第八章(3) 离散系统状态方程的求解

x1 uc，x2 iL2，x3 iL3
又由KCL、KVL定理得，
.
ic x1 x2 x3
.
us x1 L2 x2
．
us x1 L3 x3 R(is x3 )
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整理得到状态方程
0
11
x1
x2
x3
-1 L2 -1
C 0
C 0 -R
0
L3
L3
其第一项的逆变换将是状态矢量的零输入解，第二 项的逆变换是状态矢量的零状态解。
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连续系统稳定性的判断
稳定系统：A的特征值Rei 0
这需要解方程 aI - A 0
转移函数分母的特征多项式 s -
此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定 情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统 为稳定的。
y2 b0 b1
x1
b3
x2
x3
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三. 离散系统状态方程的建立
离散系统是用差分方程描述的，选择适当的状态变量把 差分方程化为关于状态变量的一阶差分方程组，这个差 分方程组就是该系统的状态方程。
如果有p个输入，q个输出的n阶离散系统，其状态方程的一 般形式是
x1 x2
t
f
t
列出它的状态方程和输出方程。
解：按式写出其系统函数
H s
1
s -3
s3 a2s2 a1s a0 1- -a2s-1 - a1s-2 - a0s-3
按系统函数可画出其框图和信号流图
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x3
x2
x1
f
--
x3
a2
x2
a1
x1 a0

0 1 0 x x u 0 2 1
近似离散化方法(4/6)—例3-12
解 由近似离散化法计算公式,对本例有
T 1 G(T ) I AT 0 1 2 T
于是该连续系统的离散化状态方程为
0 H (T ) BT T
x(( k 1)T ) Φ(T )x(kT )
( k 1)T
kT
Φ[( k 1)T τ ]dτ Bu(kT )
对上式作变量代换,令t=(k+1)T-,则上式可记为
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ(t )dtBu(kT )
0
T
将上式与线性定常离散系统的状态方程 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT)
线性定常连续系统的离散化(2/3)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在采 样周期T下,将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
x(( k 1)T ) G (T )x(kT ) H (T )u(kT ) y (kT ) C (T )x(kT ) D(T )u(kT )
近似离散化方法(2/6)
将上式代入连续系统的状态方程,有 [x((k+1)T)-x(kT)]/T=Ax(kT)+Bx(kT) 即 x((k+1)T)=(I+AT)x(kT)+BTu(kT) 将上式与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比 较,则可得如下近似离散化的计算公式: G(T)=I+AT H(T)=BT 将上述近似离散法和精确离散法比较知,
精确法、

零阶保持器的传递函数为：
G h0(s)L [1(t)1(tT) ]1s eTs
零阶保持器的幅频与相频特性如右下图所示：
幅频特性:
|Gh(j)|T|s in TT(22)|
相频特性:
G h(j) T2
11.08.2021
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第8章 离散控制系统
零阶保持器的近似实现:
Gh0(s)1seTs1s(1e1T)s1s11TsT 12s2
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图8-3 零阶保持器
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第8章 离散控制系统
主要特点： 1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。 2、相位滞后。
零阶保持器的单位脉冲响应如下图8-5所示：
gh(t)1 (t)1 (tT)
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图8-5 零阶保持器的单位脉冲响应
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第8章 离散控制系统
11.08.2021控制系统
例8.3 试求连续时间函数 e(t)teat的 z 变换。 解：首先写出 e(t ) 拉氏变换 E (s) ，即
E(s) 1 (sa)2
， 显然 s1 a以及 n2，得
E (z) (2 1 1 )d d ! (s s a )2(s 1 a )2z z e sT |s a
当炉温连续变化时，则电位器的输出是一串宽度为τ，
周期为T的离散脉冲电压信号，用 表e * (示t ) 。经过放大器、 电动机、减速器去控制炉门角φ的大小，炉温的给定值， 由给定电位器给出。
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第8章 离散控制系统
给定电位器与电桥输出的误差信号是连续变化的，但 通过指针和旋转凸轮的作用后，电位器的输出却为离散值， 这实际上是该系统借助于指针、凸轮这些元部件对连续误 差信号进行采样，将连续信号转换成了脉冲序列，凸轮就 成了采样器（采样开关）。

上式中：
h0 bn h1 bn1 an1h0 h2 bn 2 an1h1 an 2 h0 hn b0 an1hn1 a1h1 a0 h0
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得到一阶差分方程组：
x1 ( k 1) x2 ( k ) h1u( k ) x ( k 1) x ( k ) h u( k ) 2 3 2 x ( k 1) x ( k ) h u( k ) n n1 n1 xn ( k 1) a0 x1 ( k ) a1 x2 ( k ) an1 xn ( k ) hn u( k )
1）差分方程的输入函数中不包含高于一阶的差分项
y( k n) an1 y( k n 1) a1 y( k 1) a0 y( k ) b0u( k )
选择状态变量： x1 ( k ) y( k )
x ( k ) y( k 1) 2 x 3 ( k ) y( k 2 ) xn ( k ) y( k n 1)
求解法同连续时间定常系统的传递函数的实现。
这里仅给出结论：第二能控标准型、第二能观测标准型
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1）第二可控标准型
x1 ( k 1) 0 x ( k 1) 0 2 0 x n ( k 1) a0 1 0 0 a1 0 1 0 a2 0 x1 ( k ) 0 x ( k ) 0 0 2 0 x 3 ( k ) u( k ) 0 1 0 a n 1 1 x n ( k )