2018届高三数学(理)一轮总复习练习-第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4-4 Word版含答案

课时作业27平面向量的基本定理及坐标表示基础达标演练、选择题 1. 设平面向量 a = ( - 1,0) , b =(0,2)，贝U 2a - 3b =( )则c = 2a -》b ,选B.A. (6,3)B. (-2, - 6)C. (2,1)D. (7,2)解析：2a - 3b = ( — 2,0) - (0,6) = ( — 2,- 6). 答案：B2•若向量 a = (1,1) , b = (1 , - 1) , c = ( - 1,2)，则c 等于（31 C尹2b3 1 D.—b2 2解析：设 c = xa + yb ,则(—1,2) = x (1,1) + y (1 , - 1) = (x + y ,x - y )x + y =— 1 x - y = 2，解得3y=-1 3 B.-a —j b2 21x= 23.在厶 ABC 中，点 P 在 BC 上,且 BP= 2PC 点 Q 是 AC 的中点，若P2 (4,3) , PQ= (1,5),则BC 等于（）答案：BA. ( - 2,7)B.(-6,21)C (2 , - 7)D. (6 , - 21)解析：BO= 3PO 3(2 PQ- PA = 6PQ- 3PA= (6,30) -(12,9) = ( - 6,21).答案：B4.已知向量 a = (1 — sin 0 , 1) , b = i ?, 1 + sin0 ，若a // b ,则锐角0 =()nAW解得 m=± 2,又 n <0. • m=- 2, x = m=- 2.答案：B=-c 都可以唯一地表示成 c =入a +卩b (入，卩为实数)，贝U 实数m 的取值范围是()A. ( —s, 2) C. ( —s ,)D. ( —s , 2) U (2 , +s)解析：由题意知向量a , b 不共线，故2m^3m-2,即m^2.答案：D二、填空题解析：由 答案：(4,7)Z P O8. (2017 •雅安模拟)已知向量 a = ( .3 , 1) , b = (0, — 1) , c = (k , .3),若 a — 2b 与 c 共线，贝y k= __________ .解析：•/ a — 2b = ( . 3 , 3),且 a — 2b // c ,CnC.y_ 5 n Dp解析：因为 a / b ,所以(1 — sin 0 ) x (1 + sin 0 ) — 1x 卜 0,得 sin 20 1,所以sin 0=±¥ ,故锐角0=n r .答案：B5. 设向量a = (x, 1) , b = (4 , x )，且a , b 方向相反，则 x 的值是(A. B. C.D. 解析：因为a 与b 方向相反，所以b = na , nr O ,则有(4,x ) = mx, i ),••=mx6.已知平面直角坐标系内的两个向量 a = (1,2) , b = ( m,3m- 2),且平面内的任一向量 B. (2 ,+s)7.已知O 为坐标原点，A (1,1) , C (2,3)且2AC = CB 则OB 勺坐标是 _____________ .T TT T T T T T T2AC = CB 得 2( 0(— OA = OB- OC 得OB= 3OC — 2OA= 3(2,3) — 2(1,1) = (4,7).•- 3x 3 —3k= 0,解得k= 1.答案：19.已知向量a= (x, 2) , b= (4 , y), c = (x , y)( x>0 , y>0)，若a// b，则| c| 的最小值解析：a / b? xy = 8,所以| c| = x2+ y2> 2xy = 4(当且仅当x = y = 2 2时取等号).答案：410.已知向量AC AD 和A 醉正方形网格中的位置如图所示， 若AC=入AB+卩AD ,贝U 入卩5答案：—3 三、解答题11 .已知 A — 2,4) , B (3 , — 1) , C ( — 3,— 4)，设 AB= a , BC = b , CA= c ,且CM= 3c ,CN=— 2b .(1) 求 3a + b — 3c ;(2) 求满足a = nb + nc 的实数 m n ； ⑶求M N 的坐标及向量MN 勺坐标.解：由已知得 a = (5 , — 5), b = ( — 6,— 3) , c = (1,8)解析：建立如图所示的平面直角坐标系 xAy ,则AC= (2 , — 2) , AB= (1,2) , AD= (1,0),2 =入 + [1 , 由题意可知(2 , — 2)=入(1,2) +1(1,0)，即* —2=2 入,解得)=—1，1 = 3,=— 3.(1)3 a+ b—3c = 3(5 , - 5) + ( —6, —3) —3(1,8) = (15 —6-3,—15-3-24) = (6 ,-(2) v nb+ nc = ( —6m+ n,- 3m^ 8n).—6m+ n= 5,—3m+ 8n = — 5 ,解得m=—1 ,n=—1.即所求实数m的值为一1, n的值为一1.(3)设0为坐标原点，vCM= OM—0C= 3c,「. OMk 3c+ 0C= (3,24) + ( —3 , —4)=(0,20).即M0,20)，又v CN= ON- 0C=—2b,「. 0N=—2b+ 0C= (12,6) + ( —3, —4)= (9,2).即N(9,2) ,••• MN= (9 , —18).12. (2017 •枣庄校级月考)若点M>^ ABC所在平面内一点，且满足(1)求厶ABMW A ABC的面积之比. AM= 3AB+ ；AC4 4⑵若N为AB中点，AM与CN交于点0,设B0= xBM^ yBN,求x , y 的值.解：(1)由AM= |A B+ ^AC可知M B, C三点共线.如图令BM=入BC# AM= AB+ BM= AB+ 入BC= AB+ 入(AC- AB = (1 —入)人聊入AC 所以⑵由B0= xBM^ yBN# B0= xBW yBAxB0= [BO yBN由0, M A三点共线及Q N, C三点共线••>«生冲击名綾n1.在平面直角坐标系中，向量n = (2,0)，将向量n 绕点O 按逆时针方向旋转 石后得向3量m 若向量a 满足| a — m- n | = 1,则| a |的最大值是()A. 2 3— 1B. 2 3+ 1C. 3D. 6+2 +1解析：依题意，m= (1，-. 3)，所以 m + n = (3 , 3).设 a = (x , y )，又| a — m-n | = 1,所以(x — 3)2+ (y — ,3)2= 1.所以向量a 的终点坐标(x , y )的轨迹是以(3 , 3)为圆心，半径为1的圆.所以|a |的最大值为圆心(3 , 3)到原点的距离加上半径.所以|a |的最大值为，32+；3 2+ 1 = 2 3+ 1.答案：B2. (2017 •河北石家庄一模)A , B, C 是圆O 上不同的三点，线段 CO 与线段AB 交于点Q 点O 与点D 不重合)，若0(=入OA +卩OB 入，卩€ R)，贝U 入+卩的取值范围是()A. (0,1)B. (1 ,+^)C. (1 , \ 2]D. ( —1~~~< 入一<所以mO =入01 OB 即。

2018年高考数学一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时达标24 平面向量的概念及其线性运算 理[解密考纲]本考点重点考查向量的概念、线性运算，多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等偏下．一、选择题1．在△ABC 中，已知M 是BC 的中点，设CB →＝a ，CA →＝b ，则AM →＝( A ) A ．12a －b B ．12a ＋b C ．a －12b D ．a ＋12b解析：AM →＝AC →＋CM →＝－CA →＋12CB →＝－b ＋12a ，故选A ．2．(2017·河北石家庄模拟)已知a ，b 是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是( D )A ．a ＋b ＝0B ．a ＝bC ．a 与b 共线反向D ．存在正实数λ，使a ＝λb解析：因为a ，b ，是两个非零向量，且|a ＋b|＝|a|＋|b|，则a 与b 共线同向，故D 正确．3．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，实数λ∈(1,2)，则( B ) A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析：∵OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，∴OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴AM →＝λAB →.∵λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上．4．如图所示，在△ABC 中，若BC →＝3DC →，则AD →＝( C )A ．23AB →＋13AC →B ．23AB →－13AC →C ．13AB →＋23AC →D ．13AB →－23AC → 解析：AD →＝CD →－CA →＝13CB →－CA →＝13(AB →－AC →)＋AC →＝13AB →＋23AC →，故选C ．5．(2017·甘肃兰州模拟)已知D 为△ABC 的边AB 的中点，M 在边DC 上且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( C )A ．15 B ．25 C ．35 D ．45解析：由5AM →＝AB →＋3AC →得2AM →＝2AD →＋3AC →－3AM →，则2(AM →－AD →)＝3(AC →－AM →)，即2DM →＝3MC →，故DM →＝35DC →，故△ABM 与△ABC 同底且高的比为3∶5，故S △ABM ∶S △ABC ＝3∶5.6．(2017·云南大理模拟)已知O 是△ABC 所在平面外一点且满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ为实数，则动点P 的轨迹必须经过△ABC 的( B ) A ．重心 B ．内心C ．外心D ．垂心解析：如图，设AB→|AB →|＝AF →，AC →|AC →|＝AE →，已知AF →，AE →均为单位向量．故□AEDF 为菱形，所以AD 平分∠BAC ， 由OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|得AP →＝λAD →，又AP →与AD →有公共点A ，故A ，D ，P 三点共线，所以P 点在∠BAC 的平分线上，故P 的轨迹经过△ABC 的内心． 二、填空题7．(2017·吉林长春模拟)已知m ，n 满足|m|＝2，|n|＝3，|m －n|＝17，则|m ＋n|＝3.解析：由平行四边形的对角线与边的关系及|m －n|与|m ＋n|为以m ，n 为邻边的平行四边形的两条对角线的长，得|m －n|2＋|m ＋n|2＝2|m|2＋2|n|2＝26，又|m －n|＝17，故|m ＋n|2＝26－17＝9，故|m ＋n|＝3.8．已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m 使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝3.解析：由题目条件可知，M 为△ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于D ，则AM →＝23AD →，因为AD 为中线，则AB →＋AC →＝2AD →＝3AM →，所以m ＝3.9．设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋p b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数p 的值为－1.解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a －b ，又A ，B ，D 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λBD →，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝2λ，p ＝－λ，∴p ＝－1.三、解答题10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，CD →＝13CA →＋λCB →，求实数λ的值．解析：如图，D 是AB 边上一点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于点F ，连接CD ，则CD →＝CE →＋CF →.因为CD →＝13CA →＋λCB →，所以CE →＝13CA →，CF →＝λCB →.由△ADE ∽△ABC ，得DE BC ＝AE AC ＝23，所以ED →＝CF →＝23CB →，故λ＝23.11．如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，若AE →＝mAB →＋AD →，求实数m 的值．解析：由N 是OD 的中点得AN →＝12AD →＋12AO →＝12AD →＋14(AD →＋AB →)＝34AD →＋14AB →，又因为A ，N ，E 三点共线，故AE →＝λAN →，即mAB →＋AD →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫34AD →＋14AB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14λ，1＝34λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，λ＝43，故实数m ＝13.12．如图，△ABC 中，GA →＋GB →＋GC →＝0，CA →＝a ，CB →＝b .若CP →＝m a ，CQ →＝n b ，CG ∩PQ ＝H ，CG →＝2CH →，求1m ＋1n的值．解析：由GA →＋GB →＋GC →＝0，知G 为△ABC 的重心，取AB 的中点D ，则CH →＝12CG →＝13CD →＝16(CA→＋CB →)＝16m CP →＋16n CQ →，由P ，H ，Q 三点共线，得16m ＋16n ＝1，则1m ＋1n ＝6.。

（时间：40分钟）1．设a ,b 是向量．则“|a ｜＝|b |”是“｜a ＋b |＝|a －b ｜”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 D解析 当｜a ｜＝｜b |＝0时，｜a ｜＝|b ｜⇔｜a ＋b ｜＝|a －b ｜.当|a |＝｜b |≠0时，|a ＋b ｜＝|a －b ｜⇔（a ＋b ）2＝(a －b )2⇔a ·b ＝0⇔a ⊥b ，推不出｜a |＝|b ｜.同样，由|a ｜＝|b |也不能推出a ⊥b 。

故选D 。

2．已知向量a 与b 的夹角是错误!，且｜a |＝1，｜b ｜＝4，若（3a ＋λb ）⊥a ，则实数λ＝( )A ．－错误!B ．错误!C ．－2D ．2 答案 A解析 因为(3a ＋λb )⊥a ,所以(3a ＋λb )·a ＝3a 2＋λa ·b ＝3＋2λ＝0，解得λ＝－错误!.3．在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，错误!＝(1，－2)，错误!＝(2，1)，则错误!·错误!＝（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 A解析 错误!＝错误!＋错误!＝（1，－2)＋(2,1)＝(3，－1）,所以错误!·错误!＝（2，1)·(3，－1)＝2×3＋1×（－1)＝5.4．在△ABC 中，∠C ＝90°,且CA ＝CB ＝3,点M 满足BM ，→＝2错误!,则错误!·错误!＝（ )A ．18B ．3C ．15D ．12答案 A解析 由题意可得△ABC 是等腰直角三角形,AB ＝3错误!，错误!＝错误!，故错误!·错误!＝(错误!＋错误!)·错误!＝错误!2＋错误!·错误!＝9＋（错误!－错误!)·错误!＝9＋错误!2－错误!·错误!＝9＋9－0＝18，故选A.5．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b （m ∈R ），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝（ )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 D解析 a ＝(1,2），b ＝(4,2),则c ＝m a ＋b ＝（m ＋4，2m ＋2），｜a ｜＝错误!,|b |＝2错误!，∴a ·c ＝5m ＋8，b ·c ＝8m ＋20.∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，∴错误!＝错误!,∴错误!＝错误!,解得m＝2.6．已知向量a＝(1，－1）,b＝（6，－4)．若a⊥（t a＋b)，则实数t的值为________．答案－5解析根据已知，a2＝2，a·b＝10。

2018版高考数学一轮总复习 第4章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.4 数系的扩充与复数的引入模拟演练 文[A 级 基础达标](时间：40分钟)1．若a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3C ． 2D ．1答案 B解析 解法一：由已知⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2.∴1＋a 2＝2.∵a >0，∴a ＝ 3.解法二：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|a ＋i||i|＝|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝ 3. 2．[2016·北京高考]复数1＋2i2－i ＝( )A ．iB ．1＋iC ．－iD ．1－i答案 A 解析 1＋2i 2－i＝＋＋2－i2＋i＝2＋i ＋4i ＋2i 24－i 2＝5i 5＝i ，故选A. 3．[2016·全国卷Ⅲ]若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4i z z －1＝4i4＝i ，故选C.4．[2015·湖南高考]已知－2z＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 D 解析 由－2z＝1＋i ，得z ＝－21＋i＝－2i 1＋i ＝－－1＋i 1－i＝－1－i. 5．[2017·安徽模拟]设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i答案 A解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ·z i ＋2＝2z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.6．[2016·天津高考]i 是虚数单位，复数z 满足(1＋i)z ＝2，则z 的实部为________． 答案 1解析 ∵z ＝21＋i＝1－i ，∴z 的实部为1.7．若a1－i ＝1－b i ，其中a ，b 都是实数，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝________.答案5解析 ∵a ，b ∈R ，且a1－i ＝1－b i ，则a ＝(1－b i)(1－i)＝(1－b )－(1＋b )i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，0＝1＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1，∴|a ＋b i|＝|2－i|＝22＋－2＝ 5.8．[2014·湖南高考]满足z ＋iz＝i(i 为虚数单位)的复数是________． 答案 12－i2解析 由已知得z ＋i ＝z i ，则z (1－i)＝－i ， 即z ＝－i1－i＝－＋－＋＝1－i 2＝12－i2. 9．[2017·金华模拟]已知z ∈C ，解方程z ·z －－3i z －＝1＋3i.解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.根据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z ＝－1＋3i.10．已知复数z ＝b i(b ∈R )，z －21＋i是实数，i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为z ＝b i(b ∈R )，所以z －21＋i ＝b i －21＋i ＝b i －－1＋i 1－i＝b －＋b ＋2＝b －22＋b ＋22i.又因为z －21＋i 是实数，所以b ＋22＝0，所以b ＝－2，即z ＝－2i.(2)因为z ＝－2i ，m ∈R ，所以(m ＋z )2＝(m －2i)2＝m 2－4m i ＋4i 2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0.解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．复数z 为实数的充分不必要条件是( ) A ．z ＝z B ．|z |＝z C ．z 2为实数 D ．z ＋z 为实数答案 B解析 z ＝z ⇔z ∈R .|z |＝z ⇒z ∈R ，反之不行，例如z ＝－2.z 2为实数不能推出z ∈R ，例如z ＝i.对于任何z ，z ＋z 都是实数．故选B.12．复数m (3＋i)－(2＋i)(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 B解析 ∵m (3＋i)－(2＋i)＝(3m －2)＋(m －1)i ，设在复平面内对应的点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3m －2，y ＝m －1，消去m 得x －3y －1＝0，因为直线x －3y －1＝0经过第一、三、四象限，所以复数在复平面内对应的点不可能位于第二象限，故选B.13．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx的最大值为________．答案3解析 ∵|z －2|＝x －2＋y 2＝ 3∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3. 14．若虚数z 同时满足下列两个条件：①z ＋5z是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z ；若不存在，请说明理由．解 存在．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)， 则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i＝a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋5a 2＋b 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2i. 又z ＋3＝a ＋3＋b i 实部与虚部互为相反数，z ＋5z是实数，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ⎝⎛⎭⎪⎫1－5a 2＋b 2＝0，a ＋3＝－b ，因为b ≠0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝－b －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1.所以z ＝－1－2i 或z ＝－2－i.。