矩阵理论矩阵的Jordan标准型
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矩阵理论(第三章矩阵的标准型)
100
2100 2 2101 2 0 100 101 2 1 2 1 0 2100 1 2101 2 1
第一节
矩阵的相似对角形
一、矩阵的特征值与特征向量 1、相似矩阵：设V是n维线性空间，T是线性变换， e1, e2,…,en与e'1,e'2,…,e' 是两组基，过渡矩阵 P，则T在这两组基下的矩阵A与B相似，
i
1
i Js
这些约当块构成的分块对角阵J，称为A的约当标准形。
J2
例5 Jordan标准形。
例5的初级因子为 ( 1),( 1),( 2) Jordan标准形为
1 J 1 2
2、k级行列式因子：特征矩阵A(λ)中所有非零的k 级子式的首项（最高次项）系数为1 的最大公因 式Dk(λ)称为 A(λ)的k级行列式因子。
A( ) E A
例5 求矩阵的特征矩阵的行列式因子 解：特征矩阵为
1 1 E A 2
若A能与对角形矩阵相似，对角阵是由特征值构 成的P是由对应特征值的特征向量构成的。
例3
解：
4 6 0 A 3 5 0 3 6 1
100 A ，计算：
4 A E 3 3
6
0
5 0 (1 )2 ( 2) 0 6 1
3级因子，因为
0 0 0 2 1 1 2 3 3 0
1
3
0 0 0, 2 0
2 2(( 1)3 ,( 1)2 ( 2), 2 2 7,0,...) 1
4级因子
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤矩阵化Jordan标准型是线性代数中一种重要的矩阵标准形式。
在特定的线性代数问题中，通过进行一系列的矩阵转换，可以将一个复杂的矩阵转化为Jordan标准型，从而更方便地研究和处理其性质。
本文将介绍矩阵化Jordan标准型的详细步骤。
第一步：寻找特征值和特征向量要完成矩阵化Jordan标准型的转换，首先需要寻找给定矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶矩阵A，特征值λ可以通过求解方程|A-λI|=0来得到。
然后，对于每个特征值λ，求解方程(A-λI)x=0，得到对应的特征向量x。
第二步：求解Jordan块的大小对于每个特征值λ，我们需要计算其对应的Jordan块的大小。
设矩阵A的特征值λ的代数重数为m，几何重数为r。
根据矩阵理论，λ的Jordan块大小为m个，其中r个Jordan块大小为1，剩余的m-r个Jordan块大小不超过r。
第三步：构造Jordan块对于每个特征值λ，根据其对应的Jordan块大小，我们可以构造出对应的Jordan块。
一个大小为r的Jordan块可以用一个r阶方阵表示，其对角线为特征值λ，上方为1的次对角线。
将所有特征值λ对应的Jordan块按照特征值的顺序拼接起来，得到一个大的Jordan矩阵J。
第四步：寻找相似矩阵现在我们需要找到一个相似矩阵P，使得A=JPJ^-1，其中J是步骤三中构造的Jordan矩阵。
为了找到P，我们需要找到一组线性无关的特征向量v，并通过P=[v1,v2,...,vn]来构造相似矩阵P。
特征向量的选择要满足A−λI)v=0，其中λ是A的特征值。
第五步：求解逆矩阵通过步骤四，我们可以求得相似矩阵P。
接下来，需要求解矩阵P的逆矩阵P^-1。
根据矩阵理论，P的逆矩阵可以通过求解线性方程组P^-1P=I得到。
第六步：矩阵化Jordan标准型最后一步是将给定矩阵A转化为Jordan标准型。
根据矩阵相似性的定义，我们有A=JPJ^-1，即A可以通过矩阵P和J进行表示。
矩阵论第2章 Jordan标准型
T 1＝（ 1 2 1 ） 。从( A 2 I ) X 0求得2 2的特征向量
1 2 2＝（－ 1 － 1 1 ） ，只有一个，则 J 2 ( 2) 0 。 2 T 由( A 2 I ) 2取一个 ＝（－ 1 －2 0 ） ，所以
T
P＝（1
矩阵A和JA的特征值相等
J1( 1 ) J ( ) 2 2 JA J s ( s )
AP i P i J i ( i )
细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上
J i (i )是主对角线元素为 i的k i阶Jordan矩阵，把可逆矩阵 P 依据上式J A的结构，相应取 k1列，k 2列， ，k s列分块为 P (P P2 Ps ), AP PJ A可具体表示为： 1 ( AP AP2 APs )＝( P P2 J 2 (2 ) Ps J s (s )) 1 1 J 1 (1 ) 从而有APi＝Pi J i (i )。不妨取AP ＝P 1 1 J 1 (1 )，设 J11 (1 ) J1 (1 )
2
1. (12 …n) 线性无关
n
一、变换T的特征值与特征向量 1. 定义(p35 ，定义2.1) 2. 求解分析：(p35 ，定理2.1)
A的特征值就是T的特征值
2. Ti= ii ； L{ i}是不变子空间
A的特征向量是T的特征向量的坐标
14
再把P1依n1列，n 2列， ，n t 列分块,
(1) P 1 (P 1 (1) P2(1) P )因此有APj(1) Pj(1) J1 j (1 ) t
设Pj(1) (
2 n ), 则上式化为
1 2 2＝（－ 1 － 1 1 ） ，只有一个，则 J 2 ( 2) 0 。 2 T 由( A 2 I ) 2取一个 ＝（－ 1 －2 0 ） ，所以
T
P＝（1
矩阵A和JA的特征值相等
J1( 1 ) J ( ) 2 2 JA J s ( s )
AP i P i J i ( i )
细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上
J i (i )是主对角线元素为 i的k i阶Jordan矩阵，把可逆矩阵 P 依据上式J A的结构，相应取 k1列，k 2列， ，k s列分块为 P (P P2 Ps ), AP PJ A可具体表示为： 1 ( AP AP2 APs )＝( P P2 J 2 (2 ) Ps J s (s )) 1 1 J 1 (1 ) 从而有APi＝Pi J i (i )。不妨取AP ＝P 1 1 J 1 (1 )，设 J11 (1 ) J1 (1 )
2
1. (12 …n) 线性无关
n
一、变换T的特征值与特征向量 1. 定义(p35 ，定义2.1) 2. 求解分析：(p35 ，定理2.1)
A的特征值就是T的特征值
2. Ti= ii ； L{ i}是不变子空间
A的特征向量是T的特征向量的坐标
14
再把P1依n1列，n 2列， ，n t 列分块,
(1) P 1 (P 1 (1) P2(1) P )因此有APj(1) Pj(1) J1 j (1 ) t
设Pj(1) (
2 n ), 则上式化为
第3章 矩阵的Jordan标准形
1 ⋱ 1 E (i(k )) = k 第i行 ； 1 ⋱ 1 1 ⋱ 第i行 1 ϕ (λ ) E (i, ϕ (λ ) j ) = ． ⋱ 1 第j行 ⋱ 1
A(λ ) B (λ ) = E ，
从而有 A(λ ) B(λ ) = A(λ ) B(λ ) = E = 1 ， 因为 A(λ ) 与 B(λ ) 都 的多项式， 都是零次多项式， 是 λ 的多项式，所以 A(λ ) 与 B (λ ) 都是零次多项式，故 A(λ ) 为非 零常数． 零常数． 充分性 设 A(λ ) = d 为非零常数， A(λ ) 是 A(λ ) 的伴随矩阵， 为非零常数， 的伴随矩阵，
定义 3.1.5 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为 λ －矩 阵的初等矩阵． 阵的初等矩阵．分别记为 E (i, j ), E (i (k )), E (i, ϕ (λ ) j ) ， 即
1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 第i行 1 E (i, j ) = ； ⋮ ⋱ ⋮ 1 第j行 1 0 ⋯ 1 ⋱ 1
秩的，但不可逆． 秩的，但不可逆．
3.1.2 λ－矩阵的初等变换与等价
与数字矩阵类似， 矩阵，也可进行初等变换． 与数字矩阵类似，对于 λ －矩阵，也可进行初等变换． 矩阵的初等变换 初等变换： 定义 3.1.4 下列三种变换称为 λ －矩阵的初等变换： 矩阵的两行（ 互换位置； （1） λ －矩阵的两行（列）互换位置； ） 矩阵的某一行（加到另一行（ （3） λ －矩阵的某一行（列）的 ϕ (λ ) 倍加到另一行（列） ） ， 的多项式． 其中 ϕ (λ ) 是 λ 的多项式．
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解
线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解在线性代数中，Jordan标准型（Jordan Canonical Form）和Jordan 分解（Jordan Decomposition）是两个重要的概念。
它们广泛应用于矩阵理论、线性变换及微分方程等领域。
本文将详细介绍Jordan标准型和Jordan分解，并探讨它们在实际应用中的价值。
1. Jordan标准型Jordan标准型是指一个线性变换或矩阵的标准形式。
对于一个n阶方阵A，如果存在可逆方阵P，使得P逆AP的形式为Jordan标准型，那么A就具有Jordan标准型。
Jordan标准型的特点是，它的主对角线由Jordan块组成，每个Jordan块对应一个特征根，而Jordan块的结构由其几何重数和代数重数决定。
1.1 Jordan标准型的计算方法要计算一个矩阵的Jordan标准型，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出A的特征值，即特征多项式的根；（3）对于每个特征值，求出其对应的特征向量；（4）根据特征向量构造Jordan块，并将它们排列在一起形成Jordan矩阵；（5）得到Jordan标准型。
1.2 Jordan标准型的应用Jordan标准型在线性代数的研究中具有重要意义。
它可以用来分析矩阵的性质，如可对角化条件、矩阵的相似性等。
此外，Jordan标准型还可以用来解决微分方程的问题，在微分方程的理论和应用中有广泛的应用。
2. Jordan分解Jordan分解是将一个矩阵分解成若干个Jordan块之和的形式。
对于一个n阶方阵A，如果可以将其分解成 A=S+D，其中S是具有零特征值的Jordan矩阵，D是具有非零特征值的对角矩阵，那么A就具有Jordan分解。
2.1 Jordan分解的计算方法要计算一个矩阵的Jordan分解，可以按照以下步骤进行：（1）求出矩阵A的特征多项式；（2）求出特征值和对应的特征向量；（3）根据特征向量构造Jordan块，并将具有非零特征值的Jordan 块排列在一起形成S；（4）构造对角矩阵D，将每个特征值放在对角线上。
jordan标准形
jordan标准形Jordan标准形。
Jordan标准形是指矩阵的一种特殊形式，它可以将任意矩阵通过相似变换转化为Jordan标准形。
Jordan标准形在线性代数和矩阵理论中有着重要的应用，对于矩阵的特征值和特征向量的研究具有重要意义。
本文将介绍Jordan标准形的定义、性质以及如何将一个矩阵转化为Jordan标准形。
首先，我们来定义什么是Jordan标准形。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=D，其中D是一个Jordan块对角矩阵，那么我们称D是矩阵A的Jordan标准形。
Jordan块是指形如λI+N的矩阵，其中λ是矩阵的特征值，I是单位矩阵，N是上三角的特殊矩阵。
Jordan标准形的存在性是线性代数中一个重要的结论，它告诉我们任意一个n阶矩阵都可以通过相似变换转化为Jordan 标准形。
接下来，我们来看一下Jordan标准形的性质。
首先，Jordan标准形是唯一的，即对于一个矩阵A，它的Jordan标准形是唯一确定的。
其次，Jordan标准形的对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
最后，Jordan标准形的非对角线上的元素对应着矩阵A的特征向量。
这些性质使得Jordan标准形成为了研究矩阵特征值和特征向量的重要工具。
最后，我们来看一下如何将一个矩阵转化为Jordan标准形。
假设我们有一个n阶矩阵A，我们首先需要求出矩阵A的特征值和特征向量。
然后，我们构造出一个可逆矩阵P，它的列向量是矩阵A的特征向量。
接下来，我们可以得到P^{-1}AP，它的对角化矩阵D就是矩阵A的Jordan标准形。
这个过程可以通过线性代数中的特征值分解和相似对角化的理论来实现。
总之，Jordan标准形是线性代数中一个重要的概念，它可以帮助我们研究矩阵的特征值和特征向量。
通过相似变换，我们可以将任意矩阵转化为Jordan标准形，从而更好地理解和分析矩阵的性质。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解Jordan标准形的定义、性质和转化过程。
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan标准形的两种方法矩阵的Jordan标准形是线性代数中一个重要的概念，它是将矩阵分解为初等因子的一种形式。
这里将介绍两种求矩阵Jordan标准形的方法，一种是基于初等行变换的行阶梯形，另一种是基于特征值的特征多项式。
方法一：基于初等行变换的行阶梯形步骤1：将矩阵A放置在矩阵M中，并选取一个新的矩阵B，其大小至少与A 相同。
步骤2：对矩阵M进行初等行变换，使得A成为行阶梯形。
这意味着对A进行一系列的行交换和行简化操作，使得矩阵A的左上角成为一个单位矩阵。
步骤3：对行阶梯形的矩阵A进行进一步的行变换，使得它成为Jordan标准形。
这通常涉及到将矩阵A的某些行乘以非零常数，然后将这些行与位于它们下方的行相加。
步骤4：最终得到的矩阵A就是Jordan标准形。
这种方法需要熟练掌握初等行变换的操作，包括交换、简化、提公因子等。
同时需要注意在进行行变换的过程中保持其他行的状态不变。
方法二：基于特征值的特征多项式步骤1：首先计算矩阵A的特征值。
这些特征值可以通过解方程组Ax = λx 得到，其中x为特征向量，λ为特征值。
步骤2：对于每个特征值λ，求解方程组(λE - A)x = 0，其中E为单位矩阵。
这个方程组可以用来找到对应于特征值λ的线性独立的特征向量v。
步骤3：将找到的特征向量v组成一个矩阵V，使得V的每一列都是一个对应的特征向量。
同时选取一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = V。
步骤4：计算矩阵V的特征多项式f(λ) = |λE - V|。
可以证明f(λ)是一个整系数多项式，并且f(λ) = f(A)。
步骤5：对f(λ)进行因式分解，得到f(λ) = Product_{i=1}^{n}(λ -λ_i)。
其中λ_i是f(λ)的根，也就是矩阵V的特征值。
步骤6：令f(λ) = 0，解出λ的值。
这些值就是矩阵A的特征值。
根据特征值的性质，可以确定矩阵A的Jordan标准形。
这种方法需要理解矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，掌握求解特征值和特征向量的方法，同时还需要熟悉多项式的因式分解和求解根的方法。
矩阵论-Jordan标准型
d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对 角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵， 其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价 于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变 因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.
Jordan标准形与Jordan分解
Jordan标准形与Jordan分解Jordan标准形和Jordan分解是线性代数中非常重要的概念，在矩阵理论和线性变换研究中有着广泛的应用。
本文将介绍Jordan标准形以及Jordan分解的定义、性质、计算方法和应用。
1. Jordan标准形Jordan标准形是一个矩阵的特征值表达形式，它是一个对角矩阵，每个对角块都是由相同的特征值组成。
对于一个n阶矩阵A，如果它的特征多项式可以分解为f(x)=(x-λ₁)^(k₁)(x-λ₂)^(k₂)...(x-λₙ)^(kₙ)其中λ₁,λ₂,...,λₙ是A的特征值，k₁,k₂,...,kₙ是它们的代数重数，则存在一个可逆矩阵P，使得P⁻¹AP=J其中J是Jordan标准形矩阵。
Jordan标准形的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块，其形式为：J(λᵢ)=[λᵢλᵢ ... λᵢ][ λᵢλᵢ ...][... λᵢ...](3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
2. Jordan分解Jordan分解将一个n阶可逆矩阵分解为一个特殊的形式，其中矩阵的上三角部分是Jordan标准形矩阵，而下三角部分为0矩阵。
对于一个n阶可逆矩阵A，存在一个可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹Jordan分解的计算方法主要有以下几步：(1) 计算矩阵A的特征值和对应的代数重数。
(2) 对于每个特征值λᵢ，构造属于λᵢ的Jordan块。
(3) 将所得的Jordan块按照特征值的顺序排列组合成Jordan标准形矩阵J。
(4) 计算可逆矩阵P，使得A=PJP⁻¹。
3. Jordan标准形和Jordan分解的应用Jordan标准形和Jordan分解在数学和工程领域有广泛的应用。
其中一些重要的应用包括：(1) 系统稳定性分析：可以使用Jordan标准形来分析线性时不变系统的稳定性。
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化Jordan标准型的步骤如下：
1. 对于给定的矩阵A，计算其特征值λ和对应的特征向量。
2. 将矩阵A对角化，即找到一个可逆矩阵P使得P^-1·A·P得
到一个对角矩阵D，其中对角线上的元素是特征值λ。
3. 对于每个特征值λ，计算其对应的几何重数，即特征值λ对
应的特征向量线性无关的个数。
假设几何重数为k。
4. 对于特征值λ，如果几何重数等于代数重数（特征值λ的代
数重数即λ在特征多项式中出现的次数），则将λ对应的特征向量按列排列形成一个矩阵Ak。
如果几何重数小于代数重数，需要构建一个Jordan块，即由λ和其相关的线性无关向量组成。
5. 将所有特征值λ对应的特征向量矩阵Ak拼接形成一个矩阵P。
6. 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^-1。
7. 计算矩阵A的Jordan标准型矩阵J = P^-1·A·P。
需要注意的是，在第4步中构建Jordan块时，需要按照一定
的规则填充向量。
具体规则如下：
- Jordan块的对角线元素为特征值λ；
- 块的数量等于特征值λ的代数重数减去几何重数；
- 每个块的大小等于块所对应的线性无关向量的数量减1。
最后得到的矩阵J即为矩阵A的Jordan标准型矩阵。
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而所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全为零，则称
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
c 2c 1,r1 c3 r(3 3)c 1 0 0
1
1 c 3+c 2,r3 +r2, (1) r30
1232
0
1
0
0
(1)2
A 的初等因子组为 ( 1) ， ( 1)2 . 故 A 的 Jordan 标准型为
1 0 0 J 0 1 1
0 0 1
方法二 求特征值 i 及特征子空间的维数 ri dimV i
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
( 1)
例 3.4
设 A( )
，求
A(
)
的
( 1)2
Smith 标准型及不变因子.
A( ) 是可逆的， B() 是不可逆的．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n 阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk ( ) .
由定义知 Dn( ) 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk ( ) | Dk1( ) (称为依次相除性)， k 1, 2, , n 1 .
定理 3.11 方阵 A 与它的 Jordan 标准形相似.
1 2 6 例 3.6 求矩阵 A 1 0 3 的 Jordan 标准形.
1 1 4
解 方法一 首先求的初等因子组
1 2 6
0 1 232
EA 1
3
r 2cr33 ,rc11 r30
1
1
1 1 4
1 1 3
1 0
0
1 0 0
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
s
其中 m i n，称 mi 为 A 的特征值 i 的代数重数， i1
dimVi ri（ i 的特征向量空间的维数）为 i 的几何重数.
定理 3.9 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, ..., s ， mi ， ri 分别为 i 的代数重数与几何重数，则
ri mi
定理 3.10 如果矩阵 A 的每个特征值的代数重数 都等于它的几何重数，则矩阵与对角阵相似.
定理 3.7 A B 的充要条件是 A 、 B 有相同的不变因子. 定理 3.8 A B 的充要条件是 A 、 B 有相同的初等因子组.
定义 3.6 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, , s ， 且 A 的特征多项式
det( E A) ( 1 )m1 ( i )mi ( s )ms
定义 3.5 di ( ), i 1, 2, , r 的如上因式分解式中， 所有幂指数不为 0 的因式
( j )kij
( i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s )，称为 A( ) 的初等因子. 全体初等因子的集合称为初等因子组.
定理 3.5 n 阶 矩阵 A( ) 、 B( ) 等价的充要条件
dr
(
)
(
)kr1 1
(
2
)kr 2
( j )krj
( s )krs
因为 di1( ) | di ( ) ，所以 k1 j k2 j kij krj ,
如遇 kij 0 ，必有 k1 j ki1 j kij 0 ，
以上 i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s .
定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵， 如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ， 则称 A( ) 与 B( ) 是等价的，记作 A( ) B( ) ．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ； 2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ． 3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
第三章 矩阵的Jordan标准型
矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与 计算中起着十分重要的作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛的应用.
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
当 A 不满足定理 3.10 时，它肯定不与对角阵相似， 但在与其相似的矩阵中可以找到形式最简单的矩阵， 这就是它的 Jordan 标准形.
定义 3.8 设 i 为 A 的互异特征值，共 s 个． mi 为 i 的代数重数，
ri 为 i 的几何重数.
J1
J
Ji
i 1
J ik
，称J为A来自的Jordan
标准形．
J
s
J
i1
Ji
J ik
i 的代数重数
J iri
mi mi
1
i nik
i 的几何重数 初等因子 ( i )nik 的幂指数.
ri
s
nik mi ，
mi n ，
k 1
i 1
称 Jik 为与初等因子 ( i )nik 对应的 Jordan 子块.
不考虑 Jordan 子块的顺序，Jordan 标准形唯一.
不变因子为:
d1( ) 1 ， d2( )
D2 ( ) D1( )
(
1) ， d3 ( )
D3 ( ) D2 ( )
(
1)2
所以 A( ) 的 Smith 标准形为:
1
(1)
(1)2
以下在复数域内讨论问题.
d1(
)
(
)k11 1
(
2
)k12
( j )k1 j
( s )k1s
di ( ) ( 1 )ki1 ( 2 )ki2 ( j )kij ( s )kis
0 0 1
3.3 Hamilton-Coyle定理
设 A C nn ，其特征多项式为
( ) det( E A) n a1 n1 a2 n2 an1 an
矩阵 A 与() 之间有如下重要的关系.
定理 3.13(Hamilton - Cayley 定理)
设 A C nn ，( ) det( E A) ， 则 ( A) Onn .
1 2 6 令 E A 1 3 ( 1)3 0
1 1 4
故 A 的特征值为 1 2 3 1 .
2 2 6 1 1 3
i E A 1 1 3 0 0
0
1 1 3 0 0 0
所以对应于特征值 i 1 有 2 个线性无关的特征向量.
1 0 0 故 A 的 Jordan 标准形为： J 0 1 1
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
(1)
(1)
A() c 3c 2
r 3( 2) r2
(1)2
(2) 1
(1)
(1)
c 2 ( 2)c3
(1)2 r 2 r3
(1)2
0 1
1
r1r3
r 2r 3(1)
(1)2
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 mn 型的 –矩阵 A( ) ， 作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A( ) 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
证明 若 –矩阵 A( ) 可逆，则有 A( )B( ) B( )A( ) En 成立， 对其两边取行列式便有 A( ) B( ) 1 ，由于 A( ) 、 B( ) 都是 的多项式， 所以 A( ) 、 B( ) 都是常数．
反之，设
A( ) c 0 ，则 ( 1 c
A( ) ) A( )
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．
A( ) 的秩为 r ，记为 rankA( ) r ．零矩阵的秩为 0 ． 当 rank( Ann ( ) ) n 时，称 Ann ( ) 为满秩的或非奇异的．
定义 3.1 设有 n 阶 –矩阵 A( ) 、 B( ) ，若可使 A( )B( ) B( )A( ) En
c 2c 1,r1 c3 r(3 3)c 1 0 0
1
1 c 3+c 2,r3 +r2, (1) r30
1232
0
1
0
0
(1)2
A 的初等因子组为 ( 1) ， ( 1)2 . 故 A 的 Jordan 标准型为
1 0 0 J 0 1 1
0 0 1
方法二 求特征值 i 及特征子空间的维数 ri dimV i
定理 3.4 等价的 n 阶 -矩阵有相同的各阶行列式因子及 不变因子. 两个 n 阶 -矩阵等价当且仅当它们有相同的行列式因子 或相同的不变因子.
由此可知 n 阶 -矩阵的 Smith 标准形唯一.
( 1)
例 3.4
设 A( )
，求
A(
)
的
( 1)2
Smith 标准型及不变因子.
A( ) 是可逆的， B() 是不可逆的．
–矩阵也有初等变换和初等矩阵．
–矩阵的初等行（列）变换，是指以下三种变换： 1．交换 A( ) 的第 i 行（列）与第 j 行（列）； 2．用非零的数 k 乘以 A( ) 的第 i 行（列）； 3．将 A( ) 的第 j 行（列）乘以一个多项式 ( ) 后，
推论 2 可逆 -矩阵可表示为若干个初等矩阵之积.
定义 3.3 n 阶 -矩阵 A( ) 中所有非零 k 阶子式的 首项系数为 1 的最大公因式称为 A( ) 的 k 阶行列 式因子，记为 Dk ( ) .
由定义知 Dn( ) 即为 A( ) 的行列式的值，显然 Dk ( ) | Dk1( ) (称为依次相除性)， k 1, 2, , n 1 .
定理 3.11 方阵 A 与它的 Jordan 标准形相似.
1 2 6 例 3.6 求矩阵 A 1 0 3 的 Jordan 标准形.
1 1 4
解 方法一 首先求的初等因子组
1 2 6
0 1 232
EA 1
3
r 2cr33 ,rc11 r30
1
1
1 1 4
1 1 3
1 0
0
1 0 0
若 A( ) 的秩为 r ，则 Dr ( ) 0 ，但 Dr1( ) 0 ，
记
d1( ) D1( )
dk ( )
Dk ( ) , k Dk1( )
2, ..., r
则 di ( )(i 1, , r) 是 r 个首 1 的多项式.
定义 3.4 上式中的 di ( ) (i 1, , r) 称为 A( ) 的不变因子. 其中 r 为 A( ) 的秩. 定理 3.3 里 A( ) 的 Smith 标准形中的 d1( ), , dr ( ) 就是 它的不变因子.
s
其中 m i n，称 mi 为 A 的特征值 i 的代数重数， i1
dimVi ri（ i 的特征向量空间的维数）为 i 的几何重数.
定理 3.9 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, ..., s ， mi ， ri 分别为 i 的代数重数与几何重数，则
ri mi
定理 3.10 如果矩阵 A 的每个特征值的代数重数 都等于它的几何重数，则矩阵与对角阵相似.
定理 3.7 A B 的充要条件是 A 、 B 有相同的不变因子. 定理 3.8 A B 的充要条件是 A 、 B 有相同的初等因子组.
定义 3.6 设 i 为 A 的互异特征值， i 1, 2, , s ， 且 A 的特征多项式
det( E A) ( 1 )m1 ( i )mi ( s )ms
定义 3.5 di ( ), i 1, 2, , r 的如上因式分解式中， 所有幂指数不为 0 的因式
( j )kij
( i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s )，称为 A( ) 的初等因子. 全体初等因子的集合称为初等因子组.
定理 3.5 n 阶 矩阵 A( ) 、 B( ) 等价的充要条件
dr
(
)
(
)kr1 1
(
2
)kr 2
( j )krj
( s )krs
因为 di1( ) | di ( ) ，所以 k1 j k2 j kij krj ,
如遇 kij 0 ，必有 k1 j ki1 j kij 0 ，
以上 i 1, 2, , r ； j 1, 2, , s .
定义 3.2 设 A() 、 B() 是两个同型的 –矩阵， 如果 A() 可以经过有限次初等变换化为 B() ， 则称 A( ) 与 B( ) 是等价的，记作 A( ) B( ) ．
等价关系具有以下性质：
1．自反性： A( ) A( ) ； 2．对称性：如果 A( ) B( ) ，那么 B( ) A( ) ． 3．传递性：如果 A( ) B( ) 且 B( ) C( ) ，
第三章 矩阵的Jordan标准型
矩阵的Jordan标准型不但在矩阵理论与 计算中起着十分重要的作用，而且在控 制理论、系统分析等领域有广泛的应用.
3.1不变因子与初等因子
形如
a11( )
A(
)
a21 (
)
am1
(
)
a12( ) a22( )
am2( )
a1n( )
a2n
(
)
amn
(
)
的 m n 型矩阵称为 –矩阵或多项式矩阵，
当 A 不满足定理 3.10 时，它肯定不与对角阵相似， 但在与其相似的矩阵中可以找到形式最简单的矩阵， 这就是它的 Jordan 标准形.
定义 3.8 设 i 为 A 的互异特征值，共 s 个． mi 为 i 的代数重数，
ri 为 i 的几何重数.
J1
J
Ji
i 1
J ik
，称J为A来自的Jordan
标准形．
J
s
J
i1
Ji
J ik
i 的代数重数
J iri
mi mi
1
i nik
i 的几何重数 初等因子 ( i )nik 的幂指数.
ri
s
nik mi ，
mi n ，
k 1
i 1
称 Jik 为与初等因子 ( i )nik 对应的 Jordan 子块.
不考虑 Jordan 子块的顺序，Jordan 标准形唯一.
不变因子为:
d1( ) 1 ， d2( )
D2 ( ) D1( )
(
1) ， d3 ( )
D3 ( ) D2 ( )
(
1)2
所以 A( ) 的 Smith 标准形为:
1
(1)
(1)2
以下在复数域内讨论问题.
d1(
)
(
)k11 1
(
2
)k12
( j )k1 j
( s )k1s
di ( ) ( 1 )ki1 ( 2 )ki2 ( j )kij ( s )kis
0 0 1
3.3 Hamilton-Coyle定理
设 A C nn ，其特征多项式为
( ) det( E A) n a1 n1 a2 n2 an1 an
矩阵 A 与() 之间有如下重要的关系.
定理 3.13(Hamilton - Cayley 定理)
设 A C nn ，( ) det( E A) ， 则 ( A) Onn .
1 2 6 令 E A 1 3 ( 1)3 0
1 1 4
故 A 的特征值为 1 2 3 1 .
2 2 6 1 1 3
i E A 1 1 3 0 0
0
1 1 3 0 0 0
所以对应于特征值 i 1 有 2 个线性无关的特征向量.
1 0 0 故 A 的 Jordan 标准形为： J 0 1 1
解 A( ) 虽然是对角形，但对角元素不满足依次相除性，
故不是 Smith 标准形. 方法一 用初等变换
(1)
(1)
A() c 3c 2
r 3( 2) r2
(1)2
(2) 1
(1)
(1)
c 2 ( 2)c3
(1)2 r 2 r3
(1)2
0 1
1
r1r3
r 2r 3(1)
(1)2
加到第 i 行（列）上．
–矩阵的初等矩阵是指由一个单位矩阵经过一次 –矩阵的初等行（列）变换后所得的方阵．
初等变换和初等矩阵都是可逆的
定理 3.2 对任意一个 mn 型的 –矩阵 A( ) ， 作一次某种初等行（列）变换，相当于给 A( ) 左（右）乘一个相应的 m 阶（ n 阶）初等矩阵．
成立，则称 A( ) 为可逆的， B( ) 称为 A( ) 的逆矩 阵，记为 A1( ) ． 满秩的 –矩阵不一定可逆．
定理 3.1 n 阶 –矩阵 A( ) 可逆的充要条件是 A( ) 的行列式是一个非零常数．
证明 若 –矩阵 A( ) 可逆，则有 A( )B( ) B( )A( ) En 成立， 对其两边取行列式便有 A( ) B( ) 1 ，由于 A( ) 、 B( ) 都是 的多项式， 所以 A( ) 、 B( ) 都是常数．
反之，设
A( ) c 0 ，则 ( 1 c
A( ) ) A( )
A( ) ( 1
c
A( ) )
En ，
所以 A( ) 是可逆的， A( )1 1 A( ) ，其中 A( ) 是 A( ) 的伴随矩阵．