课程名称（中文）：矩阵论
课程名称（英文）： Matrix Theory
一）课程目的和任务：本课程是泛应用数学包括计算数学、运筹与控制特别是组合与图论、应用数学等专业的一门共同的基础课，主要讲授矩阵的分析性质和组合性质。课程的目的和任务是让学生掌握矩阵论的基本知识和思想方法、了解该领域的某些最新成果、通过利用数学其他分支的工具来解决矩阵问题以及用矩阵解决其他领域的问题加深对数学的认识并且增加数学修养。教材内容强调以下几方面的标准：1）重要，2）优雅，3）巧妙，4）有趣。矩阵论在科学与工程计算、控制论、系统论、信息论、信号处理、计算机科学、经济学、组合与图论、运筹学、统计学、概率论、微分方程、数学物理、动力系统等领域都有应用。矩阵论一方面是有用的工具，另一方面也是目前一个活跃的研究领域。
二）预备知识：线性代数，数学分析
三）教材及参考书目：
教材：Matrix Theory by X. Zhan, 讲义，已投稿到出版社
参考书目：1）《矩阵论》，詹兴致著，高等教育出版社，2008年
2）Matrix Analysis, R. Bhatia著, GTM 169, Springer, New York, 1997
四）讲授大纲（中英文）
第一章 预备知识
1）特殊矩阵类
2）特征多项式
3）谱映射定理
4）特征值和对角元
5）范数
6）矩阵乘方序列的收敛性
7）矩阵分解
8）数值范围
9）多项式的伙伴矩阵
10）广义逆
第 1 页 共 63 页 双语国际教育版
系统分析的数学工具
——工程矩阵理论
（适用于数学专业和其它理工科研究生）
倪郁东编著
合肥工业大学数学学院
第 2 页 共 63 页
目录
第一章 线性空间与线性变换 1
§1.1 线性空间 1
§1.2 线性变换及其矩阵 3
§1.3 内积空间 8
§1.4 正交变换及其几何与代数特征
§1.5 应用于小波变换的框架理论 15
第二章 矩阵的标准形理论
§2.1 线性变换的特征值和特征向量 29
§2.2 矩阵的相似对角化 32
§2.3 特征矩阵的Smith标准形 34
§2.4 矩阵的Jordan标准形 34
§2.5 矩阵的最小多项式
第三章 矩阵分解 29
§3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解 29
第３ｌ卷第５期２０１２年５月 数学教学研究 ５５
矩阵范数的一个应用背景及其教学启示
甘文珍 ，陈建华。，朱鹏
（１．江苏技术师范学院数理学院，江苏常州 ２１３００１； ２．扬州大学数学科学学院，江苏扬州 ２２５００２）
摘要：本文通过指出矩阵论课程中矩阵范数概念的现代数学研究背景。用具体材料来说明数学研 究对数学教学的指导意义和提高学生的兴趣的作用．从学生的学得和教师的专业成长两个侧面，通 过反思探讨了如何开展研究性教学． 关键词：矩阵；范数；研究性教学 中图分类号：Ｏ１５１．２２
１问题的提出
随着科学技术的进步，对人才培养提出
新的要求，我国高等学校的教学面临新的挑
战．高校正倡导研究性教学，何为研究性教
学，如何开展研究性教学是我们迫切需要弄
清的问题．本文以矩阵论课程中矩阵范数教
学为例，探讨大学数学教师如何才能将自己
进行科学研究的心得、体会转化为有用、有效
的教学资源．
矩阵范数的定义：对于矩阵Ａ ，定义
一个实值函数ｌ１Ａｌｌ，它满足以下条件 １）非负性：ＩｌＡｌＩ≥ｏ，当且仅当Ａ＝０时，
ｌｌＡＩＩ：０；
２）齐次性：对ｋ∈Ｃ，有
ＩＩｋＡＩＩ—ｌ ｋ…Ａ ｌ１．
３）三角形不等式：对于矩阵Ｂ ，有
ｌｌＡ＋ＢｌＩ≤ＩＩＡ ０＋０ＢｌＩ；
４）相容性：对于矩阵Ｂ ，有 ｌ ＬＡＢ Ｊｌ≤ｌｌＡ㈣Ｂ ｌ１．
则称『ＩＡＩＩ是Ａ的矩阵范数．
对于矩阵范数的理解，在二、三维实向量
空间中，“大小”问题通常涉及到Ｅｕｃｌｉｄ距
收稿日期：２０１２—０３—２０ ． 基金项目：本文得到国家自然科学基金项目（１１１０１３５２）资助． 离，矩阵可以看成高维空间的向量，那么矩阵
范数可以理解为给矩阵的“大小”下定义．但
当我们将矩阵范数看作是Ｅｕｃｌｉｄ长度的推
广，非负性、齐次性和三角形不等式自然应该
满足，为什么还要满足相容性？仅仅是出于
对矩阵乘法的考虑吗？从矩阵论课程来说，
矩阵范数的应用通常介绍矩阵的谱半径、条
第 1 页 共 55 页 双语国际教育版
系统分析的数学工具
——工程矩阵理论
（适用于数学专业和其它理工科研究生）
倪郁东编著
合肥工业大学数学学院
第 2 页 共 55 页 目录
第一章 线性空间与线性变换 1
§1.1 线性空间 1
§1.2 线性变换及其矩阵 3
§1.3 内积空间 8
§1.4 正交变换及其几何与代数特征
§1.5 应用于小波变换的框架理论 15
第二章 矩阵的标准形理论
§2.1 线性变换的特征值和特征向量 29
§2.2 矩阵的相似对角化 32
§2.3 特征矩阵的Smith标准形 34
§2.4 矩阵的Jordan标准形 34
§2.5 矩阵的最小多项式
第三章 矩阵分解 29
§3.1 Gauss消去法与矩阵三角分解 29
