2012年高考试题+模拟新题分类汇编专题_磁场 -答案

L 算法初步与复数L1 算法与程序框图6．L1[2012·课标全国卷] 如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，则( )A．A＋B为a1，a2，…，a N的和B.A＋B2为a1，a2，…，a N的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a N中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a N中最小的数和最大的数6．C [解析] 根据程序框图可知x>A时，A＝x，x≤A且x<B时，B＝x，所以A是最大值，B是最小值，故选C.6．L1[2012·安徽卷] 如图1－)的输出结果是( )图1－1A．3 B．4C．5 D．86．B [解析] 由程序框图可知，第一次循环后，得到x＝2，y＝2，满足判断条件；第二次循环后，得到x＝4，y＝3，满足判断条件；第三次循环后，得到x＝8，y＝4，不满足判断条件，故跳出循环，输出y＝4.4．L1[2012·北京卷] 执行如图1－2所示的程序框图，输出的S值为( )A．2 B．4C．8 D．164．C [解析] 本题考查了循环结构的流程图，简单的整数指数幂计算等基础知识．根据循环k＝0，S＝1；k＝1，S＝2；k＝2，S＝8，当k＝3，时，输出S＝8.6．L1[2012·福建卷] 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s值等于( )A．－3 B．－10 C．0 D．－26．A [解析] 第一次循环由于k＝1<4，所以s＝2－1＝1，k＝2；第二次循环k＝2<4，所以s＝2－2＝0，k＝3；第三次循环k＝3<4，所以s＝0－3＝－3，k＝4，结束循环，所以输出s＝－3.16．L1[2012·福建卷] 某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案，方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用．要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小，例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如图1－2①，则最优设计方案如图1－2②，此时铺设道路的最小总费用为10.2现给出该地区可铺设道路的线路图如图1－2③，则铺设道路的最小总费用为________．16．16 [解析] 根据题意先选择中间最优线路，中间有三条，分别是A→F→G→D、E→F→B、E→G→C，费用最低的是A→F→G→D为3＋1＋2＝6；再选择A→F→G→D线路到点E的最低费用线路是：A→E费用为2；再选择A→F→G→D到C、B的最低费用，则选择：G→C→B，费用最低为3＋5＝8，所以铺设道路的最小费用为：6＋2＋8＝16.9．L1[2012·广东卷] 执行如图1－2所示的程序框图，若输入n的值为6，则输出s 的值为( )图1－2A．105 B．16C．15 D．19．C [解析] 第一次循环结果是：s＝1，i＝3；第二次循环结果是：s＝3，i＝5；第三次循环结果是：s＝15，i＝7，此时i>n，结束循环，输出s＝15.所以选择C.16．L1[2012·湖北卷] 阅读如图1－5所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.16．[答案] 9[解析] 因为已知a＝1，s＝0，n＝1，所以第一次运行后：s＝s＋a＝1，a＝a＋2＝3，n＝1<3成立，满足判断条件；第二次运行后：n＝n＋1＝2，s＝s＋a＝1＋3＝4，a＝a＋2＝5，n＝2<3成立，满足判断条件；第三次运行后：n＝n＋1＝3，s＝s＋a＝4＋5＝9，a＝a＋2＝7，n＝3<3不成立，不满足判断条件，输出s的值(s＝9)．14．L1[2012·湖南卷] 如果执行如图1－4所示的程序框图，输入x＝4.5，则输出的数i图1－414．4 [解析] 本题考查程序框图和循环结构，意在考查考生的逻辑推理能力和对循环结构的理解能力；具体的解题思路和过程：依次循环，达到条件退出．当i＝1时x＝3.5，当i＝2时x＝2.5，当i＝3时x＝1.5，当i＝4时x＝0.5，此时退出循环，故i＝4.[易错点] 本题易错一：循环条件弄错，多计一次，或者少计一次，得到错误结果． 4．L1[2012·江苏卷] 图1－1是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4．5 [解析] 本题为对循环结构的流程图的含义的考查．解题突破口为从循环终止条件入手，再一一代入即可．将k ＝1,2,3，…，分别代入可得k ＝5.15．L1[2012·江西卷] 图1－5是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．15．3 [解析] 当k ＝1时，此时sin π2＝1>sin0＝0成立，因此 a ＝1，T ＝0＋1＝1，k＝1＋1＝2，k <6成立，再次循环；因sin π＝0>sin π2＝1不成立，因此a ＝0，T ＝1＋0＝1，k ＝2＋1＝3，此时k <6成立，再次循环；因sin 3π2＝－1> sin π＝0不成立，因此a ＝0，T＝1＋0＝1，k ＝3＋1＝4，此时k <6成立，再次循环；因sin2π＝0>sin 3π2＝－1成立，因此a ＝1，T ＝1＋1＝2，k ＝4＋1＝5，此时k <6成立，再次循环；因sin 5π2＝1> sin2π＝0成立，因此a ＝1，T ＝2＋1＝3，k ＝5＋1＝6，此时k <6不成立，退出循环，此时T ＝3.10．L1[2012·辽宁卷] 执行如图1－2所示的程序框图，则输出的S 值是( )图1－2A ．4 B.32 C.23D ．－110．D [解析] 本小题主要考查程序框图的应用．解题的突破口为分析i 与6的关系．当i ＝1时，S ＝22－4＝－1；当i ＝2时，S ＝22－－1＝23；当i ＝3时，S ＝22－23＝32；当i ＝4时，S ＝22－32＝4；当i ＝5时，S ＝22－4＝－1；当i ＝6时程序终止，故而输出的结果为－1.7．L1[2012·山东卷] 执行如图1－1所示的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为()A ．2B ．3C ．4D ．57．B [解析] 本题考查算法与程序框图，考查数据处理能力，容易题．当n ＝0时，P ＝1，Q ＝3，P <Q 成立，执行循环；当n ＝1时，P ＝5，Q ＝7，P <Q 成立，执行循环；当n ＝2时，P ＝21，Q ＝15，P <Q 不成立，但是n ＝2＋1＝3后，再输出．5．L1[2012·陕西卷] 图1－2是计算某年级500名学生期末考试(满分为100分)及格率q 的程序框图，则图中空白框内应填入( )A ．q ＝N MB ．q ＝M NC ．q ＝NM ＋ND ．q ＝MM ＋N5．D [解析] 从框图中可以看出M代表及格的人数，N代表不及格的人数，M＋N代表总人数，故填入的应为及格率q＝MM＋N.3．L1[2012·天津卷] 阅读如图1－1所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．8 B．18C．26 D．80图1－13．C [解析] 当n＝1时，S＝2；当n＝2时，S＝2＋32－3＝8；当n＝3时，S＝8＋33－32＝26；当n＝4时输出S＝26.13．L1[2012·浙江卷] 若某程序框图如图1－4所示，则该程序运行后输出的值是________．13.1120 [解析] 当i ＝1时，T ＝11＝1，而i ＝1＋1＝2，不满足条件i >5；接下来，当i ＝2时，T ＝12，而i ＝2＋1＝3，不满足条件i >5；接下来，当i ＝3时，T ＝123＝16，而i ＝3＋1＝4，不满足条件i >5；接下来，当i ＝4时，T ＝164＝124，而i ＝4＋1＝5，不满足条件i >5；接下来，当i ＝5时，T ＝1245＝1120，而i ＝5＋1＝6，满足条件i >5；此时输出T ＝1120，故应填1120.L2 基本算法语句 L3 算法案例 L4 复数的基本概念与运算2．L4[2012·浙江卷] 已知i 是虚数单位，则3＋i1－i＝( )A ．1－2iB ．2－iC ．2＋iD ．1＋2i2．D [解析] 本题主要考查复数的四则运算，检测学生对基础知识的掌握情况． 3＋i 1－i ＝3＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝2＋4i2＝1＋2i ，故应选D. 1．L4[2012·天津卷] i 是虚数单位，复数5＋3i4－i＝( )A ．1－iB ．－1＋iC ．1＋iD ．－1－i1．C [解析] 5＋3i 4－i ＝5＋3i 4＋i 4－i 4＋i ＝5×4－3＋3×4＋5i42＋12＝1＋i. 15．L4[2012·上海卷] 若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝2，c ＝－1C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝－2，c ＝315．D [解析] 考查复数的概念和一元二次方程中根与系数的关系(即韦达定理)，可利用方程的两根是共轭复数解题．由韦达定理可知：－b ＝(1＋2i)＋(1－2i)＝2，∴b ＝－2， c ＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋2＝3，∴c ＝3，所以选D.此题还可以直接把复数根1＋2i 代入方程中，利用复数相等求解．1．L4[2012·上海卷] 计算：3－i1＋i＝________(i 为虚数单位)1．1－2i [解析] 考查复数的除法运算，是基础题，复数的除法运算实质就是分母实数化运算．原式＝3－i 1－i 1－i 2＝1－2i. 4．A2、L4[2012·陕西卷] 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．B [解析] 本小题主要考查充要条件的概念以及复数的相关知识，解题的突破口为弄清什么是纯虚数，然后根据充要条件的定义去判断．a ＋b i ＝a －b i ，若a ＋bi 为纯虚数，a＝0且b ≠0，所以ab ＝0不一定有a ＋b i 为纯虚数，但a ＋bi 为纯虚数，一定有ab ＝0，故“ab＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件，故选B.1．L4[2012·山东卷] 若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i1．A [解析] 本题考查复数的概念及运算，考查运算能力，容易题．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意得(a ＋b i)(2－i)＝(2a ＋b )＋(2b －a )i ＝11＋7i ，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝11，2b －a ＝7， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5.3．L4[2012·辽宁卷] 复数11＋i＝( )A.12－12iB.12＋12i C ．1－i D ．1＋i3．A [解析] 解题的突破口为分子分母同乘以分母的共轭复数．因为11＋i ＝1－i 1＋i 1－i ＝1－i 2＝12－i 2，所以答案选A.2．L4[2012·课标全国卷] 复数z ＝－3＋i2＋i的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i2．D [解析] 因为z ＝－3＋i 2＋i ＝－3＋i 2－i 2＋i 2－i ＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.故选D.1．L4[2012·江西卷] 若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z2的虚部为( )A ．0B ．－1C ．1D ．－21．A [解析] ∵z ＝1＋i ，∴z 2＝(1＋i)2＝2i ，z ＝1－i ，z 2＝(1－i)2＝－2i ，∴z 2＋z 2＝0，故选A.3．L4[2012·江苏卷] 设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝11－7i1－2i(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为________．3．8 [解析] 本题考查复数的四则运算．解题突破口为将所给等式右边的分子、分母同时乘以分母的共轭复数即可．因为11－7i 1－2i ＝11－7i 1＋2i 5＝5＋3i ，所以a ＝5，b ＝3.2．L4[2012·湖南卷] 复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i2．A [解析] 本题考查复数的乘法运算和复数的共轭复数，意在考查考生对复数的简单运算和共轭复数的掌握．复数z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ，其共轭复数为z ＝－1－i ，所以选A.[易错点] 本题易错一：把i 2等于1，导致错选C ；易错二：忘记共轭复数的定义．12．L4[2012·湖北卷] 若3＋b i1－i＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.12．[答案] 3[解析] 由3＋b i1－i＝a ＋b i ，得3＋b i ＝(a ＋b i)(1－i)＝a ＋b ＋(b －a )i ，即a ＋b －3－a i＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝0，－a ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝3，所以a ＋b ＝3.1．L4[2012·广东卷] 设i 为虚数单位，则复数3＋4ii＝( )A ．－4－3iB ．－4＋3iC ．4＋3iD ．4－3i1．D [解析] 因为3＋4i i ＝3＋4i i i·i ＝3i －4－1＝4－3i ，所以选择D.1．L4[2012·福建卷] 复数(2＋i)2等于( ) A ．3＋4i B ．5＋4i C ．3＋2i D ．5＋2i1．A [解析] 利用复数乘法运算求解，(2＋i)2＝4＋4i ＋i 2＝3＋4i ，所以选择A.2．L4[2012·北京卷] 在复平面内，复数10i3＋i对应的点的坐标为( )A ．(1,3)B ．(3,1)C ．(－1,3)D ．(3，－1)2．A [解析] 本题考查复数代数形式的除法运算和复数几何意义.10i3＋i＝10i 3－i 3＋i 3－i ＝1＋3i ，所以它对应点的坐标为(1,3)．1．L4[2012·安徽卷] 复数z 满足(z －i)i ＝2＋i ，则z ＝( ) A ．－1－i B ．1－i C ．－1＋3i D ．1－2i1．B [解析] 由()z －i i ＝2＋i ，得z －i ＝2＋ii＝1－2i ，所以z ＝1－i.L5 单元综合2012模拟题1．[2012·保定八校联考] 图K44－1为一个算法的程序框图，则其输出结果是()A ．0B ．2012C ．2011D ．11. A [解析] p ＝0，n ＝1，p ＝1，n ＝2，p ＝1，n ＝3，p ＝0，n ＝4，p ＝0，n ＝5，p ＝1，n ＝6，…，周期为4的循环变化，可知p ＝0，n ＝2012，是；p ＝0，n ＝2013；否，输出p ＝0.2．[2012·银川一中检测] 运行下面的程序，如果输入的n 是6，那么输出的p 是( )INPUT “n＝”；n k ＝1 p ＝1WHILE k<＝n p ＝p*k k ＝k ＋1WEND PRINT p ENDA ．120B ．720C ．1440D ．50402．B [解析] 如果输入的n 是6，k ＝1，p ＝1；k ＝2，p ＝2；k ＝3，p ＝6；k ＝4，p ＝24；k ＝5，p ＝120；k ＝6，p ＝720；输出720.3．[2012·南阳质量评估] 执行下面的程序框图，若p ＝4，则输出的S 等于________．K44－53. 1516 [解析] 因p ＝4，n ＝0，S ＝0；n ＝1，S ＝12；n ＝2，S ＝12＋122；n ＝3，S ＝12＋122＋123；n ＝4，S ＝12＋122＋123＋124＝1516；不满足n <p ，输出S ＝1516.4．[2012·江西师大附中月考] 设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．D [解析] ∵z 1z 2＝1－3i 3－2i ＝1－3i 3＋2i 3－2i 3＋2i ＝9－7i 13，∴z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限．5．[2012·湖南师大附中月考] 已知x1＋i＝1－y i ，其中x 、y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 等于( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i5．C [解析] x 1＋i ＝1－y i ⇒x ＝(1－y i)(1＋i)⇒x ＝(1＋y )＋(1－y )i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 1－y ＝0，x ＝1＋y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.。

J 单元 电路J1 部分电路及其规律4．M2J1[·海南卷] 如图，理想变压器原，副线圈匝数比为20∶1，两个标有“12 V”，“6 W”的小灯泡并联在副线圈的两端．当两灯泡都正常工作时，原线圈电路中电压表和电流表(可视为理想的)的示数分别是A ．120 V,0.10 AB ．240 V,0.025 AC ．120 V,0.05 AD ．240 V,0.05 A4．D [解析] 两灯泡都正常工作时，副线圈中电压U 2＝U ＝12 V ，电流为I 2＝2I ＝2＝1 A ，根据n 1n 2＝U 1U 2和n 1n 2＝I 2I 1，U 1＝n 1n 2U 2＝240 V ，I 1＝n 2n 1I 2＝0.05 A ，D 选项正确．J2 闭合电路的欧姆定律J3 电路综合问题9．(2)J3 [·天津卷] 某同学用实验的方法探究影响单摆周期的因素．①他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图所示．这样做的目的是________(填字母代号)．A ．保证摆动过程中摆长不变B ．可使周期测量得更加准确C ．需要改变摆长时便于调节D ．保证摆球在同一竖直平面内摆动②他组装好单摆后在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺从悬点量到摆球的最低端的长度L ＝0.9990 m ，再用游标卡尺测量摆球直径，结果如图所示，则该摆球的直径为________mm ，单摆摆长为________m.③下列振动图象真实地描述了对摆长为1 m 的单摆进行周期测量的四种操作过程，图中横坐标原点表示计时开始，A 、B 、C 均为30次全振动的图象，已知sin5°＝0.087, sin15°＝0.26，这四种操作过程合乎实验要求且误差最小的是____________(填字母代号)．A BC D 9．(2)[答案] ①AC ②12.0 0.9930 ③A[解析] ①摆长是影响单摆周期的一个因素，在某一次测量中应采用控制变量法保证摆长不变；在探究摆长与周期的关系时，需要改变摆长，开有狭缝的橡皮正是基于此目的设计的．②单摆的摆长为悬点到摆球球心的距离．摆球自然悬垂时，用悬点到摆球最低点的距离减去小球的半径，即为单摆的摆长．③在摆角较小的情况下，摆球的运动才可看作简谐运动．由振动图象读出单摆的振幅，结合题目给出的正弦值，可知图象A 、B 对应于单摆在摆角小于5°时的摆动情况，而图象C 、D 对应于单摆在摆角大于15°时的摆动情况；为使时间的测量更加准确，应该从小球经过平衡位置时开始计时．综上所述，选项A 正确．19．J3[·全国卷] 一台电风扇的额定电压为交流220 V ．在其正常工作过程中，用交流电流表测得某一段时间内的工作电流I 随时间t 的变化如图所示．这段时间内电风扇的用电量为( )A ．3.9×10－2度B ．5.5×10－2度C ．7.8×10－2度D ．11.0×10－2度19．B [解析] 分段计算用电量，前10 min 用电W 1＝220×0.3×600 J＝39600 J ，中间10 min 用电W 2＝220×0.4×600 J＝52800 J ，后40 min 用电W 3＝220×0.2×2400 J＝105600 J ，一个小时总的用电量W ＝W 1＋W 2＋W 3＝198000 J ，换算成度为1980001000×3600度＝5.5×10－2度．J4 实验：描绘小电珠的伏安特性曲线22．(2)J4 [·四川卷] 某学习小组的同学拟探究小灯泡L 的伏安特性曲线，可供选用的器材如下： 小灯泡L ，规格“4.0 V,0.7 A”；电流表A 1，量程3 A ，内阻约为0.1 Ω； 电流表A 2，量程0.6 A ，内阻r 2＝0.2 Ω； 电压表V ，量程3 V ，内阻r V ＝9 kΩ 标准电阻R 1，阻值1 Ω； 标准电阻R 2，阻值3 kΩ；滑动变阻器R ，阻值范围0～10 Ω； 学生电源E ，电动势6 V ，内阻不计；图2图3 图4 ①甲同学设计了如图l 所示的电路来进行测量，当通过L 的电流为0.46 A 时，电压表的示数如图2所示，此时L 的电阻为________Ω.②乙同学又设计了如图3所示的电路来进行测量，电压表指针指在最大刻度时，加在L 上的电压值是________V.③学习小组认为要想更准确地描绘出L 完整的伏安特性曲线，需要重新设计电路．请你在乙同学的基础上利用所供器材，在图4所示的虚线框内补画出实验电路图．并在图上标明所选器材代号．22．(2)[答案] ①5 ②4 ③如图所示．答图1 [解析] ①由图2知，电压表的读数为2.30 V ，根据欧姆定律，L 的电阻R L ＝U I ＝2.300.46Ω＝5 Ω；②电压表与电阻R 2串联，电压表两端的电压3 V ，根据串联电路电阻与电压的关系，电阻R 2两端的电压为1 V ，灯泡L 两端的电压为电压表和电阻R 2两端的电压之和，即为4 V ；③如答图1和答图2所示．22．Ⅱ.J4[·安徽卷] 图12为“测绘小灯泡伏安特性曲线”实验的实物电路图，已知小灯泡额定电压为(1)完成下列实验步骤：①闭合开关前，调节滑动变阻器的滑片，______； ②闭合开关后，逐渐移动变阻器的滑片，______；③断开开关，……根据实验数据在方格纸上作出小灯泡灯丝的伏安特性曲线． (2)在虚线框中画出与实物电路相应的电路图．22.图13Ⅱ.[答案] (1)①使它靠近变阻器左端的接线柱②增加小灯泡两端的电压，记录电流表和电压表的多组读数，直至电压达到额定电压(2)如图所示[解析] (1)①为了保护电表不被损坏，不会因为合上开关时电流过大而超过电表量程，应将滑片移至滑动变阻器的最左端，使滑动变阻器接入电路的阻值最大；②要测绘小灯泡的伏安特性曲线，应增加电压，记下多组电流和电压值，要使数据有明显的变化，并且在移动滑动变阻器时要注意不得超过电表的量程．(2)画电路图时应注意：电流表为外接法，滑动变阻器为分压接法．在测量金属丝电阻率的实验中，可供选用的器材如下： 待测金属丝：R x (阻值约4 Ω，额定电流约0.5 A)； 电压表：V(量程3 V ，内阻约3 kΩ)； 电流表：A 1(量程0.6 A ，内阻约0.2 Ω)； A 2(量程3 A ，内阻约0.05 Ω)； 电源：E 1(电动势3 V ，内阻不计)； E 2(电动势12 V ，内阻不计)；滑动变阻器：R (最大阻值约20 Ω)；螺旋测微器；毫米刻度尺；开关S ；导线．①用螺旋测微器测量金属丝的直径，示数如图所示，读数为________mm.②若滑动变阻器采用限流接法，为使测量尽量精确，电流表应选________、电源应选________(均填器材代号)，在虚线框内完成电路原理图．21．(2)[答案] ①1.773(1.771～1.775均正确)0.5 A ，所以流经电流表的电流最大值是0.5 A ，所以电流表选择A 1.本实验滑动变阻器采用限流法，所以滑动变阻器与待测电阻丝串联，如果选择电动势为12 V 的电源，电路中的最小电阻为120.5Ω＝24 Ω，滑动变阻器必须全部接入电路，不能得到多组数据，影响测量精度，所以电源选择E 1.34．J5[·广东卷] (1)某同学测量一个圆柱体的电阻率，需要测量圆柱体的尺寸和电阻． ①分别使用游标卡尺和螺旋测微器测量圆柱体的长度和直径，某次测量的示数如图15(a)和图15(b)所示，长度为________cm (a) (b)(c)图7②按图7(c)连接电路后，实验操作如下：(a)将滑动变阻器R 1的阻值置于最________处(填“大”或“小”)；将S 2拨向接点1，闭合S 1，调节R 1，使电流表示数为I 0；(b)将电阻箱R 2的阻值调至最________(填“大”或“小”)，S 2拨向接点2；保持R 1不变，调节R 2，使电流表示数仍为I 0，此时R 2阻值为1280 Ω；③由此可知，圆柱体的电阻为________Ω.34．(1)①5.01 5.315(5.310～5.320) ②(a)大 (b)大 ③1280 [解析] ①游标卡尺的读数＝主尺上的读数＋游标上的读数，本题主尺上的读数是5 cm ，游标上的读数是1×0.1 mm＝0.01 cm ，故游标卡尺的读数为5.01 cm ；螺旋测微器的读数＝固定尺的读数＋可动尺的读数×0.01，即5 mm ＋31.5×0.01 mm＝5.315 mm ，最后一位是估计位，可以不同．②(a)将滑动变阻器R 1的阻值调至最大，可以起到保护电流表及电源的作用；(b) 将电阻箱R 2的阻值调至最大，目的也是为了保护电流表及电源；③本题的实验方法为替代法．由I 0＝ER 1＋R A ＋r ＋R x、I 0＝E R 1＋R A ＋r ＋R 2得，R x ＝R 2＝1280 Ω.21．J5 [·北京卷] 在“测定金属的电阻率”实验中，所用测量仪器均已校准．待测金属丝接入电路部分的长度约为50 cm.(1)用螺旋测微器测量金属丝的直径，其中某一次测量结果如图1所示，其读数应为____________mm(该值接近多次测量的平均值)．图1(2)用伏安法测金属丝的电阻R x .实验所用器材为：电池组(电动势3 V ，内阻约1 Ω)、电流表(内阻约0.1 Ω)、电压表(内阻约3 kΩ)、滑动变阻器R (0～20 Ω，额定电流2 A)、开关、导线若干．某小组同学利用以上器材正确连接好电路，进行实验测量，记录数据如下：次数 1 2 3 4 5 6 7 U /V 0.10 0.30 0.70 1.00 1.50 1.70 2.30 I /A 0.020 0.060 0.160 0.220 0.340 0.460 0.520x图2(3)图3是测量R x 的实验器材实物图，图中已连接了部分导线，滑动变阻器的滑片P 置于变阻器的一端．请3中实物间的连线，并使闭合开关的瞬间，电压表或电流表不至于被烧坏．图4(4)这个小组的同学在坐标纸上建立U 、I 坐标，如图4所示，图中已标出了与测量数据对应的4个坐标点．请在图4中标出第2、4、6次测量数据的坐标点，并描绘出U －I 图线．由图线得到金属丝的阻值R x ＝________Ω(保留两位有效数字)．(5)根据以上数据可以估算出金属丝电阻率约为________(填选项前的符号)．A ．1×10－2 Ω·m B．1×10－3Ω·mC ．1×10－6 Ω·m D．1×10－8Ω·m(6)任何实验测量都存在误差．本实验所用测量仪器均已校准，下列关于误差的说法中正确的选项是________________________________________________________________________(有多个正确选项)．A ．用螺旋测微器测量金属丝直径时，由于读数引起的误差属于系统误差B ．由于电流表和电压表内阻引起的误差属于偶然误差C ．若将电流表和电压表的内阻计算在内，可以消除由测量仪表引起的系统误差D ．用U －I 图象处理数据求金属线电阻可以减小偶然误差 21．[答案] (1)(0.395～0.399) (2)甲 (3)如图3图3图4(4)如图4 (4.3～4.7) (5)C (6)CD[解析] (1)测量时被测物体长度的整数毫米数由固定刻度读出，小数部分由可动刻度读出．测量值(mm)＝固定刻度数(mm)(注意半毫米刻度线是否露出)＋可动刻度数(估读一位)×0.01(mm)．(2)从表格可以看出，电压表是从很小开始读数，所以采用分压式接法．(5)由公式R ＝ρl S可得，电阻率约为1×10－6Ω·m，C 项正确．(6)读数引起的误差为偶然误差，电流表、电压表内阻引起的误差为系统误差，A 、B 项错误；计算时，将电流表、电压表的内阻考虑在内，可以消除由测量仪表引起的系统误差，C 项正确；采用图象法，可以减小偶然误差，D 项正确．J6 实验：把电流表改装成电压表9．(3)J6 [·天津卷] 某同学在进行扩大电流表量程的实验时，需要知道电流表的满偏电流和内阻．他设计了一个用标准电流表G 1来校对待测电流表G 2的满偏电流和测定G 2内阻的电路，如图所示．已知G 1的量程略大于G 2的量程，图中R 1为滑动变阻器，R 2为电阻箱．该同学顺利完成了这个实验．__________________(填步骤的字母代号)； A ．合上开关S 2B ．分别将R 1和R 2的阻值调至最大C ．记下R 2的最终读数D ．反复调节R 1和R 2的阻值，使G 1的示数仍为I 1，使G 2的指针偏转到满刻度的一半，此时R 2的最终读数为rE ．合上开关S 1F ．调节R 1使G 2的指针偏转到满刻度，此时G 1的示数为I 1，记下此时G 1的示数②仅从实验设计原理上看，用上述方法得到的G 2内阻的测量值与真实值相比____________(填“偏大”、“偏小”或“相等”)；③若要将G 2的量程扩大为I ，并结合前述实验过程中测量的结果，写出须在G 2上并联的分流电阻R S 的表达式，R S ＝______________.9．(3)[答案] ①BEFADC ②相等 ③I 1rI －I 1[解析] ①只闭合S 1(S 2不闭合)，标准电流表G 1与待测电流表G 2串联，通过两表的电流相同，使待测电流表G 2满偏即可由标准电流表G 1读出其满偏电流I 1.再闭合S 2后，反复调节R 1和R 2的阻值，使G 1的电流仍为I 1，而G 2的电流为12I 1，则此时通过电阻箱R 2的电流也为12I 1，据并联电路的特点知，电阻箱R 2的阻值与G 2的内阻相等．②从实验设计的原理上，可准确得到待测电流表G 2的内阻．③若要将G 2的量程扩大为I ，需并联一个分流电阻R S ，G 2满偏时通过分流电阻R S 的电流应为I －I 1，此时分流电阻R S 两端的电压与G 2的满偏电压相等，为I 1r ，所以R S ＝I 1rI －I 1.J7 实验：测定电源的电动势和内阻22．J7 [·重庆卷] (1)如图所示为光学实验用的长方体玻璃砖，它的________面不能用手直接接触． 在用插针法测定玻璃砖折射率的实验中，两位同学绘出的玻璃砖和三个针孔a 、b 、c 的位置相同，且插在c 位置的针正好挡住插在a 、b 位置的针的像，但最后一个针孔的位置不同，分别为d 、e 两点，如图所示，计算折射率时，用________(填“d ”或“e ”)得到的值较小，用________(填“d ”或“e ”)点得到的值误差较小．(2)某中学生课外科技活动小组利用铜片、锌片和家乡盛产的柑橘制作了果汁电池，他们测量这种电池的，并探究电极间距对E 和r 的影响，实验器材如图所示．①测量E 和r 的实验方案为：调节滑动变阻器，改变电源两端的电压U 和流过电源的电流I ，依据公式______，利用测量数据作出U －I 图象，得出E 和r .②将电压表视为理想表，要求避免电流表分压作用对测量结果的影响，请在图中用笔画线代替导线连接电路．③实验中依次减小铜片与锌片的间距，分别得到相应果汁电池的U －I 图象如图中(a )(b )(c )(d )所示，由此可知：在该实验中，随电极间距的减小，电源电动势________(填“增大”、“减小”或“不变”)，电源内阻________(填“增大”、“减小”或“不变”)．曲线(c )对应的电源电动势E ＝__________V ，内阻r ＝________Ω，当外电路总电阻为2500 Ω时，该电)[解析] (1) 玻璃砖的光学面不能用手直接接触，接触面的污渍会影响接触面的平整，进而影响折射率的测定．连接dc 、 ec 并延长至玻璃砖的光学面与白纸的交线，交点为出射点，入射点与出射点的连线即为折射光线，入射角一定，用d 点时，折射角大，折射率小；对于两光学面平行的玻璃砖，入射光线和出射光线平行，ec 连线与入射光线平行，误差小．(2)①根据闭合电路的欧姆定律，U ＝E －Ir . ②如图所示．③图线与纵轴的交点的纵坐标即为电动势，交点纵坐标不变，所以电动势不变，为0.975 V ；图线斜率的绝对值即为内阻，斜率的绝对值变大，内阻变大．(c )对应图线斜率绝对值约为478(从线上选取两点即可求斜率)，电源的输出功率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫E R ＋r 2R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0.9752500＋4782×2500 W＝2.68×10－4 W ＝0.268 mW.19．(2)J7、J8 [·福建卷] 某研究性学习小组欲测定一块电池的电动势E .①先直接用多用电表测定该电池电动势．在操作无误的情况下，多用电表表盘示数如图，其示数为R 、定值电阻R 0、开关S 、若干导线和该电池组成电路，测定该电池电动势．(ⅱ)闭合开关S ，调整电阻箱阻值R ，读出电压表V 相应示数U .该学习小组测出大量数据，分析筛选出下表所示的R 、U 数据，并计算出相应的1R 与1U 的值．请用表中数据在坐标纸上描点，并作出1U －1R图线．R (Ω) 166.7 71.4 50.0 33.3 25.0 20.0 U (V)8.3 5.9 4.8 4.2 3.2 2.9 1R(×10－2Ω－1)0.60 1.40 2.00 3.00 4.00 5.00 1U(V －1)0.120.170.210.240.310.3519．(2)[答案] ①9.4 ②(ⅰ)如图所示(ⅱ)如图所示 50小格，每小格代表0.2 V ，指针指在47小格，其对应的电压为0.2×47 V＝9.4 V(由于最小刻度为0.2 V ，所以结果只需保留到0.1 V 即可)；②根据闭合电路的欧姆定律有：E ＝U R (r ＋R 0)＋U ，两边同时除以EU ，整理可得1U ＝r ＋R 0E ·1R ＋1E ，对照1U －1R图象可知，图象的斜率表示r ＋R 0E ，图象与纵坐标的交点表示1E，代入相关数值即可得出E ＝10.0 V.J8 实验：多用电表的使用(用多用电表探索黑箱内的电学元件) 22．J8[·全国卷] 在黑箱内有一由四个阻值相同的电阻构成的串并联电路，黑箱面板上有三个接线柱1、2和3.用欧姆表测得1、2接线柱之间的电阻为1 Ω，2、3接线柱之间的电阻为1.5 Ω，1、3接线柱之间的电阻为2.5 Ω.(2)如果将1、3接线柱用导线连接起来，1、2接线柱之间的电阻为________Ω. 22．[答案] (1)黑箱内电阻串并联方式如图所示． (2)0.6理、猜想、验证多个环节．根据已知条件，画出猜测的草图，然后整体验证所画草图是否与已知条件有矛盾，没有矛盾就是正确的，有矛盾再逐步修正．因为1、2接线柱之间的电阻为1 Ω，2、3接线柱之间的电阻为1.5 Ω，1、3接线柱之间的电阻为2.5 Ω.可见1、2接线柱之间是最简单的，猜测1、2接线柱之间只有一个1 Ω电阻；因为2、3接线柱之间的电阻为1.5 Ω，猜测2、3接线柱之间两个1 Ω电阻并联再跟一个1 Ω电阻串联，经验证，这种电路是正确的．10．J8[·江苏卷] 如图所示的黑箱中有三只完全相同的电学元件，小明使用多用电表对其进行探测．图8(1)在使用多用电表前，发现指针不在左边“0”刻度线处，应先调整图中多用电表的________(选填“A”、“B”或“C”)．(2)在用多用电表的直流电压挡探测黑箱a、b接点间是否存在电源时，一表笔接a，另一表笔应______(选填“短暂”或“持续”)接b，同时观察指针偏转情况．(3)在判定黑箱中无电源后，将选择开关旋至“×1”挡，调节好多用电表，测量各接点间的阻值．测量中发现，每对接点间正反向阻值均相等，测量记录如下表．两表笔分别接a、b时，多用电表的示数如图所示．请将记录表补充完整，并在黑箱图中画出一种可能的电路.两表笔接的接点多用电表的示数a、b ________Ωa、c 10.0 Ωb、c 15.0 Ω10.[答案] (1)A(2)短暂(3)5.0 如图所示[解析] (1)在使用多用电表时发现指针不在左边“0”刻度线处，则需要进行机械调零，即调节A；(2)在用直流电压挡探测黑箱a、b接点间是否有电源时，一个表笔接a，另一个表笔应短暂接b，防止电流过大烧毁电表；(3)每对接点间正反向电阻相等，说明黑箱中只有电阻，由于选择开关选择的是“×1”挡，因此两表笔分别接a、b时，多用电表的示数从表盘中读出为5.0 Ω；根据表格中数据，可知各接点间的电阻连接如图所示．19．(2)J7、J8[·福建卷] 某研究性学习小组欲测定一块电池的电动势E.①先直接用多用电表测定该电池电动势．在操作无误的情况下，多用电表表盘示数如图，其示数为________V.R、定值电阻R0、开关S、若干导线和该电池组成电路，测定该电池电动势．(ⅱ)闭合开关S，调整电阻箱阻值R，读出电压表V相应示数U.该学习小组测出大量数据，分析筛选出下表所示的R、U数据，并计算出相应的1R与1U的值．请用表中数据在坐标纸上描点，并作出1U－1R图线．R(Ω)166.7 71.4 50.0 33.3 25.0 20.0U(V) 8.3 5.9 4.8 4.2 3.2 2.91R(×10－2Ω－1) 0.60 1.40 2.00 3.00 4.00 5.001U(V－1) 0.12 0.17 0.21 0.24 0.31 0.3519．(2)[(ⅱ)如图所示(ⅲ)9.5～11.150小格，每小格代表0.2 V ，指针指在47小格，其对应的电压为0.2×47 V＝9.4 V(由于最小刻度为0.2 V ，所以结果只需保留到0.1 V 即可)；②根据闭合电路的欧姆定律有：E ＝U R (r ＋R 0)＋U ，两边同时除以EU ，整理可得1U ＝r ＋R 0E ·1R ＋1E ，对照1U －1R图象可知，图象的斜率表示r ＋R 0E ，图象与纵坐标的交点表示1E，代入相关数值即可得出E ＝10.0 V.J9 实验：传感器的简单应用J10 电学实验综合23．J10[·课标全国卷] 图中虚线框内存在一沿水平方向、且与纸面垂直的匀强磁场．现通过测量通电导线在磁场中所受的安培力，来测量磁场的磁感应强度大小、并判定其方向．所用部分器材已在图中给出，其中D 为位于纸面内的U 形金属框，其底边水平，两侧边竖直且等长；E 为直流电源；R 为电阻箱；A 为电流表；S 为开关．此外还有细沙、天平、米尺和若干轻质导线．图8(1)在图中画线连接成实验电路图． (2)完成下列主要实验步骤中的填空： ①按图接线．②保持开关S 断开，在托盘内加入适量细沙，使D 处于平衡状态；然后用天平称出细沙质量m 1.③闭合开关S ，调节R 的值使电流大小适当，在托盘内重新加入适量细沙，使D ______；然后读出______，并用天平称出________．④用米尺测量________．(3)用测得的物理量和重力加速度g 表示磁感应强度的大小，可以得出B ＝________.(4)判定磁感应强度方向的方法是：若________，磁感应强度方向垂直纸面向外；反之，磁感应强度方向垂直纸面向里．23．[答案] (1)如图所示(2)③重新处于平衡状态 电流表的示数I 此时细沙的质量m 2 ④D 的底边长度l (3)|m 2－m 1|g Il(4)m 2＞m 1[解析] 将电源、开关、电流表、电阻箱和U 形金属框串联成闭合电路．设U 形金属框质量为m ，当开关S 断开时，有mg ＝m 1g ，当开关S 闭合时，有mg ＋BIL ＝m 2g ，联立解得：B ＝|m 2－m 1|Ilg .若m 2＞m 1，U 形金属框所受的安培力向下，磁感应强度方向垂直纸面向外；反0磁感应强度方向垂直纸面向里．1．·河南联考如图所示，A 1、A 2是两只完全相同的电流表(内阻不可忽略)，电路两端接恒定电压U ，这时A 1、A 2的示数依次为5 mA 和3 mA.若将A 2改为和R 2串联，仍接在恒定电压U 之间，这时电表均未烧坏．下列说法正确的是( )1 B ．通过电阻R 2的电流必然增大 C ．通过电流表A 1的电流必然增大 D ．通过电流表A 2的电流必然增大1．AC [解析] 由A 1、A 2的示数依次为5 mA 和3 mA ，可知R 1＋R A2＜R 2，由于并联电路各支路中最小的电阻越小，总电阻越小，故当把A 2改为和R 2串联时，电路中总电阻减小，总电流变大，C 对；由于总电流增大，电流表A 1两端电压增大，并联支路两端电压减小，而R 2所在支路电阻增大，故通过R 2和电流表A 2的电流必然减小，所以通过R 1的电流必然增大，A 对．2．·大同模拟一台国产封闭型贮水式电热水器的铭牌上所列的主要技术参数如下表所示．根据表中所提供的数据，计算出此电热水器在额定电压下处于加热状态时通过电热水器的电流约为( )额定容量 54 L 最高水温 75℃ 额定功率 1500 W 额定压力 0.7 MPa 额定电压 220 V 电器类别 Ⅰ类A ．6.8 AB ．0.15 AC ．4.4 AD ．0.23 A2．A [解析] 由P ＝UI 可知，该电热水器在额定电压下处于加热状态时的电流为：I ＝P U ＝1500220A ＝6.8 A ，故选项A 正确．3．·云南联考如图所示，电源内阻不可忽略，R 1为半导体热敏电阻，它的电阻随温度的升高而减小，R 2为锰铜合金制成的可变电阻．当发现灯泡L 的亮度逐渐变暗时，可能的原因是( )1B．R1的温度逐渐升高C．R2的阻值逐渐增大D．R2的阻值逐渐减小3．AD [解析] 当发现灯泡L的亮度逐渐变暗时，灯泡中电流逐渐减小，可能是R1的阻值逐渐增大，R1的温度逐渐降低，选项A正确，选项B错误；也可能是R2的阻值逐渐减小，导致灯泡分流较小，选项C错误，选项D正确．4．·湘潭模拟如图所示的电路中，灯泡A和灯泡B原来都是正常发光的．现在突然发现灯泡A比原来变( )A．3断路B．R1短路C．R2断路D．R1、R2同时短路4．C [解析] 灯泡A变暗，灯泡B变亮，说明流过灯A的电流变小，而流过灯B的电流增大，因为正常情况下，流过灯B的电流与流过灯A的电流成正比，即I B＝R2R2＋R BI A，所以故障可能出现在与灯B并联的R2上，可见，选项C正确．5．·湖北联考如图所示电路中，开关闭合稳定后，某时刻理想电压表和电流表的读数都突然增大，造成( )11C．R2断路 D．R3短路5．AD [解析] 若R1断路，则总电阻增大，总电流减小，路端电压增大，所以R2分得的电压也增大，电压表示数增大，电流表示数也增大，选项A正确；若R1短路，则电源被短路，电流表和电压表读数均为零，B错误；若R2断路，则电流表读数为零，C错误；若R3短路，回路的总电阻减小，由闭合电路欧姆定律得干路的总电流增大，所以U外＝E－Ir电源的路端电压减小，通过R1的电流减小；因I＝I1＋I2，所以通过电流表支路的电流增大，故电压表和电流表的读数都突然增大，选项D正确．6．·安徽模拟多用电表测电阻时，下列操作中正确的是( )A．测量前检查表针是否停在左端的“0”位置，如不在则要进行欧姆调零B．用“×1”欧姆挡，若指针恰好在刻度30～50的正中，则待测电阻为40 ΩC．用“×1 k”挡，若指针偏转角度太大，应换成“×100”或“×10”或“×1”D．每次换挡后都要重新欧姆调零6．CD [解析] 要区分欧姆调零与机械调零，A错误；欧姆表刻度不均匀，B错误；用“×1 k”挡，若指针偏转角度太大，表明被测电阻很小，应换成“×100”或“×10”或“×1”挡，C正确；每次换挡后都要重新欧姆调零，D正确．。

三角函数(高考真题+模拟新题)课标理数10.C1[2011·江西卷] 如图1，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周．点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )图1图2课标理数10.C1[2011·江西卷] A 【解析】 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O .设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M 所处位置为点M ′，则大圆圆弧AM 与小圆圆弧AM ′相等．以切点A 在劣弧MB 上运动为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧AM 的长为l 1＝θ×1＝θ，小圆圆弧AM 1的长为l 2＝2θ×12＝θ，即l 1＝l 2，∴小圆的两段圆弧AM ′与AM 1的长相等，故点M 1与点M ′重合，即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动． 点A 在其他象限类似可得，M 、N 的轨迹为相互垂直的线段． 观察各选项，只有选项A 符合．故选A.课标文数14.C1[2011·江西卷] 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.课标文数14.C1[2011·江西卷] －8 【解析】 r ＝x 2＋y 2＝16＋y 2，∵sin θ＝－255，∴sin θ＝y r ＝y 16＋y 2＝－255，解得y ＝－8.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数 5.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.大纲文数14.C2[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝________. 大纲文数14.C2[2011·全国卷] －55 【解析】 ∵tan α＝2，∴sin α＝2cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，∴cos α＝－55.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 若cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则tan α＝________. 大纲文数12.C2[2011·重庆卷] 43 【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4， 又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减．课标文数12.C3[2011·辽宁卷] 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图1－7，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝( )图1－7A ．2＋ 3 B. 3C.33D ．2－ 3 课标文数12.C3[2011·辽宁卷] B 【解析】 由图象知πω＝2×⎝⎛⎭⎫3π8－π8＝π2，ω＝2.又由于2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4.这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.又图象过(0,1)，代入得A ＝1，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝3，故选B.课标文数15.C4[2011·安徽卷] 设f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0；②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5； ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数；④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交． 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号)． 课标文数15.C4[2011·安徽卷] 【答案】 ①③【解析】 f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2，因为对一切x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1.故φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6()k ∈Z .故f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 对于①，f ⎝⎛⎭⎫11π12＝a 2＋b 2sin2π＝0，或f ⎝⎛⎭⎫11π12＝－a 2＋b 2sin2π＝0，故①正确； 对于②，⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫7π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 47π30＝a 2＋b 2sin 17π30， ⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5＝⎪⎪⎪⎪a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2π5＋π6＝a 2＋b 2⎪⎪⎪⎪sin 17π30 ＝a 2＋b 2sin 17π30.所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误； 对于③，由解析式f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，或f (x )＝－a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知其既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；对于④，当f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6时，⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )是f (x )的单调递减区间，故④错误；对于⑤，要使经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交，则此直线须与横轴平行，且|b |>a 2＋b 2，此时平方得b 2>a 2＋b 2，这不可能，矛盾，故不存在过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图像不相交．故⑤错．课标理数9.C4[2011·安徽卷] 已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 课标理数9.C4[2011·安徽卷] C 【解析】 对x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6恒成立，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6，k ∈Z . 因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝s in(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ<0.所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6. 由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，答案为C.大纲理数5.C4[2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9大纲理数5.C4[2011·全国卷] C 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.大纲文数7.C4[2011·全国卷] 设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9 大纲文数7.C4[2011·全国卷] C 【解析】 将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后得到的图像与原图像重合，则π3＝2πωk ，k ∈Z ，得ω＝6k ，k ∈Z ，又ω＞0，则ω的最小值等于6，故选C.课标理数16.D3，C4[2011·福建卷] 已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．课标数学16.D3，C4[2011·福建卷] 【解答】 (1)由q ＝3，S 3＝133得a 1(1－33)1－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3.因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝1. 又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.课标理数3.C4[2011·湖北卷] 已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R ，若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 课标理数3.C4[2011·湖北卷] B 【解析】 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x －π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .课标文数6.C4[2011·湖北卷] 已知函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z 课标文数6.C4[2011·湖北卷] A 【解析】 因为f (x )＝3sin x －cos x ＝2sin x －π6，由f (x )≥1，得2sin x －π6≥1，即sin x －π6≥12，所以π6＋2k π≤x －π6≤5π6＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递减C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π4，3π4单调递增课标理数11.C4，C5[2011·课标全国卷] A 【解析】 原式可化简为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π4，因为f (x )的最小正周期T ＝2πω＝π，所以ω＝2.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4， 又因为f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4＝±2cos2x ， 所以φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又因为||φ<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ， 所以f (x )＝2cos2x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减．课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] D 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标理数 6.C4[2011·山东卷] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A ．3 B ．2 C.32 D.23课标理数6.C4[2011·山东卷] C 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )是增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标文数 6.C4[2011·山东卷] 若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32C ．2D ．3课标文数6.C4[2011·山东卷] B 【解析】 本题考查三角函数的单调性．因为当0≤ωx ≤π2时，函数f (x )为增函数，当π2≤ωx ≤π时，函数f (x )为减函数，即当0≤x ≤π2ω时，函数f (x )为增函数，当π2ω≤x ≤πω时，函数f (x )为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32.课标数学9.C4[2011·江苏卷] 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图1－1所示，则f (0)的值是________．图1－1课标数学9.C4[2011·江苏卷]62【解析】 由图象可得A ＝2，周期为4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，所以ω＝2，将⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入得2×7π12＋φ＝2k π＋32π，即φ＝2k π＋π3，所以f (0)＝2sin φ＝2sin π3＝62.课标文数7.C4[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数课标文数7.C4[2011·天津卷] A 【解析】 ∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2k π＋π2，k∈Z 且－π<φ≤π，∴当k ＝0时，φ＝π3，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π3，要使f (x )递增，须有2k π－π2≤13x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解之得6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，－52π≤x ≤π2，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－52π，π2上递增．课标文数18.C4[2011·浙江卷] 【解答】 (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ的图象上，所以sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1， 又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )．由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A 2＝－12， 解得A 2＝3，又A ＞0，所以A ＝ 3.课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标理数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 已知函数f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 课标文数15.C3，C5[2011·北京卷] 【解答】 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷] 【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B . 又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C .故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°， 所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] 设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递增，其图像关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2单调递减，其图像关于直线x ＝π2对称 课标文数11.C4，C5[2011·课标全国卷] D 【解析】 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x ，所以y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递减， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cosπ＝－2，是最小值．所以函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称．课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.课标理数6.C5[2011·浙江卷] 若0<α<π2，－π2<β<0，cos π4＋α＝13，cos π4－β2＝33，则cos α＋β2＝( ) A.33 B ．－33 C.539 D ．－69 课标理数6.C5[2011·浙江卷] C【解析】 ∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，0<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝233.又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，－π2<β<0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63，∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝13×33＋223×63＝539.大纲理数14.C6[2011·全国卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，则tan2α＝________. 大纲理数14.C6[2011·全国卷] －43 【解析】 ∵sin α＝55，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－255，则tan α＝－12，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－121－⎝⎛⎭⎫－122＝－43.课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] 若tan α＝3，则sin2αcos 2α的值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．6课标理数3.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝2tan α＝6，故选D.课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] 若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22 B.33C. 2D. 3 课标文数9.C2，C6[2011·福建卷] D 【解析】 因为sin 2α＋cos2α＝sin 2α＋1－2sin 2α＝1－sin 2α＝cos 2α，∴cos 2α＝14，sin 2α＝1－cos 2α＝34，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴cos α＝12，sin α＝32，tan α＝sin αcos α＝3，故选D.课标理数5.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35 C.35 D.45课标理数 5.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标理数7.C6[2011·辽宁卷] 设sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19 C.19 D.79课标理数7.C6[2011·辽宁卷] A 【解析】 sin2θ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ＝－⎣⎡⎦⎤1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ.由于sin ⎝⎛⎭⎫π4＋θ＝13，代入得sin2θ＝－79，故选A.课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35D.45课标文数7.C1，C6[2011·课标全国卷] B 【解析】 解法1：在角θ终边上任取一点P (a,2a )(a ≠0)，则r 2＝||OP 2＝a 2＋(2a )2＝5a 2，∴cos 2θ＝a 25a 2＝15，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35.解法2：tan θ＝2a a ＝2，cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.课标数学7.C6[2011·江苏卷] 已知tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2, 则tan x tan2x的值为________．课标数学7.C6[2011·江苏卷] 49【解析】因为tan⎝⎛⎭⎫x＋π4＝2，所以tan x＝13，tan2x＝2×131－19＝2389＝34，即tan xtan2x＝49.课标理数16.C7[2011·广东卷] 已知函数f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎫13x－π6，x∈R. (1)求f⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．课标理数16.C7[2011·广东卷] 【解答】(1)f⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin⎝⎛⎭⎫13×54π－π6＝2sinπ4＝ 2.(2)∵1013＝f3α＋π2＝2sin13×3α＋π2－π6＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sin⎣⎡⎦⎤13×(3β＋2π)－π6＝2sin⎝⎛⎭⎫β＋π2＝2cosβ，∴sinα＝513，cosβ＝35，又∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sinβ＝1－cos2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝35×1213－513×45＝1665.课标文数16.C7[2011·广东卷]已知函数f(x)＝2sin⎝⎛⎭⎫13x－π6，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求sin(α＋β)的值．课标文数16.C7[2011·广东卷] 【解答】(1)f(0)＝2sin⎝⎛⎭⎫－π6＝－2sinπ6＝－1.(2)∵1013＝f3α＋π2＝2sin13×3α＋π2－π6＝2sinα，65＝f(3β＋2π)＝2sin13×(3β＋2π)－π6＝2sinβ＋π2＝2cosβ，∴sinα＝513，cosβ＝35，又α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴cosα＝1－sin2α＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，sin β＝1－cos 2β＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，故sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝513×35＋1213×45＝6365.课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝2cos A, 求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．课标数学15.C5，C7[2011·江苏卷] 本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【解答】 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A .从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A＝3，因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2，所以sin C ＝cos A ＝13.课标理数15.C7[2011·天津卷] 已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，若f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，求α的大小． 课标理数15.C7[2011·天津卷] 【解答】 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z .所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪x ≠π8＋k π2，k ∈Z . f (x )的最小正周期为π2.(2)由f ⎝⎛⎭⎫α2＝2cos2α，得tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos2α，sin ⎝⎛⎭⎫a ＋π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)．因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0， 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin2α＝12.由α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，得2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以2α＝π6，即α＝π12.课标文数16.C8[2011·安徽卷] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，a ＝3，b ＝2，1＋2cos(B ＋C )＝0，求边BC 上的高．课标文数16.C8[2011·安徽卷] 本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，利用正弦定理或余弦定理解三角形，以及三角形的边与角之间的对应大小关系，考查综合运算求解能力．【解答】 由1＋2cos(B ＋C )＝0和B ＋C ＝π－A ，得1－2cos A ＝0，cos A ＝12，sin A ＝32.再由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝22.由b <a 知B <A ，所以B 不是最大角，B <π2，从而cos B ＝1－sin 2B ＝22.由上述结果知sin C ＝sin(A ＋B )＝22⎝⎛⎭⎫32＋12.设边BC 上的高为h ，则有h ＝b sin C ＝3＋12.课标理数14.C8[2011·安徽卷] 已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．课标理数14.C8[2011·安徽卷] 153 【解析】 不妨设∠A ＝120°，c <b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以c ＝6.所以S ＝12bc sin120°＝15 3.课标理数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________.课标理数9.C8[2011·北京卷] 255210【解析】 因为tan A ＝2，所以sin A ＝255；再由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 255＝522，可得a ＝210.课标文数9.C8[2011·北京卷] 在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.课标文数9.C8[2011·北京卷] 523 【解析】 由正弦定理有：a sin A ＝b sin B ，即a 13＝522，得a＝523.大纲理数17. C5，C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知A －C ＝90°，a ＋c ＝2b ，求C .大纲理数17.C5，C8[2011·全国卷] 【解答】 由a ＋c ＝2b 及正弦定理可得 sin A ＋sin C ＝2sin B . 又由于A －C ＝90°，B ＝180°－(A ＋C )，故 cos C ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin(90°＋2C ) ＝2cos2C .故22cos C ＋22sin C ＝cos2C ， cos(45°－C )＝cos2C . 因为0°<C <90°， 所以2C ＝45°－C ，C ＝15°.大纲文数18.C8[2011·全国卷] △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 大纲文数18.C8[2011·全国卷] 【解答】 由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .故cos B ＝22，因此B ＝45°.(2)sin A ＝sin(30°＋45°) ＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a ＝b ×sin Asin B ＝2＋62＝1＋3，c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin60°sin45°＝ 6.课标理数14.C8图1－5[2011·福建卷] 如图1－5，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，则AD 的长度等于________．课标理数14.C8[2011·福建卷] 【答案】 2 【解析】 在△ABC 中，由余弦定理，有cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝(23)22×2×23＝32，则∠ACB ＝30°.在△ACD 中，由正弦定理，有AD sin C ＝ACsin ∠ADC， ∴AD ＝AC ·sin30°sin45°＝2×1222＝2，即AD 的长度等于 2.课标文数14.C8[2011·福建卷] 若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________．课标文数14.C8[2011·福建卷] 2 【解析】 方法一：由S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. 由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos60°＝22＋22－2×2×2×12＝4，∴ AB ＝2，即边AB 的长度等于2.方法二：由S △AB C ＝12AC ·BC sin C ，得12AC ·2sin60°＝3，解得AC ＝2. ∴AC ＝BC ＝2, 又∠ACB ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，AB ＝2，即边AB 的长度等于2.课标理数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．课标理数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78.∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.课标文数16.C8[2011·湖北卷] 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos(A －C )的值．课标文数16.C8[2011·湖北卷] 【解答】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5.(2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154， ∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158.∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫1582＝78.∴cos(A －C )＝cos A cos C ＋sin A sin C ＝78×14＋158×154＝1116.课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．课标理数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －c os ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 课标文数17.C8，C4[2011·湖南卷] 【解答】 (1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C . 因为0<A <π，所以sin A >0. 从而sin C ＝cos C .又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4＝3sin A －cos(π－A ) ＝3sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6. 因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6取最大值2. 综上所述，3sin A －cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.课标理数17.C8[2011·江西卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sin C＋cos C ＝1－sin C2.(1)求sin C 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8，求边c 的值．课标理数17.C8[2011·江西卷] 【解答】 (1)由已知得sin C ＋sin C 2＝1－cos C ，即sinC2⎝⎛⎭⎫2cos C 2＋1＝2sin 2C 2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方得：sin C ＝34.(2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4＜C 2＜π2，即π2＜C ＜π，则由sin C ＝34得cos C ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b )－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝8＋27，所以c ＝7＋1.课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则AB ＋2BC 的最大值为________．课标理数16.C5，C8[2011·课标全国卷] 27 【解析】 因为B ＝60°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝120°，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ＝AC sin B ＝3sin60°＝2， 所以AB ＝2sin C ，BC ＝2sin A .所以AB ＋2BC ＝2sin C ＋4sin A ＝2sin(120°－A )＋4sin A ＝2(sin120°cos A －cos120°sin A )＋4sin A ＝3cos A ＋5sin A＝27sin(A ＋φ)，(其中sin φ＝327，cos φ＝527)所以AB ＋2BC 的最大值为27.课标理数4.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B＋b cos 2A ＝2a ，则ba＝( )A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2课标理数4.C8[2011·辽宁卷] D 【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B得a sin B ＝b sin A ，所以a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a 化为b sin 2A ＋b cos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，故选D.课标文数17.C8[2011·辽宁卷] △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 课标文数17.C8[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ， 即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以ba＝ 2.(2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝12，又cos B ＞0，故cos B ＝22，所以B ＝45°.课标文数15.C8[2011·课标全国卷] △ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．课标文数15.C8[2011·课标全国卷] 1534 【解析】 解法1：由正弦定理，有AC sin B ＝ABsin C，即7sin120°＝5sin C， 所以sin C ＝5sin120°7＝5314，所以cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫53142＝1114， 又因为A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＋C ＝60°， 所以sin A ＝sin(60°－C )＝sin60°cos C －cos60°sin C ＝32×1114－12×5314＝3314， 所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×5×7×3314＝1534.解法2：设BC ＝x (x >0)，由余弦定理，有cos120°＝52＋x 2－7210x，整理得x 2＋5x －24＝0，解得x ＝3，或x ＝－8(舍去)，即BC ＝3，所以S △ABC ＝12AB ·BC sin B ＝12×5×3×sin120°＝12×5×3×32＝1534.课标文数17.C8[2011·山东卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab.(1)求sin C sin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．课标文数17.C8[2011·山东卷] 【解答】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k .则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B.所以原等式可化为cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B.即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以原等式可化为sin C ＝2sin A ，因此sin C sin A＝2.(2)由正弦定理及sin Csin A＝2得c ＝2a ，由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2.所以b ＝2a . 又a ＋b ＋c ＝5. 从而a ＝1， 因此b ＝2.课标理数18.F3，C8[2011·陕西卷] 叙述并证明余弦定理． 课标理数18.F3，C8[2011·陕西卷] 【解答】 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，。

M推理与证明M1合情推理与演绎推理11. M1 ［2012陕西卷］观察下列不等式1 31+ 产2，1 1 51+ 2"+ 产3，11171+ 尹尹42<4，照此规律，第五个.不等式为 _______________ .1 1 1 1 1 1111 1+ 2+3+孑+5 + 62<_6［解析］本小题主要考查了归纳与推理的能力，解题的关键是对给出的几个事例分析，找出规律，推出所要的结果.从几个不等式左边分析，可得出第五个式子的左边为：1+1+ 1111孑+孑+孑+孑，对几个不等式右边分析，其分母依次为：2,3,4，所以第5个式子的分母应为6,而其分子依次为：3,5,7，所以第5个式子的分子应为11,所以第5个式子应为：1,1 1 1 1 1 11+尸+孑+孑+孑+彳< 百.13 . M1 ［2012湖北卷］回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443,94249等.显然2位回文数有9个：11,22,33,…，99.3位回文数有90个：101,111,121,…，191,202，…，999•则(1)4位回文数有 _______ 个；(2)2n + 1(n€ N*)位回文数有______ 个.13. (1)90 (2)9 X 10n［解析］由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90= 9 X 10 个，4 位回文数有1001,1111,1221,…，1991,2002,…，9999,共90 个，故归纳猜想2n+ 2位回文数与2n + 1位回文数个数相等，均为9X 10n个.16. M1 ［2012湖南卷］设N= 2n( n€ N *, n》2)，将N个数X1, x?,…，X N依次放入编号为1,2,…，N的N个位置，得到排列P0= X1X2…X N.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前N和后N个位置，得到排列P1 = X1X3…X N-1X2X4…X N,将此操作称为C变换.将P1分成两段，每段N个数，并对每段作C变换，得到P2；当2W i < n —2时，将P i分成2，段，每段§个数，并对每段作C变换，得到P i+1.例如，当N = 8时，P2 =X1X5X3X7X2X6X4X8，此时X位于P2中的第4个位置.(1)当N = 16时，X7位于P2中的第__________ 个位置；(2)当N = 2n(n》8)时，X173位于卩4中的第________ 个位置.16. (1)6 (2) 3X 2n—4+ 11 ［解析］考查合情推理，以新定义题型为载体，依据排列, 考查考生的逻辑推理能力，要求学生的想象能力相当出色.(1)由已知可得个位置；P1= X1X3X5X7X9X11X13X15…,卩2= X1X5X9X13X3X7X11X15…，故X位于P2 中的第 6(2) 当i = 1 时，173 + 1P1的排列中X173的位置是2= 87位；［来源学咄87亠ii = 2时，P 2的排列中 心3的位置是87尹=44位；2“— 2i = 3时，P 3的排列中x 173的位置是 分 + 44= 2n —3 + 22位；2n —3+ 22i = 4 时，P 4的排列中 x 173 的位置是 2n —3 + ——= 2n —3 + 2n —4+ 11 = 3X 2n —4+ 11 位.M1 [2012 •西卷]观察下列各式：a + b = 1, a 2 + b 2 = 3, a 3 + b 3 = 4, a 4 + b 4= 7, + b 5= 11,…，则 a 10 + b 10=( )A . 28B . 76C . 123D . 1996. C ［解析］考查归纳推理，以及观察能力；解题的突破口是通过观察得到后一项与 前两项结果之间的关系. 由于 a + b = 1, a 2+ b 2= 3, a 3+ b 3= 4, a 4+ b 4= 7, a 5 + b 5= 11,…， 通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和•因此，a 6 +b 6= 11 + 7= 18, a 7 + b 7= 18+ 11 = 29, a 8+ b 8= 29 + 18= 47, a 9+ b 9= 47 + 29= 76, a 10 + b 10 = 76+ 47= 123,故选 C.M2直接证明与间接证明23. M2、D1 ［2012 上海卷］对于数集 X = ｛ — 1 , X 1, x ?，…，X “｝，其中 OvX 1<X 2V … vx n , n > 2，定义向量集 Y = ｛a |a = (s , t), s € X , t € X ｝，若对任意 a 1 € Y ,存在 a 2 € Y ,使 得a 1 a 2= 0,则称X 具有性质P ，例如｛ — 1,1,2｝具有性质P .(1) 若x >2，且｛ — 1,1,2, x ｝具有性质P ，求x 的值；⑵若X 具有性质P ,求证：1 € X ，且当x n > 1时，X 1= 1；⑶若X 具有性质P ，且X 1 = 1、X 2= q(q 为常数)，求有穷数列X 1, x ?，…，x “的通项公 式. 23.解：(1)选取a 1= (x,2), Y 中与a 1垂直的元素必有形式(—1, b), 所以x = 2b ，从而x = 4.⑵证明：取 a 1 = (X 1, X 1) € Y ,设 a 2= (s , t) € Y ,满足 a 1 a 2= 0. 由(s + t)x 1 = 0 得 s +1 = 0,所以 s , t 异号.因为一1是X 中唯一的负数，所以 s , t 之中一个为一1，另一个为1,故1 € X. 假设 X k = 1,其中 1 < k < n ,贝U 0< X 1< 1< X n .选取 a 1 = (X 1, X n )€ Y ,并设 a 2= (s , t)€ Y 满足 a 1 a 2= 0，即 sx , + tX n = 0, 则s , t 异号，从而s , t 之中恰有一个为—1. 若 s =— 1,贝U x 1= tx n> t > %，矛盾； 若 t =— 1,则 X n = sX 1< s < X n ,矛盾. 所以X 1= 1.⑶设 a 1= (s1, t1), a 2= (s 2, t2)，则 a 1 a 2= 0等价于学=—£，f记B =i ；|s € X , t € X , |s|> |t|｝，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称.t注意到一1是X 中的唯一负数，B n (—a, 0) = ｛ — X 2,— X 3,…，一X n ｝共有n — 1个数， 所以B n (0,+a)也只有n — 1个数.a 56.由于’ X n X n < X < …< X n X n <_, X 2 X 1 X nX nX n X n <V … < <X n — 1 X n —2X 2 X 1X n —1 X n —1X n —1< V … <X n — 2 X n —3 X 1已有n — 1个数，对以下三角数阵 X 2X 119. D2、D3、M2 [2012湖南卷]已知数列｛a n ｝的各项均为正数，记 A(n) = a j +玄鸟+…十 a n , B(n)= a 2 + a 3 + …+ a *+1, C(n)= a 3 + a 4+ …+ a n +2, n = 1,2,…(1) 若a 1 = 1, a 2= 5，且对任意n € N *，三个数A(n), B(n), C(n)组成等差数列，求数列 ｛a n ｝的通项公式；(2) 证明：数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 n € N *，三个数 A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列.* ___________________________________19.解：(1)对任意n € N ,三个数A(n), B(n), C(n)是等差数列，所以B(n)— A(n)= C(n) —B(n),艮卩 a n +1 — a 1= a n + 2— a ?,亦即 a n + 2— a n +1= a ?— a 1 = 4.故数列｛a n ｝是首项为1，公差为4的等差数列.于是 a n= 1 + (n — 1) X 4 = 4n — 3.⑵①必要性：若数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列，则对任意 n €N ,有a n +1 = a *q.由a n>0 知，A(n), B(n), C(n)均大于 0,于是B(n = a 2+ a 3+ …+ a n +1 = q(a 1 + a 2+ …+ a n = An a 1 + a ?+…+ a * a 1 + a ?+…+ a * C(n = a 3+ a 4+ …+ a *+ 2 = q(a 2 + a 3+ …+ a n +1) Bn a 2 + a 3+ • + a *+1 a 2 + a 3+ • + a *+1即BR = Cl = q.所以三个数 A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列. An Bn*②充分性：若对任意 n € N ,三个数A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列，则 B(n) = qA(n), C(n) = qB(n).于是 C(n)— B(n)= q[B(n) — A(n)]，得 a n +2— a 2= q(a n +1 — a”，即 a n +2— qa n +1 = a 2 — qa 1. 由 n = 1 有 B(1) = qA(1)，即 a 2= qa 1, 从而 a n + 2— qa n +1 = 0.因为a n >0，所以心=生=q. a n +1 a 1故数列｛a n ｝是首项为a 1,公比为q 的等比数列.综上所述，数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意 A(n), B(n), C(n)组成公比为q 的等比数列.22. B12、M3、M2 [2012 湖北卷](1)已知函数 f(x)= rX — x 「+ (1 — r)(x>0)，其中 r 为有理 数，且0<r<1.求f(X)的最小值；⑵试用(1)的结果证明如下命题：设 a 1> 0, a 2> 0, b 1, b 2为正有理数.若 b 1+ b 2= 1,贝U ab 11ab 22< a 1b 1+ a 2b 2；(3) 请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当a 为正有理数时，有求导公式 (X)' = aX 1.22.解：(1)f ' (X )= r — rX r —1= r(1 — X r —1),令 f (X )= 0,解得 X = 1. 当0 vxv 1时，f (x)< 0，所以f(x)在(0,1)内是减函数； 当x > 1时，f (x) > 0,所以f(x)在(1 ,+s)内是增函数. 故函数f(x)在 x = 1处取得最小值f(1) = 0.(2)由(1)知，当 x € (0 ,+^)时，有 f(x)》f(1) = 0,即 x r w rx + (1 — r). ① 若 a 1, a 2中有一个为 0,贝U abnab 22wa 1 b 1 + a 2b 2成立； 若a 1, a 2均不为0，又b 1+ b 2= 1，可得b 2= 1 — g ，于是在①中令x =詈，r = 6,可得 学b 1< b 鲁+ (1 — b 1), 即 abna1— b 12w a^ + a ?(1 — b) 亦即 abnab 22^ 8^1 + a 2b 2.X n 、X n 1 X 2 X n X n 1 注意到 一> --- >•••> —, 所以 = --------X 1X 1X 1X n -1X n -2= ,…，竺，从而数列的通项为 X k = X 1 X2 k -1 = q kX 1 X 1q ,n € N *，三个数综上，对a i 》0, a 2》0, b i , b 2为正有理数且 b i + b 2= 1,总有abnab 22W a i b i + a 2b 2.② ⑶(2)中命题的推广形式为：若a i ，a 2，…，a n 为非负实数，b i , b ?,…，b n 为正有理数. 若 b i + b i + …+ b n = 1,贝V ab ii ab 22…ab nn < a i b i + a ?b 2+ …+ a n b n .③ 用数学归纳法证明如下：① 当n = i 时，b i= i ，有a i< a i，③成立.② 假设当n = k 时，③成立，即若a i , a 2,…，a k 为非负实数，b i , b 2,…，b k 为正有理 数， 且 b i + b 2+ …+ b k = i ,则 ab ii ab 22…ab kk < a i b i + a ?b 2 + …+ a k b k .当n = k + i 时，已知a i , a 2,…，a k +1为非负实数，b i , b 2,…，b k , b k +i 为正有理 数，且 b i + b 2+ …+ b k + b k +i = i ,此时 Ov b k +i v i ，即卩 i 一 b k +1 >0,于是 ab ii ab 22…abkk ab k +ik +1=(abii ab 22…abkk )ab k +ik +i[…a~k )i — b k + i ab k + ik +1. 1- b k +i…+—^=1，由归纳假设可得1 — b k + 12…a —bk — k w a i •— + a 2 • — + … + a k • —1 — b k +i1 — b k +1 1 — b k +i 1— b k +ia ib i +a 2b 2+ …+ a k b k(ai a21 — b k +1 1 — b k +i b i , b2 +,1 — b k + 1十 1 — b b i b 2a 从而 ab ii ab 22…ab kk ab k + ik +i w1 — b k + 11 — b k +i 1 — b k +1因1 一 b k + 1 1 一 b k +1由0，知a n+丄工0,因此——=a?. a n+ 1综上，近2= a?对所有n € N*成立，从而｛a*｝是首项为1,公比为a2的等比数列.a n证法二：用数学归纳法证明a n= a；-1, n€ N*.当n = 1 时，由S2= a2s1+ a1，得a1+ a2= a2a1+ a1，即卩a2= a2a1，再由a2^ 0,得a1= 1, 所以结论成立.假设n= k时，结论成立，即a k= a k「S那么当n= k+ 1时,a k+1 = S+1—S=(a2S k+ a1)- (a2S-1 + a1)= a2(S k—S-1)= a；a k= a2, 这就是说，当n= k+ 1时，结论也成立.综上可得，对任意n€ N , a n= a；1.因此｛a n｝是首项为1,公比为a2的等比数列.⑵当n = 1或2时，显然S n= n(a1+ a n)，等号成立.设n>3, a2>—1且玄2工0，由(1)知a1 = 1, a n= a：-1，所以要证的不等式化为1 + a2+ a2+…+ a2 1 w ^(1 + a2 1 )(n > 3),即证：1 + a2 + a2+・・・ + a2w ——(1 + a2)( n > 2).当a2= 1时，上面不等式的等号成立.当一1 v a：v 1 时，a2 — 1 与a2 ' —1(r = 1,2,…，n —1)冋为负；［来源学科网当a2> 1 时，a2— 1 与a2 ' —1(r = 1,2,…，n —1)同为正.因此当a2>—1且a2丰1时，总有(a2 —1)(a2—r—1)>0,即即a2 + a；? r v 1 + a*r = 1,2,…，n — 1).上面不等式对r从1到n —1求和得2(a2+ a2 + …+ a2—)v (n—1)(1 + a2),由此可得 1 + a2+ a2+ …+ a；v —-(1 + a；).综上，当a2>—1且a2^ 0时，有S n w2(a1+ a n),当且仅当n= 1,2或a2= 1时等号成立.证法二：当n= 1或2时，显然2(a1+ a n),等号成立.当a2= 1时，S n = n=_(a1+ a n),等号也成立.1 n当a2工 1 时，由(1)知S n=二^, a n= a n—1, 下证：1 —a2n1 —a2 n n—1V；(1 + a2 )(n》3, a2>— 1 且玄2工1).1 —a2 2'当一1v a2v 1时，上面不等式化为(n —2)a n+ na2 —na n 1 v n —2(n》3).令f(a2)= (n—2)a n+ na：—na2 1.当一1v a2V 0 时，1—a2—2>0,故f(a2) = (n — 2)a2+ na2(1 —£ —2) v (n — 2)|a2|n v n［来源学§科§网Z§ X §X§K］— 2,即所要证的不等式成立.当0va2v 1 时，对a2 求导得f'但2)= n[(n —2)a2 1—(n—1)a2 2+ 1] = ng®).其中g(a2)= (n —2)a2—1—(n —1)a2—2+ 1,贝V g' (a2)= (n —2)(n—1)(a2—1)a n —3v 0,即g(a2) 是(0,1)上的减函数，故g(a2)>g(1) = 0,从而f' @)= ng(a2)>0,进而f@)是(0,1)上的增函数，因此f(a2)vf(1) = n—2,所要证的不等式成立.1当a2> 1时，令b= 一，贝U 0 v bv 1,由已知的结论知a2两边同时乘以a 一1得所要证的不等式.综上，当a 2>— 1且玄2工0时，有S r)w 2(a i + a n ),当且仅当n = 1,2或a 2= 1时等号成立.22. B12、M3、M2 [2012 湖北卷](1)已知函数 f(x)= rx — x r + (1 — r)(x>0)，其中 r 为有理数，且0<r<1.求f(x)的最小值；⑵试用(1)的结果证明如下命题：设 a 1》0, a 2》0, b 1, b 2 为正有理数.若 S+ b 2= 1,贝U abnab 22^ a 1 b 1 + a 2b 2; (3) 请将(2)中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题. 注：当a 为正有理数时，有求导公式 (X)' = aX 1.I — 1r — 122. 解：(1)f ' (x)= r — rx = r(1 — x )，令 f (x)= 0,解得 x = 1. 当0 vxv 1时，f (x)< 0，所以f(x)在(0,1)内是减函数； 当x > 1时，f (x) > 0,所以f(x)在(1 ,+s)内是增函数. 故函数f(x)在 x = 1处取得最小值f(1) = 0.(2)由(1)知，当 x € (0 ,+s)时，有 f(x)》f(1) = 0,即 x r w rx + (1 — r). ① 若 a 1, a 2中有一个为 0,贝U ab“ab 22w8^1 + a ?b 2成立； 若a 1, a 2均不为0，又b 1+ b 2= 1，可得b 2= 1 — g ，于是在①中令x =詈，r = 6,可得 當b 1< b 詈+ (1 — b 1),即 abna1 — b 12 w a 1b 1 + a 2(1 — b 1),亦即 abnab 22^ a 1b 1 + a 2b 2.综上，对 a 1> 0, a 2> 0, b 1, b 2为正有理数且 b 1+ b 2= 1,总有 ab 11ab 22w a 1b 1+ a 2b 2.② ⑶(2)中命题的推广形式为：若a 1, a 2,…，a n 为非负实数，6, b ?,…，b n 为正有理数. 若 b 1 + b 1 + …+ b n = 1,贝V abnab 22…ab nn < 玄和十 a ?b 2+ …+ a n b n .③用数学归纳法证明如下：① 当n = 1时，b 1= 1，有a 1w a 1，③成立.② 假设当n = k 时，③成立，即若a 1, a 2,…，a k 为非负实数，6, b 2,…，b k 为正有理 数， 且 b 1 + b 2+ …+ b k = 1,则 abnab 22…ab kk < 玄命1+ a ?b 2 + …+ a k b k .当n = k + 1时，已知a 1, a 2,…，a k , a k +1为非负实数，b 1, b 2,…，b k , b k +1为正有理 数，且 b 1 + b 2+ …+ b k + b k +1 = 1,此时 0< b k +1 < 1，即卩 1 — b k +1 >0,于是abnab 22…abkk ab k +你+1= (abnab 22…abkk )ab k +1k +1, b 1b 2b k=(a1a2 …ak )1 — b k + 1ab k +1k +1.1 — b k + 1 1 — b k +1 1 — b k + 1因」1 + b2 +•••+」 =1，由归纳假设可得 1 — b k +1 1 — b k +1 1 — b k +1a 13+ a 2b 2+ …+ a^k1 — b k +1，a13+ a2b 2+…+ ak b k从而 abn ab 22 …abkk ab k +1k +1W1 — b k +1 ab k +1 k +1.<1 — b k +1丿又因(1 — b k +1)+ b k +1 = 1，由②得a 1b 1+ a2b 2+ …+ a k b k玄仙+ a 2b 2+ …+ a kb k1— b k + 1ab k +1k +1w■ ' (1 — b k +1)+ a k + 1b k +1 …Z *。