时间序列分析第二章

6 第二章：时间序列的预处理

时间序列的预处理：对序列进行的平稳性与纯随机性的检验称为序列的预处理.

目的：根据检验的结果将序列分为不同的类型，从而采用不同的方法去分析.

§2.1平稳性检验

平稳性是某些时间序列具有的一种统计特征，其具体定义如下：

一、平稳性：若序列达到统计平衡状态，其统计特性不随时间变化，则称该序列具有平稳性.

二、预备知识

1. 时间序列的概率分布族：任取指标集T中的m个不同的指标mttt,,,21，称

),,,(),,,(2121,,,2121mtttmtttxxxxxxPxxxFmm

为时间序列}{tx的一个有限维(m维)分布，变动m及 mttt,,,21，称由这些有限维分布函数的全体},,,),,2,1(),,,,({2121,,,21TtttmxxxFmmtttm为时间序列}{tx的概率分布族.

注：由于在实际应用中，很难得到序列的联合概率分布，所以在时间序列分析中很少直接使用.

2. 时间序列的特征统计量：对时间序列Ttxt},{，随机变量)(~xFxtt，

(1). 均值：若)(xxdFt，则有均值函数)(xxdFExttt，以及均值函数列},{Ttt.

(2). 方差：若)(2xdFxt，则有方差函数)()()(22xdFxExxEDxttttttt，以及

方差函数序列},{TtDxt.

(3). 自协方差函数：Tst,，自协方差函数)])([(),(ssttxxEst.

(4). 自相关系数: Tst,，自相关系数stDxDxstst),(),(.

三、平稳时间序列的统计定义

1. 严平稳时间序列：若时间序列}{tx的任意有限维分布满足

),,,(),,,(21,,,21,,,2121mtttmtttxxxFxxxFmm

其中,m为任意正整数，Ttttm,,,21，则称时间序列}{tx为严平稳(完全平稳)时间序列.

注: 严平稳时间序列的概率结构对时间原点的平移保持不变，即Tttmxx),,(1和Tttmxx),,(1 7 具有完全相同的联合概率分布，即序列的所有统计性质都不随时间的推移而发生改变.

2. 宽平稳时间序列：若时间序列}{tx满足

(1). Tt，有2tEx；

(2). Tt，有,tEx为常数；

(3). Tkst,,，且Ttsk，有),(),(tskkst.

则称}{tx为宽平稳(弱平稳，二阶平稳)时间序列.

注：

①.宽平稳时间序列具有常数均值序列和方差序列，这说明平稳序列的观测值应在某一定值附近作有界波动.

②.自协方差函数和自相关系数具有对时间的平移不变性.

3. 两种平稳时间序列的区别与联系

(1). 区别：严平稳的条件严格，要求序列的所有统计特性都相同；宽平稳只要求序列的二阶矩函数相同.

(2). 联系：一般情况下，严平稳序列一定是宽平稳序列，但反之未必.因宽平稳序列对二阶以上的矩未做要求.

(3). 特例：服从柯西分布的严平稳序列因其一、二阶矩不存在，无法验证它的二阶平稳性；服从正态分布的宽平稳序列因其联合分布完全由均值和协方差决定，从而一定是严平稳序列.

注：①.二阶矩存在的严平稳时间序列一定是宽平稳时间序列.

②.宽平稳正态时间序列一定是严平稳时间序列.

在实际应用中多研究宽平稳随机序列，若无特殊说明，平稳随机序列都指的宽平稳.

四、平稳时间序列自相关系数的性质

1. 延迟k自协方差函数(k阶自协方差函数)：Tkttkttk,),,(；

延迟k自相关系数(k阶自相关系数)：Tkttkttk,),,(.

注：

①. 0),(ttDxt .

②.

0),(),(kkttkDxDxkttktt. 8 2. k阶自相关系数的性质

(1). 规范性：10且Zkk,1;

(2). 对称性：kk;

(3). 非负定性: Zm，相关阵m为对称非负定矩阵，即021201110mmmmm为对称非负正定阵；

注：m的计算：依此用随机变量mxxx,,,21与mxxx,,,21计算相关系数作为矩阵的每一行.

(4). 非惟一性：}{tx对应唯一一个k；k未必对应唯一一个}{tx.

注：一个平稳时间序列惟一决定它的自相关系数，但一个自相关系数未必惟一对应一个平稳时间序列.这将在后面具体说明.

五、平稳时间序列的意义

1. 极大地减少了随机变量的个数，如将可列个随机变量的均值序列},{Ttt变成了一个变量的均值序列},{Tt.

2. 增加了待估变量的样本容量，化简了时间序列分析的难度，提高了对总体特征统计量的估计精度：(即用样本特征统计量对它们进行估计.)

niitxnxx11ˆ； nkknxxxxkntkttk0,))((ˆ1； nxxntt120)(ˆ;

nkkk0,ˆˆˆ0； nkxxxxxxnttkntkttk0,)())((~ˆ121.

注：上述样本特征统计量仍和样本一样具有二重性，作为随机变量它们有自己的分布.

六、平稳性的检验：图检验法；统计检验法.

1. 图检验法

时序图检验：平稳序列波动的范围有界、无明显趋势及周期特征(因为平稳序列的均值和方差都为常数)；非平稳序列通常有明显趋势或周期特征.

自相关图检验：平稳序列的自相关系数kˆ随着k的增加会很快衰减到零(因为平稳序列通常具有短期的相关性)；非平稳序列的自相关系数kˆ衰减到零的速度通常较慢. 9 优缺点：操作简单，运用广泛；判断结论主观色彩强.

2. 统计检验法—单位根检验法.

注：时间序列一般具有趋势性，周期性，随机性.

§2.2纯随机性检验

一、纯随机序列

(一). 定义：若时间序列}{tx满足1.Tt，有tEx； 2. Tst,，有ststst,0,),(2，则称序列}{tx为纯随机序列，也称为白噪声序列，记为),(~2WNxt.

注：白噪声序列是平稳序列.

(二). 性质及其应用

1. 纯随机性: 0,0kk，(这说明白噪声序列的各项之间没有任何相关关系，即无记忆性.)

注：

①.对时间序列}{tx，若0,0kk，说明该序列间隔k期序列值之间存在着一定程度的相互影响关系，即相关信息，从而该序列不是纯随机序列.

②.判断相关信息是否提取充分.

2. 方差齐性：2)0(tDx. 即序列中每一个变量的方差都相等.

注：

①.若序列}{tx中的变量的方差不全相等，则称其具有异方差性.

②.提高参数估计的准确性，有效性：由马尔可夫定理知，只有在方差齐性成立时，用最小二乘法得到的未知参数的估计值才是准确的，有效的.

③.模型拟合的检验内容之一：检验拟合模型的残差是否满足方差齐性.

二、纯随机性检验

若一序列是纯随机序列，则它的序列值之间应该没有任何关系，即有0,0kk，从而也有序列的样本自相关系数0,0kk，因此给出如下检验条件：

(一). 假设条件

原假设：1,0:210mHm. 即延迟小于或等于m期的序列值不相关. 10 备则假设：1H：至少存在某个mkmk,1,0. 即延迟小于或等于m期的序列值相关.

但由于观测值序列都是有限的，导致纯随机序列的样本自相关系数不会绝对为零，所以假设条件应该相应的修改为单边假设检验：

原假设：1,:0mHm. 即延迟小于或等于m期的序列值不相关.

备则假设：1H：至少存在某个mkmk,1,.即延迟小于或等于m期的序列值相关.

(二). 检验原理

Barlett定理：若时间序列}{tx是纯随机的，得到一个观测期数为n的观察序列},,2,1,{ntxt，则该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列观测期数倒数的正态分布，即0,/1,0~ˆknNk.

(三). 检验统计量

1. Q统计量：)(~ˆ212mnQmkk(在原假设成立时)，其中n为序列观测期数；m为指定延迟期数.

2. LB统计量: )(~ˆ)2(212mknnnLBmkk(在原假设成立时)，其中n为序列观测期数；m为指定延迟期数.

注：

①.Q统计量也称为BPQ统计量，适合于大样本场合；

②.LB统计量也称为LBQ统计量，是对LBQ统计量的修正，适用于小样本场合.在各种场合普遍采用的统计量通常都是指LBQ统计量.

(四). 检验原则：(单边假设)

拒绝原假设：当检验统计量的大于)(21m分位点(上分位数)，或该统计量的P值小于 时，则可以以1的臵信水平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列.

接受原假设：当检验统计量小于)(21m分位点或该统计量的P值大于时，则认为在1的臵信水平下无法拒绝原假设，即不能显著地拒绝序列为纯随机序列的假定.