向量、三角函数和解三角形、复数、函数测试试卷

三角函数、解三角形专题测试卷（重点学生）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知sin α＝2m －5m ＋1，cos α＝－mm ＋1，且α为第二象限角，则m 的允许值为( )A.52＜m ＜6 B ．－6＜m ＜52 C ．m ＝4 D ．m ＝4或m ＝322. 如图，函数|2|sin 2)(π-=x x f 的部分图象是（ ）B C D3. 已知点O 为ABC ∆的外心，且2||4==，则 )(-⋅等于A.2B.4C.6D.84．设a ＝sin15°＋cos15°，b ＝sin17°＋cos17°，则下列各式中正确的是 ( )A ．a ＜a 2＋b 22＜bB ．a ＜b ＜a 2＋b 22 C ．b ＜a 2＋b 22＜a D ．b ＜a ＜a 2＋b 22 5. 要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为( )A.102m B.20m C.203m D.40m6．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg 1a ，且α＋β＝π4，则实数a的值为( )A ．1 B.110 C ．1或110 D ．1或107.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ． 4C ．5D ．108．当0＜x ＜π2时，函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x 的最小值为 ( ) A ．2 B ．2 3 C ．4 D ．4 39. 关于x 的方程2222212cos (2))x x x x a --+=至少有一个解.则实数a 应满足（ ）A.12a -<<B.12a -<≤C.12a -≤<D.12a -≤≤ 10. 设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有 sinA －sinC+,22)cos(22=-C A 则此三角形的面积为( ) A.433 B.43 C.43或433 D.43或533 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中的横线上)11. 设函数f (x )=x 3+x (x ∈R ）当20πθ≤≤时，f (msin θ)+f (1-m )＞0恒成立，则实数m 的范围是12．在△ABC 中，已知tan A ＝3tan B ，则tan(A －B )的最大值为________，此时角A 的大小为________．13. 已知向量375a b a b +-与垂直，472a b a b --与垂直，则向量a b b -与 的夹角是____________________．14. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .若a =1， 角B=45°，△ABC 的面积S =2，那么△ABC 的外接圆的直径等于 ________________。

三角函数及解三角形测试题(含答案)三角函数及解三角形1.在锐角三角形ABC中，角A的对边为a，角B的对边为b，角C的对边为c。

根据正弦定理，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中R为三角形外接圆的半径。

根据余弦定理，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。

根据正切的定义，$\tan A=\frac{a}{b}$。

根据余切的定义，$\cotA=\frac{b}{a}$。

根据正割的定义，$\sec A=\frac{c}{a}$。

根据余割的定义，$\csc A=\frac{c}{b}$。

2.选择题：1.设$\alpha$是锐角，$\tan(\frac{\pi}{4}+\alpha)=3+\sqrt{22}$，则$\cos\alpha=\frac{2\sqrt{22}}{36}$。

2.一艘船向XXX，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时5海里。

4.已知函数$f(x)=3\sin\omega x+\cos\omega x$，$y=f(x)$的图象与直线$y=2$的两个相邻交点的距离等于$\pi$，则$f(x)$的单调递增区间是$(\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},\frac{k\pi}{2}+\frac{5\pi}{12})$，其中$k\in Z$。

5.圆的半径为4，$a,b,c$为该圆的内接三角形的三边，若$abc=162$，则三角形的面积为$22$。

6.已知$\cos\alpha=-\frac{4}{\pi}$，且$\alpha\in(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$，则$\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=-\frac{7}{7}$。

平平面面向向量量㊁㊁三三角角函函数数㊁㊁解解三三角角形形㊁㊁数数列列 跟跟踪踪训训练练ʏ河南省商丘市实验中学马春林一、选择题1.已知角θ的终边在直线y=-22x 上,则8s i n2θ-1c o sθ等于()㊂A.6B.6或12C.-6或12D.-6或-122.已知әA B C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=2b c o s C,b-ac-a= s i n A+s i n Cs i n B,则әA B C是()㊂A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3.已知等比数列{a n}中,a2=3,a5=81,b n=l o g3a n,数列{b n}的前n项和为T n,则T8=()㊂A.36B.28C.45D.324.已知在әA B C中,3s i n A,3,4c o s B 成等差数列,3c o s A+4s i n B=l o g66,则角C 的大小为()㊂A.5π6B.π2C.π6D.π6或5π65.已知向量a=(c o s2α,s i nα),b=(1, 2s i nα-1),αɪπ2,π,若a㊃b=25,则t a nα+π4的值为()㊂A.23B.13C.27D.176.已知α,β为锐角,且3c o sα(s i nβ+1) =2s i nα-12c o sα,c o s5π2-α-c o sα-3π=6s i nπ-βs i nπ2+α,则s i nβs i nα等于()A.3105B.2109C.109D.1067.在әA B C中,点P满足B Pң=3P Cң,过点P的直线与A B,A C所在的直线分别交于点M,N,若A Mң=λA Bң,A Nң=μA Cң(λ> 0,μ>0),则λ+μ的最小值为()㊂A.22+1B.32+1C.32D.528.已知G是әA B C的重心,A Gң=λ㊃A Bң+μA Cң(λ,μɪR),若øA=120ʎ,A Bң㊃A Cң=-2,则|A Gң|的最小值是()㊂A.33B.22C.23D.349.已知әA B C是边长为2的等边三角形,且A Eң=E Bң,A Dң=2D Cң,则B Dң㊃C Eң= ()㊂A.-3B.-2C.-1D.310.定义一种运算:a⊗b=a,aɤb,b,a>b,令f(x)=(c o s2x+s i n x)⊗54,且xɪ0,π2,则函数y=f x-π2+34的最大值是()㊂A.54B.74C.2D.311.已知әA B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且s i n2(B+C)=s i n2B+ s i n2C+s i n B s i n C,a=6,则当әA B C的面积最大时,әA B C的周长L等于()㊂A.6+23B.26+3C.6+22D6+23212.已知函数f(x)=s i n(ωx+φ)ω>0,|φ|ɤπ2,x=-π4为f(x)的零点, x=π4为y=f(x)图像的对称轴,且f(x)在π18,5π36内单调,则ω的最大值为()㊂A.11B.9C.7D.513.若M是边长为2的正六边形A B C-D E F内及边界上一动点,则A Bң㊃A Mң的最大值与最小值之差为()㊂A.2B.4C.6D.814.已知f(x)=2s i n2ωx+π3-1(ω>0),给出下列结论:①若f(x1)=1,f(x2)=-1,且|x1-x2|m i n=π,则ω=1;②存在ωɪ(0,2),使得f(x)的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像关于y轴对称;③若f(x)在[0,2π]上恰有7个零点,则ω的取值范围为4124,4724;④若f(x)在-π6,π4上单调递增,则ω的取值范围为0,23㊂其中,所有正确结论的编号是()㊂A.①②B.②③C.①③D.②④二㊁填空题15.已知向量a=(1,3),向量b为单位向量,且a㊃b=1,则2b-a与2b的夹角为㊂16.设数列{a n}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-n a2n+a n+1a n=0(n=1,2, 3, ),则数列{a n}的通项公式是㊂17.已知数列a n c o s nπ3的前n项和为S n,S2017=5710,S2018=4030,若数列{a n}为等差数列,则S2019=㊂18.若s i n3θ-c o s3θ>c o s5θ-s i n5θ7,且θɪ(0,2π),则θ的取值范围是㊂19.已知S n为数列{a n}的前n项和,a1 =a2=1,平面内三个不共线的向量O Aң,O Bң, O Cң,满足O Cң=(a n-1+a n+1)O Aң+(1-a n)㊃O Bң,nȡ2,nɪN*,若A,B,C在同一条直线上,则S2018=㊂20.已知数列{a n}中,a1=2,a n+1=a n+1n,若对于任意的nɪN*,a n<λ2+2λ恒成立,则实数λ的取值范围是㊂21.已知首项为正数的等比数列{a n}的公比为q,曲线C n:a n x2+a n+1y2=1,则下列叙述正确的为㊂①q=1,C n为圆;②q=-1,C n的离心率为2;③q>1,C n的离心率为1-1q;④q<0,C n为共渐近线的双曲线㊂22.在әA B C中,A C=6,B C=7,c o s A =15,O是әA B C的内心,若O Pң=x O Aң+ y O Bң,其中0ɤxɤ1,0ɤyɤ1,则动点P的轨迹所覆盖的面积为㊂23.已知数列{a n}的前n项和为S n,且a n>0,2S n=a2n+a n,若不等式2S n+9ȡ(-1)n k a n对任意的nɪN*恒成立,则k的取值范围是㊂24.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S7<0,S8>0,则a5a4的取值范围是㊂三㊁解答题25.设递增数列{a n}满足a1=1,a1,a2, a5成等比数列,且对任意的nɪN*,函数f(x)=a n+2-a n+1-(a n-a n+1)c o s x-a n s i n x满足f(π)=0㊂(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}的前n项和为S n,b n= 1S n,数列{b n}的前n项和为T n,证明:T n<2㊂26.在平面直角坐标系x O y中,已知点A-12,0,B32,0,锐角α的终边与单位圆O交于点P㊂(1)当A Pң㊃B Pң=-14时,求α的值㊂(2)试问:在x轴上是否存在定点M,使得|A Pң|=12|M Pң|恒成立若存在,求出点M的横坐标;若不存在,请说明理由㊂27.在әA B C中,a,b,c分别为内角A,B ,C 的对边,且2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C ㊂(1)求A 的大小;(2)在锐角әA B C 中,若a =3,求b +c 的取值范围㊂28.已知函数f (x )的图像是由函数g (x )=c o s x 的图像经如下变换得到:先将g (x )图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),再将所得的图像向右平移π2个单位长度㊂(1)求函数f (x )的解析式,并求其图像的对称轴方程㊂(2)已知关于x 的方程f (x )+g (x )=m 在[0,2π)内有两个不同的解α,β㊂①求实数m 的取值范围;②请用含m 的式子表示c o s (α-β)㊂29.已知等差数列{a n }的公差不为零,a 1=11,且a 2,a 5,a 6成等比数列㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n|,求S n ㊂30.设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1=1,2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)证明:对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.某地区森林原有木材存量为a ,且每年增长率为25%,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ,设a n 为n 年后该地区森林木材的存量㊂(1)求a n 的表达式㊂(2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量应不少于79a ,如果b =1972a ,那么该地区今后会发生水土流失吗若会,需要经过多少年?(参考数据:l g 2ʈ0.3)32.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=-94,且4S n +1=3S n -9㊂(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }满足3b n +(n -4)a n =0,记{b n }的前n 项和为T n ,若T n ɤλb n 对任意的n ɪN *恒成立,求λ的取值范围㊂33.已知向量m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6㊂(1)求A 的值,以及函数图像的对称轴方程和对称中心;(2)将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,得到函数y =g (x )的图像,求y =g (x )在0,5π24上的值域㊂参考答案:一㊁选择题1.B2.A3.B4.C5.D6.B7.B8.C9.B 10.C 11.C 12.B 13.D 14.D 二㊁填空题15.π3 16.a n =1n 17.666 18.π4,5π419.2 20.(-ɕ,-3]ɣ[1,+ɕ) 21.①③④ 22.106323.[-7,7.25] 24.(-ɕ,-1)三㊁解答题25.(1)因为f (x )=a n +2-a n +1-(a n -a n +1)c o s x -a n s i n x ,所以f (π)=a n +2-a n +1+a n -a n +1=0,即2a n +1=a n +a n +2,故{a n }是以1为首项的等差数列㊂设数列{a n }的公差为d ,则d >0㊂因为a 1,a 2,a 5成等比数列,所以a 22=a 1a 5,即(a 1+d )2=a 1(a 1+4d ),又a 1=1,解得d =2,所以a n =2n -1㊂(2)由(1)可得S n =(a 1+a n )n 2=n 2,所以b n =1n2,因此T 1=b 1=1<2㊂又因为当n ȡ4时,1n 2<1n (n -1)=1n -1-1n ,所以T n =b 1+b 2+b 3+ +b n =112+122+132+ +1n 2<112+11ˑ2+12ˑ3+ +1n n -1 =1+1-12+ +1n -1-1n =2-1n<2㊂综上所述,T n <2㊂26.(1)由题意知P (c o s α,s i n α),则A P ң=c o s α+12,s i n α ,B P ң=c o s α-32,s i n α㊂所以A P ң㊃B Pң=c o s α+12㊃c o s α-32+s i n 2α=c o s 2α-c o s α-34+s i n 2α=14-c o s α=-14,即c o s α=12㊂又因为α为锐角,所以α=π3㊂(2)存在㊂设M (m ,0),则M P ң=(c o s α-m ,s i n α)㊂所以|A P ң|2=c o s α+122+s i n 2α=1+c o s α+14=c o s α+54;|M P ң|2=(c o s α-m )2+s i n 2α=1-2m c o s α+m 2㊂因为|A P ң|=12|M P ң|,所以c o s α+54=14(1-2m c o s α+m 2),即1+m 2c o s α+1-m 24=0对任意的αɪ0,π2 恒成立,所以1+m 2=0,1-m24=0,解得m =-2,即点M 的横坐标为-2㊂27.(1)在әA B C 中,因为B =π-A +C,所以2s i n A c o s C =2s i n B -s i n C =2s i n A c o s C +2c o s A s i n C -s i n C ⇒2c o s A s i n C =s i n C ㊂又因为s i n C ʂ0,所以c o s A =12,故A =π3㊂(2)在锐角әA B C 中,a =3,由(1)知A =π3,B +C =2π3㊂由正弦定理得a s i n A =332=2,b +c =2s i n B +2s i n C =2s i n B +2s i n B +π3=3s i n B +3c o s B =23s i n B +π6 ㊂因为B ɪ0,π2 ,C =2π3-B ɪ0,π2,所以B ɪπ6,π2 ,B +π6ɪπ3,2π3 ,s i n B +π6 ɪ32,1,所以b +c =23㊃s i n B +π6 ɪ(3,23]㊂28.(1)将g (x )=c o s x 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y =2c o s x 的图像,再将y =2c o s x 的图像向右平移π2个单位长度后得到y =2c o s x -π2的图像,故f (x )=2s i n x ㊂所以函数f (x )=2s i n x 图像的对称轴方程为x =k π+π2,k ɪZ ㊂(2)①f (x )+g (x )=2s i n x +c o s x =5s i n (x +φ),其中s i n φ=15,c o s φ=25㊂依题意,s i n (x +φ)=m5在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当m5<1时成立,故m 的取值范围是(-5,5)㊂②因为α,β是方程5s i n (x +φ)=m 在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以s i n (α+φ)=m5,s i n (β+φ)=m5㊂当1<m <5时,α+β=2π2-φ,即α-β=π-2(β+φ);当-5<m <1时,α+β=23π2-φ ,即α-β=3π-2(β+φ)㊂所以c o s (α-β)=-c o s 2(β+φ)=2s i n 2(β+φ)-1=2m 52-1=2m 2-55㊂29.(1)设{a n }的公差为d (d ʂ0),由题意得a 25=a 2a 6,即(a 1+4d )2=(a 1+d )㊃(a 1+5d ),化简得2a 1d +11d 2=0,又因为a 1=11,所以d =-2或d =0(舍去),所以a n =-2n +13㊂(2)由(1)知,当n ɤ6时,a n >0;当n ȡ7时,a n <0㊂当n ɤ6时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a n =n a 1+n (n -1)2=12n -n 2;当n ȡ7时,S n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+ +|a n |=a 1+a 2+a 3+ +a 6-(a 7+a 8+ +a n )=2S 6-S n =72-(12n -n 2)=n 2-12n +72㊂综上可得,S n =12n -n 2,n ɤ6,n 2-12n +72,n ȡ7㊂30.(1)因为2S n n =a n +1-13n 2-n -23,n ɪN *,所以2S n =n a n +1-13n 3-n 2-23n =n a n +1-n (n +1)(n +2)3㊂所以当n ȡ2时,2S n -1=(n -1)a n -(n -1)n (n +1)3㊂故2a n =2S n -2S n -1=n a n +1-(n -1)㊃a n -n (n +1)⇒a n +1n +1-a nn=1㊂所以数列a nn是首项为a 11=1,公差为1的等差数列,故a nn=1+1ˑ(n -1)=n ,所以a n =n 2(n ȡ2)㊂当n =1时,上式显然成立㊂综上可得,a n =n 2(n ɪN *)㊂(2)由(1)知,a n =n 2(n ɪN *)㊂当n =1时,1a 1=1<74,即原不等式成立㊂当n =2时,1a 1+1a 2=1+14<74,即原不等式也成立㊂当n ȡ3时,因为n 2>(n -1)(n +1),所以1n2<1(n -1)(n +1)=121n -1-1n +1㊂所以1a 1+1a 2+ +1a n=112+122+ +1n2<1+11ˑ3+12ˑ4+ +1(n -2)n +1(n -1)(n +1)=1+1211-13 +1212-14 + +121n -2-1n+121n -1-1n +1 =1+121-13+12- 14+ +1n -2-1n +1n -1-1n +1 =1+121+12-1n -1n +1=74+12㊃-1n -1n +1 <74㊂所以当n ȡ3时,原不等式成立㊂综上可得,对一切正整数n ,有1a 1+1a 2++1a n<74㊂31.(1)设第一年森林的木材存量为a 1,第n 年后森林的木材存量为a n ,所以a 1=a 1+14-b =54a -b ,a 2=54a 1-b =54 2a -54+1b ,a 3=54a 2-b =54 3a -54 2+54+1 b , ,a n=54 na -54 n -1+54 n -2+ +1b =54 na -454 n-1b ,n ɪN *㊂(2)依题意可知,当b =1972a 时,由a n <79a ,得54n a -454n-1ˑ1972a <79a ,化简得54 n>5,所以n >l g 5l g 5-2l g 2=1-l g 21-3l g 2ʈ7㊂故该地区今后会发生水土流失,需要经过8年㊂32.(1)当n =1时,4(a 1+a 2)=3a 1-9,又a 1=-94,故4a 2=-a 1-9=94-9=-274⇒a 2=-2716㊂当n ȡ2时,由4S n +1=3S n -9,得4S n =3S n -1-9,所以4S n +1-4S n =4a n +1=3a n ,得a 2=34a 1=-2716ʂ0,所以a n ʂ0,故a n +1a n=34㊂又因为a 2a 1=34,所以{a n }是首项为-94,公比为34的等比数列㊂所以a n =-94㊃34n -1=-3㊃34n㊂(2)由3b n +n -4 a n =0,得b n =-n -43a n =(n -4)34n㊂所以T n =(-3)ˑ34+(-2)ˑ342+(-1)ˑ343+0ˑ344+ +(n -4)ˑ34n㊂所以34T n =(-3)ˑ342+(-2)ˑ34 3+(-1)ˑ34 4+0ˑ34 5+ +(n -4)34 n +1㊂所以14T n =T n -34T n =(-3)ˑ34+342+343+344+ +34n-(n -4)34n +1=-94+9161-34 n -11-34-(n -4)34n +1=-n34n +1㊂所以T n=-4n34n +1㊂由T n ɤλb n 恒成立,得-4n 34n +1ɤλ(n -4)34n恒成立,即λ(n -4)+3n ȡ0恒成立㊂当n =4时,不等式恒成立;当n <4时,λɤ-3n n -4=-3-12n -4,得λɤ1;当n >4时,λȡ-3n n -4=-3-12n -4,得λȡ-3㊂综上可得,-3ɤλɤ1㊂所以λ的取值范围是[-3,1]㊂33.(1)因为m =(s i n x ,1),n =3A c o s x ,A 2c o s 2x(A >0),所以f (x )=m ㊃n =3A s i n x c o s x +A 2c o s 2x =A s i n 2x +π6㊂由函数f (x )=m ㊃n 的最大值为6⇒A =6㊂由2x +π6=π2+k π,k ɪZ ⇒x =π6+k π2,k ɪZ ,即对称轴方程为x =π6+k π2,k ɪZ ㊂当2x +π6=k π时,y =0,即对称中心为-π12+k π2,0,k ɪZ ㊂(2)由(1)知函数f (x )=6s i n 2x +π6㊂将函数y =f (x )的图像向左平移π12个单位长度,再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标保持不变,得到g (x )=6s i n 4x +π3㊂因为x ɪ0,5π24,所以4x +π3ɪπ3,7π6 ,所以s i n 4x +π3 ɪ-12,1 ,所以g (x )ɪ[-3,6]㊂所以g (x )的值域为[-3,6]㊂(责任编辑 王福华)。

三角函数、向量、解三角形、数列综合测试含答案大冶一中 孙雷一、选择题每题只有一个正确选项,共60分1.若向量===BAC CB AB ∠),0,1-(),23,21(则 A.30° B.60° C. 120° D. 150°2.已知34,4,8===AC BC AB ABC Rt 中，△,则对于ABC △所在平面内的一点P ,)(PC PB PA +•的最小值是A.-8B. -14C.-26D.-303.已知在正方形ABCD 中,点E 为CD 的中点,点F 为CB 上靠近点B 的三等分点,O 为AC 与BD 的交点,则=DB A.OF AE 51858-+ B.OF AE 74718-+ C.OF AE 58518-+ D. OF AE 71874-+ 4.已知）2π-απ-(523-αsin -αcos <<=,则=+αααtan -1)tan 1(2sin A.7528- B.7528 C.7556- D. 7556 5.若函数m x x x f -2cos 2-sin 4)(=在R 上的最小值是3,则实数=mA.6-B.5-C.3-D.2-6.已知α为锐角,且2)8π-α(tan =,则=α2sin A.102 B.1023 C.1027 D. 4237.已知向量)sin 41-(α，=a ,)4πα0)(1-α(cos <<=，b ,且b a //,则=)4π-αcos( A.21- B.21 C.23- D.23 8.在ABC △中,3:2:1::=A B C ,则=a b c ::A.1:2:3B.3:2:1C.1:3:2D. 2: 3:19.在ABC △中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,若B A C sin sin sin 3+=,53cos =C ,且4=ABC S △,则=c A.364 B.4 C.362 D.5 10.在ABC △中,°=60C ,322==AC BC ,点D 在边BC 上,且772sin =∠BAD ,则CD =A. 334B.43 C.33 D.332 11.我国古代数学巨著九章算术中,有如下问题：“今有女善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何”这个问题用今天的白话叙述为：“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少”根据上述问题的已知条件,若该女子共织布3135尺,则这位女子织布的天数是 A.2 B.3 C.4 D.112.数列}{n a 中,01=a ,且)2(2-1-1-≥+=+n a a n a a n n n n ,则数列})1-(1{2n a 前2019项和为A.20194036B.10102019C.20194037D.20204039 二、填空题共20分13.已知等差数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值,且1-20192020<a a ,则当0<n S 时n 的最小值为_____________. 14.已知数列}{n a 满足2321)2(+=n a a a a n ,则该数列的通项公式为______________.15.已知数列}{n a 满足),2(1)13()1-(*1-1N n n a a n n n ∈≥++=+,且121==a a ,则数列}{n a 的前2020项的和为_______________.16.ABC △中,Ab B a B Ac C B A cos cos sin sin sin -sin sin 222+=+,若1=+b a ,则c 的取值范围是___________.三、解答题共70分17.已知n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,81=a ,10-10=S1求n a ,n S ；2设||||||21n n a a a T +++= ,求n T .18.在ABC △中,c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边,且552sin =B ,6=•BC BA 1求ABC △的面积；2若8=+c a ,求b 的值.19.已知函数)(|2||-|)(R a x a x x f ∈++=1当1=a 时,求不等式5≥)(x f 的解集；2当]1,0[∈x 时,不等式|4|≤)(+x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.20.已知函数)0(23-sin 3cos sin )(2>+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π,将函数)(x f 的图象向左平移6π个单位长度,再向下平移21个单位长度,得到函数=y )(x g 的图象 1求函数)(x f 的单调递减区间；2在锐角ABC △中,角C B A ,,的对边为c b a ,,,若2,0)2(==a A g ,求ABC △面积的最大值.21.已知关于x 的函数1-2-2π3cos(cos 2)(2）x x x f += 1求不等式0)(>x f 的解集;2若关于x 的不等式x a x x f sin ≥|2sin )(|+在区间]4π3,3π[上有解,求实数a 的取值范围.22.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且31-34n n a S =,等差数列}{n b 各项均为正数,223b a =,4246b b a += 1求数列}{n a ,}{n b 的通项公式；2设数列}{n c 的前n 项和为n T ,对一切*N n ∈有n n n b na c a c a c =++ 22112成立,求n T .。

平面向量三角函数、解三角形综合训练题(2 )1・(湖北卷)设函数/(%) = a (6 + c),其屮向量a = (sin x,-cosx), h = (sin x,-3cosx), c = (一cosx,sinx), XG R □(I )、求函数/(x)的最大值和最小正周期;(II )、将函数/(X )的图像按向量2平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称, 求氏度最小的2。

解：(I )由题意得，f(x) =a (b+c)=(sinx, —cosx) (sinx —cosx.sinx —3cosx)=sin 2x —2sinxcosx+3cos 2x =2+cos2x ~sin2x =2+ V2 sin(2x+ ).4所以,f(x)的最大值为2+屈最小正周期是乎(II)心0+亍=0心+才％,即2 8因为力为整数，耍使同最小，则只有k=\,此时〃=(—彳，-2)即为所求.2.(湖北卷)设向量 a= G/ms cosx), b= (cosx, cosx), xWR,函f(x)=a'(a+b). (I )求函数妙的最人值与最小正周期；3(II )求使不等式f(x)^-成立的X 的取值集。

/(X ) = G (a + b) = a Q + Q h = sin 2 x +cos 2 x + sinxcosx + cos 2 xM ：( I )・・・ — i 3迈. 兀—1H —sin 2x H —(cos 2x +1) =—l ------ sin(2x H —)2 2 2 2 4k7l 3兀于是宀(亍一亍_2), |d(-l,V^)・(cos/,sin/) = 1即希sin/-cos / = 1（II ）由（I ）知—<=>—+ sin(2x + —)> — <=> sin(2x + —) >0八丿2 2 2 4 2 4兀 兀 3/T<=> 2k 兀 S 2xH — 5 2k/r + 71 <=> k7i -------------- 5 x W k 兀H 、k w Z4 8 8即/（兀）n|成立的工的取值集合是xiG 辛“訴+务心.3.(全国 II)已知向量a=(sin0, 1), 〃=(1, cos0),—号<&<§•(I )若〃丄〃，求0；(II )求丨a+b I 的最大值.—* —♦~J]解(1). Q 丄 b, nob = 0=> sin &+cos& = 0 n & = ------------4(2). G +耳= |(sin& + l,cos0 + l)| = J(sin& + 1)2 +(cos&+l)2=Jsin? &+2sin&+l+cos? &+2cos&+l = J2(sin &+cos &)+3 =(2逅 sin(& + f) + 3本题主要考察以下知识点1•向量垂直转化为数量积为0 2.特姝角的三角函数值3.三角函数的 基本关系以及三角两数的有界性4.已知向量的坐标表示求模难度中等，计算量不大4.（四川卷）已知4,B,C 是三角形\ABC 三内角，向lm = （-l,V3）,^ = （cos^,sin^）,（I ）求角血30解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和为差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用.分析和计算能力。

2018年8月7日三角函数及解三角形检测卷日期： 姓名： 分数：一、选择题1．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π6)，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.5π3 C.11π6D.2π32．sin (α＋30°)－sin (α－30°)cos α的值为( )A.1B.2C.3D.43．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时( ) A ．5海里 B ．53海里 C ．10海里D ．103海里4.．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象(部分)如图所示，则ω，φ分别为()A ．ω＝π，φ＝π3B ．ω＝2π，φ＝π3C ．ω＝π，φ＝π6D ．ω＝2π，φ＝π65．(2015·泉州模拟)在△ABC 中，若B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B.2 3 C.233 D.4336．将函数y ＝3sin2x －cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，所得图象对应的函数g (x )( )A ．有最大值，最大值为3＋1B ．对称轴方程是x ＝7π12＋k π，k ∈ZC ．是周期函数，周期T ＝π2D ．在区间[π12，7π12]上单调递增7.已知(0,)α∈π，且3cos 5α=-，则tan α=（ ） A ．34 B ．34- C ．43 D ．43-8.函数cos 2y x =的图象的一条对称轴方程是( )A 、2x π=B 、8x π=C 、8x π=-D 、4x π=-9.在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若1sin()3A B +=，3a =，4c =，则sin A =（ ）A.23 B.14C.34D.1610．(2015·上饶模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A 的值为( )A ．2 B.13 C ．2 3D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)11..化简：cos(π3＋α)＋sin(π6＋α)＝__________________________________.12..在ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若3sin cos cos b A c A a C =+，则sin A =________ 13．函数22sin22cos 2sin 2)(xx x x f -=的最小正周期是 π214.将函数f (x )＝sin x ＋cos x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于原点对称，则φ的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数(=cos (cos )f x x x x ） . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x ∈ 时，求函数(f x ）的单调递减区间.16.设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且sin cos b A B ．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3sin 2sin b C A ==，，求a c ，的值．19．(12分)(2015·醴陵一中模拟)在△ABC 中，已知A ＝π4，cos B ＝255.(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝25，D 为AB 的中点，求CD 的长．20．(12分)已知函数f (x )＝sin2x cos φ＋cos2x sin φ(|φ|<π2)，且函数y ＝f (2x ＋π4)的图象关于直线x ＝7π24对称．(1)求φ的值；(2)若π3<α<5π12，且f (α)＝45，求cos4α的值；(3)若0<θ<π8时，不等式f (θ)＋f (θ＋π4)<|m －4|恒成立，试求实数m 的取值范围．21.(12分)(2015·广雅中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M (0,1)． (1)求f (x )的解析式；(2)设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且f (A )＝35，f (B )＝513，求f (C )的值．22．(12分)(2016·河北正定中学月考)已知向量a ＝(2sin(ωx ＋2π3)，2)，b ＝(2cos ωx,0)(ω>0)，函数f (x )＝a ·b 的图象与直线y ＝－2＋3的相邻两个交点之间的距离为π. (1)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值．答案解析1．B2．B [∵α∈(－π4，0)，∴sin α＋cos α>0，∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝125， ∴sin α＋cos α＝15，故选B.]3．D [cos(x ＋π6)＝cos[π2－(π3－x )]＝sin(π3－x )＝35.故选D.]4．C [如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°， 所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°， 从而CD ＝CA ＝10.在Rt △ABC 中，得AB ＝5， 于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．] 5．C [由sin C ＝23sin B ， 变形得：sin Csin B ＝23，利用正弦定理化简得： sin C sin B ＝cb ＝23， 即c ＝23b ， 由a b ＝b ＋3c a， 整理得：a 2－b 2＝3bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，∴A ＝30°， 则tan A ＝33， 故选C.]6．C [由函数的图象可得A ＝2，根据14T ＝14·2πω＝56－13＝12，求得ω＝π.再由五点法作图可得π×56＋φ＝π，解得φ＝π6，故选C.]7．B [∵在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝2，AC ＝23， ∴由正弦定理AC sin B ＝AB sin C 得：sin C ＝AB sin BAC ＝2×3223＝12，∴C ＝30°， ∴A ＝90°，则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23，故选B.]8．D [化简函数得y ＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π6)，所以g (x )＝2sin(2x －2π3)易求最大值是2，周期是π，由2x －2π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得对称轴方程是x ＝7π12＋k π2(k ∈Z )．根据正弦函数的单调递增区间可得－π2＋2k π≤2x －2π3≤π2＋2k π(k ∈Z )⇔π12＋k π≤x ≤7π12＋k π(k ∈Z )，故选D.]9．B [f (x )＝sin 4(ωx ＋π4)－cos 4(ωx ＋π4)＝[sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4)]·[sin 2(ωx ＋π4)＋cos 2(ωx ＋π4)]＝sin 2(ωx ＋π4)－cos 2(ωx ＋π4)＝－cos(2ωx ＋π2)＝sin2ωx ，所以2ωx ∈[－2π3ω，π2ω]，所以满足－2π3ω≥－π2且－2π3ω＝－π3的ω＝12，故选B.]10．C [f (x )＝sin(2x －π4)＝22(sin2x －cos2x )．①f (x )＝cos(2x ＋π4)＝22(cos2x －sin2x )．与原函数不是同一个函数，①错误．②x ＝－π8时，f (x )＝sin[2×(－π8)－π4]＝sin(－π2)＝－1，函数取得最小值，所以直线x ＝－π8是f (x )图象的一条对称轴，②正确．③将g (x )＝sin2x 的图象向右平移π4个单位得到图象对应的解析式是y ＝sin2(x －π4)＝sin(2x －π2)＝－cos2x ，与f (x )不是同一个函数，③错误．④取α＝π2，f (x ＋α)＝f (x ＋π2)＝sin[2(x ＋π2)－π4]＝sin(2x ＋3π4)，f (x ＋3α)＝f (x ＋3·π2)＝sin[2(x ＋3π2)－π4]＝sin(2x ＋3π－π4)＝sin(2x ＋2π＋π－π4)＝sin(2x ＋3π4)，所以存在α＝π2∈(0，π)，使f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，④正确．故选C.]11．C [因为x 1x 2＋y 1y 2＝OP 1→·OP 2→＝cos θ，所以cos θ＝cos(θ＋π4－π4)＝22[cos(θ＋π4)＋sin(θ＋π4)]．因为θ∈(π2，π)，θ＋π4∈(3π4，5π4)，所以cos(θ＋π4)＝－45，cos θ＝－210.故选C.] 12．D [由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，得cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ＝3sin C －sin Asin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )·cos B ， 化简可得，sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )， 又知A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ， 因此sin C sin A ＝3.]13．0解析 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin αsin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0， 所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0.14．－14解析 ∵2sin B ＝3sin C ， ∴2b ＝3c ，∴b ＝32c .代入b －c ＝14a 得a ＝2c ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－14.15．8解析 由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.16.3π4解析 函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，根据图象平移规律可得平移后图象对应的函数解析式为y ＝2sin(x ＋π4＋φ)，又所得函数图象关于原点对称，∴π4＋φ＝k π(k ∈Z )，∴φ＝k π－π4(k ∈Z )，当k ＝1时，φ取最小值为3π4. 17．解 (1)由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8， 所以T ＝2πω＝8，ω＝π4.又f (1)＝sin(π4＋φ)＝1，且－π2<φ<π2，所以－π4<π4＋φ<3π4，π4＋φ＝π2， φ＝π4.所以f (x )＝sin(π4x ＋π4)．(2)因为f (－1)＝sin[π4×(－1＋1)]＝0，f (1)＝sin[π4×(1＋1)]＝1，f (5)＝sin[π4×(5＋1)]＝－1，所以M (－1,0)，N (1,1)，P (5，－1)， |MN |＝5，|MP |＝37，|PN |＝20， 从而cos ∠MNP ＝5＋20－3725×20＝－35，由∠MNP ∈(0，π)，得sin ∠MNP ＝1－cos 2∠MNP ＝45.18．解 (1)因为f (x )＝22sin x －22(1－cos x ) ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－22， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为－π≤x ≤0，所以－3π4≤x ＋π4≤π4.当x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π4时，f (x )取得最小值．所以f (x )在区间[－π，0]上的最小值为 f ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－1－22. 19．解 (1)∵cos B ＝255且B ∈(0，π)，∴sin B ＝1－cos 2B ＝55， cos C ＝cos(π－A －B )＝cos(3π4－B )＝cos 3π4cos B ＋sin 3π4sin B＝－22·255＋22·55＝－1010.(2)由(1)可得 sin C ＝1－cos 2C ＝1－(－1010)2＝31010， 由正弦定理得BC sin A ＝ABsin C ，即2522＝AB 31010，解得AB ＝6.在△BCD 中，CD 2＝(25)2＋32－2×3×25×255＝5，所以CD ＝ 5.20．解 (1)f (x )＝sin(2x ＋φ)，则y ＝f (2x ＋π4)＝sin(4x ＋π2＋φ)＝cos(4x ＋φ)．又y ＝cos x 的图象的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，令4x ＋φ＝k π(k ∈Z )，将x ＝7π24代入可得φ＝k π－7π6(k ∈Z )，而|φ|<π2，故φ＝－π6.(2)由f (α)＝45可得sin(2α－π6)＝45，而π2<2α－π6<2π3， 故cos(2α－π6)＝－35，故sin2α＝sin[(2α－π6)＋π6]＝43－310，故cos4α＝1－2sin 22α＝243－750.(3)f (θ)＋f (θ＋π4)＝sin(2θ－π6)＋cos(2θ－π6)＝2sin(2θ＋π12)，因为0<θ<π8，所以π12<2θ＋π12<π3，故f (θ)＋f (θ＋π4)<2×32＝62，故只需|m －4|≥62， 即m ≤4－62或m ≥4＋62， 即实数m 的取值范围是(－∞，4－62]∪[4＋62，＋∞)． 21．解 (1)因为函数f (x )的最大值是1，且A >0， 所以A ＝1.因为函数f (x )的最小正周期是2π，且ω>0， 所以T ＝2πω＝2π，解得ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)．因为函数f (x )的图象过点M (0,1)，所以sin φ＝1. 因为0<φ<π，所以φ＝π2.所以f (x )＝sin(x ＋π2)＝cos x .(2)由(1)得f (x )＝cos x ，所以f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513.因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，sin B ＝1－cos 2B ＝1213.因为A ，B ，C 为△ABC 的三个内角， 所以cos C ＝cos(π－(A ＋B ))＝－cos(A ＋B )， 所以f (C )＝cos C ＝－cos(A ＋B ) ＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(35×513－45×1213)＝3365.22．解 (1)函数f (x )＝a ·b ＝4sin(ωx ＋2π3)cos ωx＝[4×(－12)sin ωx ＋4×32cos ωx ]cos ωx＝23cos 2ωx －sin2ωx ＝3(1＋cos2ωx )－sin2ωx ＝2cos(2ωx ＋π6)＋3，由题意得T ＝π，∴2π2ω＝π，∴ω＝1，故f (x )＝2cos(2x ＋π6)＋ 3.令2k π－π≤2x ＋π6≤2k π(k ∈Z )，得k π－7π12≤x ≤k π－π12(k ∈Z )，∴y ＝2cos(2x ＋π6)＋3的单调递增区间为[k π－7π12，k π－π12](k ∈Z )．当k ＝1时，函数的单调递增区间为[5π12，11π12]．当k ＝2时，函数的单调递增区间为[17π12，23π12]．∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为[5π12，11π12]，[17π12，23π12]．(2)将函数f (x )的图象向右平移π12个单位，得到函数y ＝g (x )＝2cos2x ＋3的图象．令g (x )＝0，得x ＝k π＋5π12或x ＝k π＋7π12，k ∈Z ，∴函数g (x )在每个周期内恰好有两个零点，若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，∴b 的最小值为4π＋7π12＝55π12.。

高考数学二轮复习专题 2 三角函数、三角变换、解三角形、平面向量专题综合检测卷二理( 时间： 120 分钟，满分： 150 分)一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每题 5 分，共60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)31．已知α为第二象限角， sinα＋cosα＝3，则 cos 2 α＝ ( A)5555A．－3B．－9 C.9 D.3分析： sinα ＋cosα＝33，1＋ sin 212两边平方可得α＝3?sin 2 α＝－3，∵α是第二象限角，所以sinα＞0，cosα＜0，2215所以 cosα －sinα＝－（ cosα－sinα）＝－1＋3＝－3 .∴ cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cosα ＋sinα)(cosα－sinα)＝－5.32．在△中，内角，，C 所对的边分别是，，，已知 8＝5c，＝2，则 cosCABC A B a b c b C B ＝( A)77724A.25 B．－25 C．±25 D.25分析：∵8＝ 5 ，由正弦定理得8sin＝ 5sin .b c B C 又∵ C＝2B，∴ 8sin B＝5sin 2B.所以 8sin＝ 10sin cos．易知 sin≠0，B B B B∴ cos4＝ cos 2＝2cos27＝， cos－1＝ . B5C B B25．函数＝2π－是y2cos x－1( A) 34A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数πC．最小正周期为 2 的奇函数πD．最小正周期为的偶函数2分析： 因为y ＝ 2cos 2x － π － ＝ cos 2x － π ＝ sin 2 x 为奇函数， ＝ 2π ＝π 应选4 1 2 T 2.A.4．在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若 a ＝3， b ＝ 2， B ＝45°，则 A ＝( D)A ． 30°B ． 30°或 105°C ． 60°D． 60°或 120°5. (2014 ·安徽卷 ) 若将函数 f ( x ) ＝sin 2 x ＋ cos 2 x 的图象向右平移 φ 个单位，所得图象对于 y 轴对称，则 φ 的最小正当是 ( C)π π 3π 3π A.8 B.4 C.8 D.4分析： 由题意 f ( x ) ＝ sin2x ＋ cos 2x ＝ 2sin 2 ＋π，将其图象向右平移φ 个单位，4x得 2sin 2（ x － φ）＋π ＝ 2sin 2x － 2φ ＋π ，要使图象对于 y 轴对称，则π － 2φ＝π44 42πk πφ取最小正当3π＋k π，解得 φ＝－ －，当 k ＝－ 1 时， .应选 C.828 6．(2015 ·新课标Ⅰ卷 ) 已知点 (0 ，1) ， (3 ，2) ，向量 →＝ ( － 4，－ 3) ，则向量 → ＝ABACBC( A)A ． ( －7，－ 4)B ．(7 ，4)C ． ( －1， 4)D．(1 ，4)→分析： 解法一：设C ( x ，y ) ，则 AC ＝ ( x ， y －1) ＝ ( － 4，－ 3) ，所以 x ＝－ 4，→－ 4，－ 2) － (3 ，2) ＝ ( － 7，－ 4) ．应选 A.y ＝－ 2， 进而 BC ＝ (→→ → → － (3 ，1)＝( －7，－解法二： AB ＝ (3 ，2) － (0 ，1) ＝ (3 ，1) ，BC ＝ AC － AB ＝ ( － 4，－ 3) 4) ．应选 A.7．在△ ABC 中， a ，b ，c 分别为三个内角A ，B ，C 所对的边，设向量m ＝ ( b － c ，c － a ) ，n ＝ ( b ， c ＋a ) ，若向量 m ⊥ n ，则角 A 的大小为 ( B)ππA. 6B. 3 π D.2πC.32分析： ∵ m ＝ ( b － c ， c － a ) ，n ＝ ( b ， c ＋ a ) 且 m ⊥ n ，∴ m ·n ＝ ( b － c ， c － a ) ·(b ， c ＋a ) ＝ b ( b －c ) ＋ c 2－a 2 ＝0，即 b 2＋ c 2－a 2＝ bc ，又∵ cos A ＝ b 2＋ 2－ a 2 1c ＝ bc ＝ ， 0＜ A ＜π，2bc 2bc 2∴ ＝π .A38．设 0≤ x ＜ 2π，且 1－ sin 2 x ＝ sin x － cos x ，则 x 的取值范围是 ( B) A ． 0≤x ≤π B.π5π≤ x ≤44π 7ππ3πC. 4 ≤ x ≤ 4D.2 ≤ x ≤29．(2015 ·新课标Ⅰ卷 ) 设 D 为△ ABC 所在平面内一点， →→BC ＝ 3CD ，则 ( A)→1→4→→1→4→A. AD ＝－ 3AB ＋ 3ACB. AD ＝ 3AB － 3AC→4→ 1→→ 4→1→C. AD ＝ 3AB ＋ 3ACD. AD ＝ 3AB － 3AC→→→→1→→ 分析： AD ＝ AC ＋ CD ＝ AC ＋ BC ＝AC ＋ 31 → → 4→ 1→1→ 4→ 应选 A.3 ( AC － AB ) ＝ AC － AB ＝－AB ＋ AC .3 33310．(2015 ·新课标Ⅰ卷 0) 是双曲线 x 2212) 已知 M ( x ，y C ： 2 － y ＝ 1 上的一点， F ，F 是 C→ →的两个焦点．若 MF 1·MF 2＜ 0，则 y 0 的取值范围是 ( A)3333A.－3，3B.－6，62 22 22 3 2 3C.－3，3D.－ 3 ， 3 分析： 由题意知＝ 2， ＝ 1， ＝ 3，ab c∴ F 1( － 3， 0)，F 2(3，0) ，∴→1＝( －3－x 0，－ y 0)，→2＝(3－ 0，－y 0)．MFMFx→→∵ MF 1· MF 2＜ 0，∴ ( － 3－ x 0)(23－ x 0) ＋y 0＜ 0，22即 x 0－ 3＋ y 0＜ 0.∵ 点 M ( x ， y ) 在双曲线上，2x 0222∴ 2 － y 0＝1，即 x 0 ＝ 2＋ 2y 0 ，∴2＋2223 3y 0－ 3＋ y 0＜ 0，∴ － ＜ y 0＜ . 应选 A.3 332π11．已知 tan α＝－ 5，则 cos4 ＋ α ＝ ( A)16 15 9 8A.B. C.D.1717 17 17112．若向量 a 、b 知足 | a | ＝ | b | ＝ 1，且 ( a ＋ b ) · b ＝ 2，向量 a 、b 的夹角为 ( B)π 2π π5π A. 3 B.3C. 6D. 6二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．请把正确答案填在题中横线上)13．设△的内角， ， C 所对的边分别为， ， ，若( ＋ － )( ＋ ＋ ) ＝ ab ，ABCABa bca bc a bc则角 ＝ 2π ．C 3分析： 由 ( a ＋ b － c )( a ＋ b ＋ c ) ＝ ab ? a 2＋ b 2－ c 2＝－ ab ，依据余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 212π2ab ＝－ 2? C ＝ 3.14．(2015 ·新课标Ⅱ卷 ) 设向量 a ，b 不平行， 向量 λa ＋ b 与 a ＋ 2b 平行，则实数 λ ＝1 2．分析： ∵ λa ＋b 与 a ＋ 2b 平行，∴λa ＋ b ＝ t ( a ＋ 2b ) ，λ＝ t ，1，即 λa ＋ b ＝ ta ＋ 2tb ，∴λ＝ 21＝2 ，解得1tt ＝ 2.5π15．当函数 y ＝sinx － 3cos x ( 0≤ x ＜ 2π ) 获得最大值时， x ＝ 6 ．分析： y ＝ sin x － 3cos x ＝ 2sin x －π ，3π π 5π0≤ x ＜2π ? －3 ≤ x － 3 ＜ 3 ，π可知－ 2≤2sin x － 3 ≤ 2.当且仅当 x －π π5π＝时，即 x ＝时获得最大值．32616．(2014 ·江苏卷 ) 若△的内角知足 sin ＋ 2sin ＝2sin ，则 cosC 的最小ABCABC值是 6－ 2．4a 2＋b 2－c 2分析：由已知 sin A ＋ 2sin B ＝ 2sin C 及正弦定理可得 a ＋ 2b ＝ 2c ，cos C ＝2ab2 2a ＋ 2b2＝a ＋ b －2＝3a 2＋ 2b 2－ 2 2ab ≥ 2 6ab － 2 2ab ＝ 6－ 2，当且仅当 32＝2 2即2ab8ab8ab4aba2b＝3时等号建立．三、解答题 ( 本大题共6 小题，共 70 分．解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17．(10 分)(2015 ·茂名一模 ) 设锐角三角形 ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 a ＝ 2b sin A .(1) 求角 B 的大小；(2) 若 a ＝ 3 3， c ＝ 5，求△ ABC 的面积及 b .分析： (1) ∵ a ＝2b sinA ，由正弦定理得 sin A ＝ 2sinB sin A ，因为 sinA ≠ 0，1 故有 sinB ＝ ，又∵ B 是锐角，2∴B ＝30°.(2) 依题意得：△ ABC＝11 1 15 3 2acsin 30 °＝ × 33×5× ＝4，S 22222∴由余弦定理 b ＝a ＋ c － 2ac cos B 可得＝ 27＋25－ 45＝7，∴＝ 7.b18． (12 分 ) 已知函数f（ sin x － cos x ） sin 2 x.( ) ＝xsin x(1) 求 f ( x ) 的定义域及最小正周期；(2) 求 f ( x ) 的单一递加区间．（ s in x － cos x ） sin 2 x分析： f ( x ) ＝ sin x＝（ sin x － cos x ） 2sin cos xx － cos x )cos x ＝ sin 2x － 1 － cos 2 x ＝ 2sin x＝ 2(sinπsin 2x － 4 － 1， { x | x ≠ k π， k ∈ Z}(1) 原函数的定义域为 { x | x ≠ k π， k ∈ Z} ，最小正周期为π .π3π(2) 原函数的单一递加区间为－ 8 ＋k π， k π ， k π，8 ＋ k π ( k ∈Z) ．19． (12 分 ) 函数 f ( x ) ＝6cos 2ωx3cos ω x － 3( ω ＞ 0) 在一个周期内的图象如图所2＋示， A 为图象的最高点， B ， C 为图象与 x 轴的交点，且△ ABC 为正三角形．(1) 求 ω 的值及函数 f ( x ) 的值域；) ＝ 8 30－ 10 ， 2 0的值．(2) 若 f ( x 5 ，且 x ∈3 3 ，求 f ( x ＋ 1)分析： (1) 由已知可得： f ( x ) ＝ 6cos 2ωx ＋ 3cos ωx － 3＝ 3cos ω x ＋3sin ωx ＝22 3sin ωx＋π3 ( ω＞ 0) ．又因为正三角形 ABC 的高为 2 3，则 BC ＝ 4，所以，函数f ( x ) 的周期T ＝4×2＝ 8，即2π ω ＝ 8，得 ω＝π 4 .所以，函数f ( x ) 的值域为 [ －2 3，23 ]．8 3(2) 因为 f ( x 0) ＝ 5 ，由 (1) 有π x 0＋ π8 3f ( x 0) ＝ 2 3sin＝ ， 4 3 5π x 0 π 4即 sin4 ＋ 3 ＝ 5.－ 10 2 π x 0 π－ π π 0 ， ，得 ＋ 3 ∈ ，2 ， 由 x ∈3 34 2πx 0 π4 23所以，即 cos 4 ＋ 3 ＝1－ 5 ＝ 5 .故 f ( x 0＋1) ＝ 2 3sin π x 0 π π＋ 4 ＋4 3＝ 2 3sinπ x 0 ππ＋＋ 443＝ 2 3 sin π x 0 π ππ x 0π π＋ cos ＋ cos＋3sin4 3 44 4423276＝ 2 35×2＋5×2 ＝ 5 .→ →→ →20． (12 分 ) 在△ ABC 中，已知 AB · AC ＝ 3BA · BC .(1) 求证： tan B ＝ 3tan A ；5(2) 若 cos C ＝ 5 ，求 A 的值．→ → → →分析： (1) ∵ AB · AC ＝ 3BA · BC ，∴ AB · AC ·cosA ＝ 3BA · BC · cosB ，即 AC · cos A ＝3BC · cos B .AC BC由正弦定理，得sin B ＝sin A ，∴ sin B · cos A ＝ 3sin A · cos B .又∵ 0＜ A ＋ B ＜π，∴ cos A ＞ 0，cos B ＞ 0.sin B sin A B ＝ 3tan A .∴cosB ＝3· cos A ，即 tan5(2) ∵ cos C ＝ ， 0＜ C ＜π，5∴ sin ＝1－5 22 5 . ＝ C5 5∴ tan C ＝ 2.∴ tan[ π－ ( A ＋B )] ＝ 2，即 tan( A ＋B ) ＝－ 2.tan A ＋ tan B＝－ 2.∴1－ tan · tan AB4tan AA ＝－ 2，由 (1) ，得 1－ 3tan 21解得 tan A ＝ 1 或 tanA ＝－ 3.π∵ cos A ＞ 0，∴ tan A ＝1.∴A ＝ 4.21． (12 分 ) 已知函数 f ( x ) ＝ sin x ＋ a cos x 的图象经过点π .－ ， 0 3(1) 务实数 a 的值；(2) 求函数 f ( x ) 的最小正周期与单一递加区间．分析： (1) 因为函数 f ( x ) ＝ sin x ＋ a cos x 的图象经过点－ π， 0 ，所以 f－π＝0.33即 sin －π ＋ a cos －π3＝ 0.33 a即－ 2 ＋ 2＝0.解得 a ＝ 3.(2) 由 (1) 得，f ( x ) ＝sin x ＋3cos x ＝ 2 1 ＋ 3x2sin x2 cosππ＝ 2 sinx cos 3 ＋ cos x sin 3π＝ 2sinx ＋ 3 .所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2π.π π因为函数 y ＝ sin x 的单一递加区间为 [2 k π－ 2 ， 2k π＋ 2 ]( k ∈Z) ，π π π所以当 2k π－ 2 ≤ x ＋ 3 ≤2 k π＋ 2 ( k ∈Z) 时，函数 f ( x ) 单一递加，5ππ即 2k π－ 6 ≤x ≤ 2k π＋ 6 ( k ∈Z) 时，函数 f ( x ) 单一递加．5π π 所以函数 f ( x ) 的单一递加区间为 2k π－ 6 ， 2k π＋ 6( k ∈Z) ．22． (12 分 ) 已知向量＝ 2cosx，1 ， ＝ sin x， 1 ( ∈ R)，设函数 f ( ) ＝ －1.m2 n 2 x x m ·n(1) 求函数 f ( x ) 的值域；(2) 已知锐角三角形ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若53f ( A ) ＝ 13， f ( B ) ＝ 5，求f ( C )的值．分析： (1)f ( x ) ＝ m ·n － 1＝2cosx 2， 1·sinx2， 1－ 1＝ 2cosx 2sinx2＋1－ 1＝ sin x .∵ x ∈ R ，∴函数 f ( x ) 的值域为 [ －1， 1] ．53(2) ∵ f ( A ) ＝ 13， f ( B ) ＝5，53∴ sinA ＝ 13，sinB ＝ 5.212∵ A ，B 都为锐角，∴ cos A ＝ 1－ sin A ＝13，24cos B ＝1－sinB ＝ .5∴ f ( C ) ＝ sin C ＝ sin [ π－（ A ＋ B ） ] ＝ sin( A ＋B ) ＝ sin A cos B ＋ cos A sin B ＝ 135×45＋12 3 5613× 5＝ 65.56∴ f ( C ) 的值为 .65。

三角函数、解三角形、向量、数列测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(,3)a x =-, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( )A ．－1B ． 1C ．9D ．－92.已知ABC ∆中，31sin ,2,3===B AC AB .则=C （ ）。

A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1203．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．89- 4. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A 090 B 060 C 0135 D 0150 5．已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4, a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10=( )A ．138B ．135C ．95D ．236. 化简10sin 1++10sin 1-，得到（ ）A －2sin5B －2cos5C 2sin5D 2cos57．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是( )A.130B.170C.210D.2608．已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于( ) A.13- B.3- C.13 D.3 9．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角 10.若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4005B ．4006C ．4007D ．400二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若32)sin(-=-απ, 且)0,2(πα-∈, 则αtan 的值是____________． 12．在等比数列{a n }中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log ｝前19项之和为_ __13．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,22214．已知等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2=9，a 1a 2a 3=27,则｛a n ｝的前n 项和是 。

三角函数与解三角形 测试题(时间120分钟，满分150分) 第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)1．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)等于 ( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．sin45°·cos15°＋cos225°·sin15°的值为 ( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.323．要得到y ＝sin(2x －π3)的图像，只要将y ＝sin2x 的图像 ( )A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位4．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3 5．有一种波，其波形为函数y ＝sin(π2x )的图像，若在区间[0，t ]上至少有2个波峰(图像的最高点)，则正整数t 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x ＜π2，则f (x )的最大值为 ( )A ．1B ．2 C.3＋1 D.3＋2 7．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ 值为 ( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π38．若向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( )A ．－34 B.34 C ．－14 D.149．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图，则 ( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π2，φ＝5π410．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ≠0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的图像关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则 ( ) A ．f (x )的图像过点(0，12)B ．f (x )的图像在[5π12，2π3]上递减C ．f (x )的最大值为AD ．f (x )的一个对称中心是点(5π12，0)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．已知α是第二象限角，sin α＝12，则sin2a 等于________12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图像如下图所示，则f (7π12)＝________.13．计算：cos10°＋3sin10°1－cos80°＝________.14．设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________.15．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c 且a cos B －b cos A ＝35c .则tan A tan B的值为________． 答案：4三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知：0<α<π2<β<π，cos(β－π4)＝13，sin(α＋β)＝45.(1)求sin2β的值；(2)设函数f (x )＝cos x －sin x ，试求f (α)的值．17．(本小题满分12分)如图，点A ，B 是单位圆上的两点，A ，B点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 是正三角形，若点A 的坐标为(35，45)，记∠COA ＝α.(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；(2)求|BC |2的值．18．(本题满分13分)(2010·黄冈模拟)△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且lg a－lg b ＝lgcos B －lgcos A ≠0. (1)判断△ABC 的形状；(2)设向量m ＝(2a ，b )，n ＝(a ，－3b )，且m ⊥n ，(m ＋n )·(－m ＋n )＝14，求a ，b ，c .19．(本小题满分12分)已知a ＝(sin x ，32)，b ＝(cos x ，－1)．(1)当a 与b 共线时，求2cos 2x －sin2x 的值； (2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在[－π2，0]上的值域．20．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的一系列对应值如下表：(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)周期为2π3，当x∈[0，π3]时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．21．(本小题满分13分)已知函数y＝|cos x＋sin x|.(1)画出函数在x∈[－π4，7π4]上的简图；(2)写出函数的最小正周期和在[－π4，3π4]上的单调递增区间；试问：当x在R上取何值时，函数有最大值？最大值是多少？(3)若x是△ABC的一个内角，且y2＝1，试判断△ABC的形状．。

三角函数、解三角形 平面向量 检测 (时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos2θ＝( )A ．－45B ．－35C.35 D.45答案：B2．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b答案：C3．已知向量a ＝(sin x ，cos x )，向量b ＝(1, 3)，则|a ＋b |的最大值为( ) A ．1 B.3 C ．3 D ．9 答案：C4．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－32B.32 C ．±32D ．1 答案：B5．(2011年乐山二诊)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝1，AC ＝3且∠CAB ＝π6，∠BAD ＝2π3，设AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ＝( )A ．4B ．6C ．－4D ．－2答案：A6．(2011年济南市质量调研)若sin (α－π4)cos2α＝－24，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72B ．－12C.12 D.72答案：C7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且m ＝(3b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，m ∥n ，则cos A ＝( )A.22B ．－22 C.33D ．－33答案：C8．(2012年哈三中高三月考)现有四个函数①y ＝x ·sin x ②y ＝x ·cos x ③y ＝x ·|cos x | ④y ＝x ·2x 的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①答案：A9．(2010年湖南高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定 答案：A10．(2012年河北正定中学高三月考)已知函数 f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象在y 轴右侧的第一个最高点为M (2,2)，与x 轴在原点右侧的第一个交点为N (5,0)，则函数 f (x )的解析式为( )A ．2sin(π6x ＋π6)B ．2sin(π3x －π6)C ．2sin(π6x －π6)D ．2sin(π3x ＋π6)答案：A11．函数 f (x )＝2sin(2x ＋π4)，给出下列命题：①函数 f (x )在区间[π2，5π8]上是减函数；②直线x ＝π8是函数 f (x )的图象的一条对称轴；③函数 f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象向左平移π4个单位得到．其中正确的是( )A ．①③B ．①②C ．②③D ．①②③ 答案：B12．(2012年福建省四地六校期中联考)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)，(c ，d ∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( ) A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 、答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设向量a ，b 满足：|a |＝1，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝________.解析：∵|a ＋b |＝22，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝8. 又∵|a |＝1，a ·b ＝32，∴b 2＝4，|b |＝2.答案：214．(2011年黄冈3月质检)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，若O 为△ABC 的外心，则AO →·BC →的值为________．、答案：815．(2011年江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)＝________.、答案：6216．(2011年天津高考)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________．答案：5三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB →·AC →＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值． 解：(1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A2－1＝35，sin A ＝45.又由AB →·AC →＝3，得bc cos A ＝3，所以bc ＝5.因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5， 又c ＝1，所以b ＝5.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，所以a ＝2 5.18．(2011年湖南高考)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos(B ＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．解：(1)由正弦定理得sin C sin A ＝sin A cos C .因为0<A <π，所以sin A >0.从而sin C ＝cos C ，又cos C ≠0，所以tan C ＝1，则C ＝π4.(2)由(1)知，B ＝3π4－A ，于是3sin A －cos(B ＋π4)＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋π6)．因为0<A <3π4，所以π6<A ＋π6<11π12.从而当A ＋π6＝π2，即A ＝π3时，2sin(A ＋π6)取最大值2.综上所述，3sin A －cos(B ＋π4)的最大值为2，此时A ＝π3，B ＝5π12.19．(2012年山东诸城高三月考)已知函数 f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4·cos φ－sin 3π4·sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数 f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数 f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数 f (x )的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．解：(1)由cos π4·cos φ－sin 3π4·sin φ＝0得：cos π4·cos φ－sin π4·sin φ＝0即cos(π4＋φ)＝0，又|φ|<π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得， f (x )＝sin(ωx ＋π4)，依题意T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，∴ f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数 f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]，g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而最小正实数m ＝π12.20．(2011年江苏省泰州中学质量调研)已知O 为坐标原点，OA →＝(2sin 2x,1)，OB →＝(1，－23sin x cos x ＋1)， f (x )＝OA →·OB →＋m .(1)求 y ＝f (x )的单调递增区间；(2)若 f (x )的定义域为[π2，π]，值域为[2,5]，求m 的值．解：(1) f (x )＝2sin 2x －23sin x cos x ＋1＋m ＝1－cos2x －3sin2x ＋1＋m ＝－2sin(2x ＋π6)＋2＋m由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z ) 得 y ＝f (x )的单调递增区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )(2)当π2≤x ≤π时，7π6≤2x ＋π6≤13π6∴－1≤sin(2x ＋π6)≤12∴1＋m ≤ f (x )≤4＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ＝24＋m ＝5⇒m ＝1.21．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan2α的值．解：(1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )． 令t ＝sin x ＋cos x (π4<x <π)，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2. 则y ＝f (x )＝t 2＋2t －1＝(t ＋22)2－32，－1<t < 2. ∴t ＝－22时，y min ＝－32， 此时sin x ＋cos x ＝－22. 由于π4<x <π，故x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b|a ||b |＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π.∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0. ∴sin(x ＋α)＋2sin2α＝0， sin(2α＋π3)＋2sin2α＝0.∴52sin2α＋32cos2α＝0. ∴tan2α＝－35. 22．(2012年辽南协作体高三上学期期中)已知f (x )＝x ＋a sin x . (1)若f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围； (2)当常数a >0时，设g (x )＝f (x )x ，求g (x )在[π6，5π6]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝1＋a cos x ≥0对x ∈(－∞，＋∞)恒成立， 令t ＝cos x ，则1＋at ≥0对t ∈[－1,1]恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ·(－1)≥01＋a ·1≥0，解得－1≤a ≤1， ∴实数a 的取值范围是[－1,1]．(2)当a >0时，g (x )＝f (x )x ＝1＋a sin x x ，∴g ′(x )＝a (x cos x －sin x )x 2，记h (x )＝x cos x －sin x ，x ∈(0，π)，则h ′(x )＝－x sin x <0对x ∈(0，π)恒成立， ∴h (x )在x ∈(0，π)上是减函数，∴h (x )<h (0)＝0，即g ′(x )<0，∴当a >0时，g (x )＝f (x )x 在(0，π)上是减函数，得g (x )在[π6，5π6]上为减函数．∴当x ＝π6时，g (x )取得最大值1＋3a π；当x ＝5π6时，g (x )取得最小值1＋3a5π.。