第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 阶段质量检测

第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入

(自我评估，考场亮剑，收获成功后进入下一章学习！)

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)

1．(2009·天津高考)i是虚数单位，5i2－i＝ ( )

A．1＋2i B．－1－2i

C．1－2i D．－1＋2i

解析：5i2－i＝5i2＋i2－i2＋i＝－1＋2i.

答案：D

2．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b ( )

A．垂直 B．不垂直也不平行

C．平行且同向 D．平行且反向

解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，

a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直．

答案：A

3．若a＝(2cosα，1)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则tanα等于 ( )

A．2 B.12

C．－2 D．－12

解析：∵a∥b，∴2cosα×1＝sinα，∴tanα＝2.

答案：A

4．如图，已知AB＝a，AC＝b，BD＝3DC，用a，b表示AD，则AD等于 (

)

A．a＋34b B.14a＋34b C.14a＋14b D.34a＋14b

解析：AD＝AB＋BD＝AB＋34BC

＝AB＋34(AC－AB)＝14AB＋34AC＝14a＋34b.

答案：B

5．已知复数z满足|z|－z＝2＋4i，则z等于 ( )

A．3－4i B．3＋4i

C．－3－4i D．－3＋4i

解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，

∴a2＋b2－(a－bi)＝2＋4i，

即 a2＋b2－a＝2b＝4，解得a＝3，b＝4，∴z＝3＋4i.

答案：B

6．已知复数z＝1＋i，则z2－2zz－1等于 ( )

A．2i B．－2i

C．2 D．－2

解析：z2－2zz－1＝1＋i2－21＋i1＋i－1＝2i－2－2ii＝2i.

答案：A

7．已知命题：“若k1a＋k2b＝0，则k1＝k2＝0”是真命题，则下面对a，b的判断正确的是 ( )

A．a与b一定共线 B．a与b一定不共线

C．a与b一定垂直 D．a与b中至少有一个为0

解析：假设a与b共线，由已知得k1a＝－k2b，如果a、b均为非零向量，与已知条件矛盾．如果a、b中至少有一个非零向量，明显的与已知矛盾，排除A、D.把k1a＋k2b＝0两边平方得k21a2＋k22b2＋2k1k2a·b＝0，因为k1＝k2＝0，所以a·b不一定等于0，排除C.

答案：B

8．若平面向量a＝(－1,2)与b的夹角是180°，且|b|＝35，则b的坐标为 ( )

A．(3，－6) B．(－3,6)

C．(6，－3) D．(－6,3)

解析：由题意设b＝λa＝λ(－1,2)． 由|b|＝35得λ2＝9.λ＝±3.

因为a与b的夹角是180°.所以λ＝－3.

答案：A

9．(文)设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋2b＝(4,5)，则cosθ等于 ( )

A.1010 B.31010

C.35 D.45

解析：设b＝(x，y)，因为a＝(2,1)，

∴a＋2b＝(2,1)＋2(x，y)＝(2＋2x,1＋2y)＝(4,5)，

即2＋2x＝4,1＋2y＝5，解得：x＝1，y＝2，

即b＝(1,2)，

故cosθ＝a·b|a||b|＝2，1·1，25×5＝2×1＋1×25＝45.

答案：D

9．(理)已知|a|＝2|b|，且b≠0，若关于x的方程x2＋|a|x－a·b＝0有两相等实数根，则向量a与b的夹角是

( )

A．－π6

B．－π3

C.π3 D.2π3

解析：由关于x的方程有两个相等实数根可得

Δ＝|a|2＋4a·b＝0⇒a·b＝－|a|24，

cos〈a，b〉＝a·b|a|·|b|＝－|a|24|a|22＝－12，

又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝2π3.

答案：D

10．(2010·深圳模拟)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则AN·AM的最大值是 ( )

A．2 B．4

C．5 D．6

解析：建立如图所示的直角坐标系，则N(2,1)，设M(x，y)，

∴AN·AM＝(2,1)·(x，y)

＝2x＋y，

∵0≤x≤2,0≤y≤2，

∴0≤2x＋y≤6.

答案：D

11．(2010·安庆模拟)已知非零向量AB，AC和BC满足ABACABAC+·BC＝0，且ACAC·BCBC＝22，则△ABC为 ( )

A．等边三角形 B．等腰非直角三角形

C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形

解析：ABAB、ACAC、BCBC均为单位向量．

由ABACABAC+·BC＝0，得|AB|＝|AC |.

由ACAC·BCBC＝1×1×cosC＝22，得C＝45°.

故三角形为等腰直角三角形．

答案：D

12．设两个向量a＝(λ＋2，λ2－cos2α)，b＝(m，m2＋sinα)，其中λ，m，α为实数．若a＝2b，则λm的取值范围是 ( )

A．[－6,1] B．[4,8]

C．(－∞，1] D．[－1,6]

解析：∵a＝2b，∴ λ＋2＝2m，λ2－cos2α＝m＋2sinα. 消去λ，得4m2－8m＋4－cos2α＝m＋2sinα，

即4m2－9m＋2＝－(sinα－1)2.

∵－1≤sinα≤1，∴－4≤－(sinα－1)2≤0，

∴－4≤4m2－9m＋2≤0，

解得14≤m≤2，∴λm＝2m－2m＝2－2m∈[－6,1]．

答案：A

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中的横线上)

13．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若z1z2为实数，则实数m＝________.

解析：z1z2＝m＋2i3－4i＝m＋2i3＋4i25＝3m－8＋6＋4mi25是实数，∴6＋4m＝0，故m＝－32.

答案：－32

14．已知抛物线y2＝4x与直线y＝2x－4交于A、B两点，如果在该抛物线上存在点C，使得OA＋OB＝λOC (O为坐标原点)，则实数λ＝________.

解析：由已知可设C(m24，m)，由题意易解得A(1，－2)，B(4,4)，则有(5,2)＝λ

(m24，m)，解得λ＝15.

答案：15

15．已知平面向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为135°，c与b的夹角为120°，|c|＝2，则|a|＝________.

解析：根据已知条件，组成以|a|，|b|，|c|为边长的三角形，由正弦定理得|a|sin180°－120°＝|c|sin180°－135°，

又|c|＝2，所以|a|＝6.

答案：6

16．在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x轴，y轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，AB＝i＋j，AC＝2i＋mj，则实数m＝________.

解析：本题考查了向量的运算．

由已知可得BC＝AC－AB＝i＋(m－1)j.

当A＝90°时，AB·AC＝(i＋j)·(2i＋mj) ＝2＋m＝0，m＝－2.

当B＝90°时，BA·BC＝－(i＋j)·[i＋(m－1)·j]

＝－(1＋m－1)＝－m＝0，m＝0.

当C＝90°时，CA·CB＝－(2i＋mj)·[－i－(m－1)j]

＝2＋m(m－1)＝m2－m＋2＝0，

此时m不存在．故m＝0或－2.

答案：0或－2

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知复数z满足：|z|＝1＋3i－z，化简1＋i23＋4i22z.

解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，而|z|＝1＋3i－z，

即a2＋b2－1－3i＋a＋bi＝0，

则 a2＋b2＋a－1＝0b－3＝0，⇒ a＝－4，b＝3，

∴z＝－4＋3i.

∴1＋i23＋4i22z＝2i－7＋24i2－4＋3i＝24＋7i4－3i＝3＋4i.

18．(本小题满分12分)如图，在平行四边形ABCD中，

M，N分别为DC，BC的中点，已知AM＝c，

AN＝d，试用c，d表示AB，AD.

解：法一：设AB＝a，AD＝b，则

a＝AN＋NB＝d＋(－12b)， ①