(完整word版)三角形面积比解题举例.doc
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三角形面积比解题举例
三角形的面积比有下面的定理： 等高（或底边）的两个三角形面积之比等于它们的底边（或高）之比。由此容易证明下列结论：
结论 1：如图 1， SABD =SBDE =S
SACD SCDE S
ABE
ACE
BD ； A =
CD
结论2：如图1 ，S
S E
BCE = DE ； S BEC = DE ；
AD S AEBS AEC AE ABC
结论 3：如图 2，若 AD∥BC,则 S
S
ABC
ACD B D C
图 1
=BC. A D
AD
例 1.如图 3，在△ ABC 中，点 D、 F 分别在
AB 上，点 E在 AC 上，且 AF = 3 1，△COE与△
FD 2
DOF 的面积相等，求 S EAF 的值。
S EOF
解：∵△ COE 与△ DOF 的面积相等， ∴△ DFC 与△ CED的面积相等，
∴点 E、F 到 CD的距离相等，∴ EF∥CD，
∴ CO = CD = AD =1＋ DF =1＋1÷ 3 1 = 3 ，
FO EF AF AF 2
且有 AE =AF，∴S
AEF =AE=AF = 3 1 ①，
EC FD S CEF EC FD 2
B C
图 2
A
F
D E
O
B C
图3
而SCEF FC CO =1＋ 3 ② , 将①×②得 S EAF ＋
S EOF S EOF FO FO
评析：仅仅运用平行线的性质，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方仍不能解决此题，必须再结合上述结论才能最终攻克本题。
A 3 .
F
O D
例 2. 如图 4，在△ ABC中，点 D、E 分别在 AC、BC上，
BC=3CE,AC=4CD,BD与 AE交于点 O，连接 CO并延长交 AB于 B
点 F，△ COE的面积为 3，求△ ABC的面积。
解：设△ COD 的面积为 x，而 AC=4CD，则△ AOD的面积为
3x. 又△ COE的面积为 3， BC=3CE，则△ BOE的面积为 6，从而有 3
E C 图 4
S ABC =4S BCD =4(9＋ x) ，S ABC =3S AEC =3(4x ＋3) ， 4(9＋x)= 3(4x ＋3) ，∴ x= 27 , 8
∴ S ABC =4(9＋ 27 )= 99 .
82
评析：虽然点 D、E 是三角形两边的分点，但还需要设一个未知数，再利用结论沟通整体与部分的关系，从而列出方程，求三角形的面积便水到渠成。
例 3.如图 5，点 P 为∠MON 内任意一点，过点 P 的直线分别交∠ MON 的两边于点 A、 B，再过点 P 作 PE∥ OM,交 ON于点 N，
求证： 1 = 1 ＋ 1 . O
S OEP S OBP
S OAP
证明：∵ PE∥OM，∴ BE = PE . 而 s OEP =OE ①, E
OB OA s OBP OB B P A
SOEP=PE ②, ①＋②得： s OEP ＋SOEP =OE ＋ N 图 5 M
S OAP OA s OBP S OAP OB PE = OE ＋ BE = OB =1，即 s OEP ＋ S OEP =1，∴ 1 = 1 ＋ 1 .
OA OB OB OB s OBP S OAP S OEP S OBP S OAP
评析：先将结论化为 s OEP ＋ S OEP =1，三角形面积比的上述关系式立现， 平
s OBP S OAP
行线的性质亦等着你，还要运用结论 4 的面积比，使问题走向顺风满帆。
例 4.如图 6，设 P 为△ ABC 内一点，将顶点 A 、B、C 和点 P 分别连接起来，
并延长这些线段分别与对边相交，交点为 D、E、F，求证 PD ＋ PE ＋ PF =1.
AD BE CF
证明：∵ PD = S PBC ①, PE = S PCA ②, PF =SPAB
AD S ABC BE S ABC CF S ABC
将①＋②＋③得： PD ＋ PE ＋ PF = S PBC S PCA SPAB=
ADBE CF S ABC
③ A
F E
P
S ABC ，∴ PD ＋PE＋PF =1. B D C S ABC =1
BE CF
AD 图 6
评析 : 题目中没有平行线，也没有相似三角形，难以得到比例线段，三角形
面积比关系式在这里便发挥了巨大的作用， 将比例的和转化为面积的和， 一下子
便柳暗花明。
例 5. 如图 6，P 是△ ABC内一点， BP，CP， AP的延长线分别与 AC， AB，BC交于点 E， F，D。考虑下列三个等式：
（1） S ABP = BD ； （2） S BPC S APC = AB ；（3） CE ×AB×PF=1.
S APC CD S BPCBF AE BFPC 其中正确的有（ ）
（A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）3 个
解：显然（ 1）正确；因 AB = S
BF S
ABC
BFC
= S
S
ABP=S
BFP S
ABC
BFC
S
S
ABP=SBPC SAPC ，
BFP S BPC
则（2）正确； CE × AB × PF = S
AE BF PCS BPC×SBPCSAPC × S APB =1, 则（3）
APB S BPC S APCS BPC 正确 。
因此，答案选（ D）.
评析：这是某市某年的一道竞赛试题，三个等式的证明用到了结论 1～ 2，如果对三角形面积比不熟悉，那么解决本题将会受阻。
