OB 所在直线方程为4x －3y ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧|4a －3b |5＝|a |，a 2＋b 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.∴C (－1，－3)． 答案 (－1，－3) 考点二：圆的方程【例2】(xx·镇江模拟)以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________．[审题导引] 求出双曲线的右焦点与渐近线方程，利用圆心到渐近线的距离等于半径求得半径，可得方程．[规范解答] 双曲线的右焦点为(5,0)，即为圆心，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0，∴r ＝|4×5±3×0|42＋±32＝4，∴所求圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16. [答案] (x －5)2＋y 2＝16 【规律总结】圆的方程的求法(1)几何法，即通过研究圆的性质进而求出圆的基本量；如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直；设圆的半径为r ，弦长为|AB |，弦心距为d ，则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22等．(2)代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．在求圆的方程时，要根据具体的条件选用合适的方法，但一般情况下，应用几何法运算简捷．【变式训练】3．(xx·徐州模拟)若圆心在x 轴上、半径为2的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋y ＝0相切，则圆O 的方程是________．解析 设圆心为(a,0)(a ＜0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋12＝2， 解得a ＝－2， 即(x ＋2)2＋y 2＝2. 答案 (x ＋2)2＋y 2＝2 考点三：直线与圆的位置关系【例3】(xx·临沂一模)直线l 过点(4,0)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝25交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，那么直线l 的方程为________．[审题导引] 讨论直线的斜率是否存在，利用弦长为8求出斜率，可得所求直线的方程．[规范解答] 圆心坐标为M (1,2)，半径r ＝5，因为|AB |＝8，所以圆心到直线l 的距离d ＝r 2－42＝52－42＝3.当直线斜率不存在时，即直线方程为x ＝4，圆心到直线的距离为3满足条件，所以x ＝4成立．若直线斜率存在，不妨设为k ，则直线方程y ＝k (x －4)，即kx－y －4k ＝0，圆心到直线的距离为d ＝|k －2－4k |1＋k 2＝|2＋3k |1＋k 2＝3，解得k ＝512，所以直线方程为y ＝512(x －4)，即5x －12y －20＝0.综上满足条件的直线方程为5x －12y －20＝0或x ＝4.答案 5x －12y －20＝0或x ＝4 【规律总结】求圆的弦长的方法(1)直接求出直线与圆的交点坐标，利用两点间的距离公式求得；(2)不求交点坐标，利用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k ，直线与圆联立消去y 后得到的方程的两根为x 1、x 2，则弦长d ＝1＋k 2|x 1－x 2|；(3)利用半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．【变式训练】4．(xx·肇庆二模)从点P (m,3)向圆C ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1引切线，则切线长的最小值为A ．2 6 B.26 C ．4＋ 2 D ．5解析 利用切线长与圆半径的关系加以求解．设切点为M ，则CM ⊥MP ， 于是切线MP 的长|MP |＝|CP |2－|MC |2＝m ＋22＋3＋22－1，显然，当m ＝－2时，|MP |有最小值24＝2 6.答案 A名师押题高考【押题1】若过点A (－2，m )，B (m,4)的直线与直线2x ＋y ＋2＝0平行，则m 的值为________．解析 当m ＝－2时，直线AB 与2x ＋y ＋2＝0不平行； 当m ≠－2时，据题意知，k AB ＝4－m m ＋2＝－2，得m ＝－8.答案 －8[押题依据] 本题考查直线的斜率的概念以及直线的位置关系，这类问题在高考中属基础题，常以选择题或填空题的形式出现．考查形式有直接判定位置关系，根据位置关系求参数值等．解答此类题目值得注意的是含参数时，一般要根据直线的斜率是否存在对参数进行讨论，以避免漏解．【押题2】直线y ＝kx ＋3与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝4相交于M 、N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值范围是A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－125B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－125C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，125D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，125解析 圆心(1，－2)到直线y ＝kx ＋3的距离为d ＝|k ＋5|1＋k2，圆的半径r ＝2，∴|MN |＝2r 2－d 2＝2 4－k ＋521＋k2≥23， 解得k ≤－125.答案 B[押题依据] 高考在考查直线被圆截得的弦长问题时，有两种题型：一是直接求弦长；二是讨论参数的取值范围．本题属第二种题型，难度中等，表达形式新颖有一定的区分度，故押此题．。

高考数学第二轮专题复习直线与圆的方程教案一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

专题 直线与圆考点精要1．理解直线的倾斜角和斜率的作用，掌握过两点的直线斜率的求法和应用． 2．掌握直线方程的点斜式、两点式及一般式的建立和应用，会根据条件写出直线方程和根据方程画出直线．了解斜截式与一次函数的关系． 3．掌握两条直线平行、垂直的判定和应用．4．掌握两点间的距离和点到直线的距离的求法，会求两条直线的交点，会求平行线间的距离．5．能把握圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一般方程的求法、图形及性质的应用．6．掌握直线与圆的位置关系，会处理相切、相割的相关问题． 7．理解两圆的位置关系的种种状态及判定．热点分析直线与圆的方程、圆锥曲线的方程和简单的几何性质是最基础知识点，在试卷中会出一道选择或填空题，试题难度为容易题．侧重点是圆锥曲线的标准方程和简单的几何性质．知识梳理一、直线的方程1．倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)0,π．2．斜率：（1）当直线的倾斜角不是90︒时，则称其正切值为该直线的斜率，即k =tan α；当直线的倾斜角等于90︒时，直线的斜率不存在．（2）过两点P 1（x 1, y 1）, P 2（x 2, y 2）12()x x ≠的直线的斜率公式：2121y y k x x -=- 注意：若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90︒ （3）由直线方程求斜率：一般式Ax +By +C =0中A k B=- 斜截式y =kx +b 中x 前的系数k3．直线方程的常用形式：二、直线与直线的位置关系平面内两条直线的位置关系有三种：重合、平行、相交． 当直线不垂直于坐标轴时，直线的位置关系可根据下表判定三、距离1．两点间距离：A 11(,)x y ，B 22(,)x yAB 2．点到直线距离：点P （x , y ）， 直线Ax +By +C =0d 220)A B +≠3、直线与直线的距离：（法一）设直线l 1：Ax+By+C =0，l ：Ax+By+C 2=0(C 1≠C 2)，且l 1∥l 212,l l d =则间的距离：22(0)A B +≠ （法二）在一直线上取一个点， 转为求该点到另一条直线的距离三、圆的方程1．圆心为(,)C a b ，半径为r 的圆的标准方程为：222()()(0)x a y b r r -+-=>． 特殊地，当0a b ==时，圆心在原点的圆的方程为：222x y r +=． 2．方程220x y Dx Ey F ++++=，当2240D E F +->时，方程表示一个圆，其中圆心C ⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ，半径2422F E D r -+=．当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D ．当2240D E F +-<时，方程无图形（称虚圆）．3．二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的方程的充要条件是：①2x 项2y 项的系数相同且不为0，即0A C =≠； ②没有xy 项，即B =0； ③2240D E AF +->．四、基本关系1．点与圆的关系：()()()22200,:.P x y C x a y b r -+-=点与圆①()()22200.P x a y b r ⇔-+-=在圆上 ②()()22200.P x a y b r ⇔-+-<在圆内③()()22200.P x a y b r ⇔-+->在圆外 2．直线与圆的位置关系：将直线方程代入圆方程，得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C 到直线l 的距离为d , 则满足以下关系：3．圆与圆的位置关系：设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下关系：内切⇔d ＝R -r 外切⇔d ＝R ＋r 相交⇔R -r <d <R ＋r 内含⇔d <R -r 外离⇔d >R ＋r例题精讲:例1 若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[D ．(例2 圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ）Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y xＣ．2)2()3(22=-++y x Ｄ．2)2()3(22=++-y x例3 已知点()3,2A ，直线1:230l x y +-=.求：(1)过A 与1l 垂直的直线方程；(2)过A 且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形面积的最小值及此时的直线方程．圆的各种问题版块一、点与圆的位置关系例1、若坐标原点在圆22()()4x m y m -++=的内部，则实数m 的取值范围是 。

2019-2020学年高考数学总复习（直线与圆）教学案 苏教版【知识与方法】1、直线y ＝－3x .与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是( )A ．直线与圆相切B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心2、直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1)3、若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 中点，则直线AB 的方程是 ( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝04、圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5、若直线2x －y ＋C ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则C 的值为 ( )A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8 6、若直线y x b =-与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（[)0,2θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为7、过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)．则圆C 的方程为 8、过点（2,3）作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为_____ __9、若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为【理解与应用】10、一直线经过点P (－3，－32)被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长为8，求此弦所在直线方程．11、已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0. (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？12、已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，∠AOB ＝90°，求直线l 的方程．华侨城中学2011年高考数学总复习教学案（教师版）复习内容：直线（圆）与圆的位置关系（一）【知识与方法】1、直线y ＝－3x .与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是( )A ．直线与圆相切B ．直线与圆相交但不过圆心C ．直线与圆相离D ．直线过圆心解析：圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝3.又圆心(2,0)到直线y ＝－3x 的距离d ＝232＝3＝r ，∴直线与圆相切．答案：A2、直线x ＋y ＝1与圆x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．(0，2－1)B ．(2－1，2＋1)C ．(－2－1，2＋1)D ．(0，2＋1) 解析：圆心(0，a )，半径r ＝a .∴|a －1|2>a ，∴0<a <2－1.答案：A3、若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 中点，则直线AB 的方程是 ( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝0 答案：A4、圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：圆的圆心(－1，－2)，半径R ＝22，而圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离为 2. 答案：C5、若直线2x －y ＋C ＝0按向量a ＝(1，－1)平移后与圆x 2＋y 2＝5相切，则C 的值为 ( )A ．8或－2B ．6或－4C ．4或－6D ．2或－8 答案：A6、若直线y x b =-与曲线2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，（[)0,2θπ∈）有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围为(2解析：选D 如图所示，直线与圆相切之间的情形符合题意，计算圆心（2，0）到直线y x b =-的距离等于圆半径1，即1=，解得2b =±22b <7、过点A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于点B(2,1)．则圆C 的方程为 . 解析：圆心既在过点 B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线上，又在点,A B 的中垂线上.可求出过点B(2,1)且与直线10x y --=垂直的直线为30x y +-=，,A B 的中垂线为3x =，联立方程303x y x +-=⎧⎨=⎩，解得30x y =⎧⎨=⎩，即圆心(3,0)C ，半径r CA ==程为22(3)2x y -+=. 【答案】22(3)2x y -+=8、过点（2,3）作圆x 2＋y 2＝4的切线，则切线方程为_____ ___．9、若直线:10 (0,0)l ax by a b ++=>>始终平分圆M ：228210x y x y ++++=的周长，则14a b+的最小值为 。

第1讲 直线与圆[教师授课资源] [备考指导] 圆的考查有四种趋势①考查圆的选择、填空，重点考查圆的切线，圆的弦长，利用圆的特殊性、利用几何意义处理题目，特别注意数形结合.②与圆锥曲线结合，简单考查，重心不在圆.*③在极坐标系参数方程上，重点考查圆的有关问题，思路，参考方程法⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos αy ＝b ＋r sin α或几何法处理有关最值问题.④与三角形结合，涉及内切圆与外接圆问题.[做小题——激活思维]1．直线(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．±1D ．－32C [由(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1，故选C.]2．直线l 过点(2,2)，且点(5,1)到直线l 的距离为10，则直线l 的方程是( ) A ．3x ＋y ＋4＝0 B ．3x －y ＋4＝0 C ．3x －y －4＝0D ．x －3y －4＝0C [由题意，设直线l 的方程为y －2＝k (x －2)，即kx －y ＋2－2k ＝0，所以|5k －1＋2－2k |k 2＋1＝10，解得k ＝3，所以直线l 的方程为3x －y －4＝0，故选C.]3．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离B [∵两圆心距离d ＝＋2＋12＝17，R ＋r ＝2＋3＝5，r －R ＝1，∴r －R ＜d ＜R＋r ，∴两圆相交．]4．直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦长为________．6 [假设直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦为AB ，∵圆的半径r ＝10，圆心到直线的距离d ＝5－2＋42＝1，∴弦长|AB |＝2×r 2－d 2＝210－1＝2×3＝6.]5．[一题多解]经过三点A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的圆的方程为________． (x －1)2＋y 2＝4 [法一：(待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A (－1,0)，B (3,0)，C (1,2)的坐标代入圆的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋4＋D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E＝0，F ＝－3，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.法二：(几何法)根据A ，B 两点的坐标特征可知圆心在直线x ＝1上，设圆心坐标O (1，a )，则圆的半径r ＝4＋a 2＝|a －2|，所以a ＝0，r ＝2，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.]6．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．(－2，－4) 5 [由题意可知a 2＝a ＋2，∴a ＝－1或2.当a ＝－1时，方程可化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程可化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，不表示圆．][扣要点——查缺补漏]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的位置关系 (1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0(斜率相等)且B 1C 2－B 2C 1≠0(在y 轴上截距不等)； (2)直线Ax 1＋B 1y ＋C 1＝0与直线Ax 2＋B 2y ＋C 2＝0垂直⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.如T 1. 2．点到直线的距离及两平行直线间的距离(1)点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2；如T 2.(2)两平行线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.3．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2；(2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)；(方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆⇔A ＝C ≠0，且B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0)；如T 5，T 6.(3)参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ；(4)直径式方程：(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0. 4．点、直线、圆的位置关系(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．如T 3.(2)与弦长l 有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22来处理．如T 4.圆的方程及应用(5年4考)[高考解读] 圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，与圆有关的最值问题主要考查等价转化及数形结合的意识，均属于中档题目.1．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( )A.53B.213C.253D.43B [设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，∴⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1，∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎪⎫1，233，故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.]2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]A [由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r ＝2，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d ＋r ＝32，最小距离是d －r ＝ 2.易知A (－2,0)，B (0，－2)，所以|AB |＝22，所以2≤S △ABP ≤6.故选A.][教师备选题](2019·北京高考)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为________．(x －1)2＋y 2＝4 [如图，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，∵所求圆的圆心为F ，且与准线x ＝－1相切， ∴圆的半径为2，则所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.]解决与圆有关的问题一般有2种方法(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．1．(借助几何性质求圆的方程)圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2－4x ＝0D ．x 2＋y 2＋2x －3＝0C [由题意设所求圆的方程为(x －m )2＋y 2＝4(m ＞0)，则|3m ＋4|32＋42＝2，解得m ＝2或m ＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，即x 2＋y 2－4x ＝0.故选C.] 2．(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C 关于y 轴对称，经过点A (1,0)，且被x 轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C 的方程为________．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43 [因为圆C 关于y 轴对称，所以圆心C 在y 轴上， 可设C (0，b )，设圆C 的半径为r ，则圆C 的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2.依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋－b2＝r 2，|b |＝12r ，解得⎩⎪⎨⎪⎧r 2＝43，b ＝±33.所以圆C 的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ±332＝43.]3．[一题多解](平面向量与圆的交汇)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．3 [法一：设A (a,2a )，a ＞0，则C ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋52，a ，∴圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝a －24＋a 2，由⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋y －a2＝a －24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1，y D ＝2，∴AB →·CD →＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －32，2－a ＝a 2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，∴a ＝3或a ＝－1，又a ＞0，∴a ＝3，∴点A 的横坐标为3. 法二：由题意易得∠BAD ＝45°. 设直线DB 的倾斜角为θ，则tan θ＝－12，∴tan∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3， ∴k AB ＝－tan∠ABO ＝－3. ∴AB 的方程为y ＝－3(x －5)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －，y ＝2x ，得x A ＝3.]直线与圆、圆与圆的位置关系[高考解读] 以直线与圆相交、相切为载体，考查数形结合的能力，圆的几何性质及勾股定理的有关知识，知识相对综合，有一定的区分度.1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝________.4 [由直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O 到直线l 的距离为d ＝|3m －3|m 2＋1.由|AB |＝23得⎝ ⎛⎭⎪⎫3m －3m 2＋12＋(3)2＝12，解得m ＝－33.又直线l 的斜率为－m ＝33， 所以直线l 的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C 作CE ⊥BD ，则∠DCE ＝π6.在Rt△CDE 中，可得|CD |＝|AB |cos α＝23×23＝4.] 2．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. [解](1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝＋k 1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k＋k1＋k2＋8＝12，解得k ＝1， 所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2,3)在直线l 上，所以|MN |＝2.1．求解圆的弦长的3种方法(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式；(2)切线长的计算：过点P 向圆引切线PA ，则|PA |＝|PC |2－r 2(其中C 为圆心)． 提醒：过圆外一点引圆的切线定有两条，注意切线斜率不存在的情形．1．(已知弦长求方程)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点，若|MN |＝255，则直线l 的方程为________．y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1 [直线l 的方程为y ＝kx ＋1，圆心C (2,3)到直线l 的距离d ＝|2k －3＋1|k 2＋1＝|2k －2|k 2＋1， 由R 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|MN |22，得1＝k －2k 2＋1＋15，解得k ＝2或12， 故所求直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝12x ＋1.]2．(与不等式交汇)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33C ．±33D ．－ 3B [曲线y ＝1－x 2的图象如图所示：若直线l 与曲线相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ＜0，设l ：y ＝k (x －2)，则点O 到l 的距离d ＝－2kk 2＋1.又S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×21－d 2·d ＝－d2d 2≤1－d 2＋d 22＝12，当且仅当1－d2＝d 2，即d 2＝12时，S △AOB 取得最大值，所以2k 2k 2＋1＝12，∴k 2＝13，∴k ＝－33.故选B.]3．(与物理学科交汇)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34D [由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.又因为光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切， 所以|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－43或k ＝－34.]4．(综合应用)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.[解] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k2＝1，解得k ＝±24. 当k ＝24时， 将y ＝24x ＋2代入x 24＋y23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627.所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187.当k ＝－24时， 由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.。

2019-2020年高三数学直线和圆的同头课教案新人教版知识体系构建考点目标锁定1.直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和两点式、直线方程的一般式.2.两直线平行与垂直的条件，两条直线的交角、点到直线的距离.3.用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题.4.曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程.5.圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，圆的参数方程.复习方略指南1.本章在高考中主要考查两类问题：基本概念题和求在不同条件下的直线方程.基本概念重点考查:(1)与直线方程特征值(主要指斜率、截距)有关的问题；(2)直线的平行和垂直的条件；(3)与距离有关的问题等.此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现,每年必考.中心对称与轴对称问题虽然在《考试大纲》中没有提及，但也是高考的重点，复习时也应很好地掌握.2.直线与圆、圆锥曲线的位置关系等综合性试题的难度较大，一般以解答题形式出现(此类问题下一章重点复习).3.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进行解决，考查学生的综合能力及创新能力.在复习本章时要注意如下几点：1.要能分辨线段的有向与无向概念上的混淆，有向线段的数量与有向线段长度的混淆，能否分清这两点是学好有向线段的关键．2.在解答有关直线的问题时，要注意:(1)在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次是倾斜角的范围；(2)在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”而造成丢解的情况；(3)在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意检验斜率不存在的情况，防止丢解；(4)要灵活运用定比分点公式、中点坐标公式，在解决有关分割问题、对称问题时可以简化运算；(5)掌握对称问题的四种基本类型的解法；(6)在由两直线的位置关系确定有关参数的值或其范围时，要充分利用分类讨论、数形结合、特殊值检验等基本的数学思想方法．§7.1 直线的方程一、考纲要求（1）由直线方程找出斜率与倾斜角；（2）确定斜率与倾斜角的范围；注意交叉，如：k ∈[-1,1],则θ∈ （3）灵活地设直线方程各形式，求解直线方程； ⑷ 直线方程的五种形式之间的熟练转化。

第一讲直线与圆直线方程与应用授课提示：对应学生用书第46页[悟通——方法结论]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.4．与已知直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ≠0，B ≠0)平行的直线可改为Ax ＋By ＋m ＝0(m ≠C )，垂直的直线可设为Bx －Ay ＋m ＝0.5．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0， 直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， 当l 1⊥l 2时，有A 1A 2＋B 1B 2＝0，当l 1∥l 2时，A 1B 2－A 2B 1＝0且A 1C 2－A 2C 1≠0.[全练——快速解答]1．(2018·洛阳一模)已知直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：nx ＋y －p ＝0，则“m ＋n ＝0”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：①若m ＋n ＝0，当m ＝n ＝0时，直线l 1：x －1＝0与直线l 2：y －p ＝0互相垂直；当m ＝－n ≠0时，直线l 1的斜率为－1m ，直线l 2的斜率为－n ，∵－1m ·(－n )＝－1m·m ＝－1，∴l 1⊥l 2.②当l 1⊥l 2时，若m ＝0，l 1：x －1＝0，则n ＝0，此时m ＋n ＝0；若m ≠0，则－1m·(－n )＝－1，即－n ＝m ，有m ＋n ＝0.故选C.答案：C2．已知直线l 1：x ＋2ay －1＝0，l 2：(a ＋1)x －ay ＝0，若l 1∥l 2，则实数a 的值为( ) A ．－32B ．0C ．－32或0D ．2解析：若a ≠0，则由l 1∥l 2，得a ＋11＝－a 2a ，所以2a ＋2＝－1，即a ＝－32； 若a ＝0，则l 1：x －1＝0，l 2：x ＝0，互相平行． 答案：C3．若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A. 2B.823 C. 3 D.833解析：由l 1∥l 2，得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋(－1)2＝823. 答案：B4．过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且到点P (0,4)距离为2的直线方程为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.∴l 1与l 2的交点为(1,2)．当所求直线斜率不存在，即直线方程为x ＝1时，显然不满足题意．当所求直线斜率存在时，设所求直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0， ∵点P (0,4)到直线的距离为2， ∴2＝|－2－k |1＋k 2，∴k ＝0或k ＝43. ∴直线方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. 答案：y ＝2或4x －3y ＋2＝01．求直线方程时易忽视斜率k 不存在情形．2．利用斜率与截距判断两线平行或垂直关系时易忽视斜率不存在情形． 3．有关截距问题易忽视截距为零这一情形．圆的方程及应用授课提示：对应学生用书第47页[悟通——方法结论]1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心、D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．[全练——快速解答]1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点坐标为(－1,0)，因为圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2，故选A.答案：A2．(2018·长沙模拟)与圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( ) A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4 C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可．由题意知已知圆的圆心坐标为(2,0)，半径为2，设所求圆的圆心坐标为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －0a －2×33＝－1，b ＋02＝33×a ＋22，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝3，所以所求圆的圆心坐标为(1，3)，半径为2. 从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. 答案：D3．(2018·广州模拟)若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)， 即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r ＞0)， 因为该圆与直线y ＝x ＋3相切， 所以r ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2. 答案：x 2＋(y －1)2＝2用待定系数法求圆的方程的一般步骤(1)选用圆的方程两种形式中的一种，若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程；(2)根据所给条件，列出关于D ，E ，F 或a ，b ，r 的方程组；(3)解方程组，求出D ，E ，F 或a ，b ，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程．直线与圆的位置关系授课提示：对应学生用书第47页[悟通——方法结论]1．直线和圆的位置关系的判断方法直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系如表.(1)弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2r2－d2(其中d为弦心距)．(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝|PC|2－r2(其中C为圆心)．(2017·高考全国卷Ⅲ)(12分)已知抛物线C：y2＝2x，为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，[学审题]1122(1分)由⎩⎪⎨⎪⎧x＝my＋2，y2＝2x可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.又x1＝y212，x2＝y222，故x1x2＝(y1y2)24＝4.(3分)因此OA的斜率与OB的斜率之积为y1x1·y2x2＝－44＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上． (5分)(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.(8分)由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)知y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4， 所以2m 2－m －1＝0， 解得m ＝1或m ＝－12.(10分)当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10， 圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12 ，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.(12分)1．圆上的点到直线的距离的化归思想(1)转化为两平行线间的距离以及直线与圆的交点个数求解．(2)转化为圆心到直线的距离与半径之间的关系求解．(3)直接设点，利用方程思想解决．2．数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中是关键点．[练通——即学即用]1．(2018·银川九中五模)直线l ：kx ＋y ＋4＝0(k ∈R )是圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0的一条对称轴，过点A (0，k )作斜率为1的直线m ，则直线m 被圆C 所截得的弦长为( )A.22B. 2C. 6D ．2 6解析：圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋6＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，表示以C (－2,2)为圆心，2为半径的圆．由题意可得，直线l ：kx ＋y ＋4＝0经过圆心C (－2,2)，所以－2k ＋2＋4＝0，解得k ＝3，所以点A (0,3)，故直线m 的方程为y ＝x ＋3，即x －y ＋3＝0，则圆心C 到直线m 的距离d ＝|－2－2＋3|2＝12，所以直线m 被圆C 所截得的弦长为2×2－12＝ 6.故选C.答案：C2．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是( )A ．[2,6]B ．[4,8]C ．[2，32]D ．[22，32]解析：设圆(x －2)2＋y 2＝2的圆心为C ，半径为r ，点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ，则圆心C (2,0)，r ＝2，所以圆心C 到直线x ＋y ＋2＝0的距离为22，可得d max ＝22＋r ＝32，d min ＝22－r ＝ 2.由已知条件可得AB ＝22，所以△ABP 面积的最大值为12AB ·d max＝6，△ABP 面积的最小值为12AB ·d min ＝2.综上，△ABP 面积的取值范围是[2,6]． 故选A 答案：A3．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0. (1)若圆C 与坐标轴有3个交点，求m 的值；(2)若圆C 与直线x ＋2y －4＝0的两个交点为M ，N ，且满足OM →·ON →＝0(其中O 为坐标原点)，求此时m 的值．解析：(1)由x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0配方得(x －1)2＋(y －2)2＝5－m . 由题意，可得圆C 与x 轴相切或过原点时，圆C 与坐标轴有三个交点， 所以5－m ＝4，或1＋4＝5－m ，解得m ＝1或m ＝0. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)则OM →＝(x 1，y 1)，ON →＝(x 2，y 2)． 由OM →·ON →＝0，得x 1x 2＋y 1y 2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0消x ，得(4－2y )2＋y 2－2(4－2y )－4y ＋m ＝0.整理得5y 2－16y ＋8＋m ＝0.①根据根与系数的关系得，y 1＋y 2＝165，y 1y 2＝8＋m 5.由x 1＝4－2y 1，x 2＝4－2y 2，∴x 1x 2＝16－8(y 1＋y 2)＋4y 1y 2＝－485＋4(8＋m )5.由x 1x 2＋y 1y 2＝0，得－485＋4(8＋m )5＋8＋m 5＝0，解得m ＝85.由①知Δ＝162－20(8＋m )＞0，即m ＜245，故m ＝85满足题意，因此m ＝85为所求.授课提示：对应学生用书第141页一、选择题1．“ab ＝4”是“直线2x ＋ay －1＝0与直线bx ＋2y －2＝0平行”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即－2a ＝－b2，可得ab ＝4，又当a ＝1，b ＝4时，满足ab ＝4，但是两直线重合，故选C.答案：C2．已知圆(x －1)2＋y 2＝1被直线x －3y ＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为( )A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶4D ．1∶5解析：(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d ＝11＋3＝12，所以较短弧所对的圆心角为2π3，较长弧所对的圆心角为4π3，故两弧长之比为1∶2，故选A.答案：A3．(2018·临沂模拟)已知直线3x ＋ay ＝0(a ＞0)被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则a 的值为( )A. 2B. 3 C ．2 2D ．2 3解析：由已知条件可知，圆的半径为2，又直线被圆所截得的弦长为2，故圆心到直线的距离为3，即69＋a2＝3，得a ＝ 3.答案：B4．(2018·济宁模拟)已知圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，且圆心C 在直线x ＋y ＝4上，若直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，则t 的值为( )A ．－6±2 5B ．6±2 5C ．25±6D ．6±4 5解析：因为圆C 过点A (2,4)，B (4,2)，所以圆心C 在线段AB 的垂直平分线y ＝x 上，又圆心C在直线x ＋y ＝4上，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝xx ＋y ＝4，解得x ＝y ＝2，即圆心C (2,2)，圆C 的半径r ＝(2－2)2＋(2－4)2＝2.又直线x ＋2y －t ＝0与圆C 相切，所以|2＋4－t |5＝2，解得t＝6±2 5.答案：B5．(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝2x ＋1与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则cos ∠AOB ＝( )A.510 B ．－510C.910D ．－910解析：因为圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径为2，所以圆心O 到直线y ＝2x ＋1的距离d ＝|2×0－0＋1|22＋(－1)2＝15，所以弦长|AB |＝222－⎝⎛⎭⎪⎫152＝2195. 在△AOB 中，由余弦定理得cos ∠AOB ＝|OA |2＋|OB |2－|AB |22|OA |·|OB |＝4＋4－4×1952×2×2＝－910.答案：D6．(2018·合肥第一次教学质量检测)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ，直线l 过(0,3)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则直线l 的方程为( )A ．3x ＋4y －12＝0或4x －3y ＋9＝0B ．3x ＋4y －12＝0或x ＝0C ．4x －3y ＋9＝0或x ＝0D ．3x －4y ＋12＝0或4x ＋3y ＋9＝0解析：当直线l 的斜率不存在时，计算出弦长为23，符合题意；当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y ＝kx ＋3，由弦长为23可知，圆心到该直线的距离为1，从而有|k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝－34 ，综上，直线l 的方程为x ＝0或3x＋4y －12＝0，故选B.答案：B7．已知圆O ：x 2＋y 2＝1，点P 为直线x 4＋y2＝1上一动点，过点P 向圆O 引两条切线PA ，PB ，A ，B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．(12，14)B ．(14，12)C ．(34，0) D ．(0，34) 解析：因为点P 是直线x 4＋y2＝1上的一动点，所以设P (4－2m ，m )．因为PA ，PB 是圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，所以OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，所以点A ，B 在以OP 为直径的圆C 上，即弦AB 是圆O 和圆C 的公共弦．因为圆心C 的坐标是(2－m ，m2)，且半径的平方r 2＝(4－2m )2＋m24，所以圆C 的方程为(x－2＋m )2＋(y －m2)2＝(4－2m )2＋m24，①又x 2＋y 2＝1，②所以②－①得，(2m －4)x －my ＋1＝0，即公共弦AB 所在的直线方程为(2x －y )m ＋(－4x＋1)＝0，所以由⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋1＝0，2x －y ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝12，所以直线AB 过定点(14，12)．故选B.答案：B8．若过点A (1,0)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0相交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点为M ，l 与直线x ＋2y ＋2＝0的交点为N ，则|AM |·|AN |的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：圆C 的方程化成标准方程可得(x －3)2＋(y －4)2＝4，故圆心为C (3,4)，半径为2，则可设直线l 的方程为kx －y －k ＝0(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋2＝0，kx －y －k ＝0，得N ⎝⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1，－3k 2k ＋1，又直线CM 与l 垂直，得直线CM 的方程为y －4＝－1k(x －3)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －4＝－1k (x －3)，kx －y －k ＝0，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1，4k 2＋2k k 2＋1， 则|AM |·|AN | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋4k ＋3k 2＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋2k k 2＋12. ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －22k ＋1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k 2k ＋12＝2|2k ＋1|1＋k 2×1＋k 2×31＋k 2|2k ＋1|＝6.故选B. 答案：B 二、填空题9．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4. ∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.答案：2 210．(2018·江苏三市三模)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||PA |的最大值是________．解析：设动点P (x ，y )，令|PB ||PA |＝t(t ＞0)，则(1－x )2＋(－1－y )2(－x )2＋(－2－y )2＝t 2，整理得，(1－t 2)x 2＋(1－t 2)y 2－2x ＋(2－4t 2)y ＋2－4t 2＝0，(*)易知当1－t 2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P 在该圆上，又点P 在圆x 2＋y 2＝2上，所以点P 为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l 的方程为x －(1－2t 2)y －2＋3t 2＝0，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|－2＋3t 2|1＋(1－2t 2)2≤2，解得0＜t≤2，所以|PB ||PA |的最大值为2.答案：2 三、解答题11．已知圆C 过点P (1,1)，且圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解析：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2， PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2，令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则PQ →·MQ →＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2，所以PQ →·MQ →的最小值为－4.12．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C 外一点P (x 1，y 1)向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有|PM |＝|PO |，求使|PM |取得最小值时点P 的坐标．解析：(1)圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝2.①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为y ＝kx ， 由|k ＋2|1＋k2＝2，得k ＝2±6，∴此切线方程为y ＝(2±6)x .②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为x ＋y －a ＝0，由|－1＋2－a |2＝2，得|a －1|＝2，即a ＝－1或a ＝3. ∴此切线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.综上，此切线方程为y ＝(2＋6)x 或y ＝(2－6)x 或x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.(2)由|PO |＝|PM |，得|PO |2＝|PM |2＝|PC |2－|CM |2，即x 21＋y 21＝(x 1＋1)2＋(y 1－2)2－2，整理得2x 1－4y 1＋3＝0，即点P 在直线l ：2x ＋4y ＋3＝0上，当|PM |取最小值时，|PO |取最小值，此时直线PO ⊥l ，∴直线PO 的方程为2x ＋y ＝0.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，2x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－310，y ＝35，故使|PM |取得最小值时，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－310，35.13．已知过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝92.(1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 的准线为l ，焦点为F ，点P 为直线m ：x ＋y －2＝0上的动点，且点P 的横坐标为a ，试讨论当a 取不同的值时，圆心在抛物线C 上，与直线l 相切，且过点P 的圆的个数．解析：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，代入y 2＝2px ，得4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线的定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9p 4＝92，∴p ＝2，∴抛物线C 的方程是y 2＝4x .(2)法一：由(1)知l ：x ＝－1，F (1,0)．∵所求圆的圆心在抛物线上，且与l 相切，则圆过焦点F ，又圆过点P ，∴圆心在PF 的中垂线上，设P (a,2－a )，则PF 的中点坐标为(a ＋12，2－a2)，当a ≠1，a ≠2时k PF ＝2－aa －1，∴PF 的中垂线方程为y ＝a －1a －2(x －a ＋12)＋2－a 2，化简得y ＝a －1a －2x ＋－2a 2＋4a －32(a －2)①.圆的个数即中垂线与抛物线的交点个数，将x ＝y 24代入①得a －14(a －2)y 2－y ＋－2a 2＋4a －32(a －2)＝0，Δ＝1－4·a －14(a －2)·－2a 2＋4a －32(a －2)＝1＋(a －1)(2a 2－4a ＋3)2(a －2)2＝2(a －2)2＋2a 3－6a 2＋7a －32(a －2)2＝2a 3－4a 2－a ＋52(a －2)2＝(a ＋1)(2a 2－6a ＋5)2(a －2)2. ∴当a ＝－1时，交点有1个，圆有1个； 当a ＜－1时，交点有0个，圆有0个；当a ＞－1，且a ≠1，a ≠2时，交点有2个，圆有2个．而当a ＝2时，易验证有2个交点，圆有2个；当a ＝1时，易知交点有1个，圆有1个．综上所述，当a ＜－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个；当a ＞－1，且a ≠1时，圆有2个．法二：设圆心Q (x 0，y 0)(y 20＝4x 0)，P (a,2－a )，由于准线l ：x ＝－1，故若存在圆Q 满足条件，则r ＝|PQ |＝(x 0－a )2＋(y 0＋a －2)2，且r ＝x 0＋1，∴(x 0－a )2＋(y 0＋a －2)2＝(x 0＋1)2，即a 2＋y 2＋2(a －2)y 0＋(a －2)2＝(2＋2a )x 0＋1＝(2＋2a )y 204－1，整理得(1－a )y 20＋(4a －8)y 0＋4a 2－8a ＋6＝0 (*)， 当a ＝1时，(*)式即－4y 0＋2＝0，有1个解．当a ≠1时，(*)式中Δ＝(4a －8)2－4(1－a )(4a 2－8a ＋6)＝16a 3－32a 2－8a ＋40＝8(a ＋1)(2a 2－6a ＋5)，∵2a 2－6a ＋5＝2(a －32)2＋12＞0，∴当a ＞－1且a ≠1时，Δ＞0，(*)式有2个解； 当a ＝－1时，Δ＝0，(*)式有1个解； 当a ＜－1时，Δ＜0，(*)式无解． 综上，当a ＜－1时，圆有0个； 当a ＝±1时，圆有1个；当a ＞－1，且a ≠1时，圆有2个．。

学习资料解析几何专题5第1讲直线与圆直线的方程授课提示：对应学生用书第44页考情调研考向分析以考查直线方程的求法、两条直线的位置关系、两点间的距离、点到直线的距离、两条直线的交点坐标为主，有时也会与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查．题型主要以选择题，填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是距离公式，是高考考查的重点。

1。

求直线的方程．2。

判断两直线的位置关系．3.直线恒过定点问题。

［题组练透］1．过点(2,1)且与直线3x－2y＝0垂直的直线方程为()A．2x－3y－1＝0B．2x＋3y－7＝0C．3x－2y－4＝0 D．3x＋2y－8＝0解析：设要求的直线方程为2x＋3y＋m＝0，，把点(2，1）代入可得4＋3＋m＝0，解得m ＝－7。

故所求直线方程为：2x＋3y－7＝0，故选B.答案：B2．(2020·淮南模拟）设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：当λ＝－3时，两条直线的方程分别为6x＋4y＋1＝0，3x＋2y－2＝0,此时两条直线平行；若两条直线平行，则2λ×（1－λ）＝－6(1－λ)，所以λ＝－3或λ＝1，经检验,两者均符合，综上，“λ＝－3”是“直线2λx＋（λ－1）y＝1与直线6x＋（1－λ）y＝4平行”的充分不必要条件,故选A。

答案：A3．已知直线l:ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是（)A．1 B．－1C．2或1 D．－2或1解析：当a＝0时，直线方程为y＝2,显然不符合题意，当a≠0时，令y＝0时，得到直线在x轴上的截距是错误!，令x＝0时，得到直线在y轴上的截距为2＋a，根据题意得错误!＝2＋a，解得a＝－2或a＝1,故选D。

答案：D4．（2020·保定模拟）设点P为直线l:x＋y－4＝0上的动点,点A（－2，0)，B（2,0），则｜P A｜＋|PB|的最小值为（）A．210 B.26C．2错误! D.错误!解析:依据题意作出图象如下:设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1（a,b）,则它们的中点坐标为错误!，且｜PB|＝｜PB1｜.由对称性可得错误!，解得a＝4,b＝2.所以B1(4,2)．因为｜P A｜＋｜PB｜＝|P A｜＋｜PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，｜P A｜＋｜PB|最小．此时最小值为｜AB1|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝2错误!.故选A.答案：A［题后悟通］1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1）与P2(x2，y2）关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上,而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组错误!，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决圆的方程授课提示：对应学生用书第45页考情调研考向分析考查圆的方程，与圆有关的轨迹问题、最值问题是考查的热点，属中档题．题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.1。

第1讲直线与圆[考情考向·高考导航]对于直线的考查,主要是求直线的方程；两条直线平行与垂直的判定；两条直线的交点和距离等问题．一般以选择题、填空题的形式考查．对于圆的考查,主要是结合直线的方程,用几何法或待定系数法确定圆的标准方程；对于直线与圆、圆与圆的位置关系等问题,含参数问题为命题热点,一般以选择题、填空题的形式考查,难度不大,涉及圆的解答题有逐渐强化的趋势．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)直线x＋y＋2＝0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x－2)2＋y2＝2上,则△ABP面积的取值范围是( )A．[2,6] B．[4,8]C．[2,32] D．[22,32]解析：A [由已知A(－2,0),B(0,－2)．圆心(2,0)到直线x＋y＋2＝0的距离为d＝|2＋0＋2|2＝22,又圆的半径为 2.∴点P到直线x＋y＋2＝0的距离的最小值为2,最大值为32,又|AB|＝2 2.∴△ABP面积的最小值为S min＝12×22×2＝2,最大值为S max＝12×22×32＝6.]2．(2018·北京卷)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x－my－2＝0的距离．当θ,m变化时,d的最大值为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：C [本题考查直线与圆的位置关系．点P(cos θ,sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的点,直线x－my－2＝0过定点(2,0),当直线与圆相离时,d可取到最大值,设圆心到直线的距离为d0,d0＝21＋m2,d＝d0＋1＝21＋m2＋1,可知,当m＝0时,d max＝3,故选C.]3．(2018·天津卷)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0, 圆经过三点(0,0),(1,1),(2,0),则：⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋1＋D ＋E ＋F ＝0，4＋0＋2D ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0，则圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x ＝04．(2018·全国Ⅰ卷)直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ,B 两点,则|AB |＝________.解析：圆方程可化为x 2＋(y ＋1)2＝4,∴圆心为(0,－1),半径r ＝2,圆心到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22＝2,∴|AB |＝222－d 2＝24－2＝2 2.答案：2 2[主干整合]1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l 1,l 2的斜率k 1,k 2存在,则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2,l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在．2．两个距离公式(1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.(2)点(x 0,y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0),圆心为(a ,b ),半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0),圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2,半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.4．直线与圆的位置关系的判定(1)几何法：把圆心到直线的距离d 和半径r 的大小加以比较：d ＜r ⇔相交；d ＝r ⇔相切；d ＞r ⇔相离．(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离．热点一 直线的方程及其应用[例1] (1)(2020·大连模拟)“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件[解析] A [由ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行,得a (a －1)＝2,∴a ＝－1,a ＝2.经检验当a ＝－1时,两直线重合(舍去)．∴“a ＝2”是“直线ax ＋y －2＝0与直线2x ＋(a －1)y ＋4＝0平行”的充要条件．](2)(2020·厦门模拟)过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点,且到点P (0,4)的距离为2的直线方程为________________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以l 1与l 2的交点为(1,2),当所求直线的斜率不存在时,所求直线为x ＝1,显然不符合题意．故设所求直线的方程为y －2＝k (x －1), 即kx －y ＋2－k ＝0,因为P (0,4)到所求直线的距离为2,所以2＝|－2－k |1＋k 2,所以k ＝0或k ＝43. 所以所求直线的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0. [答案] y ＝2或4x －3y ＋2＝0(3)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数,i ＝1,2,3.①记Q i 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数,则Q 1,Q 2,Q 3中最大的是________． ②记p i 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p 1,p 2,p 3中最大的是________．[解析] 设,线段A 1B 1的中点为E 1(x 1,y 1),则Q 1＝＝2y 1.因此,要比较Q 1,Q 2,Q 3的大小,只需比较线段A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3中点纵坐标的大小,作图(图略)比较知Q 1最大．又p 1＝＝2y 12x 1＝y 1x 1＝y 1－0x 1－0,其几何意义为线段A 1B 1的中点E 1与坐标原点连线的斜率,因此,要比较p 1,p 2,p 3的大小,只需比较线段A 1B 1,A 2B 2,A 3B 3中点与坐标原点连线的斜率,作图比较知p 2最大．[答案] ①Q 1 ②p 2求解直线方程应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的情况．(2)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线．(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在．(2020·宁德模拟)过点M (0,1)作直线,使它被两条直线l 1：x －3y ＋10＝0,l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分,则此直线方程为____________．解析：过点M 且与x 轴垂直的直线是x ＝0,它和直线l 1,l 2的交点分别为⎝⎛⎭⎪⎫0，103,(0,8),显然不符合题意,故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1,其图象与直线l 1,l 2分别交于A ,B 两点,则有①⎩⎪⎨⎪⎧y A ＝kx A ＋1，x A －3y A ＋10＝0，②⎩⎪⎨⎪⎧y B ＝kx B ＋1，2x B ＋y B －8＝0.由①解得x A ＝73k －1,由②解得x B ＝7k ＋2.因为点M 平分线段AB ,所以x A ＋x B ＝2x M , 即73k －1＋7k ＋2＝0,解得k ＝－14. 故所求的直线方程为y ＝－14x ＋1,即x ＋4y －4＝0.答案：x ＋4y －4＝0热点二 圆的方程及应用[例2] (1)(山东高考题)圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为________________．[解析] 设圆C 的圆心为(a ,b )(b ＞0),由题意得a ＝2b ＞0,且a 2＝(3)2＋b 2,解得a ＝2,b ＝1.∴所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. [答案] (x －2)2＋(y －1)2＝4(2)(2019·唐山三模)已知A (－2,0),B (0,2),实数k 是常数,M ,N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点,P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点,如果M ,N 关于直线x －y －1＝0对称,则△PAB 面积的最大值是____________．[解析] 依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，0位于直线x －y －1＝0上,于是有－k2－1＝0,即k ＝－2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB |＝22,直线AB 的方程是x－2＋y 2＝1,即x －y ＋2＝0,圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322,点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1,△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2.[答案] 3＋ 2求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系,求出圆的基本量：圆心坐标和半径．如圆中弦所在的直线与圆心和弦中点的连线相互垂直,设圆的半径为r ,弦长为|AB |,弦心距为d ,则r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22等．(2)代数法：设出圆的方程,用待定系数法求解．在求圆的方程时,要根据具体的条件选用合适的方法,但一般情况下,应用几何法运算较简捷．(1)(2019·临沂三模)已知圆M 的圆心在x 轴上,且圆心在直线l 1：x ＝－2的右侧,若圆M 截直线l 1所得的弦长为23,且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切,则圆M 的标准方程为________________．解析：由已知,可设圆M 的圆心坐标为(a,0),a ＞－2,半径为r ,得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋22＋32＝r 2，|2a －4|4＋5＝r ，解得满足条件的一组解为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. 答案：(x ＋1)2＋y 2＝4(2)(2020·马鞍山模拟)圆心在曲线y ＝2x(x ＞0)上,且与直线2x ＋y ＋1＝0相切的面积最小的圆的标准方程为________________．解析：由条件设圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a ，2a (a ＞0),又因为圆与直线2x ＋y ＋1＝0相切,所以圆心到直线的距离d ＝r ＝2a ＋2a ＋15≥4＋15＝5,当且仅当2a ＝2a ,即a ＝1时取等号,所以圆心坐标为(1,2),圆的半径的最小值为5,则所求圆的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5.答案：(x －1)2＋(y －1)2＝5热点三 直线(圆)与圆的位置关系直观 想象 素养直观想象——圆的方程应用中的核心素养以学过的圆的相关知识为基础,借助曲线的方程感知一类问题共同特征的“直观想象”,然后利用“直观想象”解决问题.[例3] (1)(2020·湖北八校联考)过点(2,0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于________．[解析]令P (2,0),如图,易知|OA |＝|OB |＝1,所以S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12,当∠AOB ＝90°时,△AOB 的面积取得最大值,此时过点O 作OH ⊥AB 于点H ,则|OH |＝22, 于是sin ∠OPH ＝|OH ||OP |＝222＝12,易知∠OPH 为锐角,所以∠OPH ＝30°,则直线AB 的倾斜角为150°,故直线AB 的斜率为tan 150°＝－33. [答案] －33(2)如图所示,已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ,N 两点,Q 是MN 的中点,直线l 与l 1相交于点P .①当|MN |＝219时,则直线l 的方程为____________． ②若BQ →·BP →为定值,则这个定值为________． [解析] ①设圆A 的半径为R . ∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切, ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.a ．当直线l 与x 轴垂直时,易知x ＝－2符合题意；b ．当直线l 与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2),即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ,则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219,∴|AQ |＝20－19＝1. 由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1,得k ＝34,∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. ②∵AQ ⊥BP ,∴AQ →·BP →＝0. ∵BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP → ＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时,得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－25. 则BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52,又BA →＝(1,2),∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k .∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k ＝－5.综上所述：BQ →·BP →为定值,其定值为－5. [答案] ①x ＝－2或3x －4y ＋6＝0 ②－5直线(圆)与圆的位置关系的解题思路(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为两圆心之间的距离问题．(1)(2020·银川调研)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是____________．解析：由题意知圆M 的圆心为(0,a ),半径R ＝a ,因为圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22,所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2＝a 2－2(a ＞0),解得a ＝2,又知圆N 的圆心为(1,1),半径r ＝1,所以|MN |＝2,则R －r ＜2＜R ＋r ,所以两圆的位置关系为相交．答案：相交(2)(2020·江西七校联考)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0,若直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________．解析：圆C ：(x －4)2＋y 2＝1,如图,直线y ＝kx －2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,只需保证圆心C 到y ＝kx －2的距离小于等于2即可,∴|4k －2|1＋k2≤2⇒0≤k ≤43. ∴k max ＝43.答案：43限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共11小题,每小题5分,共55分)1．(2020·成都二诊)设a ,b ,c 分别是△ABC 中角A ,B ,C 所对的边,则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：C [由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin Aa,bx －sin B ·y ＋sinC ＝0的斜率k 2＝bsin B,故k 1k 2＝－sin A a ·bsin B＝－1,则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直,故选C.]2．(2020·杭州质检)一条光线从点(－2,－3)射出,经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )A ．－53或－35B ．－32或－23C ．－54或－45D ．－43或－34解析：D [点(－2,－3)关于y 轴的对称点为(2,－3),故可设反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2),∵反射光线与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切,∴圆心(－3,2)到直线的距离d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1,化简得12k 2＋25k ＋12＝0,解得k ＝－43或－34.]3．(2020·广州模拟)若动点A ,B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动,则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A. 2 B ．2 2 C ．3 2D ．4 2解析：C [由题意知AB 的中点M 的集合为到直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线,则点M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0,根据两平行线间的距离公式得,|m ＋7|2＝|m ＋5|2,即|m ＋7|＝|m ＋5|,所以m ＝－6,即l ：x ＋y －6＝0,根据点到直线的距离公式,得点M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.] 4．(2020·河南六校联考)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝1交于A ,B 两点,O 是坐标原点,向量OA →,OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|,则实数a 的值为( )A ．1B ．2C ．±1D ．±2解析：C [由OA →,OB →满足|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|,得OA →⊥OB →, 因为直线x ＋y ＝a 的斜率是－1, 所以A ,B 两点在坐标轴上并且在圆上；所以(0,1)和(0,－1)两点都适合直线的方程,故a ＝±1.]5．(2020·怀柔调研)过点P (1,－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A ,B ,则AB 所在直线的方程为( )A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14解析：B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0),半径为1,以|PC |＝1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1,将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0,即y ＝－12.故选B.]6．(2020·温州模拟)已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2,直线l ：y ＝kx ,其中k 为[－3,3]上的任意一个实数,则事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率为( )A.33B.34C.14D.3－33解析：D [当直线l 与圆C 相离时,圆心C 到直线l 的距离d ＝|2k |k 2＋1＞2,解得k ＞1或k ＜－1,又k ∈[－3,3],所以－3≤k ＜－1或1＜k ≤3,故事件“直线l 与圆C 相离”发生的概率P ＝3－1＋－1＋323＝3－33,故选D.]7．(2019·潍坊三模)已知O 为坐标原点,A ,B 是圆C ：x 2＋y 2－6y ＋5＝0上两个动点,且|AB |＝2,则|OA →＋OB →|的取值范围是( )A ．[6－23,6＋23]B ．[3－3,3＋3]C ．[3,9]D ．[3,6]解析：A [圆C ：x 2＋(y －3)2＝4,取弦AB 的中点M ,连接CM ,CA ,在直角三角形CMA 中,|CA |＝2,|MA |＝1,则|CM |＝|CA |2－|MA |2＝3,则点M 的轨迹方程为x 2＋(y －3)2＝3,则|OA →＋OB →|＝2|OM →|∈[6－23,6＋23]．]8．(多选题)直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )A ．0<m <1B ．m <1C ．－2<m <1D ．－3<m <1解析：AC [本题主要考查直线与圆的位置关系的判断．圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1,0),半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点,所以直线与圆相交,因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1<2,所以|1＋m |<2,解得－3<m <1,求其充分条件,即求其子集,故由选项易得AC 符合．故选AC.]9．(2020·合肥质检)已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝5与圆C 2相交于A (0,2),B (－1,1)两点,且四边形C 1AC 2B 为平行四边形,则圆C 2的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝5 B ．(x －1)2＋y 2＝92C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝92解析：A [通解 (常规求解法)设圆C 2的圆心坐标为(a ,b ),连接AB ,C 1C 2.因为C 1(－2,3),A (0,2),B (－1,1),所以|AC 1|＝|BC 1|＝5,所以平行四边形C 1AC 2B 为菱形,所以C 1C 2⊥AB 且|AC 2|＝ 5.可得⎩⎪⎨⎪⎧3－b －2－a ×1－2－1－0＝－1，a 2＋b －22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，则圆心C 2的坐标为(1,0)或(－2,3)(舍去)．因为圆C 2的半径为5,所以圆C 2的方程为(x －1)2＋y 2＝5.故选A.优解 (特值验证法)由题意可知,平行四边形C 1AC 2B 为菱形,则|C 2A |＝|C 1A |＝22＋2－32＝5,即圆C 2的半径为5,排除B,D ；将点A (0,2)代入选项A,C,显然选项A 符合．故选A.]10．(2020·惠州二测)已知圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a ＜0)的圆心在直线3x －y ＋3＝0上,且圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3,则a 2＋b 2的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：C [化圆C ：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－1＝0(a ＜0)为标准方程得C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1,其圆心为(a ,b ),故3a －b ＋3＝0,即b ＝3a ＋3,(a ,b )到直线3x ＋y ＝0的距离d ＝|3a ＋b |3＋1＝|3a ＋b |2＝|3a ＋3a ＋3|2,因为圆C 上的点到直线3x ＋y ＝0的距离的最大值为1＋3,故d ＋1＝32|2a ＋1|＋1＝1＋3,得到|2a ＋1|＝2,解得a ＝－32或a ＝12(舍去),故b ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3＝－32,故a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝3.选C.]11．(2019·烟台三模)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5,t ),若圆C 上存在两点A ,B 使得MA ⊥MB ,则实数t 的取值范围是( )A ．[－2,6]B ．[－3,5]C ．[2,6]D ．[3,5]解析：C [当MA ,MB 是圆C 的切线时,∠AMB 取得最大值,若圆C 上存在两点A ,B 使得MA ⊥MB ,则MA ,MB 是圆C 的切线时,∠AMB ≥90°,∠AMC ≥45°,且∠AMC ＜90°,如图,所以|MC |＝5－12＋t －42≤10sin 45°＝20,所以16＋(t －4)2≤20,所以2≤t ≤6,故选C.]二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)12．(双空填空题)在平面直角坐标系xOy 中,已知圆C 过点A (0,－8),且与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点,则圆C 的方程为___________________________________________,圆C 被x 轴截得的弦长为________．解析：本题考查圆与圆的位置关系．将已知圆化为标准式得(x －3)2＋(y －3)2＝18,圆心为(3,3),半径为3 2.由于两个圆相切于原点,连心线过切点,故圆C 的圆心在直线y ＝x 上．由于圆C 过点(0,0),(0,－8),所以圆心又在直线y ＝－4上．联立y ＝x 和y ＝－4,得圆心C 的坐标(－4,－4)．又因为点(－4,－4)到原点的距离为42,所以圆C 的方程为(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝32,即x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0.圆心C 到x 轴距离为4,则圆C 被x 轴截得的弦长为2×422－42＝8.答案：x 2＋y 2＋8x ＋8y ＝0 813．(2019·哈尔滨二模)设圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0的圆心为C ,直线l 过(0,3),且与圆C 交于A ,B 两点,若|AB |＝23,则直线l 的方程为________________．解析：当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x ＝0,联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1－3或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1＋3，∴|AB |＝23,符合题意．当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y ＝kx ＋3,∵圆x 2＋y 2－2x －2y －2＝0,即(x －1)2＋(y －1)2＝4,其圆心为C (1,1),圆的半径r ＝2,圆心C (1,1)到直线y ＝kx ＋3的距离d ＝|k －1＋3|k 2＋1＝|k ＋2|k 2＋1,∵d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝r 2,∴k ＋22k 2＋1＋3＝4,解得k ＝－34,∴直线l 的方程为y ＝－34x ＋3,即3x ＋4y －12＝0.综上,直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或x ＝0.答案：x ＝0或3x ＋4y －12＝014．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a ＞0)相交,公共弦的长为22,则a ＝________.解析：联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0, 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为|－5|a 2＋4a2＝5a(a ＞0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22, 解得a 2＝52,因为a ＞0,所以a ＝102. 答案：10215．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点,B (5,0),以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0,则点A 的横坐标为________．解析：∵AB 为直径 ∴AD ⊥BD∴BD 即B 到直线l 的距离 |BD |＝|0－2×5|12＋22＝2 5. ∵|CD |＝|AC |＝|BC |＝r ,又CD ⊥AB . ∴|AB |＝2|BC |＝210 设A (a,2a ) |AB |＝a －52＋4a 2＝210⇒a ＝－1或3(－1舍去)答案：316．(2020·厦门模拟)为保护环境,建设美丽乡村,镇政府决定为A ,B ,C 三个自然村建造一座垃圾处理站,集中处理A ,B ,C 三个自然村的垃圾,受当地条件限制,垃圾处理站M 只能建在与A 村相距5 km,且与C 村相距31 km 的地方．已知B 村在A 村的正东方向,相距3 km,C 村在B 村的正北方向,相距3 3 km,则垃圾处理站M 与B 村相距________km.解析：以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系(图略),则A (0,0),B (3,0),C (3,33)．由题意得垃圾处理站M 在以A (0,0)为圆心,5为半径的圆A 上,同时又在以C (3,33)为圆心,31为半径的圆C 上,两圆的方程分别为x 2＋y 2＝25和(x －3)2＋(y －33)2＝31.由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝25，x －32＋y －332＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－52，y ＝532，∴垃圾处理站M 的坐标为(5,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，532,∴|MB |＝2或|MB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5322＝7, 即垃圾处理站M 与B 村相距2 km 或7 km. 答案：2或7。