最新高中数学复习讲义 第四章 平面向量与复数

平面向量与复数的关系在数学中，平面向量和复数之间有着紧密的关联。

通过将平面向量用复数表示，我们能够更加直观地理解和计算向量的性质和运算。

本文将探讨平面向量与复数的关系，并阐述它们之间的转换和应用。

一、平面向量的表示与性质平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。

一般来说，我们可以用坐标系中的两个有序数对来表示一个平面向量。

比如，对于平面上的点A(x1, y1)和点B(x2, y2)，我们可以定义AB为一个平面向量，记作AB = (x2 - x1, y2 - y1)。

平面向量有以下重要的性质：1. 零向量：零向量是指模为0的向量，表示为0。

它的所有分量都为0，方向没有明确的定义。

2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，即它们的方向角相等或相差180度，则称它们为平行向量。

3. 向量的模：一个向量的模表示向量的长度，记作|AB|或∥AB∥，计算公式为∥AB∥ = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。

4. 单位向量：如果一个向量的模为1，则称其为单位向量。

5. 向量的加法：向量的加法满足平行四边形法则，即将向量的起点放到另一个向量的终点上，连接两个向量的起点和终点，得到一个新的向量作为它们的和。

6. 数乘：将一个向量的每个分量都乘以一个实数，得到一个新的向量。

二、复数的定义与性质复数是由一个实部和一个虚部组成的数，形式为a + bi，其中a和b 是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。

复数可用于表示在复平面上的点，其中实部表示实轴上的坐标，虚部表示虚轴上的坐标。

复数具有以下重要的性质：1. 共轭复数：对于一个复数a + bi，它的共轭复数定义为a - bi。

即共轭复数的实部相等，虚部的符号相反。

2. 模：一个复数的模表示复数到原点的距离，记作|z|或∥z∥，计算公式为∥z∥ = √(a^2 + b^2)。

3. 乘法：两个复数相乘的结果是一个复数。

如果两个复数分别为a + bi和c + di，则它们的乘积为(ac - bd) + (ad + bc)i。

高中数学复习讲义第四章平面向量与复数【知识图解】Ⅰ.平面向量知识结构表Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。

所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。

从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。

复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。

1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.第1课 向量的概念及基本运算【考点导读】1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ，//b c ，则//a c 。

其中，正确命题材的序号是②③2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r得03.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点，若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝2133+a b ，OQ u u u r ＝1233+a b (用a 、b 表示)【范例导析】例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ，由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（1）由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r（2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r（3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r，代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例1例2.已知,OA OB u u u r u u u r不共线，OP aOA bOB =+u u u r u u u r u u u r ,求证：A,P ,B 三点共线的充要条件是1a b +=分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.解：先证必要性：若A,P ,B 三点共线，则存在实数λ，使得AP AB λ=u u u r u u u r ,即()OP OA OB OA λ-=-u u u r u u u r u u u r u u u r,∴()1,OP OA OB λλ=-+u u u r u u u r u u u r ∵OP aOA bOB =+u u ur u u u r u u u r ,∴1,a b λλ=-=，∴ 1.a b +=再证充分性：若 1.a b +=则AP OP OA =-u u u r u u u r u u u r =()()1a OA bOB b OB OA -+=-u u u r u u u r u u u r u u u r=bAB u u u r ,∴AP u u u r 与AB u u u r共线，∴A,P,B 三点共线.点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）A. |a |－|b |=|a －b |B. |a |－|b |=|a +b |C.|a |＋|b |=|a －b |D. |a |＋|b |=|a +b |2.设四边形ABCD 中，有1,2DC AB AD BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r则这个四边形是（C ）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形 3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：①AB BC CD ++u u u r u u u r u u u r ， ②DB AC BD ++u u u r u u u r u u u r ， ③OA OC OB CO --+-u u u r u u u r u u u r u u u r 。

热点04 平面向量、复数复数及其运算是新高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算。

一般出现在填空题的第二或者是第三题。

平面向量也是新高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算。

本专题也是学生必会的知识点。

通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量。

【满分技巧】复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目。

牵涉到知识点也是比较少，主要注重基本运算；特别会求复数类题目可采取答案带入式运算。

平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可。

平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可。

平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合。

此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解。

【考查题型】选择题，填空，解答题【常考知识】复数的概念和几何意义、复数的运算、向量的概念和意义、平面向量的线性运算、平面向量的数量积【限时检测】（建议用时：90分钟）一、单选题1．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知O是正三角形ABC内部的一点，230OA OB OC++=，则OAC∆的面积与OAB∆的面积之比是A．32B．23C．2D．1【答案】B试题分析：如下图所示，D 、E 分别是BC 、AC 中点，由230OA OB OC ++=得()2OA OC OB OC +=-+即2OE OD =-，所以2OE OD =，设正三角形的边长为23a ，则OAC ∆底边AC 上的高为13AC h BE a ==，OAB ∆底边AB 上的高为1322AB h BE a ==，所以123221332322ACOACOABAB AC h S a a S AB h a a ∆∆⋅⨯===⋅⨯，故选B .考点：1.向量的几何运算；2.数乘向量的几何意义；3.三角形的面积. 2．（2020·上海高三二模）设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是（） A ．若120z z -=，则12z z = B ．若12z z =，则12z z = C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】D试题分析：对（A ），若120z z -=，则12120,z z z z -==，所以为真；对（B ）若12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，所以12z z =为真； 对（C ）设111222,z a b z a i b i =+=+，若12=z z 22221122a b a b +=+，222211112222,z z a b z z a b ⋅=+⋅=+，所以1122z z z z ⋅=⋅为真；对（D ）若121,z z i ==，则12=z z 为真，而22121,1z z ==-，所以2212z z =为假．故选D ．考点：1.复数求模；2.命题的真假判断与应用．3．（2020·上海杨浦区·高三二模）设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【分析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．【详解】充分性：取12z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立． 故选：B ．.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题． 4．（2020·上海松江区·高三其他模拟）若复数z =52i-，则|z |=（ ）A ．1 BC ．5D ．【答案】B【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数2i -求模可得结果【详解】|z |=5||2i -=5|2i|- 故选：B.【点睛】此题考查的是求复数的模，属于基础题5．（2020·上海高三一模）设12,z z 为复数,则下列命题中一定成立的是( ) A ．如果120z z ->,那么12z z > B ．如果12=z z ,那么12=±z zC ．如果121z z >,那么12z z > D ．如果22120z z +=,那么12 0z z == 【答案】C【分析】根据复数定义,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,取13z i =+,21z i =+时,120z z ->,即31i i +>+,但虚数不能比较大小, ,故A 错误; 对于B,由12=z z ,可得2222+=+a b c d ,不能得到12=±z z ,故B 错误;对于C ,因为121z z >,所以12z z >,故C 正确; 对于D ,取11z =,2z i =,满足22120z z +=,但是12 0z z ≠≠,故D 错误.故选:C.【点睛】本题解题关键是掌握复数定义,在判断时可采用特殊值法检验,考查了分析能力,属于基础题. 6．（2020·上海高三二模）关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根，若这四个根在复平面上对应的点共圆，则m 的取值范围是（ ） A ．{}5 B ．{}1- C ．()0,1 D ．(){}0,11-【答案】D【分析】根据条件分别设四个不同的解所对应的点为ABCD ，讨论根的判别式，根据圆的对称性得到相应判断.【详解】解：由已知x 2﹣4x +5＝0的解为2i ±，设对应的两点分别为A ，B ， 得A （2，1），B （2，﹣1），设x 2+2mx +m ＝0的解所对应的两点分别为C ，D ，记为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），（1）当△＜0，即0＜m ＜1时，220x mx m ++=的根为共轭复数，必有C 、D 关于x 轴对称，又因为A 、B 关于x 轴对称，且显然四点共圆；（2）当△＞0，即m ＞1或m ＜0时，此时C （x 1，0），D （x 2，0），且122x x +＝﹣m ， 故此圆的圆心为（﹣m ，0），半径122x x r -====，又圆心O 1到A 的距离O 1A =， 解得m ＝﹣1，综上：m ∈（0，1）∪{﹣1}. 故选：D.【点睛】本题考查方程根的个数与坐标系内点坐标的对应，考查一元二次方程根的判别式，属于难题.二、填空题7.（2020•上海卷）已知复数z 满足12z i =-（i 为虚数单位），则z =_______8．（2019·上海高考真题）在椭圆22142x y +=上任意一点P ，Q 与P 关于x 轴对称，若有121F P F P ⋅≤，则1F P 与2F Q 的夹角范围为____________【答案】1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】通过坐标表示和121F P F P ⋅≤得到[]21,2y ∈；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：222238cos 322y y y θ-==-+++；利用2y 的范围得到cos θ的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意：()1F，)2F设(),P x y ，(),Q x y -，因为121F P F P ⋅≤，则2221x y -+≤ 与22142x y +=结合 224221y y ⇒--+≤，又y ⎡∈⎣ []21,2y ⇒∈(22221212cos F P F Q F P F Qθ⋅===⋅与22142x y +=结合，消去x ，可得：2222381cos 31,223y y y θ-⎡⎤==-+∈--⎢⎥++⎣⎦所以1arccos ,3θππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦本题正确结果：1arccos ,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，将问题转化为函数值域的求解.9.（2018·上海高考真题）在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则的AE BF ⋅最小值为____． 【答案】-3 【分析】据题意可设E （0，a ），F （0，b ），从而得出|a ﹣b|=2，即a=b +2，或b=a +2，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将a=b +2带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将b=a +2带入，也可求出AE BF ⋅的最小值． 【详解】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a +2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a +2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3． 故答案为：﹣3．【点睛】考查根据点的坐标求两点间的距离，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量坐标的数量积运算，二次函数求最值的公式．10．（2020·上海高三三模）设点O 为ABC 的外心，且3A π=，若(),R AO AB AC αβαβ=+∈，则αβ+的最大值为_________. 【答案】23【分析】利用平面向量线性运算整理可得()1OA OB OC αβαβ+-=+，由此得到1αβ+<；由3A π=可求得cos BOC ∠，设外接圆半径为R ，将所得式子平方后整理可得()213αβαβ+=+，利用基本不等式构造不等关系，即可求得所求最大值. 【详解】()()AO AB AC OB OA OC OA αβαβ=+=-+-()1OA OB OC αβαβ∴+-=+ 10αβ∴+-<，即1αβ+<，1cos 2A =1cos cos 22BOC A ∴∠==-， 设ABC 外接圆半径为R ，则()22222222222212cos R R R R BOC R R R αβαβαβαβαβ+-=++∠=+-，整理可得：()()22321313124αβαβαβαβ+⎛⎫+=+≤+⨯=++ ⎪⎝⎭， 解得：23αβ+≤或2αβ+≥（舍）,当且仅当13时，等号成立， αβ∴+的最大值为23.故答案为：23.【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用平面向量线性运算和平方运算将已知等式化为与外接圆半径有关的形式，进而消去外接圆半径得到变量之间的关系.11．（2020·上海高三一模）已知非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()a b c //+，()//b a c +，设c xa yb =+，,x y ∈R ，则2x y +=______.【答案】－ 3【分析】先根据向量共线把c 用a 和b 表示出来，再结合平面向量基本定理即可求解． 【详解】解：因为非零向量a 、b 、c 两两不平行，且()//a b c +，()//b a c +，(),0a m b c m ∴=+≠， 1c a b m∴=- (),0b n a c n ∴=+≠ 1c b a n∴=-1111m n ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得11m n =-⎧⎨=-⎩c xa yb =+1x y ∴==- 23x y ∴+=-故答案为：3-．【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量共线的合理运用．解题时要认真审题， 属于基础题.12．（2020·上海高三一模）已知向量12AB ⎛= ⎝⎭，3122AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则BAC ∠=________． 【答案】6π【分析】利用平面向量数量积的坐标运算计算出AB 、AC 的夹角的余弦值，进而可求得BAC ∠的大小.【详解】由平面向量的数量积的坐标运算可得3442AB AC ⋅=+=，1AB AC ==， 3cos 2AB AC BAC AB AC⋅∴∠==⋅ 0BAC π≤∠≤，6BAC π∴∠=．故答案为：6π 【点评】本题考查了向量坐标的数量积运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．13．（2020·上海崇明区·高三二模）在ABC 中，()()3cos ,cos ,cos ,sin AB x x AC x x ==，则ABC面积的最大值是____________ 【答案】34【分析】计算113sin 22624ABC S x π⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭△，得到答案. 【详解】()22211sin ,1cos,22ABC S AB AC AB AC AB ACAB AC=⋅=⋅-△()2221AB AC AB AC=⋅-⋅=211133cos sin cos sin 222624x x x x π⎛⎫=-=--≤ ⎪⎝⎭， 当sin 216x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时等号成立.此时262x ππ-=-，即6x π=-时，满足题意. 故答案为：34. 【点睛】本题考查了三角形面积的最值，向量运算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.14．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的面积为1，点P 满足324AB BC CA AP ++=，则PBC 的面积等于__________． 【答案】12【分析】取BC 的中点D ，根据向量共线定理可得,,A P D 共线，从而得到1122PBC ABC S S ∆∆==． 【详解】取BC 的中点D ，1()2AD AC AB ∴=+． 432()()AP AB BC CA AB BC CA AB BC AB AC AB =++=+++++=+，1()4AP AC AB ∴=+∴12AP AD =，即,,A P D 共线．1122PBC ABC S S ∆∆==．故答案为：12．【点睛】本题主要考查向量共线定理，中点公式的向量式的应用以及三角形面积的计算，属于基础题．15．（2020·上海大学附属中学高三三模）设11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y 是平面曲线2226x y x y +=-上任意三点，则12A x y =-212332x y x y x y +-的最小值为________【答案】-40【分析】依题意看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，根据点所在曲线及向量数量积的几何意义计算可得；【详解】解：因为2226x y x y +=-，所以()()221310x y -++=，该曲线表示以()1,3-为圆心，以10为半径的圆．12212332A x y x y x y x y =-+-，可以看做向量()22,a x y =与()33,b y x =-的数量积，()22,a x y =与()11,c y x =-的数量积之和，因为点22(,)x y 在2226x y x y +=-上，点()33,y x -在2226x y y x +=+，点()11,y x -在2226x y y x +=--上，结合向量的几何意义，可知最小值为()()210102101040-+-=-，即()()()()2,64,22,62,440--+-=-故答案为：40-【点睛】本题考查向量数量积的几何意义的应用，属于中档题.16．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则复数z 的虚部为________ 【答案】1【分析】求解z 再得出虚部即可. 【详解】因为i 1i z ⋅=-+，故1111i iz i i i i i-+-==+=+=+，故虚部为1. 故答案为：1【点睛】本题主要考查了复数的运算与虚部的概念，属于基础题. 17．（2020·上海高三一模）复数52i -的共轭复数是___________. 【答案】2i -+【分析】由复数代数形式的除法运算化简复数52i -，求出z 即可． 【详解】解：55(2)5(2)22(2)(2)5i i i i i i ----===----+--， ∴复数52i -的共轭复数是2i -+ 故答案为2i -+【点睛】本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础题．18．（2020·上海大学附属中学高三三模）已知复数22(13)(3)(12)i i z i +-=-，则||z =______【答案】【分析】根据复数乘法与除法运算法则化简，再根据共轭复数概念以及模的定义求解.【详解】22(13)(3)(13)(68)26(12)34i i i i z i i i +-++===-----|||26|z i ∴=-+==故答案为：【点睛】本题考查复数乘法与除法运算、共轭复数概念以及模的定义关系，考查基本分析求解能力，属基础题.19．（2020·上海高三其他模拟）若复数z 满足i 12i01z+=，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________【答案】1-【分析】根据行列式得到(12)0iz i -+=，化简得到复数的虚部.【详解】i 12i 01z +=即12(12)0,2iiz i z i i+-+===-，z 的虚部为1-故答案为1-【点睛】本题考查了行列式的计算，复数的虚部，意在考查学生的计算能力.20．（2020·上海市建平中学高三月考）设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为________ 【答案】32-【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=），将原方程变为()()222220ax ax bx bx i +++-=，则2220ax ax ++=①且220bx bx -=②；再对b 分类讨论可得；【详解】解：设z a bi =+，（,a b ∈R 且221a b +=）则原方程2220zx zx ++=变为()()222220ax ax bx bx i +++-= 所以2220ax ax ++=，①且220bx bx -=，②；（1）若0b =，则21a =解得1a =±，当1a =时①无实数解，舍去； 从而1a =-，此时13x =-±，故1z =-满足条件；（2）若0b ≠，由②知，0x =或2x =，显然0x =不满足，故2x =，代入①得14a =-，154b =± 所以11544z =-±综上满足条件的所以复数的和为1151153144442⎛⎫⎛⎫-+-++--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为：32- 【点睛】本题考查复数的运算，复数相等的充要条件的应用，属于中档题.21．（2020·上海高三其他模拟）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，使得关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根，则不同的选取方法有________种 【答案】3【分析】关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，即△＜0，即a ＜b ．用列举法求得结果即可． 【详解】∵关于x 的方程x 2+2ax +b 2＝0有两个虚根，∴△＝4a 2﹣4b 2＜0，∴a ＜b ． 所有的（a ，b ）中满足a ＜b 的（a ，b ）共有（1，2）、（1，3）、（2，3），共计3个， 故答案为3．【点睛】本题考查列举法表示满足条件的事件，考查了实系数方程虚根的问题，属于中档题．22．（2020·上海市七宝中学高三其他模拟）已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.【答案】1:2:10【分析】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c【详解】利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i ac i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210ba c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10【点睛】本题主要考查了实系数一元二次方程的虚根成对的原理，互为共轭复数，考查了韦达定理，属于基础题.23．（2020·上海高三其他模拟）设复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，则pq =________【答案】20-【分析】由题意复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，利用一元二次方程根与系数的关系求出p q 、的值，可得答案.【详解】解：由复数2i +是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2-i 是实系数一元二次方程20x px q ++=的一个虚数根，故2+2i i p +-=-，(2+)(2)i i q -=， 故4p =-，5q =，故20pq =-， 故答案为：20-. 【点睛】本题主要考查实系数的一元二次方程虚根成对定理，一元二次方程根与系数的关系，属于基础题型.三、解答题24．（2018·上海市建平中学高三月考）如图所示，PAQ ∠是某海湾旅游区的一角，其中120PAQ ∠=，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸AP 和AQ 上分别修建观光长廊AB 和AC ，其中AB 是宽长廊，造价是800元/米，AC 是窄长廊，造价是400元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段BC 上靠近点B 的三等分点D 处建一个观光平台，并建水上直线通道AD （平台大小忽略不计），水上通道的造价是1000元/米．(1) 若规划在三角形ABC 区域内开发水上游乐项目，要求ABC 的面积最大，那么AB 和AC 的长度分别为多少米？(2) 在(1)的条件下，建直线通道AD 还需要多少钱？【答案】（1）AB 和AC 的长度分别为750米和1500米（2）50万元试题分析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=，即23000x y +=，表示面积,利用基本不等式可得结论；（2）利用向量方法，将AD 表示为2133AD AB AC =+，根据向量的数量积与模长的关系可得结果.试题解析：（1）设AB 长为x 米，AC 长为y 米，依题意得8004001200000x y +=， 即23000x y +=，1sin1202ABC S x y ∆=⋅⋅ 34x y =⋅⋅ 32x y =⋅ 23282x y +⎫≤⎪⎝⎭=28125032m 当且仅当2x y =，即750,1500x y ==时等号成立，所以当ABC 的面积最大时，AB 和AC 的长度分别为750米和1500米 （2）在(1)的条件下，因为750,1500AB m AC m ==． 由2133AD AB AC =+ 得222133AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22441999AB AB AC AC =+⋅+224411750750150015009929⎛⎫=⨯+⨯⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭ 250000= 500AD ∴=，1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元． 解法二：在ABC ∆中，cos120BC =1500cos120== 在ABD ∆中，222cos 2AB BC AC BAB AC+-=⋅2227501500+-=7=在ABD ∆中，AD=500 1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．解法三：以A 为原点，以AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()750,0B()1500cos120,1500sin120C ,即(C -，设()00,D x y由2CD DB =，求得00250{x y == 所以(D所以，AD =500=1000500500000⨯=元所以，建水上通道AD 还需要50万元．25．（2020·上海高三一模）在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位. （1）112z i =+，234z i =-，计算12z z ⋅与12OZ OZ ⋅；（2）设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d ∈R ），求证：1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，并指出向量1OZ 、2OZ 满足什么条件时该不等式取等号.【答案】（1）12112z z i ⋅=+，125OZ OZ ⋅=-；（2）证明详见解析，当ab cd =时.【分析】（1）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，可知()11,2OZ =，()23,4OZ =-，然后进行数量积的坐标运算即可；（2）根据复数的乘法运算法则进行运算即可求出12z z ⋅，以及复数的几何意义表示出1OZ 、2OZ 计算其数量积，利用作差法比较221212,||z z OZ OZ ⋅⋅的大小，并得出何时取等号. 【详解】解：（1）()()121234112z z i i i ⋅=+⋅-=+()11,2OZ =，()23,4OZ =-所以125OZ OZ ⋅=- 证明（2）1z a bi =+，2z c di =+()()12ac bd ad z i z bc =-++∴⋅()()22212z z ac bd ad bc ∴⋅=-++()1,OZ a b =，()2,OZ c d =12OZ OZ ac bd ∴⋅=+，()2212OZ OZ ac bd ⋅=+()()()222221212||z z OZ OZ ac bd ad bc ac bd ∴-⋅-⋅=-+++ ()()2240ad bc ac bd ad cb =--=+⋅≥所以1212OZ OZ z z ⋅≤⋅，当且仅当ad cb =时取“=”，此时12OZ OZ .【点睛】本题考查了复数的乘法运算法则，向量坐标的数量积运算，复数的模长的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．26．（2020·上海市建平中学高三月考）已知曲线22:136x y C -=，Q 为曲线C 上一动点，过Q 作两条渐近线的垂线，垂足分别是1P 和2P .（1）当Q 运动到(3,时，求12QP QP ⋅的值；（2）设直线l （不与x 轴垂直）与曲线C 交于M 、N 两点，与x 轴正半轴交于T 点，与y 轴交于S 点，若SM MT λ=，SN NT μ=，且1λμ+=，求证T 为定点. 【答案】（1）23；（2）证明见解析； 【分析】（1）确定两条渐近线方程，求出点Q 到两条渐近线的距离，再计算1QP 与2QP 夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式SM MT λ=，SN NT μ=，将,λμ表示出来，代入1λμ+=化简即可证得T 为定点. 【详解】解：（1）由曲线22:136x y C -=，得渐近线方程为20x y ±-=，作示意图如图所示：设1POx θ∠=，tan 2θ=2222cos sin cos 2cos sin θθθθθ-=+221tan 1tan θθ-=+13=- 则121cos cos 23PQP θ∠=-= ， 又1QP =|3223|3-32233-=，2QP =|3223|3--32233+=12QP QP ⋅1212cos QP QP PQP =⋅⋅∠181212333-=⋅=. （2）设1122(,),(,)M x y N x y ，(,0),(0,)T m S n ，0m >，设直线l 的斜率为k ，则:()l y k x m =-，又22136x y -=，得22222(2)260k x k mx k m -+--=得212222k m x x k +=--，2212262k m x x k+=-- 由SM MT λ=，则1111(,)(,)x y n m x y λ-=--，即1111()()x m x y n y λλ=-⎧⎨-=-⎩，得11x m x λ=- ，同理，由22x SN NT m x μμ=⇒=-，则1212x x m x m x λμ+=+--121221212()21()m x x x x m x x m x x +-==-++得212122()3m x x x x m +-=，则222222223(6)22m k m k m m k k⋅⋅+-+=--， 得29m =，又0m >，得3m =，即T 为定点(3,0).【点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，向量数量积的定义，设而不解，根与系数的关系，学生的计算能力,是一道综合应用能力较强的题目.27．（2020·上海高三其他模拟）已知ABC 的角ABC 的对边分别为a 、b 、c ，设向量(),m a b =，()sin ,sin n B A =，()2,2p b a =--．（1）若//m n ，判断ABC 的形状；（2）若m p ⊥，边长2c =，60C ︒∠=，求ABC 的面积． 【答案】（1）等腰三角形；（2【分析】（1）根据//m n ，利用向量平行的坐标表示，可直接根据边的关系，判断三角形的形状； （2）根据向量垂直的数量积的坐标表示可得ab a b =+，再根据余弦定理()22243a b ab a b ab =+-=+-，两式联立可直接求得ab ，并求得三角形的面积.【详解】 （1）若//m n ，则sin sin 0a A b B -=，即220a b -=， 解得：a b =，ABC ∆是等腰三角形.（2）若m p ⊥，则()()220a b b a -+-=， 解得：ab a b =+，根据余弦定理可得：2222cos60c a b ab =+-， 即()22243a b ab a b ab =+-=+-， 即()2340ab ab --=()()140ab ab +-=解得：1ab =-（舍）或4ab = ，113sin 43222ABC S ab C ∆==⨯⨯=， 所以ABC ∆的面积是3.【点睛】本题考查向量和解三角形的综合问题，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.28．（2020·上海高三二模）在平面直角坐标系中，A 、B 分别为椭圆22:12x y Γ+=的上、下顶点，若动直线l 过点()()0,1P b b >，且与椭圆Γ相交于C 、D 两个不同点（直线l 与y 轴不重合，且C 、D 两点在y 轴右侧，C 在D 的上方），直线AD 与BC 相交于点Q ．（1）设Γ的两焦点为1F 、2F ，求12F AF ∠的值; （2）若3b =，且32PD PC =，求点Q 的横坐标； （3）是否存在这样的点P ，使得点Q 的纵坐标恒为13？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2π（2）23Q x =；（3）(0,3)P 【分析】（1）由椭圆方程易知∠OAF 2＝45°，结合对称性可得∠F 1AF 2＝90°；（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），根据已知条件可求得直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1，联立两直线方程即可得到点Q 的横坐标；（3）设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1），与椭圆方程联立，可得()2121212b kx x x x b-=+，直线BC的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+，进而得到点Q 的纵坐标，由此建立方程化简即可得出结论. 【详解】解：（1）由椭圆Γ的方程知，F 1（﹣1，0），F 2（1，0），A （0，1）， 则∠OAF 2＝45°， ∴∠F 1AF 2＝90°；（2）若b ＝3，设C 、D 的两点坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， ∵32PD PC =， ∴()()22113,3,32x y x y -=-，即2121333,222x x y y ==-， 而C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）均在2212x y +=上，代入得()2211221122991242x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得179y =， ∴213y =-，分别代入Γ解得，1284,93x x ==， ∴直线BC 的方程为y ＝2x ﹣1，直线AD 的方程为y ＝﹣x +1， 联立211y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得23x =，∴Q 点的横坐标为23； （3）假设存在这样的点P ，设直线l 的方程为y ＝kx +b （k ＜0，b ＞1）， 点C ，D 的坐标为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， 联立2222y kx bx y =+⎧⎨+=⎩，得（2k 2+1）x 2+4kbx +2b 2﹣2＝0， 由△＝16k 2b 2﹣8（2k 2+1）（b 2﹣1）＞0，得2212b k ->，由12221224212221kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，可得()2121212b kx x x x b -=+， 直线BC 的方程为1111y y x x +=-，直线AD 的方程为2211y y x x -=+， 而x 1y 2＝kx 1x 2+bx 1，x 2y 1＝kx 1x 2+bx 2，联立11221111y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，得()()()()()()()()12212112122121121221122x y x y x x kx x b x x x x y x y x y x x b x x x x ++-+++-==-++-++＝()()()()122122112113x x b x x b x x b x x b ++-==-++， 则b ＝3＞1，因此，存在点P （0，3），使得点Q 的纵坐标恒为13. 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定点定值问题，考查化简运算能力，属于较难题目.29．（2020·上海杨浦区·高三二模）已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N 、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值； （2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==，求证：λμ+为定值. 【答案】（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析； 【分析】（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ； （2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅可得结论；（3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论．【详解】（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412kk k-=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++ 122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240b b k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解．30．（2020·上海高三二模）已知直线l ：y kx m =+和椭圆Γ：22142x y+=相交于点()11,A x y ，()22,B x y（1）当直线l 过椭圆Γ的左焦点和上顶点时，求直线l 的方程 （2）点)2,1C在Γ上，若0m =，求ABC 面积的最大值：（3）如果原点O 到直线l 23AOB 为直角三角形. 【答案】（1） 2y x =+ （2）22（3）证明见解析 【分析】（1）由椭圆方程得左焦点和上顶点坐标，代入直线方程可得结果；（2）联立直线与椭圆方程可得,A B 的坐标，可得弦长||AB ，求出点C 到直线AB 的距离。

平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。

复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。

高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。

2019-2020年高中数学复习讲义第四章平面向量与复数【知识图解】Ⅰ.平面向量知识结构表Ⅱ.复数的知识结构表【方法点拨】由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。

所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。

从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。

复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。

1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问题时注意用数形结合思想的应用.2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合.3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决.4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法.第1课 向量的概念及基本运算【考点导读】1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义.3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】1.出下列命题：①若，则；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，则；④的充要条件是且；⑤若，，则。

其中，正确命题材的序号是②③2. 化简得3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若＝a ，＝b ，则＝，＝ (用a 、b 表示)【范例导析】例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：.分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由和可得， （1） 由和可得， （2）（1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++ （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴，， 代入（3）式得，点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形.例2.已知不共线，,求证：A,P,B 三点共线的充要条件是 分析：证明三点共线可以通过向量共线来证明.解：先证必要性：若A,P,B 三点共线，则存在实数，使得,即,∴∵,∴，∴ 再证充分性：若则=()()1a OA bOB b OB OA -+=-=,∴例1与共线，∴A,P,B 三点共线.点拨:向量共线定理是向量知识中的一个基本定理,通常可以证明三点共线、直线平行等问题. 【反馈练习】1．已知向量a 和b 反向，则下列等式成立的是（C ）A. |a |－|b |=|a －b |B. |a |－|b |=|a +b |C.|a |＋|b |=|a －b |D. |a |＋|b |=|a +b |2.设四边形ABCD 中，有则这个四边形是（C ）A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形 3.设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简： ①， ②， ③。

复数和平面向量知识点总结一、复数的定义和性质1.1 复数的定义复数是形如 a+bi 的数，其中 a 和 b 是实数，i 是虚数单位，满足 i²=-1。

1.2 复数的加减法复数的加减法与实数类似，直接对应实部和虚部进行运算。

1.3 复数的乘法复数的乘法满足交换律，结合律和分配律。

(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci - bd = (ac-bd) + (ad+bc)i1.4 共轭复数若 z=a+bi，则其共轭复数为 z* =a-bi。

共轭复数的性质是 z*z = |z|² = a² + b²，其中 |z| 表示z 的模。

1.5 复数的除法复数的除法可以借助共轭复数进行运算。

1.6 复数的几何意义复平面上，复数 a+bi 对应于坐标为 (a, b) 的点，即复数与点的对应关系。

复数的模 |z| 对应于复平面上点到原点的距离，幅角 arg(z) 对应于复平面上与正实轴的夹角。

二、平面向量的定义和性质2.1 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，可以表示为有向线段，通常用 (x, y) 表示。

其中 x 和 y是有向线段在 x 轴和 y 轴上的投影长度。

2.2 平面向量的加法平面向量的加法采用平行四边形法则，也可以通过坐标表示进行运算。

2.3 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为a•b = |a||b|cosθ，其中 |a| 和 |b| 是向量的模，θ 是 a 和 b 的夹角。

2.4 平面向量的叉乘平面向量的叉乘定义为a×b = |a||b|sinθn，其中 n 是向量 a 和 b 所在平面上的法向量。

2.5 平面向量的应用平面向量广泛应用于几何、物理等领域，包括力、速度、位移等概念。

三、复数与平面向量的关系3.1 复数与平面向量的对应关系复数 z=a+bi 可以看作是平面向量 (a, b)，二者之间存在一一对应的关系。

3.2 复数与平面向量的加法和乘法复数的加法和乘法与平面向量的加法和数量积类似，可以通过坐标表示进行运算。

平面向量与复数的关系平面向量和复数在数学中都有重要的地位，它们之间存在着密切的联系和相互转化。

本文将探讨平面向量和复数之间的关系，并展示它们在几何、代数和应用方面的应用。

一、平面向量的表示与复数形式的转化在平面几何中，平面向量通常采用箭头表示法，即用有向线段表示向量，线段的方向代表向量的方向，线段的长度代表向量的大小。

而复数则可以用实数部分和虚数部分组成，形式上通常表示为 a + bi，其中 a 为实数部分，b 为虚数部分。

平面向量与复数之间的联系可以通过向量的坐标表示和复数的实部与虚部的对应来实现。

假设平面向量 A 的坐标表示为 (x, y)，则可以将其转化为复数的形式 A = x + yi。

反之，已知一个复数 w = a + bi，则可以将其转化为平面向量的表示形式 (a, b)。

二、平面向量的运算与复数的运算平面向量有加法和数量乘法两种运算，而复数也有加法和乘法两种运算。

这使得平面向量的运算与复数的运算之间出现了明显的相似性，并且可以通过复数的运算规则来推导和解决平面向量的运算问题。

1. 平面向量的加法与复数的加法平面向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点连接起来，形成一个平行四边形，向量的和就是对角线的向量。

复数的加法也可以用几何方式解释，即将两个复数在复平面上表示为向量，将它们的起点连接起来，所得线段为它们的和。

2. 平面向量的数量乘法与复数的乘法平面向量的数量乘法是将向量的长度与一个实数相乘，结果是一个新的向量，方向与原向量相同或相反。

复数的乘法也可以用几何方式解释，即将两个复数在复平面上表示为向量，将它们的长度相乘，同时将它们的辐角相加，所得结果即为它们的乘积。

三、平面向量与复数的几何应用平面向量和复数在几何学中都有广泛的应用，它们可以用于解决平面上的几何问题，如平移、旋转和缩放等。

1. 平面向量的应用平面向量可以表示位移，因此可以用于平移和旋转问题。

例如，对于平面上的一个点 A，设向量 OA 表示 A 的位置向量，若将 A 沿向量u 平移，则新位置点 B 的位置向量 OB = OA + u。

第四章平面向量与复数第一节平面向量的基本概念及线性运算[考纲传真]1．了解向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3.理解向量的几何表示． 4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ．1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( ) (2)向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( )(3)a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的充要条件．( ) (4)若O 是△ABC 的重心，则OA →＋OB →＋OC →＝0.( )[解析] (1)中，“向量”和“有向线段”不同，向量只有两个要素：大小、方向；而有向线段有三个要素：起点、方向、长度．(1)不正确．(2)A ，B ，C ，D 共线或AB∥CD，(2)错．(3)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b D ⇒/a ＝λb ，但a ＝λb ⇒a ∥b ， ∴a ∥b 是a ＝λb (λ∈R )的必要不充分条件．(3)错误． (4)根据平行四边形法则，(4)正确． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |[解析]a |a |表示与a 同向的单位向量，b|b |表示与b 同向的单位向量，只要a 与b 同向，就有a |a |＝b|b |，观察选择项易知C 满足题意．[答案] C3．(2015·聊城二模)在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b ，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →＝( ) A.23b ＋13c B.53c －23b C.23b －13cD.13b ＋23c [解析] 如图，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝c ＋23(b －c )＝23b ＋13c .[答案] A4．(2014·福建高考)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OA →＋OB →＋OC →＋OD →等于( )A . OM →B ．2OM →C ．3OM →D ．4OM →[解析] 因为点M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，所以点M 是AC 和BD 的中点，由平行四边形法则知OA →＋OC →＝2OM →，OB →＋OD →＝2OM →，故OA →＋OC →＋OB →＋OD →＝4OM →. [答案] D5．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO →，则λ＝________． [解析] 由向量加法的法则，得AB →＋AD →＝AC →. 又O 是AC 的中点， ∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO →， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO →，∴λ＝2. [答案] 2考向1 平面向量的有关概念【典例1】 给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；②若AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形； ③若a 与b 同向，且|a |＞|b |，则a ＞b ； ④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①不正确．|a |＝|b |但a ，b 的方向不确定，故a ，b 不一定相等；②不正确．因为AB →＝DC →，A ，B ，C ，D 可能在同一直线上，所以ABCD 不一定是四边形． ③不正确．两向量不能比较大小．④不正确．当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．[答案] D 【规律方法】1．(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为④是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法．2．准确理解向量的基本概念是解决这类题目的关键．(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性．(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关．(3)a|a |是a 方向上的单位向量．【变式训练1】 给出下列四个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；③设a 0是单位向量，若a ∥a 0，且|a |＝1，则a ＝a 0； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中假命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ①不正确．两个向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点．②正确．根据向量相等的定义判定．③不正确．a 与a 0均是单位向量，a ＝a 0或a ＝－a 0. ④不正确．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ，b 同向．[答案] C考向2 平面向量的线性运算(高频考点)命题视角 平面向量的加、减法及数乘运算，是高考考查向量的热点，主要以客观题的形式呈现．主要命题角度：(1)用已知向量表示未知向量；(2)求向量运算中参数的取值；(3)根据向量的三角形法则或平行四边形法则进行合成与分解．【典例2】 (1)(2014·课标全国卷Ⅰ)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A .BC →B .12AD → C .AD →D .12BC →(2)(2015·威海质检)已知D 为三角形ABC 边BC 的中点，点P 满足PA →＋BP →＋CP →＝0，AP →＝λPD →，则实数λ的值为________．[思路点拨] (1)D ，E ，F 分别为△ABC 三边的中点，根据向量的三角形法则和中点公式可化简．(2)根据共线向量与平行四边形法则确定参数λ的值． [解析] (1)如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →.(2)∵D 是BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →. 由PA →＋BP →＋CP →＝0，得BA →＝PC →. 又AP →＝λPD →，∴点P 是以AB ，AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点．因此AP →＝AB →＋AC →＝2AD →＝－2PD →. 所以λ＝－2. [答案] (1)C (2)－2 【通关锦囊】1．第(1)题的关键是利用向量AB →，AC →表示向量EB →＋FC →；第(2)题在于挖掘条件，判定点P 的位置(平行四边形的第四个顶点)．2．求解平面向量线性运算有关问题的总体原则是数形结合：(1)根据图形的几何直观，尽可能把向量转化到三角形或平行四边形中，利用向量的运算法则进行合成分解；(2)充分利用三角形的中位线、相似的有关比例性质，把未知向量转化为已知向量，最终达到目标．【变式训练2】 (2013·江苏高考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为______．[解析] 由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →， 于是λ1＝－16，λ2＝23，因此λ1＋λ2＝12.[答案] 12考向3 共线向量定理的应用【典例3】 设两个非零向量a 与b 不共线． (1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． [解] (1)∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b . 又a ，b 是两不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0.∴k ＝±1. 【规律方法】1．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b ＝λa .其作用是既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数，要注意待定系数法和方程思想的运用．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．【变式训练3】 (1)(2015·日照质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)设a ，b 是两个不共线向量，AB →＝2a ＋m b ，BC →＝a ＋b ，CD →＝a －2b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数m ＝________．[解析] (1)若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )； 若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0， 因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件． (2)∵BD →＝BC →＋CD →＝(a ＋b )＋(a －2b )＝2a －b ， 又A ，B ，D 三点共线． ∴存在常数λ，使AB →＝λBD →，则2a ＋m b ＝λ(2a －b )，即2(1－λ)a ＋(m ＋λ)b ＝0， 又a 与b 不共线．∴1－λ＝0且m ＋λ＝0，解之得m ＝－1. [答案] (1)A (2)－1掌握1条规律 一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量．掌握3个结论 1.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)． 2.OA→＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 3.若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△AB C 的重心．做到3个防范 1.向量共线的充要条件中要注意“a ≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个． 2.进行向量减法运算时，一定将向量平移至同一起点． 3.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．易错辨析之5忽视向量共线的条件，错求参数取值(2015·合肥模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 共线反向，则实数λ的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－12[错解] 由于c 与d 共线，则存在k ∈R ，使c ＝k d . 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理，得(λ－k )a ＝(2λk －k －1)b ， 又a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－k ＝0，2λk －k －1＝0.消去k ，得2λ2－λ－1＝0. 解之得λ＝1或λ＝－12，选C.[答案] C 【智慧心语】错因分析：(1)忽视向量c 与d 反向，从而漏掉k 的范围限制． (2)忘记λ与k 的关系，忽视k 对λ的制约作用导致增解． 防范措施：(1)认真审题，挖掘题目的隐含限制条件，避免产生增解． (2)做出答案后要注意检验，养成检验反思的习惯．[正解] 由于c 与d 共线反向，则存在实数k 使c ＝k d (k <0)， 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－12.又因为k <0，则λ＝k <0. ∴λ＝－12，λ＝1(舍去)．[答案] B【类题通关】 (2015·青岛质检)已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向[解析] ∵c ∥d ，∴c ＝λd ，即k a ＋b ＝λ(a －b )＝λa －λb ， 又a ，b 不共线．∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，－λ＝1，∴k ＝λ＝－1. [答案] D课后限时自测 [A 级 基础达标练]一、选择题1．如图4­1­1，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b [解析] 连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点， 得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .[答案] D2．(2015·淄博调研)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，并且a ＋b 与c 共线，b ＋c 与a 共线，那么a ＋b ＋c 等于( )A ．aB ．bC ．cD ．0[解析] 设a ＋b ＝λc ，b ＋c ＝μa ，则a －c ＝λc －μa ， 所以(1＋μ)a ＝(1＋λ)c ，因为a ，c 不共线，所以μ＝λ＝－1， 所以a ＋b ＋c ＝0. [答案] D3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a ，b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |； ②对任意两向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →＝0；④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0.A ．①②③B ．②④C ．②③④D ．②③[解析] ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |. ∴该命题不成立．②真命题．这是因为(a －b )＋(b －a )＝0， ∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB →＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立． [答案] D4．(2015·临沂调研)设M 是△ABC 所在平面上一点，且MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，则|MD →||BM →|的值为( )A .13B .12C ．1D ．2[解析] 因为MB →＋32MA →＋32MC →＝0，D 是AC 的中点，所以MB →＝－32(MA →＋MC →)＝－3MD →.所以|MB →|＝3|MD →|，即|MD →||BM →|＝13.[答案] A5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ等于( )A ．1B .12C .13D .23[解析] AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →，2AO →＝AB →＋13BC →，即AO →＝12AB →＋16BC →.故λ＋μ＝12＋16＝23.[答案] D 二、填空题6．(2014·课标全国卷Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________．[解析] ∵AO →＝12(AB →＋AC →)，∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →〉＝90°. [答案] 90°7．已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA →＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________． [解析] 由OA →＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 的重心， 又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°. [答案] 60°8．(2015·德州质检)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝________．[解析] 如图所示，以AB ，AC 为邻边构造平行四边形ABDC ，且AD ，BC 相交于一点M.∵AB →＋AC →＝AD →，AB →－AC →＝CB →，且|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， ∴|AD →|＝|CB →|，则四边形ABDC 是矩形． 由BC →2＝16，得|BC →|＝4， ∴|AM →|＝12|AD →|＝12|BC →|＝2.[答案] 2 三、解答题9．设两个非零向量e 1和e 2不共线．(1)如果AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， 求证：A ，C ，D 三点共线；(2)如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1－3e 2，CD →＝2e 1－k e 2，且A ，C ，D 三点共线，求k 的值． [解] (1)∵AB →＝e 1－e 2，BC →＝3e 1＋2e 2，CD →＝－8e 1－2e 2， ∴AC →＝AB →＋BC →＝4e 1＋e 2＝－12(－8e 1－2e 2)＝－12CD →，∴AC →与CD →共线．又∵AC →与CD →有公共点C ，∴A ，C ，D 三点共线． (2)AC →＝AB →＋BC →＝(e 1＋e 2)＋(2e 1－3e 2)＝3e 1－2e 2， ∵A ，C ，D 三点共线，∴AC →与CD →共线，从而存在实数λ使得AC →＝λCD →， 则3e 1－2e 2＝λ(2e 1－k e 2)＝2λe 1－λk e 2，得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2λ，－2＝－λk ，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.10．如图4­1­2所示，已知△OCB 中，A 是边BC 的中点，OD →＝23OB →，DC 和OA 交于点E ，设OA →＝a ，OB →＝b .(1)用a 和b 表示向量OC →，DC →； (2)若OE →＝λOA →，求实数λ的值．[解] (1)由题意知，A 是BC 的中点，且OD →＝23OB →，由平行四边形法则，得OB →＋OC →＝2OA →. ∴OC →＝2OA →－OB →＝2a －b ， DC →＝OC →－OD →＝(2a －b )－23b ＝2a －53b .(2)如题图，EC →∥DC →.∵EC →＝OC →－OE →＝(2a －b )－λa ＝(2－λ)a －b ，DC →＝2a －53b ，∴2－λ2＝－1－53，∴λ＝45. [B 级 能力提升练]1．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM →＝AB →＋3AC →，则△ABM 与△ABC 的面积比为( )A .32B .35C ．3D ．2[解析] 设AB 的中点为D ，由5AM →＝AB →＋3AC →，得3AM →－3AC →＝2AD →－2AM →，即3CM →＝2MD →. 如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD →＝35CD →，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.[答案] B图4-1-22．(2015·青岛模拟)在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值是________．[解析] 如图所示，因AN →＝12NC →，所以AC →＝3AN →，则AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，又点B ，P ，N 三点共线， 所以m ＋23＝1，故m ＝13.[答案] 133．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →|AB→|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心． [解] 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC →|，则AM →，AN →都是单位向量，∴|AM →|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC. ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P的轨迹是射线AQ，且AQ通过△ABC的内心．第二节平面向量的基本定理及坐标运算[考纲传真]1．了解平面向量基本定理及其意义． 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．向量e1，e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →| 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0．1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC 中，AB →，AC →可以作为基底．( )(2)在△ABC 中，设AB →＝a ，BC →＝b ，则向量a 与b 的夹角为∠ABC .( ) (3)若a ，b 不共线，且λ1a ＋μ1b ＝λ2a ＋μ2b ，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件可以表示成x 1x 2＝y 1y 2.( ) [解析] 显然(1)，(3)是正确的．(2)中，求两向量的夹角时，两向量起点应相同，向量a 与b 的夹角为π－∠ABC ，(2)因为当b ＝(0，0)时，有a ∥b ，但此时不能写成x 1x 2＝y 1y 2的形式，(4)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A .⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45B .⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35C .⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D .⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 [解析] AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.[答案] A3．(2014·福建高考)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3)[解析] 由题意知，A 选项中e 1＝0，C 、D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B (事实上，a ＝(3，2)＝2e 1＋e 2)．[答案] B4．已知平面向量a ＝(1，－2)，b ＝(4，m )，且a ⊥b ，则向量5a －3b ＝( ) A ．(－7，－16) B ．(－7，－34) C ．(－7，－4)D ．(－7，14)[解析] ∵a ＝(1，－2)，b ＝(4，m )，a ⊥b ， ∴a·b ＝1×4－2m ＝0⇒m ＝2，∴5a －3b ＝5(1，－2)－3(4，2)＝(－7，－16)，故选A. [答案] A5．(2015·济南质检)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(2，0)，c ＝(1，－1)，若向量(λa ＋b )∥c ，则实数λ＝________．[解析] 由于λa ＋b ＝(－λ＋2，2λ)， 由题设可得，－λ＋2＝－2λ，解得λ＝－2. [答案] －2考向1 平面向量基本定理及其应用【典例1】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．[解析] 选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →， 又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →， 于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43.[答案] 43【规律方法】1．利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．【变式训练1】 如图4­2­1所示，在四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于点O ，设AD →＝a ，AB →＝b ，若AB →＝2DC →，则AO →＝________(用向量a 和b 表示)．[解析] 由AB →＝2DC →知，AB ∥DC 且|AB →|＝2|DC →|， 从而|BO →|＝2|OD →|.∴BO →＝23BD →＝23(AD →－AB →)＝23(a －b )，∴AO →＝AB →＋BO →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .[答案] 23a ＋13b考向2 平面向量的坐标运算【典例2】 已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c . (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n .[解] 易求a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24) ＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )及m b ＋n c ＝a ， 得(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. 【规律方法】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则进行．(1)若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标；(2)两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等，此时注意方程思想的应用．2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．图4­2-1【变式训练2】 (2015·莱芜调研)已知向量a ＝(6，4)，b ＝(0，2)，OC →＝a ＋λb ，O 为坐标原点，若点C 在函数y ＝sin πx12的图象上，则实数λ的值为________．[解析] OC →＝a ＋λb ＝(6，4)＋λ(0，2)＝(6，4＋2λ)． ∴点C 的坐标为(6，4＋2λ)． 又点C 在函数y ＝sin πx12的图象上，则4＋2λ＝sin π2＝1，∴λ＝－32.[答案] －32考向3 平面向量共线的坐标表示(高频考点)命题视角 平面向量共线的坐标表示呈前启后，是高考命题的亮点，主要以客观题的形式呈现．主要命题角度：(1)求点或向量的坐标；(2)利用向量共线求某些字母参数的值；(3)作为载体与相关知识交汇命题．【典例3】 (1)(2014·陕西高考)设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cosθ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________．(2)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________． [思路点拨] (1)根据a ∥b ，得三角函数关系式，化为切函数求值．(2)设a 的坐标，依据平行与向量的模，列方程求解．[解析] (1)因为a ∥b ，所以sin 2θ＝cos 2θ，2sin θcos θ＝cos 2θ. 因为0＜θ＜π2，所以cos θ＞0，得2sin θ＝cos θ，tan θ＝12.(2)设向量a ＝(m ，n )，则a ＋b ＝(m ＋2，n －1)， ∵|a ＋b |＝1，且a ＋b 平行于x 轴，∴⎩⎪⎨⎪⎧（m ＋2）2＋（n －1）2＝1，n －1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝1.因此a ＝(－1，1)或a ＝(－3，1)．[答案] (1)12 (2)(－1，1)或(－3，1)【通关锦囊】1．两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (a ≠0)，则b ＝λa .应视题目条件灵活选择．2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．【变式训练3】 (1)(2015·聊城模拟)已知向量a ＝(2，3)，b ＝(－1，2)，若m a ＋4b 与a －2b 共线，则m 的值为( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 (2)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝________．[解析] (1)m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1) 由于m a ＋4b 与a －2b 共线，所以4(3m ＋8)－(－1)·(2m －4)＝0，解得m ＝－2. (2)∵a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)， 由a ⊥c 得a ·c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c 得1×(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2.∴a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，则a ＋b ＝(3，－1)， 因此|a ＋b |＝32＋（－1）2＝10. [答案] (1)D (2)10注意1个区别 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )．但表示形式与意义不同，如点A (x ，y )，向量a ＝OA →＝(x ，y )，向量坐标中既有大小信息又有方向信息．牢记2点提醒 1.若a ，b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错． 2.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0，不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0.掌握3个结论 1.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0. 2.已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则 A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 3.平面向量的基底中一定不含零向量．图4-2-2思想方法之8方程思想在向量运算中的应用(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图4­2­2所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________．[解析] 以向量a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋ μb ，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－2，μ＝－12，代入λμ＝4. [答案] 4 【智慧心语】错因分析：(1)不能建立恰当的直角坐标系，难以准确转化为向量的坐标运算，找不到解题的切入点．(2)不能将向量方程转化为与之等价的代数方程组，导致求解受阻．防范措施：(1)应明确坐标法是将形转化为数的重要方法，只有建立了坐标系，向量才有坐标，才能进行向量的坐标运算．(2)平面向量的向量方程揭示了向量的横纵坐标之间的联系．要利用向量相等则其坐标相同这一原则，根据方程思想，通过列方程(组)进行求解．【类题通关】 (2015·济南模拟)在平面直角坐标系中，若O 为坐标原点，则A ，B ，C 三点在同一直线上的充要条件为存在唯一的实数λ，使得OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →成立，此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和OB →的终点共线分解系数”．若已知P 1(3，1)，P 2(－1，3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3→与向量a ＝(1，1)垂直，则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1 [解析] 设OP 3→＝(x ，y )，则OP 3→·a ＝0， ∴x ＋y ＝0，从而OP 3→＝(x ，－x )(x ≠0)， 由于P 1，P 2，P 3三点共线． ∴OP 3→＝λOP 1→＋(1－λ)OP 2→，则(x ，－x )＝λ(3，1)＋(1－λ)(－1，3)＝(4λ－1，3－2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，消去x ，得2λ＋2＝0. 因此λ＝－1. [答案] D课后限时自测 [A 级 基础达标练]一、选择题1．若向量BA →＝(2，3)，CA →＝(4，7)，则BC →＝( )A ．(－2，－4)B ．(2，4)C ．(6，10)D ．(－6，－10)[解析] ∵CA →＝(4，7)，∴AC →＝(－4，－7)． ∵BC →＝BA →＋AC →，∴BC →＝(2，3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)． [答案] A2．(2015·济南质检)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为( )A ．(2，0)B ．(0，－2)C ．(－2，0)D ．(0，2)[解析] ∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. ∴a 的基底m ，n 下的坐标为(0，2)． [答案] D3．若a ＝(1，2)，b ＝(－3，0)，(2a ＋b )∥(a －m b )，则m ＝( ) A ．－12 B.12C ．2D ．－2[解析] ∵a ＝(1，2)，b ＝(－3，0)， ∴2a ＋b ＝(－1，4)，a －m b ＝(1＋3m ，2)， 又∵(2a ＋b )∥(a －m b )，∴－1×2－4(1＋3m )＝0，∴m ＝－12.[答案] A4．(2015·泰安模拟)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A .12B . 13C . 14D ．1[解析] ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →.∴λ＋μ＝12(x ＋y)＝12.[答案] A5．(2015·威海调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A，∠B ，∠C 的对边，且c>b>a ，若向量m ＝(a －b ，1)和n ＝(b －c ，1)平行，且sin B ＝45，当△ABC 的面积为32时，则b ＝( )A.1＋32B ．2C ．4D ．2＋ 3 [解析] 由于m ∥n ，且S △ABC ＝32，sin B ＝45，∴a －b －(b －c )＝0，即a ＋c ＝2b ，① 12ac sin B ＝32，则ac ＝154.② 由c >b >a 知∠B 为锐角，则cos B ＝35，所以a 2＋c 2－b 22ac ＝35，则（a ＋c ）2－b 22ac ＝85.③将①②代入③得b ＝2. [答案] B 二、填空题6．如图4­2­3所示，在四边形ABCD 中，DC →＝13AB →，E 为BC的中点，且AE →＝x·AB →＋y·AD →，则3x －2y ＝________．[解析] AC →＝AD →＋DC →＝AD →＋13AB →又E 为BC 的中点．∴AE →＝12(AB →＋AC →)＝12AD →＋23AB →，根据平面向量的基本定理，知y ＝12，x ＝23，所以3x －2y ＝3×23－2×12＝1.[答案] 17．已知向量OA →＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________．[解析] 若点A ，B ，C 能构成三角形，图4-2-3则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)， AC →＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k≠0，解得k≠1. [答案] k≠18．(2014·湖北高考)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，且OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________． [解析] 由题意，可知△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5. [答案] 2 5 三、解答题9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)．求： (1)|a ＋3b |；(2)当k 为何实数时，k a －b 与a ＋3b 平行，平行时它们是同向还是反向？ [解] (1)因为a ＝(1，0)，b ＝(2，1)，所以a ＋3b ＝(7，3)，故|a ＋3b |＝72＋32＝58. (2)k a －b ＝(k －2，－1)，a ＋3b ＝(7，3)， 因为k a －b 与a ＋3b 平行， 所以3(k －2)＋7＝0，即k ＝－13.此时k a －b ＝(k －2，－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－1， a ＋3b ＝(7，3)，则a ＋3b ＝－3(k a －b )，即此时向量a ＋3b 与k a －b 方向相反．10．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且OP →＝OA →＋tAB →(t∈R )，问： (1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在二、四象限角平分线上？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由． [解] (1)∵O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)，∴OA →＝(1，2)，AB →＝(3，3)， OP →＝OA →＋tAB →＝(1＋3t ，2＋3t )．若P 在x 轴上，只需2＋3t ＝0，t ＝－23；若P 在第二、四象限角平分线上，则 1＋3t ＝－(2＋3t )，t ＝－12.(2)OA →＝(1，2)，PB →＝(3－3t ，3－3t )， 若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，即⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，此方程组无解． 所以四边形OABP 不可能为平行四边形．[B 级 能力提升练]1．(2013·广东高考)设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μ c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使a ＝λb ＋μ c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μ c .上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [解析] 显然命题①，②是正确．对于③，给定向量b ，则λb 可以确定方向，不妨设如图所示，作AB →⊥λb ，B 为垂足．当正数μ<|AB |＝|a |sin 〈a ，b 〉时，不存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc ，因此③错．对于④，根据向量的三角形法则，必有|λb |＋|μc |＝λ＋μ≥|a |.若λ＝μ＝1，|a |＞2时，与|a |＝|b ＋c |≤|b |＋|c |＝2矛盾，则④不正确．[答案] B2．(2015·淄博质检)已知A(7，1)、B(1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC →＝2CB →，则实数a 等于________．[解析] 设C(x ，y)，则AC →＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x ，4－y)，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝2（1－x ），y －1＝2（4－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，∴C(3，3)． 又∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.[答案] 23．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(2，1)，A (1，0)，B (cos θ，t )，(1)若a ∥AB →，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →的坐标； (2)若a ∥AB →，求y ＝cos 2θ－cos θ＋t 2的最小值． [解] (1)∵AB →＝(cos θ－1，t )， 又a ∥AB →，∴2t －cos θ＋1＝0. ∴cos θ－1＝2t .①又∵|AB →|＝5|OA →|，∴(cos θ－1)2＋t 2＝5.② 由①②得，5t 2＝5，∴t 2＝1.∴t ＝±1. 当t ＝1时，cos θ＝3(舍去)， 当t ＝－1时，cos θ＝－1， ∴B (－1，－1)，∴OB →＝(－1，－1)． (2)由(1)可知t ＝cos θ－12，∴y ＝cos 2θ－cos θ＋（cos θ－1）24＝54cos 2θ－32cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ－65cos θ＋14＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－352－15，∴当cos θ＝35时，y min ＝－15.第三节平面向量的数量积[考纲传真]1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．1．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos_θ叫做a与b的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0．(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘积．2．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a·b＝b·a；(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．3．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉．1．(夯基释疑)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)由a·b＝0，可得a＝0或b＝0.( )(2)由a·b＝a·c及a≠0不能推出b＝c.( )(3)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 为矩形．( ) (4)若a ·b >0，则a 与b 的夹角为锐角；若a ·b <0，则a 和b 的夹角为钝角．( ) [解析] 由数量积的定义，②显然正确． 在(1)中，若a ≠0，b ≠0时，应有a ⊥b ，(1)错． 在(3)中，四边形ABCD 为菱形，(3)不正确．在(4)中，若〈a ，b 〉＝0，有a ·b >0；若〈a ，b 〉＝π，有a ·b <0，(4)错． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(教材改编)已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b |C ．λ(a ·b )＝λa ·bD ．|a ·b |≤|a |·|b |[解析] |a ·b |＝|a ||b ||cos θ|，故B 错误． [答案] B3．(2015·潍坊质检)已知向量m ＝(λ＋1，1)，n ＝(λ＋2，2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝________．[解析] ∵m ＋n ＝(2λ＋3，3)，m －n ＝(－1，－1)， 又(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝0， 从而λ＝－3. [答案] －34．(2014·北京高考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________．[解析] ∵λa ＋b ＝0，∴λa ＝－b ， ∴|λa |＝|－b |＝|b |＝22＋12＝5， ∴|λ|·|a |＝ 5.又|a |＝1，∴|λ|＝ 5. [答案]55．(2013·江西高考)设e 1，e 2为单位向量， 且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．[解析] 由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b |＝2，a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 12＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的射影为|a |·cos a ，b ＝a·b |b |＝52. [答案] 52考向1 平面向量数量积的运算【典例1】 (1)(2014·江苏高考)如图4­3­1，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DC→的最大值为________．[解析] (1)由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB →－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →·⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →－34AB →＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB 2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.(2)如图所示，以AB ，AD 所在的直线分别为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，由于正图4-3-1方形边长为1，故B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)．又E 在AB 边上，故设E(t ，0)(0≤t≤1)． 则DE →＝(t ，－1)，DC →＝(1，0)．∴DE →·DC →＝(t ，－1)·(1，0)＝t ，且0≤t≤1. ∴DE →·DC →的最大值为1. [答案] (1)22 (2)1 【规律方法】1．求两个向量的数量积有两种方法：利用定义；利用向量的坐标运算，如第(2)题建立坐标系，根据坐标运算，简化了过程．2．(1)要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量，如本题(1)中用AD →，AB →表示AP →，BP →等．(2)注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．【变式训练1】 (1)(2015·济南调研)已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A .322 B .3152 C ．－322 D ．－3152(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D ，使BD →＝2DA →，则CD →·CA →＝________．[解析] (1)由已知得AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)， 因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.(2)如图所示，CD →＝CB →＋BD →， 又BD →＝2DA →＝23BA →，∴CD →＝CB →＋23BA →＝CB →＋23(CA →－CB →)，因此CD →＝23CA →＋13CB →，由∠C ＝π2，知CB →·CA →＝0，且AC ＝3，则CD →·CA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23CA →＋13CB →·CA →＝23CA →2＋13CB →·CA →＝6. [答案] (1)A (2)6考向2 平面向量的垂直【典例2】 (1)(2014·重庆高考)已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( )A ．－92B ．0C ．3 D.152(2)(2015·青岛质检)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值是________．[解析] (1)因为a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)， 所以2a －3b ＝2(k ，3)－3(1，4)＝(2k －3，－6)． 因为(2a －3b )⊥c ，所以(2a －3b )·c ＝(2k －3，－6)·(2，1)＝2(2k －3)－6＝0，解得k ＝3. (2)∵BC →＝AC →－AB →，AP →＝λAB →＋AC →， 又AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0. 则(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →2＋AC →2＝0，∴(λ－1)×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－λ×9＋4＝0， 因此λ＝712.[答案] (1)C (2)712【规律方法】1．(1)非零向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a ＋b |＝|a －b |⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(2)本例(2)易出现“BC →＝OB →－OC →”这种错误，解题时要特别注意．2．(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0是对非零向量而言的，若a ＝0时，a ·b ＝0，但不能说a ⊥b .(2)a ⊥b⇔a ·b ＝0，体现了“形”与“数”的转化，可解决几何问题中的线线垂直问题．【变式训练2】 (1)(2014·湖北高考)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．(2)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A ．2 B. 2 C ．1 D.22[解析] (1)由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0， ∴a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3. (2)∵(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ， ∴a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝0，① (2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0，② 消去a ·b ，由①②得2a 2＝b 2， 由|a |＝1，得b 2＝2，故|b |＝ 2. [答案] (1)±3 (2)B考向3 向量的夹角与模(高频考点)命题视角 平面向量的夹角与模的计算是近几年高考的热点，主要以选择题、填空题的形式呈现．主要命题角度：(1)求向量的夹角；(2)确定向量的模或模的最值；(3)根据向量的模、夹角求有关参数等．【典例3】 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[思路点拨] (1)由平面向量数量积的运算法则得a·b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角；(2)根据|a ±b |＝a 2±2a ·b ＋b 2求解．[解] (1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， 解得a·b ＝－6.∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)|a ＋b |2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝13， ∴|a ＋b |＝13，|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2＝37.∴|a －b |＝37. 【通关锦囊】1．(1)计算向量的模与夹角时，关键是求出向量的数量积；(2)研究两向量的夹角应注意“共起点”．2．(1)求两向量的夹角，进而确定两直线的夹角时，要注意两者的区别与联系．(2)求向量的长度，进而可解决平面上两点间的距离、线段的长度问题．【变式训练3】 (1)(2014·江西高考)已知单位向量e 1，e 2的夹角为α，且cos α＝13，若向量a ＝3e 1－2e 2，则|a |＝________． (2)(2014·四川高考)平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2[解析] (1)|a |2＝a·a ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－2e 2)＝9|e 1|2－12e 1·e 2＋4|e 2|2＝9－12×1×1×13＋4＝9.∴|a |＝3.(2)因为a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，所以c ＝m a ＋b ＝(m ，2m )＋(4，2)＝(m ＋4，2m ＋2)．根据题意c·a |c||a |＝c·b |c||b |，所以5m ＋85＝8m ＋2020，解得m ＝2.[答案] (1)3 (2)D。