平面向量与复数汇总

复数与平面向量的应用知识点总结复数与平面向量在数学和物理等领域中有着广泛的应用，本文将对这两个知识点进行总结和概述。

一、复数的应用知识点复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部。

复数的应用包括以下几个方面：1. 复数的四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。

通过复数的四则运算，可以解决一些复杂的数学问题，例如求解方程、计算多项式的根等。

2. 复数的共轭：复数的共轭表示实部不变，虚部取负的复数，即 a + bi 的共轭为 a - bi。

共轭复数在求解方程、计算模长等问题中起到重要的作用。

3. 复数的模长和辐角：复数的模长表示复数到原点的距离，可以通过勾股定理计算。

复数的辐角可以通过计算反三角函数得到，常见的辐角有 [-π, π) 范围内的角度表示。

4. 欧拉公式：欧拉公式指出e^(iθ) = cosθ + isinθ，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位。

欧拉公式将复数与三角函数联系起来，简化了一些复杂的运算。

二、平面向量的应用知识点平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有序对 (a, b)，也可以表示为以起点和终点表示的箭头。

平面向量的应用包括以下几个方面：1. 平面向量的加法和减法：平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相连，然后以连接线段为对角线构建平行四边形，那么连接线段的终点即为两个向量相加的结果。

减法类似，只需将一个向量取相反向量再进行加法。

2. 平面向量的数量积和夹角：平面向量的数量积可以用来计算两个向量的夹角的余弦值。

数量积满足交换律和分配律，可以通过向量的坐标进行计算。

3. 平面向量的模长：平面向量的模长表示向量的长度，可以通过勾股定理计算，即模长为√(a^2 + b^2)。

4. 单位向量：单位向量是模长为 1 的向量，可以通过将向量除以其模长得到。

单位向量有很多重要的应用，例如在求解向量的投影、计算向量的夹角等问题中。

复数1．复数的有关概念(1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算(1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R .(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2—→＝OZ 2→－OZ 1→.概念方法微思考1．复数a ＋b i 的实部为a ，虚部为b 吗？提示 不一定．只有当a ，b ∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则．1．（2020•海南）(12)(2)(i i ++=（ ） A ．45i +B ．5iC ．5i -D ．23i +【答案】B【解析】2(12)(2)2425i i i i i i ++=+++=， 故选B ．2．（2020•北京）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z =（ ） A ．12i + B ．2i -+ C ．12i - D ．2i --【答案】B【解析】复数z 对应的点的坐标是(1,2)， 12z i ∴=+，则(12)2i z i i i =+=-+， 故选B ． 3．（2020•山东）212ii-=+（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】D 【解析】2(2)(12)512(12)(12)14i i i ii i i i ----===-++-+， 故选D ．4．（2020•新课标Ⅰ）若312z i i =++，则||z =（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】C【解析】312121z i i i i i =++=+-=+，||z ∴=．故选C ．5．（2020•新课标Ⅲ）复数113i-的虚部是（ ） A ．310-B ．110- C ．110D ．310【答案】D 【解析】1131313(13)(13)1010i i i i i +==+--+， ∴复数113i -的虚部是310． 故选D ．6．（2020•新课标Ⅰ）若1z i =+，则2|2|z z -=（ ）A ．0B ．1CD ．2【答案】D【解析】若1z i =+，则222(1)2(1)2222z z i i i i -=+-+=--=-， 则2|2||2|2z z -=-=， 故选D ．7．（2020•新课标Ⅲ）若(1)1z i i +=-，则z =（ ） A ．1i - B ．1i + C ．i - D ．i【答案】D【解析】由(1)1z i i +=-，得21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-，z i ∴=．故选D ．8．（2020•浙江）已知a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数，则a =（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-【答案】C【解析】a R ∈，若1(2)(a a i i -+-为虚数单位）是实数， 可得20a -=，解得2a =． 故选C ．9．（2020•新课标Ⅱ）4(1)i -=（ ） A ．4- B ．4 C ．4i - D ．4i【答案】A【解析】4222(1)[(1)](2)4i i i -=-=-=-． 故选A ．10．（2019•全国）复数12iz i-=在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】21(1)()112222i i i z i i i ---===---， z ∴在复平面内对应的点的坐标为1(2-，1)2-，在第三象限．故选C ．11．（2019•新课标Ⅱ）设32z i =-+，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】32z i =-+，∴32z i =--，∴在复平面内z 对应的点为(3,2)--，在第三象限．故选C ．12．（2019•新课标Ⅲ）若(1)2z i i +=，则z =（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i - D ．1i +【答案】D【解析】由(1)2z i i +=，得 22(1)12i i i z i -==+ 1i =+．故选D ．13．（2019•新课标Ⅱ）设(2)z i i =+，则z =（ ） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i - D ．12i --【答案】D 【解析】(2)12z i i i =+=-+，∴12z i =--，故选D ．14．（2019•北京）已知复数2z i =+，则z z =（ ）A B C ．3 D ．5【答案】D【解析】2z i =+，22||5z z z ∴===．故选D ．15．（2019•新课标Ⅰ）设312iz i-=+，则||z =（ ）A ．2B CD ．1【答案】C【解析】由312iz i -=+，得3|3|||||12|12|i i z i i --====++16．（2018•全国）设122z i =-+，则2z z +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】由12z =-+，得222111(1)()())()1222z z z z +=+=-+=-=-．故选A ．17．（2018•新课标Ⅰ）设121iz i i-=++，则||z =（ ）A ．0B ．12C ．1 D【答案】C 【解析】1(1)(1)2221(1)(1)i i i z i i i i i i i i ---=+=+=-+=+-+， 则||1z =． 故选C ．18．（2018•北京）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】复数11111(1)(1)22i i i i i +==+--+， 共轭复数对应点的坐标1(2，1)2-在第四象限．故选D ．19．（2018•新课标Ⅲ）(1)(2)i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+C ．3i -D ．3i +【答案】D【解析】(1)(2)3i i i +-=+． 故选D ．20．（2018•新课标Ⅱ）(23)i i +=（ ） A ．32i - B ．32i +C ．32i --D ．32i -+【答案】D【解析】2(23)2332i i i i i +=+=-+．21．（2018•新课标Ⅱ）1212ii+=-（ ） A ．4355i --B ．4355i -+C ．3455i --D ．3455i -+【答案】D 【解析】12(12)(12)3412(12)(12)55i i i i i i i +++==-+--+． 故选D ．22．（2018•浙江）复数2(1i i-为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i -C ．1i -+D ．1i --【答案】B【解析】化简可得21z i=- 2(1)1(1)(1)i i i i +==+-+，z ∴的共轭复数1z i =-故选B ．23．（2017•全国）2=（ ）A ．12-B ．12-C ．12 D ．12【答案】D【解析】212=．故选D ．24．（2017•山东）已知a R ∈，i 是虚数单位，若z a =，4z z =，则a =（ ）A ．1或1-BC ．D 【答案】A【解析】由z a =，则z 的共轭复数z a =，由2()()34z z a a a =+=+=，则21a =，解得：1a =±， a ∴的值为1或1-，故选A ．25．（2017•山东）已知i 是虚数单位，若复数z 满足1zi i =+，则2z =（ ） A ．2i -B ．2iC ．2-D ．211iz i i+∴==-， 22z i ∴=-，故选A ．26．（2017•新课标Ⅰ）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ） A ．2(1)i i + B ．2(1)i i -C ．2(1)i +D ．(1)i i +【答案】C【解析】A ．2(1)22i i i i +==-，是实数．B ．2(1)1i i i -=-+，不是纯虚数．C ．2(1)2i i +=为纯虚数．D ．(1)1i i i +=-不是纯虚数．故选C ．27．（2017•新课标Ⅲ）设复数z 满足(1)2i z i +=，则||z =（ ）A ．12B C D ．2【答案】C【解析】(1)2i z i +=，(1)(1)2(1)i i z i i ∴-+=-，1z i =+．则||z = 故选C ．28．（2017•北京）若复数(1)()i a i -+在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1)-∞- C ．(1,)+∞ D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】复数(1)()1(1)i a i a a i -+=++-在复平面内对应的点在第二象限，∴1010a a +<⎧⎨->⎩，解得1a <-．则实数a 的取值范围是(,1)-∞-． 故选B ．29．（2017•新课标Ⅱ）(1)(2)i i ++=（ ） A ．1i -B ．13i +C ．3i +D ．33i +故选B ．30．（2017•新课标Ⅲ）复平面内表示复数(2)z i i =-+的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】(2)21z i i i =-+=--对应的点(1,2)--位于第三象限． 故选C ．31．（2017•新课标Ⅱ）31ii+=+（ ） A ．12i + B ．12i -C ．2i +D ．2i -【答案】D 【解析】3(3)(1)4221(1)(1)2i i i ii i i i ++--===-++-， 故选D ．32．（2020•天津）i 是虚数单位，复数82ii-=+__________． 【答案】32i -【解析】i 是虚数单位，复数8(8)(2)1510322(2)(2)5i i i ii i i i ----===-++-， 故答案为：32i -．33．（2020•上海）已知复数12(z i i =-为虚数单位），则||z =__________．【解析】由12z i =-，得||z =．．34．（2020•江苏）已知i 是虚数单位，则复数(1)(2)z i i =+-的实部是__________． 【答案】3【解析】复数(1)(2)3z i i i =+-=+， 所以复数(1)(2)z i i =+-的实部是：3． 故答案为：3．35．（2020•新课标Ⅱ）设复数1z ，2z 满足12||||2z z ==，12z z i +=，则12||z z -=__________．【答案】【解析】复数1z ，2z 满足12||||2z z ==，12z z i +=，所以12||2z z +=，∴2121212||()4z z z z z z +=++=，121284z z z z ∴++=．得12124z z z z +=-． 2121212||8()12z z z z z z ∴-=-+=．又12||0z z ->，故12||z z -=故答案为：36．（2020•上海）已知复数z 满足26z z i +=+，则z 的实部为__________． 【答案】2【解析】设z a bi =+，(,)a b R ∈． 复数z 满足26z z i +=+， 36a bi i ∴-=+，可得：36a =，1b -=，解得2a =，1b =． 则z 的实部为2． 故答案为：2．37．（2019•上海）已知z C ∈，且满足15i z =-，求z =__________． 【答案】5i - 【解析】由15i z =-，得15z i -=，即155z i i=+=-． 故答案为：5i -．38．（2019•天津）i 是虚数单位，则5||1ii-+的值为__________．【解析】由题意，可知：225(5)(1)56231(1)(1)1i i i i i i i i i i ----+===-++--，5|||23|1ii i-∴=-==+39．（2019•江苏）已知复数(2)(1)a i i ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是__________． 【答案】2【解析】(2)(1)(2)(2)a i i a a i ++=-++的实部为0， 20a ∴-=，即2a =．故答案为：2．40．（2019•上海）设i 为虚数单位，365z i i -=+，则||z 的值为__________．【答案】【解析】由365z i i -=+，得366z i =+，即22z i =+，||||z z ∴==故答案为： 41．（2019•浙江）复数1(1z i i=+为虚数单位），则||z =__________．【解析】11111(1)(1)22i z i i i i -===-++-．||z ∴=．． 42．（2018•天津）i 是虚数单位，复数6712ii+=+__________． 【答案】4i - 【解析】67(67)(12)614712205412(12)(12)55i i i i i ii i i i ++-++--====-++-， 故答案为：4i -．43．（2018•江苏）若复数z 满足12i z i =+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为__________． 【答案】2【解析】由12i z i =+， 得212(12)()2i i i z i i i ++-===--， z ∴的实部为2．故答案为：2．44．（2018•上海）已知复数z 满足(1)17(i z i i +=-是虚数单位），则||z =__________． 【答案】5【解析】由(1)17i z i +=-， 得17(17)(1)68341(1)(1)2i i i i z i i i i -----====--++-，则||5z ==． 故答案为：5．45．（2018•上海）若复数1(z i i =+是虚数单位），则2z z+=__________． 【答案】2 【解析】1z i =+，∴222(1)2(1)1111121(1)(1)2i i z i i i i i z i i i --+=++=++=++=++-=++-． 故答案为：2．46．（2017•上海）已知复数z 满足30z z+=，则||z =__________．【解析】由30z z+=， 得23z =-，设(,)z a bi a b R =+∈，由23z =-，得222()23a bi a b abi +=-+=-， 即22320a b ab ⎧-=-⎨=⎩，解得：0a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴z =．则||z =47．（2017•天津）已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii-+为实数，则a 的值为__________． 【答案】2-【解析】a R ∈，i 为虚数单位，()(2)21(2)2122(2)(2)4155a i a i i a a i a ai i i i -----+-+===-++-+ 由2a ii-+为实数， 可得205a+-=， 解得2a =-． 故答案为：2-．48．（2017•江苏）已知复数(1)(12)z i i =++，其中i 是虚数单位，则z 的模是__________．【解析】复数(1)(12)12313z i i i i =++=-+=-+，||z ∴49．（2017•浙江）已知a 、b R ∈，2()34(a bi i i +=+是虚数单位），则22a b +=__________，ab =__________．【答案】5，2【解析】a 、b R ∈，2()34(a bi i i +=+是虚数单位）， 22342i a b abi ∴+=-+， 223a b ∴=-，24ab =， 解得2ab =，21a b =⎧⎨=⎩，21a b =-⎧⎨=-⎩．则225a b +=， 故答案为：5，2．50．（2017•上海）若复数z 满足2136(z i i -=+是虚数单位），则z =__________． 【答案】23i -【解析】2136z i -=+，∴246z i =+，则23z i =+，23z i ∴=-．故答案为：23i -．1．（2020•道里区校级一模）已知i 是虚数单位，202013z i i =+-，且z 的共轭复数为z ，则z z =（ ）A B C ．5 D ．3【答案】C 【解析】2020450513132z i i i i i ⨯=+-=+-=-+，||z ∴=则22||5z z z ===． 故选C ．2．（2020•江西模拟）若(2)x i i y i +=+，其中x ，y R ∈，i 为虚数单位，则复数z x yi =+的虚部为（ ） A ．1 B ．i C ．2- D ．2i -【答案】C【解析】(2)x i i y i +=+，2xi y i ∴-+=+， 则1x =，2y =-．∴复数z x yi =+的虚部为2-．故选C ．3．（2020•东湖区校级模拟）已知i 是虚数单位，复数22020(1)z i i =-+在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】220204505(1)212z i i i i i ⨯=-+=-+=-．z ∴在复平面内对应点的坐标为(1,2)-，在第四象限．故选D ．4．（2020•龙凤区校级模拟）已知i 是虚数单位，复数61iz i=-，则z 的虚部为（ ） A ．3- B ．3 C ．2-D ．2【答案】A 【解析】66(1)331(1)(1)i i i z i i i i +===-+--+， ∴33z i =--，则z 的虚部为3-． 故选A ．5．（2020•二模拟）在复平面内，O 为坐标原点，复数z 对应的点为(1,0)Z ，将向量OZ 按逆时针方向旋转30︒得到OZ '，则OZ '对应的复数z '为（ ）A 12i + B ．12+ C 12i - D ．12【答案】A【解析】由题意，1z =，又将向量OZ 按逆时针方向旋转30︒得到OZ ''，∴OZ '对应的复数11(cos30sin30)2z i i '=⨯︒+︒=+． 故选A ．6．（2020•滨州三模）已知x R ∈，当复数(3)z x i =+-的模长最小时，z 的虚部为（ ）A B ．2C ．2-D ．2i -【答案】C 【解析】2(3)z x x i =+-，||z ∴=，∴当1x =时，||z 有最小值，此时2z i =． z ∴的虚部为2-．故选C ．7．（2020•龙潭区校级模拟）复数5(1i i i -+是虚数单位）的虚部是（ ） A ．3i B ．6iC ．3D ．6【答案】C 【解析】5(5)(1)46231(1)(1)2i i i ii i i i ----+===-+++-， ∴复数51i i -+的虚部是3． 故选C ．8．（2020•马鞍山三模）已知复数z 满足2(34)(1)(z i i i -=+是虚数单位），则||z =（ ）A B C ．25 D ．15【答案】C【解析】由2(34)(1)2z i i i -=+=-， 得234iz i-=-，2|2|2||||34|34|5i i z i i --∴====--． 故选C ．9．（2020•宝鸡三模）已知复数z 在复平面上对应的点为(1,)m ，若iz 为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．1或1-【答案】B【解析】复数z 在复平面上对应的点为(1,)m ，1z mi ∴=+， (1)iz i mi m i =+=-+为实数，0m ∴=．故选B ．10．（2020•镜湖区校级模拟）复数2(1iz i i=+为虚数单位），则||z 等于（ ）A ．3B ．C ．2D【答案】D 【解析】22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-，||||z z ∴==故选D ．11．（2020•内江三模）复数z 满足(43)32(i z i i +=-为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】由(43)32i z i +=-，得32(32)(43)61743(43)(43)2525i i i z i i i i ---===-++-， ∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为6(25，17)25-，位于第四象限．故选D ．12．（2020•南岗区校级模拟）复数241i i i z i-++=-，则复数||z =（ ）A ．12B C D ．32【答案】B 【解析】2411(1)11111(1)(1)22i i i i i i i z i i i i i i -++--+--+=====-----+，11||||22z i ∴=-． 故选B ．13．（2020•香坊区校级一模）已知复数5121iz i i=++-，则||z 值为（ ）A ．1BC ．2D 【答案】D 【解析】55(12)(1)121(12)(12)(1)(1)i i i i z i i i i i i -+=+=++-+--+ 1113122222i i i =--+=-，||z ∴=故选D ．14．（2020•湖北模拟）已知i 是虚数单位，则20201()1i i-=+（ ） A ．1 B ．1-C ．iD ．i -【答案】A 【解析】21(1)1(1)(1)i i i i i i --==-++-， 20202020202045051()()11i i i i i⨯-∴=-===+． 故选A ．15．（2020•安徽模拟）复数z 满足1()12z -+=，则z 的共轭复数为（ ）A ．12+B ．12 C ．12-+D ．12-【答案】C【解析】1()12z -+=，112z --∴===-，则z的共轭复数为12-+．故选C ．16．（2020•靖远县模拟）已知i 为虚数单位，下列命题中正确的是（ ） A ．若z C ∈，则20z B ．21i -的虚部是2iC ．若a ，b R ∈且a b >，则a i b i +>+D ．实数集在复数集中的补集是虚数集 【答案】D【解析】令z i C =∈，则21i =-，故A 不正确； 21i -的虚部是2，故B 不正确；a i +与b i + 都是虚数，不能比较大小，故C 不正确；由实数集与虚数集可组成复数集知D 正确． 故选D ．17．（2020•南岗区校级四模）已知i 是虚数单位，264(1)iz i i =-+，则||z =（ ）A ．10 BC ．5D【答案】C 【解析】2664434(1)2i iz i i i i i=-=-=-+；||5z ∴=；故选C ．18．（2020•雁峰区校级模拟）若i 为虚数单位，复数22cos sin33z i ππ=-的共轭复数是z ，则复数2z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】221cossin 332z i ππ=-=-，∴12z =-，则221131()2442z =-=-=--．∴复数2z 在复平面内对应的点的坐标为1(2-，，位于第三象限． 故选C ．19．（2020•汉阳区校级模拟）在复平面内，复数2i ，3对应的点分别为A ，B ．若C 为线段AB 上的点，且AC CB =，则点C 对应的复数是（ ） A ．312i +B ．32i + C ．213i +D ．23i +【答案】B【解析】由题意，(0,2)A ，(3,0)B ，又AC CB =，可知C 为AB 的中点，则3(2C ，1)，∴点C 对应的复数是32i +． 故选B ．20．（2020•广东四模）若复数22m iz i+=-是纯虚数(i 为虚数单位），则实数m 的值是（ ） A ．4- B ．1-C ．1D ．4【答案】C 【解析】2(2)(2)2242(2)(2)55m i m i i m m z i i i i +++-+===+--+是纯虚数， ∴22040m m -=⎧⎨+≠⎩，即1m =．故选C ．21．（2020•九龙坡区模拟）已知复数z 满足(1)(i z i i -=-为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．12iB ．12 C ．12-D ．12i -【答案】C【解析】由(1)i z i -=-，得(1)111(1)(1)22i i i z i i i i --+===---+， z ∴的虚部为12-． 故选C ．22．（2020•衡水模拟）已知复数z 满足2z z i i -=，则||z =（ ）A ．1BCD ．2【答案】B【解析】由2z z i i -=，得(1)2i z i -=， 解得22(1)11(1)(1)i i i z i i i i +===-+-+-，所以||z ． 故选B ．23．（2020•西安三模）若复数z 满足(34)112i z i -=+．其中i 为虚数单位，z 为z 共轭复数，则z 的虚部为（ ） A ．2- B ．2 C ．2i - D ．2i【答案】A【解析】由(34)112i z i -=+，得112(112)(34)25501234(34)(34)25i i i iz i i i i ++++====+--+． 12z i ∴=-．z ∴的虚部为2-．故选A ．24．（2020•原州区校级模拟）已知复数z 满足|2|2z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A ．2240x y y +-= B ．2240x y y ++= C ．22440x y y +++= D ．22440x y y +-+=【答案】A【解析】由题意知z x yi =+，则|2||(2)|2z i x y i -=+-=，22(2)4x y ∴+-=，即2240x y y +-=． 故选A ．25．（2020•新华区校级模拟）满足条件|4|||z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】A【解析】由|4|||z i z i +=+，得|(4)||()|z i z i --=--，可知复数z 对应点的轨迹是以(0,4)-和(0,1)-为端点的线段的垂直平分线． 故选A ．26．（2020•碑林区校级模拟）若复数2(z i i =-是虚数单位），则2||z z在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】2z i =-，∴22||5z ==，则2||55(2)22(2)(2)z i i z i i i +===+--+，则2||z z在复平面内对应的点的坐标为(2,1)，位于第一象限．故选A ．27．（2020•运城模拟）已知i 为虚数单位，若212aibi i+=-，则a b +=（ ） A ．2- B ．1-C ．2D ．3【答案】D 【解析】由212aibi i+=-，得22(1)22ai i bi b i +=-=+， 由复数相等的充要条件得222ba =⎧⎨=⎩，即2a =，1b =，3a b ∴+=，故选D ．28．（2020•黄州区校级三模）复数312iz i+=-（其中i 为虚数单位），则||z =（ ）A ．2B ．43CD【答案】C【解析】设复数312i z i+=-， 则3|3|||||||12|12|i i z z i i ++===--故选C ．29．（2020•新乡三模）已知复数z =z =（ ）A 12i + B 12i C ．12 D ．12【答案】B【解析】123z i ===+-，∴12z i =-． 故选B ．30．（2020•桃城区校级模拟）若a ，b 为实数，且4ia bi i+=-，则b =（ ） A ．2- B ．2C ．4-D ．4【答案】D【解析】由4ia bi i+=-得，24i ai bi +=-，即4i b ai +=+， 4b ∴=．故选D ．31．（2020•黄州区校级二模）已知i 为虚数单位，复数z 满足3(1)2i z +=，则下列判断正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．||2z =C ．z 的实部为1-D ．z 在复平面内所对应的点在第一象限 【答案】D【解析】由3(1)2i z +=， 得322111z i i i===++-，其实部为1，虚部为1，故A 错、C 错；||z =B 错；z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D 正确．故选D ．32．（2020•新华区校级模拟）已知复数2(1iz i i=+虚数单位），则z z =（ ）A B ．2C ．1D ．12【答案】B【解析】由题意知|2||||1|i z i ===+ 利用性质2||z z z =，得2z z =， 故选B ．33．（2020•河南模拟）已知i 为虚数单位，则1111i ii i+--=-+（ ） A ．2i - B ．2iC ．2-D ．2【答案】B【解析】2211(1)(1)22211(1)(1)(1)(1)22i i i i i i i i i i i i i +-+---=-=-=-+-++-．故选B ．34．（2020•杭州模拟）已知复数2(2)1iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，)m R ∈． （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值； （2）求|1|z -的取值范围．【解析】22(1)(2)2(21)(1)1(1)(1)i i i z i m m mi m m i i i i --=++=++=++---+--．（1）复数z 是纯虚数，∴21010m m +=⎧⎨-≠⎩，即12m =-；（2）12(1)z m m i -=+-，425|1|z -=，|1|z ∴-的取值范围是)+∞． 35．（2019•嘉定区一模）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，复数1z a bi =+，2cos cos z A i B =+（其中i 是虚数单位），且123z z i =． （1）求证：cos cos a B b A c +=，并求边长c 的值；（2）判断ABC ∆的形状，并求当b =时，角A 的大小．【解析】（1）222222cos cos 22a c b b c a a B b A a b ac bc+-+-+=⨯+⨯222c c c==， 12cos cos (cos cos )z z a A b B a B b A i =-++3i =，cos cos 0a A b B ∴-=，(*)⋯ cos cos 3a B b A +=， 3c ∴=；（2）由(*)式得，cos cos a A b B =，⋯① 由正弦定理得，sin sin a bA B=，⋯② ①②得，sin2sin2A B =， 得，A B =，或2A B π+=ABC ∴∆为等腰三角形或直角三角形，若为等腰三角形，当b =cos A =， 6A π=．若为直角三角形，当b =cos A =，A ．。

版高考数学一轮总复习复数与平面向量联系实例详解复数与平面向量是高中数学中的重要内容之一，它们之间存在着紧密的联系。

在高考数学一轮总复习中，掌握复数与平面向量的联系对于解题非常有帮助。

本文将以实例的方式详解复数与平面向量的联系，并提供具体的解题步骤和思路。

1. 复数的表示与平面向量复数可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实部和虚部，i为虚数单位。

而平面向量可以表示为⟨x，y⟩的形式，其中x和y分别为向量在x轴和y轴上的分量。

可以发现，复数与平面向量都以坐标形式来表示，这就是它们之间的联系之一。

2. 复数的加减与平面向量的运算在复数中，加法和减法的运算规则与平面向量的运算相同。

例如，将两个复数相加，我们只需要将它们的实部和虚部分别相加即可。

同样地，在平面向量中，两个向量相加只需要将它们的x轴和y轴分量相加。

这表明复数的加减运算与平面向量的运算存在着一定的联系。

3. 复数与平面向量的长度在复数中，我们可以通过利用勾股定理求得其模长。

同样地，在平面向量中，我们也可以通过勾股定理求得向量的长度。

这个长度在复数中被称为模长，在平面向量中被称为长度或模长。

可以看出，复数与平面向量在长度的求解上有相似之处。

4. 复数的乘法与平面向量的运算复数的乘法可以看作是平面向量的旋转与放缩操作。

当两个复数相乘时，实部和虚部的乘积分别由矢量的分量和长度决定。

类似地，在平面向量中，两个向量的数量积也可以看作是向量的旋转和放缩操作。

通过比较复数的乘法与平面向量的运算，我们可以发现它们之间的联系。

5. 复数与平面向量的应用举例（1）解析几何问题：在平面几何中，我们经常会遇到求解直线、平面的方程等问题。

通过将复数与平面向量相结合，我们可以更方便地解决这些问题，并且可以得到更加简洁的解题步骤。

（2）复数与三角函数的关系：复数与三角函数存在着密切的联系，通过复数的运算可以简化三角函数的运算，并且可以方便地应用到解题中。

通过将复数与平面向量结合，我们可以更加深入地理解复数与三角函数之间的关系。

第06讲-平面向量与复数(解析版)第06讲-平面向量与复数(解析版)平面向量与复数是数学中的两个重要概念，它们在解析几何和复数运算中起着重要的作用。

平面向量用来描述平面上的位移和方向，而复数则是由实部和虚部构成的数，可以表示平面上的点与向量。

平面向量的定义与性质平面向量可以理解为带有方向的位移量，它由两个点确定，可以用向量箭头表示。

一个平面向量可以表示为AB(向量上面带有箭头)，其中A和B为向量的起点和终点，也可以使用向量的分量形式表示为向量的横坐标和纵坐标。

平面向量有一些重要的性质，首先，向量的大小用向量的模表示，表示为|AB|，即向量的长度。

其次，向量可以进行加法和乘法运算，向量的加法是指向量与向量相加的运算，向量的乘法是指向量与标量相乘的运算。

向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。

向量的乘法也满足一些性质，标量与向量相乘，可以改变向量的大小和方向，但是不改变其方向。

平面向量可以表示为有向线段，即从起点指向终点的线段。

向量的方向可以用角度来表示，称为向量的方向角。

向量的方向角可以通过三角函数来计算，其中正弦和余弦分别表示向量的纵坐标和横坐标与向量模的比值。

复数的定义与性质复数是由实部和虚部构成的数，可以表示为a + bi的形式，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

复数在解析几何和电路等领域有广泛应用。

复数有一些重要的性质，首先，复数可以进行加法和乘法运算。

复数的加法满足交换律和结合律，即a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i。

复数的乘法满足交换律、结合律和分配律，即(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2。

复数可以表示为平面上的点，其中实部对应点的横坐标，虚部对应点的纵坐标。

复数的大小用模表示，表示为|a + bi|，即复数的距离原点的距离。

第12篇平面向量与复数知识梳理1．平面向量与距离公式(1)||||AB = a ，||a 就是两点A B ，间的距离．(2)若OA OB == ，a b ，则||-a b 就是两点A B ，间的距离．2．向量中涉及向量模的关系式：(1)22||=a a ；(2)1212||||||||n n ++++++ ≤a a a a a a ，三角不等式；(3)||||||⋅⋅≤a b a b ，数量积的重要不等式，本质是柯西不等式．3．复数的概念与运算(1)表达形式：代数式——()z a b a b =+∈R ，i ；三角式——(cos sin )(0)z r r θθθ=+∈R ≥，i ；指数式——(0)z r r θθ=∈R ≥，i e ．(2)共轭与模：1212z z z z ±=±，1212z z z z ⋅=⋅，1122()z z z z =；121212||||||||||||z z z z z z -±+≤≤，1212||||||z z z z =⋅，1122||||||z z z z =，22||||z z z z ⋅==，z z z =⇔∈R ，|||Re()|z z z =⇔∈R ；(3)运算法则：111222121212(cos sin )(cos sin )(cos()sin())r r r r θθθθθθθθ++=+++i i i ，111112122222(cos sin )(cos()sin())(cos sin )r r r r θθθθθθθθ+=-+-+i i i ，[(cos sin )](cos sin )n n r r n n θθθθ+=+i i ，（棣莫弗定理）22(cos sin )sin )n k k z r z n nπθπθθθ++=+⇔=+i i ，0121k n =- ，，，，．4．辐角与单位根(1)辐角的性质：若(cos sin )(0)z r r θθθ=+∈R ≥，i ，则称θ为复数z 的辐角，记为z Arg ；特别地，当[02)θπ∈，时，则称θ为复数z 的辐角主值，记为arg z ；1212()z z z z +=Arg Arg Arg ，112122()()z z z z z z -==Arg Arg Arg Arg ，n n z z =Arg Arg ；(2)单位根：方程1n x =的n 个根叫做n 次单位根，分别记为22(cos sin )0121k k k k n n nππω=+=- ，，，，，i ．一般地，01ω=，1k k ωω=，k j k j ωωω+=；单位根的积仍是单位根；n 次单位根的全部为：211111n ωωω- ，，，，；2111110n ωωω-++++= ；21111(1)()()()1n n x x x x x ωωω-----=- ．(3)基本结论：实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现；若12||||||n z z z === ，且10ni i z ==∑，则12n z z z ，，，对应的点是正n 边形的顶点，且正n 边形的中心在坐标原点；若复数12z z ，对应的点分别为12Z Z ，，且102z z z =，则120arg Z OZ z ∠=或0arg z π-．5．复数与几何(1)基本原理：点的对应——复数()z x y x y =+∈R ，i 与点()Z x y ，成一一对应关系；向量的对应——复数()z x y x y =+∈R ，i 与向量()OZ x y = ，成一一对应关系；距离公式：复数12z z 对应的点分别为12Z Z ，，则1212||||Z Z z z =-；旋转公式：复数12z z 对应的点分别为12Z Z ，，向量12Z Z 绕点1Z 逆时针旋转θ角，在伸长到(0)r r >倍，则所得向量1Z Z 中的Z 对应的复数为121()(cos sin )z z r z z θθ=+-+i ．(2)线性结论：定比分点——若复数12z z z ，，对应的点分别为12Z Z Z ，，，点Z 分有向线段12Z Z 的比为(1)λλ≠-，则121z z z λλ+=+；三点共线——若复数12z z z ，，对应的点分别为12Z Z Z ，，，则12Z Z Z ，，三点共线的充要条件是：12(1)z z z λλ=+-或者1122z z z z z z z z --=--；平行条件——若复数1234z z z z ，，，对应的点分别为1234Z Z Z Z ，，，，则1234Z Z Z Z ∥的充要条件是1234()z z z z λ-=-；垂直条件——若复数1234z z z z ，，，对应的点分别为1234Z Z Z Z ，，，，则1234Z Z Z Z ⊥的充要条件是1234()z z z z λ-=-i ．(3)几何结论：三角形面积公式——若复数123z z z ，，对应的点分别为123Z Z Z ，，，则123Z Z Z △的面积1321321Im()2z z z z z z ⋅++；三角形的形状——若复数123z z z ，，对应的点分别为123Z Z Z ，，，则123Z Z Z △为正三角形的充要条件是333123121323z z z z z z z z z ++=++或21230z z z ωω++=，其中23e πω=i ；三角形相似——若复数123z z z ，，对应的点分别为123Z Z Z ，，，复数123w w w ，，对应的点分别为123W W W ，，，则123123Z Z Z WW W △∽△（同向）的充要条件是21213131z z w w z z w w --=--；四点共圆——若复数1234z z z z ，，，对应的点分别为1234Z Z Z Z ，，，，则1234Z Z Z Z ，，，四点共圆的充要条件是31324142:{0}z z z z z z z z --∈---R ．解题示范（一）平面向量的应用例1设12n A A A ，，，为平面上任意给定的n 个点，求平面上点G ，使22212()nf G GA GA GA =+++ 最小．例2(2017第30届爱尔兰数学奥林匹克试题)线段0n B B 被点121n B B B - ，，，平分为n 等分，点A 满足0n B AB ∠为直角．求证：22000||||n nk k k k AB B B ===∑∑．例3(第30届IMO 预选题)设正n 边形12(3)n A A A n ≥的外接圆半径为R ，S 是外接圆上任意一点，求22212nT SA SA SA =+++ 的值．例4如图，ABC△中，O为外心，三条高AD BE CF，交于，，交于点H，直线DE AB点M，FD和AC交于点N，求证：OH MN⊥．例5(2010第10届捷克-斯洛伐克-波兰俄罗斯数学奥林匹克)已知凸四边形ABCD满足+=，BC DA+=．AB CD求证：四边形ABCD为平行四边形．（二）复数应用1．复数的概念及基本运算例6若12z z ∈C ，，求证：1212|||1|z z z z -=-⋅成立的充分必要条件是1||z 、2||z 中至少有一个等于1．例7设12n z z z ，，，为复数，满足12||||||1n z z z +++= ．求证：上述n 个复数中，必存在在若干个复数，它们的和的模不小于1.42．复数与三角，复数的单位根，复数与多项式例8（2013年北约9）对任意θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值．例9求值：cos 202cos 403cos6018cos1820S =︒+︒+︒+⋅⋅⋅+⨯︒．例10已知n 个复数12n z z z ，，，成等比数列，其中1||1z ≠，公比q 的模为1，但1q ≠．复数12n ωωω ，，，满足1k k k z z ω=+(12)k n = ，，，．求证：复数12n ωωω ，，，在复平面上对应的点12n P P P ，，，均在焦距为4的椭圆上．例11设n 为正整数，0r >为实数，证明：方程110n n n x rx r +++-=没有模为r 的复数根．例12已知210002000012000(1)x x a a x a x ++=++⋅⋅⋅+，求0361998a a a a +++⋅⋅⋅+的值．例13证明：1π2π(1)πsin sin sin (2*)2n n n n n n n n --⋅⋅⋅=∈N ≥，．例14设()f x 是复系数多项式，n 是正整数，若(1)|()n x f x -，求证：(1)|()n n x f x -．证明：1x =是()0f x =的根，则1n x =的每个单位根均是()0n f x =的根，证毕．例15在一个单位圆上给定了若干个点，已知该单位圆上任意一点到这些给定点的距离的乘积不大于2，求证：这些给定点恰好是某个正多形的顶点．例16(1986IMO27-2)在平面上给定点0P 和123A A A △，且约定当4S ≥时，3S S A A -=．构造点列012P P P ，，，使得1k P +为点k P 绕中心1k A +顺时针旋转120︒所达到的位置，012k = ，，，．求证：如果19860P P =，则123A A A △为等边三角形．3．复数与平面几何例17（第61届俄罗斯圣彼得堡数学奥林匹克试题）ABC △中，边AC BC ，上的点K L ，满足KBC LAC α∠=∠=，从点B 分别作AL BK ，的垂线CD CE ，，设F 是AB 中点，求DEF △的各角．例18在ABC △中，30C ∠=︒，O 是ABC △外心，I 是内心，边AC 上的点D 与BC 边上的点E 满足AD BE AB ==，求证：OI DE ⊥，且OI DE =．例19在ABC △中，点M Q ，分别在边AB AC ，上，点N P ，都在边BC 上，使得五边形AMNPQ 的五条边的长度相等，记点S 为直线MN 和PQ 的交点，l 为MSQ ∠的角平分线，求证：直线//OI l ，其中O 和I 分别是ABC △外接圆和内切圆的圆心．4．利用复数解平面几何问题中直线与圆相切的一个常用技巧：O为复平面上单位圆，A为O外一点，AB AC，为两条切线，B C，为切点，以各点字母代表其对应的复数，则2bcab c =+．例20已知I为ABC△内切圆，与BC CA AB，，分别切于点D E F，，，作DT EF⊥于点T，点J为IBC△的垂心，N为EF中点，M为DT中点，求证：J N M，，三点共线．例21凸四边形ABCD有内切圆I，AB与CD交于点E，AD与BC交于点F，M为BEC△外接圆与CDF△外接圆的除C以外的另一个交点．求证：MI平分BMD∠．能力测试1．已知复数123a a a ，，满足2223334441231231230a a a a a a a a a ++=++=++=．求123a a a ++的所有可能值．2．设(1)2()1mn m n n n f x x x x x -=+++++ ,()1m g x x x =+++ ，已知()|()g x f x ，求正整数对(,)m n ．3．在凸四边形ABCD 的外部分别作正ABQ △、正BCR △、正CDS △、正DAP △，记四边形ABCD 的对角线之和为x ，四边形PQRS 的对边中点连线之和为y ，求x y 的最大值．4．求证：圆的圆心位于圆外切四边形两对角线中点的连线上．5．设D 为锐角ABC △内一点，90ADB ACB ∠=∠+︒，且AC BD AD BC ⋅=⋅．求AB CD AC BD⋅⋅的值．。

第七章 复数1、数系的扩充和复数的概念（1）复数通常用字母z 表示，代数形式为z ＝_________________（a ，b ∈R ），其中a 与b 分别叫做复数z 的实部与虚部.（2）复数相等：在复数集C ＝{a ＋bi |a ，b ∈R }中任取两个数a ＋bi ，c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ），我们规定：a ＋bi 与c ＋di 相等当且仅当______________________.（3）复数的分类∈对于复数a ＋bi （a ，b ∈R ），当且仅当_________时，它是实数；当且仅当_________________时，它是实数0；当__________时，叫做虚数；当__________________ 时，叫做纯虚数.2、复数的几何意义（1）复数的几何意义∈复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 复平面内的点z ______________.∈复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）一一对应↔ 平面向量OZ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _______________.（2）复平面上的两点间的距离公式：（，）.（3）复数的模∈定义：向量OZ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模叫做复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）的模或绝对值. ∈公式：|z |＝|a ＋bi |＝________________（a ，b ∈R ）.如果b ＝0，那么z ＝a ＋bi 是一个实数，它的模就等于|a |（a 的绝对值）.（3）共轭复数：z ＝a ＋bi ，那么z̅＝________________（4）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。

（5）解复数方程若，在复数集内有且仅有两个共轭复数根. 3、复数的加、减运算及其几何意义（1）复数的加法法则运算法则：设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di （a ，b ，c ，d ∈R ）是任意两个复数，那么（a ＋bi ）＋（c ＋di ）＝___________________i ，两个复数的和仍然是一个确定的复数.（2）复数的减法法则运算法则：复数的减法是加法的逆运算；设z 1＝a ＋bi ，z 2＝c ＋di 是任意两个复数，则（a ＋bi ）－（c ＋di ）＝____________________i ，两个复数的差是一个确定的复数.12||d z z =-=111z x y i =+222z x y i =+240b ac ∆=-<C 240)x b ac =-<（3）复数的乘法运算∈复数的乘法法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i （a ，b ，c ，d ∈R ），则z 1·z 2＝（a ＋b i ）（c ＋d i ）＝______________________i.（4）复数的除法运算设z 1＝a ＋b i ，,z 2＝c ＋d i （c ＋d i≠0）），则z 1z 2=a ＋bi c ＋di =（a ＋bi ）（c −di ）（c ＋di ）（c −di ）=ac +bd c 2+d 2+bc −ad c 2+d 2i 复数的除法的实质是分母实数化.4、关于虚数单位i 的一些固定结论： ∈21i =-∈3i i =-∈41i =∈2340n n n n i i i i ++++++=。

复数与平面向量的运算与应用复数与平面向量是数学中重要的概念，并且在很多实际问题的解决中具有广泛的应用。

本文将介绍复数与平面向量的基本定义以及它们在运算与应用中的重要性。

一、复数的定义与运算复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为 a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位。

复数具有实部和虚部，可以进行加、减、乘、除等运算。

定义1：设 a，b为实数，i为虚数单位，那么 a+bi 称为复数。

其中，a称为实部，bi称为虚部。

定义2：纯虚数是指虚部为0的复数，例如 bi。

实数是虚部为零的复数，例如 a。

定义3：复数的加法运算： (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i复数的减法运算： (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i复数的乘法运算： (a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i复数的除法运算： (a+bi) / (c+di) = [(ac+bd) / (c^2+d^2)] + [(bc-ad) / (c^2+d^2)]i复数运算满足交换律、结合律、分配率等性质，具有良好的运算性质。

二、平面向量的定义与运算平面向量是由大小和方向所确定的有向线段，在平面直角坐标系中用点表示。

平面向量在几何、物理等领域中有着广泛的应用，如位移、速度等概念。

定义4：设有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则向量AV可以表示为(AB)，其中V为(0,0)点。

向量AB的表示为AB = (x2-x1)i + (y2-y1)j 定义5：向量的加法运算： (a1i+b1j) + (a2i+b2j) = (a1+a2)i +(b1+b2)j向量的减法运算： (a1i+b1j) - (a2i+b2j) = (a1-a2)i + (b1-b2)j向量的数量乘法： k(a1i+b1j) = ka1i + kb1j，其中k为实数向量的数量除法： (a1i+b1j)/k = (a1/k)i + (b1/k)j，其中k为非零实数向量运算也满足交换律、结合律、分配率等性质，与复数运算类似。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.2平面向量基本定理及坐标表示最新考纲 1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC 中，向量AB →与BC →的夹角为60°.(×)(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可表示成x 1x 2＝y 1y 2.(×)(5)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)(6)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________．答案(1,5)解析设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，＝5－x ，＝6－y ，＝1，＝5.3．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝________.答案－12解析由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．由m a ＋n b 与a －2b 共线，得2m －n 4＝3m ＋2n －1，所以m n ＝－12.题组三易错自纠4．设e 1，e 2是平面内一组基底，若λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＋λ2＝________.答案5．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝________.答案(－7，－4)解析根据题意得AB →＝(3,1)，∴BC →＝AC →－AB →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.答案－6解析因为a ∥b ，所以(－2)×m －4×3＝0，解得m ＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，已知△OCB 中，A 是CB 的中点，D 是将OB →分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b.(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →；(2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．解(1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →，所以OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ，DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)由题意知，EC →∥DC →，故设EC →＝xDC →.因为EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b .所以(2－λ)a －b ＝2a －53b.因为a 与b 不共线，由平面向量基本定理，2－λ＝2x ，－1＝－53x ，x ＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且CP →＝23CA →＋13CB →，Q 是BC 的中点，AQ 与CP 的交点为M ，又CM →＝tCP →，则t 的值为________．答案34解析∵CP →＝23CA →＋13CB →，∴3CP →＝2CA →＋CB →，即2CP →－2CA →＝CB →－CP →，∴2AP →＝PB →，即P 为AB的一个三等分点，如图所示．∵A ，M ，Q 三点共线，∴CM →＝xCQ →＋(1－x )CA →＝x 2CB →＋(x －1)AC →，而CB →＝AB →－AC →，∴CM →＝x 2AB →.又CP →＝CA →－PA →＝－AC →＋13AB →，由已知CM →＝tCP →，可得x 2AB →＝AC →＋13AB 又AB →，AC →不共线，＝t 3，1＝－t，解得t ＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M (5，－6)和向量a ＝(1，－2)，若MN →＝－3a ，则点N 的坐标为()A ．(2,0)B ．(－3,6)C ．(6,2)D ．(－2,0)答案A解析设N (x ，y )，则(x －5，y ＋6)＝(－3,6)，∴x ＝2，y ＝0.(2)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，a ＝m b ＋n c (m ，n ∈R )，则m ＋n ＝________.答案－2解析由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，m ＝－1，n ＝－1.∴m ＋n ＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB 的端点为A (x,5)，B (－2，y )，直线AB 上的点C (1,1)，使|AC →|＝2|BC →|，则x ＋y ＝________.答案－2或6解析由已知得AC →＝(1－x ，－4)，2BC →＝2(3,1－y )．由|AC →|＝2|BC →|，可得AC →＝±2BC →，则当AC →＝2BC →1－x ＝6，－4＝2－2y ，x ＝－5，y ＝3，此时x ＋y ＝－2；当AC →＝－2BC →1－x ＝－6，－4＝－2＋2y ，x ＝7，y ＝－1，此时x ＋y ＝6.综上可知，x ＋y ＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O 为坐标原点，点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，则AC 与OB 的交点P 的坐标为________．答案(3,3)解析方法一由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)，则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．又AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)，由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP →＝34OB →＝(3,3)，所以点P 的坐标为(3,3)．方法二设点P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，因为OB →＝(4,4)，且OP →与OB →共线，所以x 4＝y 4，即x ＝y .又AP →＝(x －4，y )，AC →＝(－2,6)，且AP →与AC →共线，所以(x －4)×6－y ×(－2)＝0，解得x ＝y ＝3，所以点P 的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2018·洛阳模拟)已知平面向量a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，c ＝(－5,1)，若(a ＋k b )∥c ，则实数k 的值为()A ．－114 B.12C ．2D.114答案B解析因为a ＝(2，－1)，b ＝(1,1)，所以a ＋k b ＝(2＋k ，－1＋k )，又c ＝(－5,1)，由(a ＋k b )∥c得(2＋k )×1＝－5×(k －1)，解得k ＝12，故选B.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1”．(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．跟踪训练3(1)(2018·济南模拟)已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与3a －b 平行，则实数x 的值是__________________．答案2解析∵a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，∴a ＋b ＝(3，x ＋1)，3a －b ＝(1,3－x )，∵a ＋b 与3a －b 平行，∴3(3－x )－(x ＋1)＝0，解得x ＝2.(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则实数k 的值是________．答案－23解析AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)．∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23.1．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且MP →＝12MN →，则P 点的坐标为()A ．(－8,1)1D ．(8，－1)答案B解析设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)．而12MN →＝12(－8,1)4－3＝－4，＋2＝12，＝－1，＝－32，∴1故选B.2．(2019·山西榆社中学诊断)若向量AB →＝DC →＝(2,0)，AD →＝(1,1)，则AC →＋BC →等于()A ．(3,1)B ．(4,2)C ．(5,3)D ．(4,3)答案B解析AC →＝AD →＋DC →＝(3,1)，又BD →＝AD →－AB →＝(－1,1)，则BC →＝BD →＋DC →＝(1,1)，所以AC →＋BC →＝(4,2)．故选B.3．(2018·海南联考)设向量a ＝(x ，－4)，b ＝(1，－x )，若向量a 与b 同向，则x 等于()A ．－2B ．2C ．±2D ．0答案B解析由向量a 与b 共线得－x 2＝－4，所以x ＝±2.又向量a 与b 同向，所以x ＝2.故选B.4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1,0)，B (0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，∠AOC ＝π4，且|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ等于()A ．22 B.2C ．2D ．42答案A解析因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2019·蚌埠期中)已知向量m A n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角，则角A 的大小为()A.π6B.π4C.π3D.π2答案C 解析∵m ∥n ，∴sin A (sin A ＋3cos A )－32＝0，∴2sin 2A ＋23sin A cos A ＝3，∴1－cos 2A ＋3sin 2A ＝3，∴A 1，∵A ∈(0，π)，∴2A －π6∈－π6，因此2A －π6＝π2，解得A ＝π3，故选C.7．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________．答案－54解析AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意知AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54.8．设向量a ，b 满足|a |＝25，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________．答案(－4，－2)解析∵b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，∴设a ＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a |＝25，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a ＝(－4，－2)．9．(2018·全国Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.答案12解析由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，所以4λ＝2，得λ＝12.10．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．答案k ≠1解析若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)当k为何值时，k a－b与a＋2b共线；(2)若AB→＝2a＋3b，BC→＝a＋m b且A，B，C三点共线，求m的值．解(1)k a－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵k a－b与a＋2b共线，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－1 2 .(2)方法一∵A，B，C三点共线，∴AB→＝λBC→，即2a＋3b＝λ(a＋m b)，＝λ，＝mλ，解得m＝32.方法二AB→＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC→＝a＋m b＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三点共线，∴AB→∥BC→，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝32.12.如图，已知平面内有三个向量OA→，OB→，OC→，其中OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，且|OA→|＝|OB→|＝1，|OC→|＝23.若OC→＝λOA→＋μOB→(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如图，作平行四边形OB1CA1，则OC→＝OB1→＋OA1→，因为OA→与OB→的夹角为120°，OA→与OC→的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC→|＝23，所以|OB1→|＝2，|B1C→|＝4，所以|OA1→|＝|B1C→|＝4，所以OC →＝4OA →＋2OB →，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (1,0)，－12，C (3，3)．由OC →＝λOA →＋μOB →，λ－12μ，＝32μ，＝4，＝2.所以λ＋μ＝6.13.如图，四边形ABCD 是正方形，延长CD 至E ，使得DE ＝CD ，若点P 为CD 的中点，且AP →＝λAB →＋μAE →，则λ＋μ等于()A ．3B.52C ．2D ．1答案B 解析由题意，设正方形的边长为1，建立平面直角坐标系如图，则B (1,0)，E (－1,1)，∴AB →＝(1,0)，AE →＝(－1,1)，∵AP →＝λAB →＋μAE →＝(λ－μ，μ)，又∵P 为CD 的中点，∴AP →－μ＝12，＝1，∴λ＝32，μ＝1，∴λ＋μ＝52.14．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为()A ．3B ．22 C.5D．2答案A 解析建立如图所示的平面直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ，则CE ⊥BD .∵CD ＝1，BC ＝2，∴BD ＝12＋22＝5，EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)0＝2＋255cos θ，0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)．∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤sin φ＝55，cos φ当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.15.在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，DC ∥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，E ，F 分别为AB ，BC的中点，以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P (如图所示)，若AP →＝λED →＋μAF →，则2λ－μ的值是________．答案0解析建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (2,2)，D (0,2)，E (2,0)，F (3,1)，所以ED →＝(－2,2)，AF →＝(3,1)，则AP →＝λED →＋μAF →＝(－2λ＋3μ，2λ＋μ)，又因为以A 为圆心，AD 为半径的圆弧DE 的中点为P ，所以点P 的坐标为(2，2)，AP →＝(2，2)，所以－2λ＋3μ＝2，2λ＋μ＝2，所以λ＝24，μ＝22，所以2λ－μ＝0.16.如图，在同一个平面内，三个单位向量OA →，OB →，OC →满足条件：OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解建立如图所示的平面直角坐标系，由tan α＝7知α为锐角，且sin α＝7210，cos α＝210，故cos(α＋45°)＝－35，sin(α＋45°)＝45.∴点B ，C －35，∴OB →－35，OC →又OC →＝mOA →＋nOB →，m (1,0)＋－35，－35n ＝210，＝7210，＝528，＝728，∴m ＋n ＝528＋728＝322.。

第06讲-平面向量与复数一、高考热点牢记概念公式，避免卡壳1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念(1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数.(2)z 的共轭复数z －＝a －b i.(3)z 的模|z |＝a 2＋b 2.2.复数的四则运算法则(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ；(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ac ＋bdc 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0).3.平面向量的有关运算(1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b ⇔a ＝λb .两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |.(2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2.(3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.活用结论规律，快速抢分1.复数的几个常用结论(1)(1±i)2＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i ＝－i ；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算.3.z ·z －＝|z |2＝|z －|2.4.三点共线的判定三个点A ，B ，C 共线⇔AB→，AC →共线； 向量P A →，PB →，PC →中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得P A →＝αPB→＋βPC →，且α＋β＝1. 5.向量的几个常用结论(1)在△ABC 中，P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心.(2)在△ABC 中，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →⇔P 为△ABC 的垂心.(3)在△ABC 中，向量λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的内心.(4)在△ABC 中，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|⇔P 为△ABC 的外心.二、真题再现1．设3i12i z -=+，则z =A ．2BCD ．1【答案】C【解析】【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得z ，再求z ．【详解】因为312iz i -=+，所以(3)(12)17(12)(12)55i i z i i i --==-+-，所以z ==C ．【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．2．设z=i(2+i)，则z =A ．1+2iB ．–1+2iC ．1–2iD ．–1–2i【答案】D【解析】【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得z ，然后根据共轭复数的概念，写出z ．【详解】2i(2i)2i i 12i z =+=+=-+， 所以12z i =--，选D ．【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．3．设z=-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】【分析】先求出共轭复数再判断结果.【详解】由32,z i =-+得32,z i =--则32,z i =--对应点（-3，-2）位于第三象限．故选C ．【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目．4．若(1i)2i z +=，则z =（ ）A ．1i --B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D【解析】【分析】根据复数运算法则求解即可.【详解】()(2i2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题．5．已知非零向量a b r r ，满足2a b r r =，且ba b ⊥r r r （–），则a r 与b r 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥r r r 得出向量,a b r r 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．【详解】因为()a b b -⊥r r r ，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-r r r r r r =0，所以2a b b ⋅=r r r ，所以cos θ=22||122||a b b b a b ⋅==⋅r r r r r r ，所以a r 与b r 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 6．已知向量()()2332a b ==r r ，，，，则|–|a b =r rAB ．2C ．D ．50【答案】A【解析】【分析】 本题先计算a b -r r ，再根据模的概念求出||a b -r r ．【详解】由已知，(2,3)(3,2)(1,1)a b -=-=-r r ，所以||a b -==r r故选A【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．7．已知AB u u u v =(2,3)，AC u u u v =(3，t)，BC u u u v =1，则AB BC ⋅u u u v u u u v =A ．-3B ．-2C ．2D ．3【答案】C【解析】【分析】根据向量三角形法则求出t ，再求出向量的数量积.【详解】由(1,3)BC AC AB t =-=-u u u r u u u r u u u r，1BC ==u u u r ，得3t =，则(1,0)BC =u u u r ，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=u u u r u u u r g g ．故选C ．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．8．已知向量(2,2),(8,6)a b ==-v v ，则cos ,a b =v v ___________.【答案】10-【解析】【分析】根据向量夹角公式可求出结果.【详解】2826cos ,10a b a b a b ⨯-+⨯<>===-r rr r g r r g ．【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．9．已知向量a v =（－4，3），b v =（6，m ），且a b ⊥v v ，则m=__________.【答案】8.【分析】利用a b ⊥r r 转化得到0a b •=r r 加以计算，得到m .【详解】向量4,36,a b m a b =-=⊥r r r r （），（），，则•046308a b m m =-⨯+==r r，，.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题. 10．已知,a b r r 为单位向量，且a b ⋅r r =0，若2c a =r r ，则cos ,a c <>=r r ___________. 【答案】23. 【解析】【分析】根据2||c v 结合向量夹角公式求出||c v，进一步求出结果.【详解】因为2c a =v v ，0a b ⋅=v v ，所以22a c a b vv v v ⋅=⋅2=，222||4||5||9c a b b =-⋅+=v v v v ，所以||3c =r ，所以cos ,a c <>=r r 22133a c a c ⋅==⨯⋅v v v v ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．三、名校精选1．复数421i z i -=+的虚部为( ) A ．1- B ．3- C ．1 D ．2【解析】【分析】利用复数的商的运算进行化简，然后由虚部的概念可得答案.【详解】()()()()42142426131112i i i iz i i i i -----====-++-,则复数z 的虚部为-3，故选B【点睛】本题考查复数的商的运算及有关概念，需要注意a+bi 的虚部为b ，不要误写为bi.2．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则2z z +=（ ）A ．1+iB ．1i -C ．1i --D ．1i -+【答案】A【解析】【分析】由1z i =+可求出1z i =-,22(1)2z i i =+=代入原式计算即可.【详解】Q 复数1z i =+，∴1z i =-，22(1)2z i i =+=，则2121z z i i i +=-+=+.故选A ．【点睛】本题主要考查复数的基本运算,难度容易.3．在复平面内，复数z 满足(1)4z i -=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】【分析】对条件中的式子进行计算化简，得到复数z ，从而得到其在复平面对应的点的坐标，得到答案.【详解】由(1)4z i -=，得4221z i i ==+-所以z 在复平面对应的点为()2,2，所以对应的点在第一象限.故选A 项.【点睛】本题考查复数的计算，复平面的相关概念，属于简单题.4．已知i 是虚数单位，若32i az i +=+是纯虚数，则实数a =（ ）A ．1B ．12 C ．12- D ．2-【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法和除法运算，化简z ，再令实部为0，即得解.【详解】 由于3()(2)(21)(2)22(2)(2)5i a a i a i i a aiz i i i i +-----+====+++- 若为纯虚数，则12102a a -=∴=故选：B【点睛】本题考查了复数的基本概念和四则运算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则||(z = )A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．【详解】由(1)2z i i -=，得22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+， ||2z ∴=，故选B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．6．如图，在ABC ∆中，12AN AC P =u u u v u u u v ，是BN 的中点，若14AP mAB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数m 的值是（ ）A ．14 B ．1 C ．12 D ．32 【答案】C【解析】【分析】以,AB AC u u u v u u u v 作为基底表示出AP u u u v ，利用平面向量基本定理，即可求出．【详解】∵P N ，分别是BN AC ，的中点，∴()111222AP AB BP AB BN AB AN AB AB =+=+=+-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u v 111224AN AB AC +=+u u u r u u u r u u u r.又14AP mAB AC =+u u u r u u u r u uu r，∴12m =.故选C.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．7．已知向量a r ，b r 满足||1a =r ，||2b =r ，()23a b +=r r ，则||a b -=r r （ ）A 3B 7C ．3D ．7【答案】B【解析】【分析】由()222()2()a b a a b b +=+⋅+r r r r r r ，求解a b ⋅r r ，再根据22||()2()a b a a b b -=-⋅+r r r r r r .【详解】由于()222()2()3a b a a b b +=+⋅+=r r r r r r1a b ⋅∴-=r r||a b ∴-===r r 故选：B【点睛】本题考查了向量数量积在模长求解中的应用，考查了学生转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 8．已知平面向量()()2,1,2,4a b ==v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为（ ）A ．35B ．45C ．35- D ．45- 【答案】B【解析】【分析】 由向量的模的坐标计算公式求出,a b r r ，利用数量积的坐标表示求出a b ⋅r r ，再根据向量的夹角公式即可求出．【详解】由()()2,1,2,4a b ==r r ，得a b ==r r 设向量a r 与b r 的夹角为θ，则84105cos θ===． 故选：B ．【点睛】本题主要考查向量的夹角公式，向量的模的坐标计算公式，以及数量积的坐标表示的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．9．已知向量()()1,,,2,a k b k ==r r 若a r 与b r 方向相同，则k 等于( )A ．1B ．C ． D【答案】D【解析】【分析】依题a r //b r ，且a r 与b r 符号相同，运用坐标运算即可得到答案.【详解】因为a r 与b r 方向相同，则存在实数λ使(0)a b λλ=>r r， 因为()()1,,,2a k b k ==r r ，所以(,2)b k λλλ=r ，所以12k kλλ=⎧⎨=⎩，解之得22k =，因为0λ>，所以0k >， 所以2k =. 故答案选：D 【点睛】本题考查共线向量的基本坐标运算，属基础题.10．如图，在ABC ∆中，3BAC π∠=，2AD DB =u u u v u u u v ，P 为CD 上一点，且满足12AP mAC AB =+u u u v u u u v u u u v ，若ABC ∆的面积为23，则AP u u u v 的最小值为( )A 2B ．43 C ．3 D 3【答案】D【解析】【分析】 运用平面向量基本定理，得到m 的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值，即可．【详解】()AP AC CP AC kCD AC k AD AC =+=+=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 23AC k AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v ()21132k AB k AC mAC AB =+-=+u u u v u u u v u u u v u u u v ，得到211,32k k m -==，所以14m =，结合 ABC ∆的面积为231332AC AB u u u v u u u v ⋅=得到8AC AB ⋅=u u u v u u u v ，所以AP ==≥u u u v D ． 【点睛】考查了平面向量基本定理，考查了基本不等式的运用，难度偏难．11．已知向量(1,2)m =-v ，(1,)n λ=v ．若m n ⊥u v v ，则2m n +v v 与m u v 的夹角为_________． 【答案】4π 【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合m n ⊥u r r ，可以求出λ的值，再根据平面向量夹角公式求出2m n +u r r 与m u r的夹角.【详解】 因为m n ⊥u r r ，所以1011202m n λλ⋅=⇒-⨯+=⇒=u r r ，即(12)1,n =r ， 因此2(1,3)m n +=u r r ，设2m n +u r r 与m u r 的夹角为θ，因此有(2)cos 22m m n m m n θ+⋅===+⋅u r r u u r r r u r ，因为[0,]θπ∈，所以4πθ=. 【点睛】本题考查了平面向量夹角公式，考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了平面向量垂直的性质，考查了数学运算能力.12．已知1e r ，2e r 是夹角为120°的两个单位向量，则122a e e =+r r r 和212b e e =-r r r 的夹角的余弦值为_________．【答案】7【解析】【分析】 首先利用数量积公式求得3a b ⋅=r r,a =r b =r 利用夹角公式代入即可.【详解】设a r 与b r的夹角为θ，因为()()221221122243a b e e e e e e ⋅=+⋅-=-+=u u r u u r r r u r u u r u u r u r ，a ===rb ==r ，所以cos a b a b θ⋅===r r ．故答案为:. 【点睛】 本题考查单位向量的概念,向量数量积的计算公式及运算,向量的数乘运算.较易.13．已知a v 、b v 为单位向量，,3a b π=v v ，则2a b +=v v____________. 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律和定义计算2a b +=r r .【详解】 由于a r 、b r 为单位向量，,3a b π<>=r r ，则1a b ==r r ，且1cos ,2a b a b a b ⋅=⋅<>=r r r r r r ， 因此，2a b +====r r ，【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算向量的模，在计算向量的模时，一般将向量的模进行平方，结合平面向量数量积的运算律和定义来进行计算，考查计算能力，属于中等题.s 14．已知向量()4,2a =v ，(),1b λ=v ，若2a b +v v 与a b -v v 的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为______．【答案】()(12,1+U【解析】【分析】先求出2a b +r r 与a b -r r 的坐标，再根据2a b +r r 与a b -rr 夹角是锐角，则它们的数量积为正值，且它们不共线，求出实数λ的取值范围，．【详解】Q 向量(4,2)a =r ，(,1)b λ=r ，∴2(42,4)a b λ+=+r r ，(4,1)a b λ-=-r r ，若2a b +r r 与a b -r r 的夹角是锐角，则2a b +r r 与a b -r r 不共线，且它们乘积为正值， 即42441λλ+≠-，且()()2(42,4)(4,1)a b a b λλ+⋅-=+⋅-r r r r 220420λλ=+->，求得11λ<<2λ≠．【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角有关的问题，以及数量积的坐标表示，向量平行的条件等．条件的等价转化是解题的关键．15．在等腰ABC ∆中，已知底边2BC =，点D 为边AC 的中点，点E 为边AB 上一点且满足2EB AE =，若12BD AC ⋅=-u u u r u u u r ，则EC AB ⋅=u u u r u u u r _____． 【答案】43【解析】【分析】根据已知条件求出BA BC ⋅u u u r u u u r 和BA u u u r 的值，然后以BC uuu r 、BA u u u r 为基底表示向量EC uuu r ，利用平面向量数量积的运算律可计算出EC AB ⋅u u u r u u u r 的值.【详解】D Q 为AC 的中点，()()111222BD BA AD BA AC BA BC BA BA BC ∴=+=+=+-=+u u u r u u u r u u u r u u u u u u u r u u u r u u u u r u u r u u u r r u ur ， AC BC BA =-u u u r u u u r u u u r ，()()()22111222BD AC BC BA BC BA BC BA ∴⋅=+⋅-=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 即2221BA -=-u u u r，可得BA =u u u r ， ()22222AC BC BA BC BA BC BA =-=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，2122BA BC BC ∴⋅==u u u r u u u r u u u r ， ()22224523333EC AB BC BE AB BA BC BA BA BC BA ⎛⎫∴⋅=-⋅=-⋅=-⋅=⨯-= ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故答案为：43．【点睛】本题考查了向量的线性运算、数量积运算，解题的关键就是选择合适的基底来表示向量，考查计算能力，属于中档题．。

1第一节平面向量的线性运算及共线定理知识梳理一向量的有关概念名称内容向量既有大小又有方向的量叫做向量向量的模向量的大小叫做向量的长度(或称模)零向量长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行（共线）向量方向相同或相反的非零向量；平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行.相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量平面向量有个重要特点，即可以自由平移，平移过程中不改变方向和大小，因此平行向量又叫共线向量.向量可以平移，但在几何中，具体的点、线、面相对位置固定，这是向量与几何的一个重要区别．二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a +b =b +a 结合律：(a+b )+c =a +(b +c )减法向量a 加上向量b 的相反向量叫做a 与b 的差，即a +(-b )=a -b三角形法则a -b =a +(-b )数乘实数λ与向量a 的积是一个向量记作λa(1)模：|λa |=|λ||a |；(2)方向：当λ>0时，λa 与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ=0时，λa =0设λ，μ是实数．(1)λ(μa )=(λμ)a (2)(λ+μ)a =λa +μa (3)λ(a +b )=λa +λb .三平面向量共线定理向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b =λa .若A ，B ，C 三点共线，则存在实数λ，使得AB =λAC (或BC =λAB等).推论：若OA =λOB +μOC(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ+μ=1.2题型探究一向量的基本概念与线性运算一向量的基本概念1(多选题)(2021·临沂模拟)下列命题中的真命题是( )A.若|a|=|b|，则a=bB.若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB=DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件C.若a=b，b=c，则a=cD.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b2设a，b都是非零向量，下列四个条件，使用a|a |=b|b|成立的充要条件是( )A.a=bB.a=2bC.a∥b且|a|=|b|D.a∥b且方向相同1(2022·湖北宜昌)已知a，b是两个非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则下列说法正确的是( )A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数λ，使a=λb2(2022·全国·高三专题练习)给出如下命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．其中正确的命题个数是()A.1B.2C.3D.4名师点拨(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)平行向量就是共线向量，二者是等价的；但相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量．(4)非零向量a与a|a |的关系是：a|a |是a方向上的单位向量．3二零向量的特殊性1下列命题正确的是( )A.向量a ，b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b =λa B.在△ABC 中，AB +BC +CA=0C.不等式||a |-|b ||≤|a +b |≤|a |+|b |中两个等号不可能同时成立D.若向量a ，b 不共线，则向量a +b 与向量a -b 必不共线名师点拨在向量的有关概念中，定义长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的，并且规定：0 与任一向量平行．由于零向量的特殊性，在两个向量共线或平行问题上，如果不考虑零向量，那么往往会得到错误的判断或结论．在向量的运算中，很多学生也往往忽视0与0的区别，导致结论错误．1下列叙述正确的是( )A.若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a +b 与a ，b 其中之一的方向相同B.|a |+|b |=|a +b |⇔a 与b 的方向相同C.AB +BA =0D.若λ≠0，λa =λb ，则a =b 三向量的线性运算1如图，在梯形ABCD 中，BC =2AD ，DE =EC ，设BA =a ，BC =b ，则BE=( )A.12a +14b B.13a +56b C.23a +23b D.12a +34b 2如图，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB=( )A.AC -AD B.2AC -2ADC.AD -ACD.2AD -2AC41(滨州2020)已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果AB=a ，AD=b，那么向量MN=()A.12a -12bB.-12a +12bC.a +12bD.-12a -12b2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且EO=2AE，则EB=()A.16AB-56ADB.16AB+56ADC.56AB-16ADD.56AB+16AD四根据向量线性运算求参数1(2021·济南模拟)如图，在平行四边形ABCD中，F是BC的中点，CE=-2DE，若EF=xAB+yAD，则x+y=( )A.1B.6C.16D.132在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若AO=λAB+μBC，其中λ，μ∈R，则λ+μ等于( )A.1B.12C.13D.231(济宁2020)在平行四边形ABCD中，DE=3CE，若AE交BD于点M．且AM=λAB+μAD，则λμ=()A.23B.32C.34D.4352在△ABC 中，P 是BC 上一点，若BP =2PC ，AP =λAB +μAC，则2λ+μ=.名师点拨平面向量线性运算法则的选取原则(1)首先确定所选取基底的两个基向量，它们的公共起点是哪个点.(2)当所求的向量的起点和基底的公共起点相同时，用加法或数乘运算.(3)当所求的向量的起点和基底的公共起点不同时，用减法或数乘运算.(4)当所求向量是一整个线段的一部分时，用数乘运算.(5)与三角形综合，求参数的值．求出向量的和或差，与已知条件中的式子比较，求得参数．(6)与平行四边形综合，研究向量的关系．画出图形，找出图中的相等向量、共线向量，将所求向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．二共线向量定理及其应用一共线定理的基本应用1(2022·河南·平顶山市)已知向量e 1 ，e 2 不共线，且向量λe 1 +3e 2 与2e 1 -5e 2 平行，则实数λ=()A.-35B.-65C.-103D.-42已知向量e 1，e 2不共线，如果AB =e 1+2e 2，BC =-5e 1+6e 2，CD=7e 1-2e 2，则共线的三个点是.名师点拨平面向量共线的判定方法(1)向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b =λa .要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．61设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB=a+b，BC=2a+8b，CD=3(a-b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka+b和a+kb共线．3引申上例中，若ka +b与a+kb反向，则k=；若ka+b与a+kb同向，则k=.2(2022·济南模拟)已知向量a，b不共线，且c=λa+b，d=a+(2λ-1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )A.1B.-12C.1或-12D.-1或-123已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a+b与c共线，b+c与a共线，那么a+b+c等于( ) A.a B.bC.cD.0二向量共线定理的综合应用1(2022·全国·高三专题练习)在平行四边形ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，DE交AF于点G，则AG=()A.25AB-45BCB.25AB+45BCC.-25AB+45BCD.-25AB-BC72(2022·青海·海东市)已知在△ABC 中，AD =-3BD ，CD =λCE ，AE =μAB +23AC，则μ=()A.14 B.12C.34D.11(2022·河南郑州)在△ABC 中，D 是BC 上一点，BD =2DC ，M 是线段AD 上一点，BM =tBA+14BC，则t =()A.12B.23C.34D.582如图，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 满足AN =23AB，AM 与CN 交于点D ，AD =λAM ，则λ等于()A.23B.34C.45D.568跟踪测验基础巩固1P是△ABC所在平面上一点，满足P A+PB+PC=2AB，△ABC的面积是S1，△P AB的面积是S2，则( )A.S1=4S2B.S1=3S2C.S1=2S2 D.S1=S22如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE=G，则()A.AF=AD+12ABB.EF=12(AD+AB)C.AG=23AD-13ABD.BG=3GD3(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是( )A.若AM=12AB+12AC，则点M是边BC的中点B.若AM=2AB-AC，则点M在边BC的延长线上C.若AM=-BM-CM，则点M是△ABC的重心D.若AM=xAB+yAC，且x+y=12，则△MBC的面积是△ABC面积的124(2022·全国·高三专题练习)若点G是△ABC的重心，点M、N分别在AB、AC上，且满足AG=xAM+yAN，其中x+y=1．若AM=35AB，则△AMN与△ABC的面积之比为．5设a，b是平面内两个向量，“|a|=|a+b|”是“|b|=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6已知向量a和b不共线，向量AB=a+mb，BC=5a+3b，CD=-3a+3b，若A，B，D三点共线，则m等于()A.3B.2C.1D.-27在边长为1的正方形ABCD中，设AB=a，AD=b，AC=c，则|a-b+c|等于()A.1B.2C.3D.48如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，BF=2FO，且FC=λFD+μFE，则λ+μ等于()A.1B.2C.3D.499已知△ABO 中，OA =OB =1，∠AOB =π3，若OC 与线段AB 交于点P ，且满足OC =λOA+μOB ，|OC|=3，则λ+μ的最大值为()A.23B.1C.3D.210(2022·广西玉林高中模拟)设D ，E ，F 分别为△ABC 三边BC ，CA ，AB 的中点，则DA +2EB+3FC=(　D )A.12ADB.32ADC.12ACD.32AC能力提升11已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若OA -4OB +3OC =0，则|AB||CA |等于()A.13B.34C.12D.4312已知M 为△ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是()A.|MA |=|MB |=|MC |B.MA +MB +MC =0C.BM =23BA +13BDD.S △MBC =13S △ABC13设P ，Q 为△ABC 内的两点，且AP =25AB+15AC ，AQ =14AB +23AC ，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为()A.45B.85C.43D.31014(2023·丽江模拟)在△ABC 中，点D 在线段AC 上，且满足|AD |=13|AC|，点Q 为线段BD 上任意一点，若实数x ，y 满足AQ =xAB +yAC ，则1x+1y的最小值为．15(多选)设点M 是△ABC 所在平面内一点，则下列说法正确的是()A.若BM =13BC ，则AM =13AC +23ABB.若AM =2AC -3AB ，则点M ，B ，C 三点共线C.若点M 是△ABC 的重心，则MA +MB +MC=0D.若AM =xAB +yAC 且x +y =13，则△MBC的面积是△ABC 面积的2316如图，已知正六边形ABCDEF ，M ，N 分别是对角线AC ，CE 上的点，使得AM AC=CN CE =r ，当r =时，B ，M ，N 三点共线．17(2022·全国·高三专题练习)直角三角形ABC中，P 是斜边BC 上一点，且满足BP =2PC，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM=mAB ，AN =nAC ，m >0,n >0 ，则下列结论错误的是()A.1m+2n 为常数B.m +n 的最小值为169C.m +2n 的最小值为3D.m 、n 的值可以为m =12，n =21018如图，在△ABC 中，AQ =QC ，AR =13AB，BQ 与CR 相交于点I ，AI 的延长线与边BC 交于点P .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ；(2)如果AI =AB +λBQ =AC +μCR，求实数λ和μ的值；(3)确定点P 在边BC 上的位置.第五章平面向量复数第二节平面向量基本定理及坐标表示知识梳理一平面向量基本定理如果e1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.若e1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．二平面向量的坐标表示在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对任一向量a ，有唯一一对实数x ，y ，使得：a =x i +y j ，那么(x ，y )叫做向量a 的直角坐标，记作a=(x ，y )，显然i =(1,0)，j =(0,1)，0 =(0,0).三平面向量的坐标运算1向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2)，a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)，λa =(λx 1，λy 1)，|a |=x 21+y 21.2向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB =(x 2-x 1，y 2-y 1)，|AB|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2.四向量共线的坐标表示若a =(x1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.五常用结论1向已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为x 1+x 22，y 1+y 22；2已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为x 1+x 2+x 33，y 1+y 2+y 33 .第二节基本定理及坐标表示题型探究一平面向量基本定理一识别一组基底1下列各组向量中，可以作为基底的是()A.e 1=(0,0)，e 2=(1,2)B.e 1=(2，-3)，e 2=12，-34C.e 1=(3,5)，e 2=(6,10)D.e 1=(-1,2)，e 2=(5,7)二基本定理的应用1在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD =2DC ，CE =3EA ，若AB =a ，AC=b ，则DE 等于( )A.13a +512bB.13a -1312bC.-13a -512bD.-13a +1312b 2已知在△ABC 中，点O 满足OA +OB +OC=0，点P 是线段OC 上异于端点的任意一点，且OP =mOA+nOB ，则m +n 的取值范围是.名师点拨应用平面向量基本定理的关键(1)基底必须是两个不共线的向量．(2)选定基底后，通过构造平行四边形(或三角形)利用向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(3)注意几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．易错提醒：在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．1如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且AE =2EO ，则ED等于()A.13AD -23AB B.23AD +13AB C.23AD -13AB D.13AD +23AB第五章平面向量复数2(2023·天津模拟)已知在△ABC 中，AB =a ，AC=b ，D ，F 分别为BC ，AC 的中点，P 为AD 与BF 的交点，若BP=xa +yb ，则x +y =.3(多选)下列命题中正确的是()A.若p =xa +yb ，则p 与a ，b 共面B.若p 与a ，b 共面，则存在实数x ，y 使得p =xa +ybC.若MP =xMA +yMB ，则P ，M ，A ，B 共面D.若P ，M ，A ，B 共面，则存在实数x ，y 使得MP =xMA +yMB二平面向量的坐标运算一坐标的基本运算1(1)已知A (-2,4)，B (3，-1)，C (-3，-4)．设AB =a ，BC =b ，CA=c ，且CM =3c ，CN =-2b .①求3a +b -3c ；②求满足a =mb +nc 的实数m ，n ；③求M ，N 的坐标及向量MN的坐标．(2)设向量a ，b 满足|a |=25，b =(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为.2(2015·新课标全国Ⅰ卷)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC=(-4，-3)，则向量BC =()A.(-7，-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)名师点拨平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．第二节基本定理及坐标表示1如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥DC ，AD =DC =2AB ，E 为AD 的中点，若CA =λCE+μDB(λ，μ∈R )，则λ+μ的值为()A.65B.85C.2D.832已知向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，用基底a ，b 表示c ，则()A.c =2a -3bB.c =-2a -3bC.c =-3a +2bD.c =3a -2b二向量共线的坐标表示1(2022·海南文昌)已知a =(1,3)，b =(-2，k )，且(a +2b )∥(3a -b )，则实数k =.2(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a =(1,2)，b =(2，-2)，c =(1，λ)．若c ∥(2a +b )，则λ=.三利用向量共线求解综合问题1(角度1)已知向量OA=(k ,12)，OB =(4,5)，OC =(-k ,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k =.2在△ABC 中，若AD=2DB ，CD =13CA +λCB ，则λ=( )A.-13B.-23C.13D.23名师点拨利用两向量共线解题的技巧(1)一般地，在求一个与已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )，然后结合其它条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa 即可得到所求的向量．(2)如果已知两个向量共线，求某些参数的值，那么利用“若a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是：x 1y 2-x 2y 1=0”比较简捷．第五章平面向量复数1如图△ABC 中，AE =EB ，CF =2FA ，BF 交CE 于G ，AG =xAE +yAF，则x +y =( )A.25 B.35C.45D.752(2022·山东曲阜模拟)如图，在△ABC 中，AN =13NC ，P 是BN 上的一点，若AP =mAB +29AC，则实数m 的值为()A.13B.19C.1D.3跟踪测验基础巩固1(2022·巴中模拟)向量AB =(2,3)，AC=(4,7)，则BC等于()A.(-2，-4) B.(2,4)C.(6,10)　D.(-6，-10)2设向量a =(2,4)与向量b =(x ,6)共线，则实数x =()A.2　B.3　C.4　D.63(2022·陕西汉中月考)已知向a ，b 满足a -b =(1，-5)，a +2b =(-2,1)，则b =()A.(1,2)B.(1，-2)C.(-1,2)D.(-1，-2)4(2022·山西晋中)若向量a =(1,1)，b =(-1,1)，c =(4,2)，则c =()A.3a +b B.3a -b C.-a +3b D.a +3b5(多选)下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是()A.a =(1,2)，b =(0,0)B.a =(1，-2)，b =(3,5)C.a =(3,2)，b =(9,6)D.a =-34，12，b =(-3，-2)6向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa +μb (λ，μ∈R )，则λμ=()第二节基本定理及坐标表示A.2B.4C.12 D.147(多选)已知M (3，-2)，N (-5，-1)，且|MP|=12|MN|，则P 点的坐标为()A.(-8,1) B.-1，-32C.1，32D.7，-528已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC =2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为.9(2021·广西贺州联考)已知向量AB=(m ，n )，BD =(2,1)，AD=(3,8)，则mn =.10设向量a =(3,2)，b =(-1,3)，向量λa -2b 与a +b 平行，则实数λ=.11(2022·江西南昌模拟)已知向量a =(m ，n )，b =(1，-2)，若|a |=25，a =λb (λ<0)，则m -n =.12已知a =(1,0)，b =(2,1)．(1)当k 为何值时，ka -b 与a +2b 共线；(2)若AB =2a +3b ，BC=a +mb 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值．13已知向量a =(sin θ，cos θ-2sin θ)，b =(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |=|b |,0<θ<π，求θ的值．能力提升14如果e 1，e 2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是()A.e 1与e 1+e 2B.e 1-2e 2与e 1+2e 2C.e 1+e 2与e 1-e 2D.e 1-2e 2与-e 1+2e 215已知点P 是△ABC 所在平面内一点，且P A+PB +PC=0，则()A.P A =-13BA +23BCB.P A =23BA +13BCC.P A =-13BA -23BCD.P A =23BA -13BC第五章平面向量复数16(2023·南京模拟)设平面向量a =(1,2)，b =(-2，y )，若a ∥b ，则|3a +b |等于()A.5B.6C.17D.2617(2021·豫南九校联考)如图，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内(包括边界)的向量有()A.OA+2OB B.12OA +13OBC.34OA +OB D.34OA -15OB18如图，在正方形ABCD 中，P ，Q 分别是边BC ，CD 的中点，AP =x AC +y BQ，则x 等于()A.1113B.65C.56D.3219在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是AD ，CD 的中点，BM =a ，BN =b ，则BD 等于()A.34a +23b B.23a +23b C.23a +34b D.34a +34b 20如图，扇形的半径为1，且OA⊥OB ，点C 在弧AB 上运动，若OC =xOA+yOB ，则2x +y 的最小值是．第三节平面向量的数量积运算第三节平面向量的数量积运算知识梳理一平面向量的夹角两个非零向量a 与b ，过O 点作OA=a ，OB =b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角；两个向量夹角的范围是[0，π]，规定零向量0 与任意向量的夹角为0；a 与b 的夹角为π2时，则a 与b 垂直，记作a ⊥b .二平面向量的数量积1定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0 ·a =0.2几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．注意：该“投影”为老教材中的概念，但可以帮助我们理解数量积的几何意义.三平面向量数量积的性质及其坐标表示1设向量a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角．①数量积：a ·b =|a ||b |cos θ=x 1x 2+y 1y 2.②模：|a |=a ·a =x 21+y 21.③设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |=|AB|=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.④夹角：cos θ=a ·b|a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21·x 22+y 22.⑤已知两非零向量a 与b ，a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0；a ∥b ⇔a ·b =±|a ||b |.(或|a ·b |=|a |·|b |)．⑥|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2+y 1y 2|≤x 21+y 21·x 22+y 22.2平面向量数量积的运算律①a ·b =b ·a (交换律)；②λa ·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(结合律)；③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律)．3平面向量数量积运算的常用公式①(a +b )·(a -b )=a 2-b 2；②(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2.第五章平面向量复数四平面向量数量积的注意事项1两个向量的数量积是一个实数．∴0 ·a =0而0·a =0.2数量积不满足结合律(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )．3a ·b 中的“·”不能省略．a ·a =a 2=|a |2.4向量a 与b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a 与b 不共线；a 与b 的夹角为钝角⇔a ·b <0，且a 与b 不共线．当a 、b 为非零向量时a 、b 同向⇔a ·b =|a ||b |；a 、b反向⇔a ·b =-|a ||b |.5a 在b 方向上的投影|a |·cos θ=a ·b|b |.（老教材中概念）五投影向量（新教材中概念）设a ，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，AB =a ，CD =b ，过AB 的起点A 和终点B ，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到A 1B 1，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1 叫做向量a 在向量b 上的投影向量（记为|a |cos θb |b |）．设e 是与b 方向相同的单位向量，则投影向量记为|a |cos θe .MONM 1abθ（1）MO NM 1abθ（2）MONM 1abθ（3）如图，在平面内取一点O ，作OM =a ，ON=b .记a 与b 的夹角是θ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1 就是向量a 在向量b 上的投影向量.即OM 1 =|a|cos θb|b |，又因为θcos =a ·b|a ||b |，所以OM 1 =|a |cos θb |b |=|a|⋅a ·b |a ||b |⋅b |b |=a ·b |b |⋅b |b |=a ·b ⋅b |b|2ABC DA 1B 1ab第三节平面向量的数量积运算题型探究一投影向量1(2023·广西·模拟预测)向量a=23,2 在向量b =1,3 上的投影向量为()A.32B.34,34C.3,3D.342(2023上·广东广州·白云中学校考)已知向量a =0,-2 ，b =1,t ，若向量b 在向量a上的投影向量为-12a，则a ⋅b =()A.-2B.-52C.2D.1123在等边△ABC 中，AD=2AB +3AC ，则向量AD 在向量BC 上的投影向量为()A.13BCB.12BCC.-13BCD.-12BC4已知向量a =1,3 ，b =-2,m ，若向量a在向量b 方向上的投影为-3，则m 的值为()A.3B.-3C.-233D.2331(2024·全国·模拟预测)已知向量a =1,3 ，b =-2,m ，若向量a 在向量b 上的投影向量为-34b，则实数m 的值为()A.3 B.-3C.-233D.2332已知a =1,2 ，若b =1，且a ,b =π6，则b 在a 方向上投影向量的坐标为.第五章平面向量复数3已知a ,b 为平面向量，b =2．若a 在b 方向上的投影向量为b2，则a -b ⋅b=.4(2023上·贵州贵阳·高三校考)如果平面向量a =1,-1 ,b =-6,2 ，则向量a +b 在a 上的投影向量的坐标为.5向量AB =2,1 在向量AC =0,12 上的投影向量为λAC ，则AB +λAC =()A.23B.22C.8D.12二平面向量数量积的运算1已知向量e 1，e 2，|e 1|=1，e 2=(1，3)，e 1，e 2的夹角为60°，则(e 1+e 2)·e 2=()A.355B.255C.5D.52已知点A ，B ，C 满足|AB |=3，|BC |=4，|CA |=5，则AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB的值是.反思感悟向量数量积的四种计算方法(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a ·b =|a ||b |cos θ.(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.(3)转化法：当模和夹角都没给出时，即用已知模或夹角的向量作基底来表示所求数量积的向量求解．(4)建系用坐标法：结合图形特征适当建立坐标系，求出向量的坐标，进而求其数量积(如本例(2))．1(2021·贵阳市第一学期监测考试)在△ABC 中，|AB +AC |=|AB -AC |，AB =2，AC =1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE ·AF=()A.109 B.259C.269D.89第三节平面向量的数量积运算三向量的模、夹角一向量的模1若平面向量a 、b 的夹角为60°，且a =(1，-3)，|b |=3，则|2a -b |的值为()A.13B.37C.13D.12(2022·黄冈调研)已知平面向量m ，n 的夹角为π6，且|m |=3，|n |=2，在△ABC 中，AB =2m +2n ，AC =2m -6n ，D 为BC 的中点，则|AD |=.3(2021·全国甲)若向量a ，b 满足|a |=3，|a -b |=5，a ·b =1，则|b |=.反思感悟平面向量的模的解题方法(1)若向量a 是以坐标(x ，y )形式出现的，求向量a 的模可直接利用|a |=x 2+y 2.(2)若向量a ，b 是非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |2=a 2=a ·a ，或|a ±b |2=(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．即“模的问题平方求解．”二向量的夹角1(2021·八省联考)已知单位向量a ，b 满足a ·b =0，若向量c =7a +2b ，则sin <a ，c >=()A.73B.23C.79D.292(2020·全国Ⅲ理)已知向量a ，b 满足|a |=5，|b |=6，a ·b =-6，则cos 〈a ，a +b 〉=()A.-3135B.-1935C.1735D.19353(2019·全国卷Ⅰ，5分)已知非零向量a ，b 满足|a |=2|b |，且(a -b )⊥b ，则a 与b 的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6第五章平面向量复数反思感悟求两向量夹角的方法及注意事项(1)一般是利用夹角公式：cos θ=a ·b|a ||b |.(2)注意：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角．三平面向量的垂直1(2020·全国Ⅲ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是()A.a +2bB.2a +bC.a -2bD.2a -b2(2022·安徽宣城调研)已知在△ABC 中，∠A =120°，且AB =3，AC =4，若AP =λAB +AC ，且AP⊥BC，则实数λ的值为()A.2215B.103C.6D.1273(2021·全国乙，14,5分)已知向量a =(1,3)，b =(3,4)，若(a -λb )⊥b ，则λ=.反思感悟平面向量垂直问题的解题思路解决向量垂直问题一般利用向量垂直的充要条件a ·b =0求解．1(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka -b 与a 垂直，则k =.2(2021·山西康杰中学期中)已知向量a 、b 满足|b |=2|a |=2，a 与b 的夹角为120°，则|a -2b |=()A.13B.21C.13D.213(2021·江西七校联考)已知向量a =(1，3)，b =(3，m )，且b 在a 上的投影为-3，则向量a 与b 的夹角为.第三节平面向量的数量积运算四数量积的综合应用一有关数量积的最值(范围)问题1(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A ·(PB +PC)的最小值是()A.-2B.-32C.-43D.-12(2020·新高考Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ·AB的取值范围是()A.(-2,6)B.(-6,2)C.(-2,4)D.(-4,6)反思感悟平面向量中有关最值(范围)问题的两种求解思路一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．1已知向量a ，b ，c 满足|a |=|b |=a ·b =2，(a -c )·(b -2c )=0，则|b -c |的最小值为()A.7-32B.3-12C.32D.722已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a -c )·(b -c )=0，则|c |的最大值是()A.1B.2C.2D.22二用已知向量表示未知向量1(2023·六安模拟)在等边△ABC 中，AB =6，BC =3BD ，AM =2AD ，则MC ·MB=.第五章平面向量复数2已知正方形ABCD 的对角线AC =2，点P 在另一条对角线BD 上，则AP ·AC的值为()A.-2B.2C.1D.43如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD =2，∠BAD =π4，若AB ·AC =2AB ·AD ，则AD ·AC=.1已知△ABC 满足AB =1，AC =2，O 为∠BAC 的平分线与边BC 的垂直平分线的交点，AO=354，则AB ⋅AC =()A.32B.35C.65D.4552正三角形△ABC 中，AB =2，P 为BC 上的靠近B 的四等分点，D 为BC 的中点，则AP ⋅BD=()A.-12B.14C.34D.323如图，平行四边形ABCD 中，AB =4，AD =2且∠BAD =60°，M 为边CD 的中点，AD在AB 上投影向量是AD，则AD ⋅AM =.第三节平面向量的数量积运算跟踪测验基础巩固1已知a ，b 为单位向量，其夹角为60°，则(2a -b )·b =()A.-1B.0C.1D.22若向量a 与b 的夹角为60°，a =(2,0)，|a +2b |=23，则|b |=()A.3　B.1　C.4　D.33已知向量a =(k ,3)，b =(1,4)，c =(2,1)，且(2a -3b )⊥c ，则实数k =()A.-92B.0C.3D.1524(2022·青岛调研)如图所示，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =AD =4，CD =8.若CE =-7DE ，3BF =FC ，则AF ·BE =()A.11　B.10　C.-10　D.-115(2021·甘肃兰州模拟)已知非零单位向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则a 与b -a 的夹角为()A.π6 B.π3 C.π4 D.3π46已知向量a =(-2，-1)，b =(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围可以是()A.-12，+∞ B.(2，+∞)C.-12，2 ∪(2，+∞)　D.-12，0 ∪0，+∞ 7(多选)已知两个不等的平面向量a ,b 满足a=1,λ ,b=λ-1,2 ，其中λ是常数，则下列说法正确的是( )A.若a ⎳b，则λ=-1或λ=2B.若a ⊥b ，则a -b 在a +b 上的投影向量的坐标是-15,-75 C.当a +2b 取得最小值时，a =295D.若a ,b 的夹角为锐角，则λ的范围为13,+∞ 8(多选)(2021·武汉调研)如图，点A ，B 在圆C 上，则AB ·AC 的值()A.与圆C 的半径有关　B.与圆C 的半径无关C.与弦AB 的长度有关　D.与点A ，B 的位置有关9(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a =(2,2)，b =(-8,6)，则cos a ，b=.10已知向量a =(3,4)，b =(x ,1)，若(a -b )⊥a ，则实数x 等于.11(2021·新高考Ⅱ)已知向量a +b +c =0，|a |=1，|b |=|c |=2，a ·b +b ·c +c ·a =12已知b 在a上的投影向量的坐标为(4,-3)，a=4，则a ⋅(a-2b )=．第五章平面向量复数13已知|a |=4，|b |=3，(2a -3b )·(2a +b)=61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a +b |；(3)若AB =a ，BC =b ，求△ABC 的面积．14已知空间三点A 2,0,-2 ，B 1,-1,-2 ，C 3,0,-4 ．(1)求向量AB 与AC夹角θ的余弦值；(2)求向量AB 在向量AC 上的投影向量a．能力提升15若向量a ，b 满足|a |=10，b =(-2,1)，a ·b =5，则a 与b 的夹角为()A.90°　B.60°　C.45°　D.30°16(2022·新乡质检)已知向量a =(0,2)，b =(23，x )，且a 与b 的夹角为π3，则x =()A.-2 B.2　C.1　D.-117在△ABC 中，AP =PB ，且|CP|=23，|CA |=8，∠ACB =2π3，则CP ·CA =()A.24 B.12C.243　D.12318如图所示，在等腰直角三角形AOB 中，OA =OB =1，AB =4AC ，则OC ·(OB -OA)=.19(2020·天津，15)如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且AD=λBC ，AD ·AB =-32，则实数λ的值为；若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN |=1，则DM ·DN的最小值为.20在△ABC 中，AB =3AC =9，AC ·AB=AC 2，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当P A 2+PB 2+PC 2取得最小值时，求P A ·BC的值．第四节平面向量的综合应用第四节平面向量的综合应用知识梳理一平面向量在几何中的应用1用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0，其中a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，b ≠0垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0，其中a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ=a ·b|a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |=a 2=x 2+y 2，其中a =(x ，y )，a 为非零向量2向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题设向量向量问题运算解决向量问题还原解决几何问题．二平面向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．三平面向量与其他知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．四三角形的“四心”1三角形的重心G （三角形三条中线的交点）2三角形的外心O （三角形三条垂直平分线的交点）3三角形的内心I （三角形三条角平分线的交点）4三角形的垂心H （三角形三条高线的交点）第五章平面向量复数题型探究一平面向量与平面几何名师点拨平面几何问题的向量解法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来求解．一判断三角形的形状名师点拨三角形形状的判断在△ABC 中，①若|AB |=|AC|，则△ABC 为等腰三角形；②若AB ·AC=0，则△ABC 为直角三角形；③若AB ·AC<0，则△ABC 为钝角三角形；④若AB ·AC >0，BA ·BC >0，且CA ·CB >0，则△ABC 为锐角三角形；⑤若|AB +AC |=|AB -AC|，则△ABC 为直角三角形；⑥若(AB +AC )·BC=0，则△ABC 为等腰三角形．1若P 为△ABC 所在平面内一点，且|P A -PB |=|P A +PB -2PC|，且△ABC 的形状为()A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形2(2022·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB -OC )·(OB +OC -2OA)=0，则△ABC 的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形引申若条件改为“|OB -OC |=|OB +OC -2OA|”，则选()引申若条件改为“AB 2=AB ·AC +BA ·BC +CA ·CB”，则选()。

平面向量与复数平面向量是数学中的重要概念，它与复数之间存在着紧密的联系和相互转化的关系。

本文将介绍平面向量和复数的基本概念，并探讨它们之间的关联。

一、平面向量的基本概念1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的有向线段，通常用有序数对表示。

设有平面上两个点A和B，用→AB表示从点A指向点B的有向线段，这条有向线段便是平面向量。

2. 平面向量的表示：平面向量的表示通常有三种方式，即坐标表示、模长与方向角表示、分解成单位向量表示。

a. 坐标表示：如果平面向量→AB的起点坐标为A(x₁, y₁)，终点坐标为B(x₂, y₂)，则向量的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。

b. 模长与方向角表示：平面向量→AB的模长记作|→AB|，方向角表示为θ，这样，向量的模长与方向角表示为(|→AB|,θ)。

c. 分解成单位向量表示：平面向量→AB可以表示为它在两个单位向量上的投影和，即→AB = |→AB|cosθ·→i + |→AB|sinθ·→j，其中→i和→j分别为横轴和纵轴上单位长度的向量。

二、复数的基本概念1. 复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，记作a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

2. 复数的表示：复数可以用代数形式和三角形式表示。

代数形式为a+bi，三角形式为r(cosθ+isinθ)，其中r为模长，θ为辐角。

3. 复数的运算：复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

具体的运算规则与实数的运算类似，只是需要注意虚数单位i的运算规律。

三、平面向量与复数的关系1. 平面向量的表示与复数的表示：平面向量可以通过复数的模长与方向角表示。

设平面向量→AB的表示为(|→AB|,θ)，则可以将→AB对应的复数记作z=|→AB|cosθ+|→AB|sinθ·i。

2. 复数的运算与平面向量的运算：复数的加法、减法和乘法可以直接对应到平面向量的加法、减法和数量乘法上，这是因为复数运算与平面向量的运算都遵循平行四边形法则和数量乘法的分配律。

复数和向量知识点总结# 复数## 1. 复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，一般表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

通常将实数看成是虚部为零的复数，即实数可以看成是复数的一种特殊情况。

## 2. 复数的表示复数可以通过直角坐标系和极坐标系表示。

在直角坐标系中，复数a+bi对应于平面上的点(a, b)，这被称为复平面。

在极坐标系中，复数a+bi对应于长度为r = √(a^2 + b^2) 的线段和与正实轴的夹角θ = arctan(b/a)。

## 3. 复数的运算### (1) 加法和减法两个复数(a+bi)和(c+di)的加法和减法分别定义为(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i 和(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。

### (2) 乘法和除法两个复数(a+bi)和(c+di)的乘法定义为(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i，而它们的除法定义为(a+bi) ÷ (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

## 4. 复数的性质### (1) 共轭复数两个复数a+bi和a-bi称为共轭复数，它们有着相同的实部但虚部符号相反的特点。

### (2) 模和幅角复数a+bi的模定义为|a+bi| = √(a^2 + b^2)，而它的幅角定义为θ = arctan(b/a)。

模和幅角反映了复数在复平面中的大小和方向。

## 5. 复数的应用### (1) 电路分析在电路分析中，复数常用来表示电流、电压和阻抗等量，利用复数运算可以简化电路计算和分析过程。

### (2) 信号处理在信号处理中，复数常用来表示信号的频谱成分，利用复数运算可以进行频域分析和滤波等处理。

# 向量## 1. 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常表示为箭头或在坐标系中的位置。

复数和平面向量知识点总结一、复数的定义和性质1.1 复数的定义复数是形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i²=-1。

1.2 复数的加减法复数的加减法与实数类似，直接对应实部和虚部进行运算。

1.3 复数的乘法复数的乘法满足交换律，结合律和分配律。

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i1.4 共轭复数若 z=a+bi，则其共轭复数为 z* =a-bi。

共轭复数的性质是 z*z = |z|² = a² + b²，其中 |z| 表示z 的模。

1.5 复数的除法复数的除法可以借助共轭复数进行运算。

1.6 复数的几何意义复平面上，复数 a+bi 对应于坐标为 (a, b) 的点，即复数与点的对应关系。

复数的模 |z| 对应于复平面上点到原点的距离，幅角 arg(z) 对应于复平面上与正实轴的夹角。

二、平面向量的定义和性质2.1 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有向线段，通常用 (x, y) 表示。

其中 x 和 y是有向线段在 x 轴和 y 轴上的投影长度。

2.2 平面向量的加法平面向量的加法采用平行四边形法则，也可以通过坐标表示进行运算。

2.3 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为a•b = |a||b|cosθ，其中 |a| 和 |b| 是向量的模，θ 是 a 和 b 的夹角。

2.4 平面向量的叉乘平面向量的叉乘定义为a×b = |a||b|sinθn，其中 n 是向量 a 和 b 所在平面上的法向量。

2.5 平面向量的应用平面向量广泛应用于几何、物理等领域，包括力、速度、位移等概念。

三、复数与平面向量的关系3.1 复数与平面向量的对应关系复数 z=a+bi 可以看作是平面向量 (a, b)，二者之间存在一一对应的关系。

3.2 复数与平面向量的加法和乘法复数的加法和乘法与平面向量的加法和数量积类似，可以通过坐标表示进行运算。

复数与平面向量[回归教材]1．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的相关概念 (1)复数的分类①z 是实数⇔b ＝0；②z 是虚数⇔b ≠0；③z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0. (2)共轭复数z ＝a －b i. (3)复数的模|z |＝a 2＋b 2.(4)复数的相等： a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 2．复数的运算法则(1)加减法：类比多项式的加减法运算； (2)乘法：类比多项式的乘法运算； (3)除法：分母实数化． 3．复数中常用结论(1)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z )． (2)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .4．平面向量的线性运算：加法、减法及数乘运算 (1)两个运算法则：三角形法则和平行四边形法则． (2)共线向量定理：a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0(a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2))． (3)三点共线的2个结论①若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)． ②OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 5．平面向量的数量积设a ，b 为非零向量，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则 (1)a·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)cos θ＝a·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.(3)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |. 6．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 7．有关向量夹角的2个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．8．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A . (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. [保温训练]1．设复数z 满足1－z1＋z ＝i ，则z 的共轭复数为( )A ．iB ．－iC ．2iD ．－2i A [∵1－z 1＋z ＝i ，∴z ＝1－i 1＋i＝－2i2＝－i ， ∴z ＝i.故选A ．]2．(2020·曲靖二模)若复数2a ＋2i1＋i (a ∈R )是纯虚数，则复数2a ＋2i 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限B [2a ＋2i 1＋i ＝2(a ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a ＋1＋(1－a )i 是纯虚数，则⎩⎨⎧a ＋1＝0，1－a ≠0，a ＝－1, 2a ＋2i ＝－2＋2i ，对应点为(－2,2)，在第二象限．故选B ．]3．(2020·山西省一模)已知平面向量a ，b 满足|a |＝13，|b |＝1，且|2a ＋b |＝|a ＋b |，则a 与b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6C [因为平面向量a ，b 满足|a |＝13，|b |＝1，且|2a ＋b |＝|a ＋b |, 所以|2a ＋b |2＝|a ＋b |2，所以2ab ＝－3a 2，所以 2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－3a 2，所以cos 〈a ，b 〉＝－12，所以a 与b 的夹角为2π3.故选C ．]4．(2020·重庆模拟)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，c ＝(m,2)，且(a －2b )⊥c ，则实数m ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．任意实数B [∵a ＝(1,2)，b ＝(－1,1)，∴a －2b ＝(3,0)，∵c ＝(m,2)，(a －2b )⊥c ，则(a －2b )·c ＝3m ＝0，解得m ＝0.故选B ．] 5．已知命题p ：复数z ＝1－2i 1＋i的虚部是－32，命题q ：复数(2＋i )(1－2i )＝4－3i ，以下命题真假判断正确的是( )A ．p 真q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 真D ．p 假q 假A [因为z ＝1－2i 1＋i ＝(1－2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝－12－32i ，所以其虚部为－32，所以p 为真命题；因为(2＋i )(1－2i )＝2－4i ＋i －2i 2＝4－3i ，所以q 为真命题，故选A ．] 6．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →C [如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.]7．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝________. －6 [a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.]8．已知向量a 与b 的夹角为60°，|a |＝1，|a －b |＝3，则|b |＝________. 2 [∵|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝3，|a |＝1， 向量a 与b 的夹角为60°， ∴a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12|b |，|a |2＝1，∴|b |2－|b |－2＝0，解得|b |＝2或|b |＝－1(舍去)．]。