扩散方程扩散(diffusion)：物质分子从高浓度区域向低浓度区域转移，直到均匀分布的现象。
在单位时间内通过垂直于扩散方向的单位截面积的 扩散物质流量（称为 扩散通量Diffusion flux ，用 J 表示）与该截面处的 浓度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是说， 浓度梯度越大，扩散通量越大。
这就是菲克第一定律，它的数学表达式如下：(,,)x y z J J J J =为扩散通量，D 称为扩散系数(m 3/s)，C 为扩散物质（组元）的体积浓度(原子数/m 3或kg/m 3).菲克第一定律只适应于 稳态扩散(Steady-state diffusion)的场合。
对于稳态扩散也可以描述为：在扩散过程中，各处的扩散组元的浓度 C 只随距离 x 变化，而不随时间 t 变化，每一时刻从前边扩散来多少原子，就向后边扩散走多少原子，没有盈亏，所以浓度不随时间变化。
实际上，大多数扩散过程都是在 非稳态条件下进行的。
非稳态扩散(Nonsteady-state diffusion)的特点是：在扩散过程中， J 随时间和距离变化。
通过各处的扩散通量 J 随着距离在变化，而稳态扩散的扩散通量则处处相等，不随时间而发生变化。
对于非稳态扩散，就要应用菲克第二定律了。
任取一封闭曲面Γ，它所围区域记为Ω，n 为封闭曲面指向内部的单位法向。
则从时刻1t 到时刻2t 通过扩散进入此闭曲面的物质质量为211{}t t m J ndS dt Γ=⋅⎰⎰⎰ 由高斯公式J ndS JdV ΓΩ⋅=-∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰ ，211{}t t m JdV dt Ω=-∇⋅⎰⎰⎰⎰ 若Ω内部产生物质，其源强度函数为(,,,)f x y z t ，则Ω内部产生的物质质量为 212{(,,,)}t t m f x y z t dV dt Ω=⎰⎰⎰⎰ 同时，物质渗透到区域Ω内，使得内部的浓度发生变化，在时间间隔12[,]t t 内，浓度由1(,,,)C x y z t 变化为2(,,,)C x y z t ，增加的物质质量为221121((,,,)(,,,))()()t t t t C C C x y z t C x y z t dV dt dV dV dt t t ΩΩΩ∂∂-==∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 由质量守恒即有2211{((,,,))}()t t t t C J f x y z t dV dt dV dt tΩΩ∂-∇⋅+=∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 于是得到扩散方程()C D C f t∂=∇⋅∇+∂若扩散系数(,,)D x y z 为常数，则扩散方程为222222()(,,,)C C C C D f x y z t t x y z∂∂∂∂=+++∂∂∂∂三元函数的傅里叶变换及逆变换：111111()123123123123(,,)((,,))(,,)i x x x f F f x x x f x x x e dx dx dx αααααα+∞+∞+∞-++-∞-∞-∞==⎰⎰⎰ 111111()1123123123123(,,)((,,))(,,)i x x x f x x x F f f e d d d αααααααααααα+∞+∞+∞++--∞-∞-∞==⎰⎰⎰ 傅里叶变换微分性质：()()i x i F f i F f α=傅里叶变换的平移性质：1101123123((,,))((,,))i x F f x x x x e F f x x x α--= 单位脉冲函数的傅里叶变换：(())1F x δ=对于扩散方程初值问题222222000(,,,0)()()()u u u u a b c t x y z u x y z M x x y y z z δδδ⎧∂∂∂∂=++⎪∂∂∂∂⎨⎪=---⎩对,,x y z 作傅里叶变换： 102030222123()123()(,,,0)i x y z u a b c u t uMe ααααααααα-++∂⎧=-++⎪∂⎨⎪=⎩ 解此微分方程得：222102030123()()123(,,,)i x y z a b c t ut Me e ααααααααα-++-++=再作傅里叶逆变换：222000222()()()()4441322(,,,)()(4)x x y y z z a t b t c t Mu x y z t e abc t π----++=。
