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2021新⾼考数学⼆轮总复习学案：1.3平⾯向量与复数组合练含解析1.3平⾯向量与复数组合练必备知识精要梳理1.复数的加、减、乘的运算法则与实数运算法则相同,除法的运算就是分母实数化.2.复数z=a+b i(a,b∈R)与复平⾯内的点Z(a,b)及平⾯向量⼀⼀对应,|z-(a+b i)|=r(r,a,b∈R)表⽰复平⾯内以(a,b)为圆⼼,r为半径的圆.3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2)为⾮零向量,夹⾓为θ,则a·b=|a||b|cos θ=x1x2+y1y2.4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0;a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.5.平⾯内三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线??(x2-x1)(y3-y2)-(x3-x2)(y2-y1)=0.考向训练限时通关考向⼀复数的运算及复数的⼏何意义1.(2020⼭东,2)=()A.1B.-1C.iD.-i2.(2020全国Ⅰ,理1)若z=1+i,则|z2-2z|=()A.0B.1C.D.23.(多选)若复数z=在复平⾯内对应的点在第⼆象限内,则实数a的值可以是()A.1B.0C.-1D.-24.(2020全国Ⅱ,理15)设复数z1,z2满⾜|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=.考向⼆平⾯向量的概念及线性运算5.(多选)关于平⾯向量a,b,c,下列说法中不正确的是()A.若a∥b且b∥c,则a∥cB.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)·c=a·(b·c)6.(2020⼭东泰安⼀模,6)如图,在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m=n,则m+n=()A.1B.C.2D.37.(多选)如图所⽰,四边形ABCD为梯形,其中AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是()A. B.C. D.8.(2020全国Ⅰ,理14)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.考向三平⾯向量基本定理及坐标表⽰9.(2020⼭东,7)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的⼀点,则的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)10.(2020全国Ⅲ,⽂6)在平⾯内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为()A.圆B.椭圆C.抛物线D.直线11.(2020安徽合肥⼀中模拟,10)如图,已知矩形LMNK,LM=6,sin∠MLN=,圆E半径为1,且E为线段NK的中点,P为圆E上的动点,设=λ+µ,则λ+µ的最⼩值是()A.1B.C. D.512.(2020北京,13)已知正⽅形ABCD的边长为2,点P满⾜),则=.考向四平⾯向量的数量积13.(2020全国Ⅲ,理6)已知向量a,b满⾜|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos=()A.-B.-C. D.14.(2020⼭东济南⼀模,3)体育锻炼是青少年学习⽣活中⾮常重要的组成部分.某学⽣做引体向上运动,处于如图所⽰的平衡状态时,若两只胳膊的夹⾓为60°,每只胳膊的拉⼒⼤⼩均为400 N,则该学⽣的体重(单位:kg)约为()(参考数据:取重⼒加速度⼤⼩为g=10 m/s2,≈1.732)A.63B.69C.75D.8115.(多选)(2020海南天⼀⼤联考模拟三,10)已知向量a=(,1),b=(cos α,sin α),α∈,则下列结论正确的有()A.|b|=1B.若a∥b,则tan α=C.a·b的最⼤值为2D.|a-b|的最⼤值为316.(2020全国Ⅱ,理13)已知单位向量a,b的夹⾓为45°,k a-b与a垂直,则k=.1.3平⾯向量与复数组合练考向训练·限时通关1.D解析=-i,故选D.2.D解析由z=1+i,得z2=2i,2z=2+2i,故|z2-2z|=|2i-(2+2i)|=2.3.ABC解析因为复数z=(a-2)+(a+2)i,由复数z在复平⾯内对应的点在第⼆象限内,所以即-24.2解析设z1=a+b i,z2=c+d i,a,b,c,d∈R.∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.⼜z1+z2=(a+c)+(b+d)i=+i,∴a+c=,b+d=1.∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2ac+2bd=4.∴2ac+2bd=-4.∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12.∴|z1-z2|==25.ACD解析对于A,若b=0,因为0与任意向量平⾏,所以a不⼀定与c平⾏,故A 不正确;对于B,向量数量积满⾜分配律,故B正确;对于C,若a⊥b,a⊥c,则b与c不⼀定相等,故C不正确;对于D,(a·b)·c是与c共线的向量,a·(b·c)是与a共线的向量,故D不正确.故选ACD. 6.C解析连接AO,由O为BC的中点可得,)=,因为M,O,N三点共线,所以=1,所以m+n=2.故选C.7.ABD解析,故A正确;)+,故B正确;=-,故C错误;=-,故D正确.故选ABD.8解析∵|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=1+1+2a·b=1,∴a·b=-,∴|a-b|2=(a-b)2=|a|2+|b|2-2a·b=3,∴|a-b|=9.A解析如图,以AB所在的直线为x轴,AE所在的直线为y轴建⽴平⾯直⾓坐标系,易知A(0,0),B(2,0),F(-1,),C(3,).设P(x,y),则=(x,y),=(2,0),=2x+0×y=2x.∵-110.A解析以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建⽴平⾯直⾓坐标系.设C(x,y),A(-a,0),则B(a,0),则=(x+a,y),=(x-a,y),由=1,得(x+a)(x-a)+y2=1,整理得x2+y2=a2+1,即点C的轨迹为圆.故选A.11.B解析由已知建⽴如图所⽰的平⾯直⾓坐标系,由LM=6,sin∠MLN=,解得MN=,则M,N(3,0),L-3,-.设P(cosθ,sinθ).因为=+=cosθ-3,sinθ+,=(-6,0),=0,.所以=cosθ-3,sinθ+=λ(-6,0)+µ0,,即解得所以λ+µ=sinθ-cosθ=sin(θ+φ),当sin(θ+φ)=-1时,λ+µ的最⼩值是故选B.12.-1解析以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴,建⽴如图所⽰的平⾯直⾓坐标系,则点A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2))=(2,0)+(2,2)=(2,1 ),则点P(2,1).=(-2,1),=(0,-1),=0×(-2)+1×(-1)=-1.13.D解析∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,∴|a+b|=7,∴cos=14.B解析由题意知,两只胳膊的拉⼒F1=F2=400,夹⾓θ=60°,所以体重G=-(F1+F2).所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos60°+4002=3×4002.所以|G|=400(N),则该学⽣的体重约为40=40×1.732≈69(kg).故选B.15.AC解析对于A,|b|==1,故A正确;对于B,若a∥b,则sinα-cosα=0,∴tanα=,故B错误;对于C,a·b=cosα+sinα=2sin,最⼤值为2,故C正确;对于D,作图可知,当α=,即b=(0,1)时,|a-b|取得最⼤值,故D错误. 16解析由题意可知,a·b=|a||b|cos45°=∵k a-b与a垂直,∴(k a-b)·a=k|a|2-a·b=k-=0,∴k=。
第二讲 复数、平面向量微专题1 复数常考常用结论1．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(1)当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数． (2)z 的共轭复数z ̅＝a －b i. (3)z 的模|z |＝√a 2+b 2. 2．已知i 是虚数单位，则 (1)(1±i)2＝±2i ，1+i 1−i ＝i ，1−i1+i ＝－i.(2)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.保 分 题1.[2022·新高考Ⅱ卷](2＋2i)(1－2i)＝( ) A ．－2＋4i B ．－2－4i C ．6＋2i D ．6－2i 2．[2022·全国甲卷]若z ＝1＋i ，则|i z ＋3z ̅|＝( ) A ．4√5 B ．4√2 C ．2√5D ．2√23．[2022·全国乙卷]已知z ＝1－2i ，且z ＋a z ̅＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则( ) A ．a ＝1，b ＝－2 B ．a ＝－1，b ＝2 C ．a ＝1，b ＝2 D ．a ＝－1，b ＝－2提 分 题例1 (1)[2022·福建漳州一模]已知z ＝|√3i －1|＋11+i，则在复平面内z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)[2022·山东潍坊二模](多选)若复数z 1＝2＋3i ，z 2＝－1＋i ，其中i 是虚数单位，则下列说法正确的是( )A ．z1z 2∈RB.z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅C ．若z 1＋m (m ∈R )是纯虚数，那么m ＝－2D ．若z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，则|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |＝5 听课笔记：【技法领悟】复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i 的幂的性质、运算法则来优化运算过程．巩固训练11.[2022·山东泰安二模]已知复数z ＝3−i 1−2i，i 是虚数单位，则复数z ̅－4在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．[2022·河北保定二模](多选)已知复数z 满足方程(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，则( )A ．z 可能为纯虚数B ．方程各根之和为4C ．z 可能为2－iD ．方程各根之积为－20微专题2 平面向量常考常用结论1．平面向量的两个定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．平面向量的坐标运算设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，θ为a 与b 的夹角． (1)a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)|a |＝√a ·a ＝√x 12+y 12.(5)cos θ＝a·b|a ||b |＝1212√x 1+y 1 √x 2+y 2.保 分 题1.△ABC 中，E 是边BC 上靠近B 的三等分点，则向量AE⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D ．23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·全国乙卷]已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝√3，|a －2b |＝3，则a ·b ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 3．[2022·全国甲卷]已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(1，m ＋1)，若a ⊥b ，则m ＝________．提 分 题例2 (1)[2022·河北石家庄二模]在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，若BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a ，BN ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( ) A ．34a ＋23b B ．23a ＋23bC ．34a ＋34bD ．23a ＋34b(2)[2022·山东济宁一模]等边三角形ABC 的外接圆的半径为2，点P 是该圆上的动点，则PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A ．4 B ．7 C ．8 D ．11 听课笔记：【技法领悟】求解向量数量积最值问题的两种思路1．直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．2．建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．巩固训练21.[2022·山东济南二模]在等腰梯形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，M 为BC 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝( )A ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C ．34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗ D ．12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2．[2022·福建漳州二模]已知△ABC 是边长为2的正三角形，P 为线段AB 上一点(包含端点)，则PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A ．[－14，2] B ．[－14，4] C ．[0，2]D ．[0，4]第二讲 复数、平面向量微专题1 复数保分题1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D. 答案：D2．解析：因为z ＝1＋i ，所以z ̅＝1－i ，所以i z ＋3z ̅＝i(1＋i)＋3(1－i)＝2－2i ，所以|i z ＋3z ̅|＝|2－2i|＝√22+(−2)2＝2√2.故选D. 答案：D3．解析：由z ＝1－2i 可知z ̅＝1＋2i.由z ＋a z ̅＋b ＝0，得1－2i ＋a (1＋2i)＋b ＝1＋a ＋b ＋(2a －2)i ＝0.根据复数相等，得{1+a +b =0，2a −2=0，解得{a =1，b =−2.故选A.答案：A提分题[例1] 解析：(1)∵z ＝|√3i －1|＋11+i ＝ √(√3)2+(−1)2+1−i1−i 2＝2＋1−i 2＝52−12i ，∴复平面内z 对应的点(52，－12)位于第四象限． (2)对于A ，z1z 2＝2+3i −1+i＝(2+3i )(−1−i )(−1+i )(−1−i )＝1−5i 2＝12−52i ，A 错误；对于B ，∵z 1·z 2＝(2＋3i)(－1＋i)＝-5-i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝－5＋i ；又z 1̅·z 2̅＝(2－3i)(－1－i)＝-5+i ，∴z 1·z 2̅̅̅̅̅̅̅̅＝z 1̅·z 2̅，B 正确；对于C ，∵z 1＋m ＝2＋m ＋3i 为纯虚数，∴m ＋2＝0，解得：m ＝－2，C 正确； 对于D ，由题意得：OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(2，3)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－1，－1)，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－3，－4)，∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√9+16＝5，D 正确．答案：(1)D (2)BCD [巩固训练1]1．解析：z ＝3−i1−2i ＝(3−i )(1+2i )(1−2i )(1+2i )＝5+5i 5＝1＋i ，则z ̅－4＝1－i －4＝－3－i ，对应的点位于第三象限．故选C.答案：C2．解析：由(z 2－4)(z 2－4z ＋5)＝0，得z 2－4＝0或z 2－4z ＋5＝0， 即z 2＝4或(z －2)2＝－1，解得：z ＝±2或z ＝2±i ，显然A 错误，C 正确； 各根之和为－2＋2＋(2＋i)＋(2－i)＝4，B 正确； 各根之积为－2×2×(2＋i)(2－i)＝－20，D 正确． 答案：BCD微专题2 平面向量保分题1．解析：因为点E 是BC 边上靠近B 的三等分点，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )＝23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选C. 答案：C2．解析：将|a －2b |＝3两边平方，得a 2－4a ·b ＋4b 2＝9.因为|a |＝1，|b |＝√3，所以1－4a ·b ＋12＝9，解得a ·b ＝1.故选C.答案：C3．解析：由a ⊥b ，可得a ·b ＝(m ，3)·(1，m ＋1)＝m ＋3m ＋3＝0，所以m ＝－34. 答案：－34提分题[例2] 解析：(1)如图所示，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝m ，AD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n ，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝x a ＋y b ＝x (12n －m )＋y (n －12m )＝(12x ＋y )n －(x ＋12y )m ， 又因为BD⃗⃗⃗⃗⃗ ＝n －m ， 所以{12x +y =1x +12y =1，解得x ＝23，y ＝23，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝23a ＋23b . 故选B.(2)如图，等边三角形ABC ，O 为等边三角形ABC 的外接圆的圆心，以O 为原点，AO 所在直线为y 轴，建立直角坐标系．因为AO ＝2，所以A (0，2)，设等边三角形ABC 的边长为a ，则asin A ＝asin 60°＝2R ＝4，所以a ＝2√3，则B (－√3，－1)，C (√3，－1).又因为P 是该圆上的动点，所以设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈[0，2π)， PA ⃗⃗⃗⃗ ＝(－2cos θ，2－2sin θ)，PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(－√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(√3－2cos θ，－1－2sin θ)，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝－2cos θ(－√3－2cos θ)＋(2－2sin θ)(－1－2sin θ)＋(－√3－2cos θ)(√3－2cos θ)＋(－1－2sin θ)(－1－2sin θ)＝3＋1＋2sin θ＋2√3cos θ＝4＋4sin (θ＋π3)，因为θ∈[0，2π)，θ＋π3∈[π3，7π3)，sin (θ＋π3)∈[－1，1]，所以当sin (θ＋π3)＝1时，PA ⃗⃗⃗⃗ ·PB⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的最大值为8.故选C.答案：(1)B (2)C [巩固训练2]1．解析：取AD 中点N ，连接MN ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝－2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ∥CD ，|AB |＝2|CD |， 又M 是BC 中点，∴MN ∥AB ，且|MN |＝12(|AB |＋|CD |)＝34|AB |， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，故选B. 答案：B 2．解析：以AB 中点O 为坐标原点，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC⃗⃗⃗⃗⃗ 正方向为x ，y 轴可建立如图所示平面直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，C (0，√3)，设P (m ，0)(－1≤m ≤1)，∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ＝(1－m ，0)，PC ⃗⃗⃗⃗ ＝(－m ，√3)， ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ ＝m 2－m ＝(m －12)2－14， 则当m ＝12时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )min ＝－14；当m ＝－1时，(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ )max ＝2； ∴PB⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为[－14，2].故选A. 答案：A。
第2讲平面向量、复数平面向量的基本运算授课提示：对应学生用书第4页考情调研考向分析主要考查平面向量基本定理、向量加法、减法、数乘向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的数学运算、直观想象等素养，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以选择题、填空题形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题.1.线性运算．2.应用平行、垂直求参数值．3.与其他知识相结合.1．在△ABC中，点D在边AB上，且DA→＝2BD→，设CA→＝m，CB→＝n，则CD→＝() A.13m＋23n B.23m＋13nC.13m－23n D.23m－13n解析：因为在△ABC中，点D在边AB上，且DA→＝2BD→，所以CA→－CD→＝2(CD→－CB→)，即3CD→＝CA→＋2CB→，故CD→＝13CA→＋23CB→，又CA→＝m，CB→＝n，所以CD→＝13m＋23n.故选A.答案：A2．已知点D是△ABC所在平面内一点，且满足AD→＝－3DB→，若CD→＝xCA→＋yCB→(x，y∈R)，则x－y＝()A．－1 B．－2C．1 D．2解析：由题意，如图所示，因为AD→＝－3DB→，所以CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋32AB→＝CA→＋32(CB→－CA→)＝－12CA→＋32CB→，又因为CD→＝xCA→＋yCB→，所以x＝－12，y＝32，x－y＝－2，故选B.答案：B3．(2019·武汉模拟)已知向量a，b满足|a|＝4，b在a上投影为－2，则|a－3b|的最小值为()A．12 B．10C.10 D．2解析：b在a上投影为－2，即|b|cos〈a，b〉＝－2，∵|b|>0，∴cos〈a，b〉<0，又cos〈a，b〉∈[－1,0)，∴|b|min＝2.|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝|a|2－6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2＝9|b|2＋64，∴|a－3b|min＝9×4＋64＝10，故选B.答案：B4．(2019·开封模拟)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1,2)，且a∥b，则x＝________.解析：由题得2x－(x＋1)＝0，所以x＝1.答案：1[题后悟通]快审题1.看到向量的线性运算，想到三角形和平行四边形法则．2．看到向量平行，想到向量平行的条件准解题记牢向量共线问题的4个结论(1)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(2)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔OP→＝(1－t)OA→＋tOB→(O为平面内任一点，t∈R)．(3)OA→＝λOB→＋μOC→(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2＝x2y1，当且仅当x2y2≠0时，a∥b⇔x1x2＝y1y2平面向量的数量积授课提示：对应学生用书第5页考情调研考向分析主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1.数量积的运算．2.求模．3.求夹角．4.求范围.[题组练透]1．(2019·东三省三校模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，则(a －b )·b ＝( ) A ．－16 B ．－13 C ．－12D ．－10解析：∵向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝4，∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2×4×12＝4，∴(a－b )·b ＝a ·b －b 2＝4－16＝－12.故选C.答案：C2．(2019·长春模拟)已知向量a ＝(cos θ－2，sin θ)，其中θ∈R ，则|a |的最小值为( ) A ．1 B ．2 C. 5D ．3解析：因为a ＝(cos θ－2，sin θ)，所以|a |＝(cos θ－2)2＋sin 2θ＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ，因为θ∈R ，所以－1≤cos θ≤1，故|a |的最小值为5－4＝1. 故选A. 答案：A3．(2019·海口模拟)已知向量a ，b 的夹角为60°，且a ·b ＝24，|b |＝6，则|a |＝________. 解析：因为向量a ，b 的夹角为60°，且a ·b ＝24，|b |＝6，所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°，即6|a |×cos 60°＝24，解得|a |＝8.答案：8 [题后悟通]快 审 题 1.看到向量垂直，想到其数量积为零．2.看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式．3.看到向量中的最值问题时，想到向量不等式、几何意义，甚至建立坐标系构造函数关系求最值用 妙 法 特例法妙解图形中平面向量数量积问题解答有关图形中的平面向量数量积问题，常采用特例法，如取直角三角形、矩形，再建立平面直角坐标系，求得相关点坐标计算求解 避 误 区两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线复数授课提示：对应学生用书第6页考情调研考向分析主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查数学运算和直观想象等素养．一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.1.和复数相关的概念．2.复数的四则运算．3.复数的几何意义.1．(2019·青岛模拟)“a ＝－2”是“复数z ＝(a ＋2i)(－1＋i)(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝－2时，z ＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i ，则z 为纯虚数， 可知“a ＝－2”是“复数z ＝(a ＋2i)(－1＋i)(a ∈R )为纯虚数”的充分条件；当z ＝(a ＋2i)(－1＋i)＝(－a －2)＋(a －2)i 为纯虚数时，⎩⎪⎨⎪⎧－a －2＝0a －2≠0，解得a ＝－2，可知“a ＝－2”是“复数z ＝(a ＋2i)(－1＋i)(a ∈R )为纯虚数”的必要条件； 综上所述，“a ＝－2”是“复数z ＝(a ＋2i)(－1＋i)(a ∈R )为纯虚数”的充要条件． 故选C. 答案：C2．(2019·桂林、崇左模拟)设z ＝4i －21＋3i ，则|z |＝( )A.2 B ．2 C ．1＋iD ．1－i解析：由题得z ＝4i －21＋3i ＝(4i －2)(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝10＋10i10＝1＋i ，所以|z |＝ 2.故选A.答案：A3．(2019·滨州模拟)在复平面内，表示复数z ＝1＋2i1－i的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由复数除法运算，可得z ＝1＋2i 1－i ＝(1＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋3i 2＝－12＋32i ，所以在复平面内对应点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，32，即位于第二象限，故选B. 答案：B4．已知z ＝1＋i ，则2iz ·z ＝( )A ．－1B ．1C ．－iD ．i解析：由题意，复数z ＝1＋i ，则z ·z ＝(1＋i)(1－i)＝2，所以2i z ·z ＝2i2＝i ，故选D.答案：D [题后悟通]快 审 题1.看到复数的加、减、乘法运算，想到类比代数式的加、减、乘法运算；看到复数的除法运算，想到把分母实数化处理，即分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用乘法法则化简．2．看到复数z 在复平面内对应的点，想到复数的几何意义；看到实数、纯虚数，想到复数的分类条件．3．看到共轭复数，想到它们关于实轴对称；看到复数的模，想到|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2准 解 题掌握复数代数形式运算的方法(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”。
